專題18.3（特殊）的平行四邊形中的最值與綜合壓軸問題專題講練1、以特殊平行四邊形為背景的最值問題解題技巧：幾何背景下的最值是考生感覺較難的，往往沒有思路。常見的有：(1)幾何圖形中在特殊位置下的最值；(2)比較難的線段的最值問題，其依據(jù)：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換化歸到“三角形的三邊關(guān)系”等。常見最值模型：（1）將軍飲馬；（2）瓜豆原理（動(dòng)態(tài)軌跡問題）；（3）胡不歸；（4）費(fèi)馬點(diǎn)問題。注意：正方形和菱形、矩形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，常運(yùn)用其軸對(duì)稱性解決最小值問題。1）矩形中的最值問題例1．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，點(diǎn)為矩形的對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，若，，則的最小值為________．變式1．（2022?泗陽縣校級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是AB上動(dòng)點(diǎn)，PQ平行于BC交CD于Q．M是AD上動(dòng)點(diǎn)，MN平行于AB交BC于N．則PM+NQ的最小值為．例2．（2022·安徽合肥·二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，若四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．5變式2．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．例3．（2022·湖北青山·九年級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝7，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接AP，將線段AP繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為___．變式3．（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE，將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A落在處，連接，若F，G分別為，BC的中點(diǎn)，則FG的最小值為A．2 B． C． D．1例4．如圖，長方形，長，寬，點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、，則的面積為________，的最小值是__________．的最小值是______________．變式4．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，則AE＋CE的最小值為___．例5．（2022.綿陽市初二月考）如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知AB＝2，BC=3，則PA+PB+PC的最小值是變式5．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為______．2）菱形中的最值問題例1．（2022·四川廣安·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．變式1．（2022?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC＝12，面積為24，△ABE是等邊三角形，若點(diǎn)P在對(duì)角線AC上移動(dòng)，則PD+PE的最小值為（）A．4 B．42 C．210 D．6例2．（2022?藍(lán)田縣一模）如圖，菱形ABCD的邊長為3，∠BAD＝60°，點(diǎn)E、F在對(duì)角線AC上（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），且EF＝1，則DE+BF最小值為變式2．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在菱形中，過點(diǎn)作交對(duì)角線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．若，，則的最大值為_________．例3．（2022?武昌區(qū)期中）如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，兩頂點(diǎn)B、D分別在平面直角坐標(biāo)系的y軸、x軸的正半軸上滑動(dòng)，連接OA，則OA的長的最小值是．變式3．（2022·綿陽市·八年級(jí)期中）如圖，菱形中，，，點(diǎn)在邊上，且，動(dòng)點(diǎn)在邊上，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，連接，則線段長的最小值為__．例4．（2021·山東臨沂·二模）如圖，四邊形ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．(1)求證：△EBN≌△ABM；(2)當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最??？請(qǐng)說明理由．變式4．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時(shí)EF的長（）A． B． C． D．例5．（2021·眉山市·中考真題）如圖，在菱形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．變式5．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則AM+BM的最小值為_____．3）正方形中的最值問題例1．（2022?永登縣期中）如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為．變式1．（2022·江蘇·揚(yáng)州八年級(jí)期末）如圖，已知正方形的邊長為，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到連接，則的最小值是_____．例2．（2022·無錫市初三二模）如圖，正方形ABCD的邊長為3，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝，連接CE，CF，則△CEF周長的最小值為__________.變式2．（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）在綜合實(shí)踐課上，小明把邊長為2cm的正方形紙片沿著對(duì)角線AC剪開，如圖l所示．然后固定紙片△ABC，把紙片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，連A′B，D′B，D′C，在平移過程中：（1）四邊形A′BCD′的形狀始終是__；（2）A′B+D′B的最小值為__．例3．（2022·湖北·鄂州市三模）如圖，在邊長為的正方形中，是邊的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與重合，以線段為邊在正方形內(nèi)作等邊，是邊的中點(diǎn)，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值是（

）A． B． C． D．變式3．（2021·貴州銅仁·中考真題）如圖，、分別是正方形的邊、上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接、，相交于點(diǎn)，連接，若正方形的邊長為2．則線段的最小值為______________．例4．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以邊長為2的正方形的中心O為端點(diǎn)，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB長度的最小值為_________．變式4．（2022·安徽六安市·九年級(jí)期末）如圖，已知正方形與正方形的邊長分別為4和1，若將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)之間的最小距離為（）A．3 B． C． D．例5．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，AB=；（1）如圖1，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補(bǔ)充完整（無需寫畫法）；

