2023-2024學(xué)年湖南省邵陽六中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共11小題，每小題3分，共33分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列圖形中，屬于中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.拋物線的頂點坐標是(

)A. B. C. D.3.如圖，點A，B，C在上，連結(jié)AB，AC，OB，若，則的度數(shù)是(

)A.

B.

C.

D.4.一元二次方程的根的情況是(

)A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根 D.無法確定5.如圖，AB是的直徑，，若，則的度數(shù)是(

)A.

B.

C.

D.6.如圖，將繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，若，則的度數(shù)是(

)A.

B.

C.

D.7.已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，則為(

)A. B.4 C. D.38.與交于D、E、C、B，，，則的度數(shù)(

)A.

B.

C.

D.

9.如圖，AB與相切于點B，AO與相交于點C，若，，則的半徑為(

)A.4

B.5

C.6

D.810.如圖，點A是上一定點，點B是上一動點、連接OA、OB、AB、分別將線段AO、AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到，，連接，，，，下列結(jié)論正確的有(

)

①點在上；②≌；③；④當(dāng)時，與相切.A.4個

B.3個

C.2個

D.1個11.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“今有直角三角形，勾短直角邊長為8步，股長直角邊長為15步，問該直角三角形內(nèi)能容納的最大圓的直徑是多少？”你的答案是(

)A.3步 B.4步 C.6步 D.17步二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。12.一元二次方程的解為______.13.設(shè)拋物線經(jīng)過點，則______.14.如圖所示的圖案由三個葉片組成，繞點O旋轉(zhuǎn)后可以和自身重合，若每個葉片的面積為，，則圖中陰影部分的面積為______.

15.在一次足球邀請賽中，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共比賽28場，設(shè)共有x個隊參賽，根據(jù)題意，可列方程為______.16.如圖，已知AB為的直徑，直線l與相切于點D，于點C，AC交于點若，，則______.

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.本小題6分

計算：18.本小題6分

如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為、、

作出關(guān)于原點O對稱的；

寫出點、、的坐標．19.本小題6分

已知二次函數(shù)

求證：無論k為何值時，該二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個交點；

若該二次函數(shù)圖象的對稱軸為y軸，求它與x軸的交點坐標.20.本小題8分

如圖，中，點E在BC邊上，，將線段AC繞A點旋轉(zhuǎn)到AF的位置，使得，連接EF，EF與AC交于點

求證：；

若，，求的度數(shù).21.本小題8分

如圖，以線段AB為直徑作，交射線AC于點C，AD平分交于點D，過點D作直線于點E，交AB的延長線于點F，連接

求證：直線DE是的切線；

若，，求BF的長.22.本小題9分

近年來，在物聯(lián)網(wǎng)場景下，工業(yè)“數(shù)字孿生”技術(shù)成為一個研究熱點，其利用數(shù)字技術(shù)對物體、系統(tǒng)、流程的信息進行實時映射，完成虛擬仿真過程，從而顯著減輕工業(yè)領(lǐng)域技術(shù)創(chuàng)新和決策優(yōu)化研究中面臨的重資產(chǎn)和高成本負擔(dān)，某企業(yè)準備借助“數(shù)字孿生”技術(shù)對A，B兩個生產(chǎn)性項目進行投資，根據(jù)其生產(chǎn)成本、銷售情況等因素進行分析得知：投資A項目一年后的收益萬元與投入資金萬元的函數(shù)表達式為：，投資B項目一年后的收益萬元與投入資金萬元的函數(shù)表達式為：

若將10萬元資金投入A項目，一年后獲得的收益是多少？

若對A，B兩個項目投入相同的資金萬元，一年后兩者獲得的收益相等，則m的值是多少？

年，我國對小微企業(yè)施行所得稅優(yōu)惠政策.該企業(yè)將根據(jù)此政策獲得減免稅款及其他結(jié)余資金共計32萬元，全部投入到A，B兩個項目中，當(dāng)A，B兩個項目分別投入多少萬元時，一年后獲得的收益之和最大？最大值是多少萬元？23.本小題9分

新定義：同一個圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦.

如圖1，AB，AC是的等垂弦，，，垂足分別為D，求證：四邊形ADOE是正方形；

如圖2，弦AB與弦CD交于點E，，

①求證：AB，CD是的等垂弦；

②連接BD，若，，求BD的長度.24.本小題10分

對于一個函數(shù)，如果存在實數(shù)m，使得當(dāng)函數(shù)的自變量為m時，函數(shù)值也是m，我們稱該函數(shù)為智能函數(shù)，點為智能函數(shù)上的智能點.