②求的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．變式5．（2022·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．(1)求證：；(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最小；②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；(3)當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長．4）平行四邊形中的最值問題變式1．如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值是（）A． B．6 C．4 D．變式1．（2022·安徽定遠(yuǎn)·八年級(jí)期中）如圖，四邊形是平行四邊形，，，，點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．連接，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．例2.（2022·吉林·長春二模）如圖，在中，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，以，為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線的最小值為__．變式2.已知：如圖，平行四邊形中，，點(diǎn)E是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，把沿折疊到的位置．（1）當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，________；（2）若點(diǎn)落在的內(nèi)部（包括邊界），則的范圍是___________．例3．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則2PB+PD的最小值等于______.變式3．（2022·成都市·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形是平行四邊形，，，，點(diǎn)、是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則四邊形周長的最小值為______．2、以特殊四邊形為背景的壓軸問題1．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，平行四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)F，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形是菱形；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE、BE、DE．過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE=AP=1，PB=．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．3．（2022·四川南充·中考真題）如圖，正方形邊長為1，點(diǎn)E在邊上（不與A，B重合），將沿直線折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，連接，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)P是直線上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；④當(dāng)時(shí)，的面積．其中正確的結(jié)論是_______________．（填寫序號(hào)）4．（2022·黑龍江大慶·中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且正方形的周長是周長的2倍，連接分別與對(duì)角線交于點(diǎn)M，N．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①若，則；②；③若，則；④若，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)為____________．5．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=DF，①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+CF的值是否也最??？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說明理由．6．（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，且．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，設(shè)與相交于點(diǎn)F，與相交于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作的平行線交的延長線于點(diǎn)G，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)三角形（除外），使寫出的每個(gè)三角形的面積都與的面積相等．7．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）同學(xué)們還記得嗎？圖①、圖②是人教版八年級(jí)下冊(cè)教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過的兩個(gè)圖形．受這兩個(gè)圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個(gè)問題，請(qǐng)你回答：(1)【問題一】如圖①，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為_________；(2)【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線、經(jīng)過正方形的對(duì)稱中心，直線分別與、交于點(diǎn)、，直線分別與、交于點(diǎn)、，且，若正方形邊長為8，求四邊形的面積；(3)【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形的頂點(diǎn)在正方形的邊上，頂點(diǎn)在的延長線上，且，．在直線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，求出的長度；若不存在，說明理由．8．（2022·重慶九年級(jí)期中）菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作BE⊥AB交AC于點(diǎn)E．已知點(diǎn)F是AB邊上一點(diǎn)，且BF＝BE，過點(diǎn)F作PF⊥AB交BD延長線于點(diǎn)P，交AD于點(diǎn)Q．(1)如圖（1），若F是AB的中點(diǎn)，且BE＝2，求PD的長；(2)如圖（2），求證：AQ＝BE+PQ；(3)如圖（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．點(diǎn)P是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作BM垂直直線AP于點(diǎn)M．點(diǎn)N是CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出+MN的最小值．9．（2022·遼寧大東·八年級(jí)期末）如圖，在菱形中，，是對(duì)角線上一點(diǎn)，是線段延長線上一點(diǎn)且，連接．（1）如圖，若是線段的中點(diǎn)，連接，其他條件不變，直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，若是線段上任意一點(diǎn)，連接，其他條件不變，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系是什么？并證明你的猜想；（3）如圖，若是線段延長線上一點(diǎn)，其他條件不變，且，菱形的周長為，直接寫出的長度．10．（2022·黑龍江·校八年級(jí)期中）矩形中，連接，于．（1）如圖1，求證：（2）如圖2，延長至點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，求證：（3）如圖3，在（2）的條件下，取的中點(diǎn)，連接、，，，求的長．11．（2022·浙江·寧波市八年級(jí)期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上．老師給出如下定義：如果一個(gè)矩形的其中一邊是另一邊的2倍，那么稱這個(gè)矩形為“和諧矩形”．如圖1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，則矩形ABCD是“和諧矩形”．E是AD邊上任意一點(diǎn)，連接BE，作BE的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)F，G，F(xiàn)G與BE的交點(diǎn)為O，連接BF和EG．（1）試判斯四邊形BFEG的形狀．并說明理由；（2）如圖2，在“和諧矩形”ABCD中，若AB＝2，且AB＜AD，E是邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ABE沿BE折疊．點(diǎn)A落在點(diǎn)從A′處，若A'恰在矩形的對(duì)稱軸上，則AE的長為___；（3）如圖3，記四邊形BFEG的面積為S1，“和諧矩形”BFEG的面職為S2，且＝，若AB＝a（a為常數(shù)），AB＜AD，求FG的長，（用含有a的代數(shù)式表示）．12．（2022·重慶·八年級(jí)期末）（1）如圖1，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線l與邊AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)直線l，猜想直線l旋轉(zhuǎn)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是菱形．證明你的猜想．（2）若將（1）中四邊形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，①如圖2，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)直線l與邊AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)D的對(duì)