判斷函數(shù)是否為智能函數(shù)；

二次函數(shù)與x軸交于，兩點，且，若無論b為何值，該函數(shù)都是智能函數(shù)，求a的取值范圍；

在第問的前提下，若C、D為函數(shù)上的智能點，且C、D關(guān)于直線對稱，求b的最小值.25.本小題10分

二次函數(shù)、b、c是常數(shù)與x軸交于兩個不同的點A、B，與y軸交于點C，圖象頂點為點D，經(jīng)過點A、B、D三點，且

求證：為等邊三角形；

若，求的面積；

若直線與相切，求的值.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、不是中心對稱圖形，所以不符合題意；

B、是中心對稱圖形，所以符合題意；

C、不是中心對稱圖形，所以不符合題意；

D、不是中心對稱圖形，所以不符合題意；

故選：

根據(jù)中心對稱圖形的定義對四個選項進行分析．

本題主要考查了中心對稱圖形的定義，難度不大，認真分析即可．2.【答案】C

【解析】解：因為是拋物線的頂點式，

根據(jù)頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為；

故選：

直接利用頂點式的特點可知頂點坐標．

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，由拋物線的頂點坐標式寫出拋物線頂點的坐標，比較容易．3.【答案】C

【解析】解：，，

故選：

直接利用圓周角定理求解即可求得的度數(shù)．

此題考查了圓周角定理．注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．4.【答案】A

【解析】解：一元二次方程根的判別式，

一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，

故選：

算出一元二次方程根的判別式即可判斷根的情況．

本題考查一元二次方程根的情況，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式．5.【答案】C

【解析】解：，

，

故選：

由，可求得，繼而可求得的度數(shù)．

此題考查了弧與圓心角的關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．6.【答案】B

【解析】解：將繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，，

，，

，

故選：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，根據(jù)圖形可得

本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7.【答案】B

【解析】解：一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，

，

故選：

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系直接求解即可得到答案．

本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握8.【答案】C

【解析】解：，

，

，

故選：

先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)求的度數(shù)．

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．9.【答案】C

【解析】解：切于B，

，

，

設(shè)的半徑長為r，

由勾股定理得：

，

解得

故選：

連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)求出，在中，由勾股定理即可求出的半徑長．

本題考查了切線的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是得出直角三角形ABO，主要培養(yǎng)了學(xué)生運用性質(zhì)進行推理的能力．10.【答案】A

【解析】解：，，

是等邊三角形，

同理可得，

是等邊三角形，

①是等邊三角形，

，

點在上，

故①正確，

，

，

在和中

≌，

故②正確，

③由②知，

≌，

，

，

，

，

是等邊三角形，

，

，

，

，

故③正確，

④如圖，

過點O作于C，

是等邊三角形，

，

，，

垂直平分AB，

，

，

，

和OB重合，

，

，

在和中，，

≌，

，

，

是半徑，

是的切線，

故④正確，

綜上所述：①②③④均正確，

故選

可證得和是等邊三角形，可推出，從而得出①正確；根據(jù)“邊角邊”可證得②；根據(jù)②可推出，進一步得出③正確；作，可推出，進而得出，結(jié)合可推出點C和點B重合，進而得出④正確，從而得出結(jié)果．

本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識．11.【答案】C

【解析】解：如圖，在中，，，，分別與的三邊分別相切于點D、E、F，連接IA，IB，IC，ID，IE，IF，

，

，

，

，

即內(nèi)切圓半徑為3步，

內(nèi)切圓直徑為6步，

故選：

根據(jù)勾股定理可求出斜邊的長度，再三角形內(nèi)心的性質(zhì)以及三角形面積公式求出內(nèi)切圓半徑即可．

本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握勾股定理，三角形內(nèi)心的性質(zhì)以及三角形面積的計算方法是正確解答的前提．12.【答案】，

【解析】解：，

，

，

故答案為：，

根據(jù)直接開方法解一元二次方程，先進行開方，得到兩個一元一次方程，再分別求解即可．

此題考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成的形式，利用數(shù)的開方直接求解．13.【答案】2

【解析】解：拋物線的對稱軸經(jīng)過點，

，

故答案為：

將點代入函數(shù)解析式求解即可．

題目主要考查拋物線上的點的特征求未知數(shù)，理解題意是解題關(guān)鍵．14.【答案】4

【解析】解：每個葉片的面積為，

圖形的面積是，

圖案繞點O旋轉(zhuǎn)后可以和自身重合，，

圖形中陰影部分的面積是圖形的面積的，

圖中陰影部分的面積之和為

故答案為：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和圖形的特點解答．

本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)與重合，理解旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義是解決本題的關(guān)鍵．注：旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．15.【答案】

【解析】解：依題意得：，

故答案為：

根據(jù)參賽的每兩個隊之間都要比賽一場且共比賽28場，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．16.【答案】

【解析】

解：作直徑DF，連接DE，

是直徑，，

，

直線l與相切于點D，

，

，

，

，

，

是公共角，

∽，

，

，

，，

，

，

故答案為

利用切線的性質(zhì)，得到等角，進一步證∽，求出AC的長，利用勾股定理求出

此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．17.【答案】解：原式

【解析】利用零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，絕對值的性質(zhì)計算即可．

本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．18.【答案】解：如圖所示，即為所求；

由圖知點的坐標為、的坐標為、的坐標為

【解析】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標．

作出三個頂點關(guān)于原點對稱的點，再順次連接可得；

由所作圖形可得點的坐標．19.【答案】證明：，

，

無論k取何實數(shù)，此二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個交點；

解：此二次函數(shù)圖象的對稱軸為y軸，，

解得：，

二次函數(shù)的解析式是

令，

與x軸的交點為，

【解析】根據(jù)根的判別式求出即可；

根據(jù)對稱軸得出方程，求出k即可，再令，進而可以得解．

本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)和拋物線與x軸的交點問題，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．20.【答案】證明：，

將線段AC繞A點旋轉(zhuǎn)到AF的位置，

在與中，

，

≌，

；

解：，，

，

≌，

，

【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，利用SAS證明≌，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出；

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出，那么由≌，得出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，證明≌是解題的關(guān)鍵．21.【答案】證明：，

，

平分，

，

，

，

，

，

是的半徑，且，

直線DE是的切線．

解：且，

，

平分，

，

在中，

，

在中，

，

，

作，由垂徑定理可得，

在中，，

，

，

【解析】由證明，得，即可證明直線DE是的切線；

因為且，所以，由平分線得出，利用三角函數(shù)求出AE、AF作，由垂徑定理可得，則，則，推出，得出

此題重點考查切線的判定、直徑所對的圓周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．22.【答案】解：將代入，得：，

答：一年后獲得的收益是20萬元；

由題意可知，即，

解得：舍，，

，B兩個項目投入相同的資金為8萬元，即；

設(shè)一年后獲得的收益之和為w，投入B項目n萬元，則投入A項目萬元，

，

當(dāng)時，w有最大值，最大值為

答：當(dāng)A項目投入28萬元，B項目投入4萬元，一年后獲得的收益之和最大，最大值是80萬元．

【解析】將代入求解即可；

聯(lián)立，，解出x的值即得出答案；

設(shè)一年后獲得的收益之和為w，投入B項目n萬元，則投入A項目萬元，根據(jù)題意可求出w與n的關(guān)系式，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用．理解題意，掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23.【答案】證明：，AC是的等垂弦，，，

，

四邊形ADOE是矩形，

，AC是的等垂弦，

，

，，

，，

，

矩形ADOE是正方形．

①證明：設(shè)AB交CD于點E，連接AC，

，，

，

，

，

，，

，

，

，，

，CD是的等垂弦．

②過點O作，，

四邊形MONE是正方形，設(shè)，則，

在中，根據(jù)勾股定理得：

，

整理得：，

解得：，或舍去，

，

在中，，

【解析】根據(jù)垂直的定義及等垂弦定義推出四邊形ADOE是矩形，根據(jù)垂徑定理得出，即可判定矩形ADOE是正方形；

①連接AC，由圓心角、弦的關(guān)系可得，由圓周角定理可得，，可證，可得結(jié)論．②利用結(jié)論，設(shè)正方形邊長為x，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的方程求出x值，得到等腰直角三角形的直角邊長，則斜邊BD長就是

本題考查了垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．24.【答案】解：是智能函數(shù)，理由：

設(shè)智能點，

當(dāng)時，，

解得，

當(dāng)函數(shù)的自變量為3時，函數(shù)值也是3，即智能點，

函數(shù)為智能函數(shù)；

令時，，

二次函數(shù)與x軸交于，兩點，

，，

，

，

二次函數(shù)為，

恒有智能點，

方程有解，

即，恒成立，

設(shè)，

，

，無論b為何值，該函數(shù)都是智能函數(shù)，

，

，

的取值范圍為；

設(shè)方程的兩個根為m，n，

整理得：，

則，

、D為函數(shù)上的智能點，

由題意可得C、D兩點的直線為，

、D關(guān)于直線對稱，

，且CD中點在該直線上，

設(shè)C