專題11.3二項式定理練基礎練基礎1．（2021·河北·藁城新冀明中學高二月考）已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，則自然數n等于（）A．6 B．5 C．4 D．32．（2021·福建寧德·高三期中）對任意實數，有，則（）A．6 B．7C．8 D．103．（2017·全國高考真題（理））(+)(2-)5的展開式中33的系數為（）A.-80 B.-40 C.40 D.804．（2021·上海·閔行中學高三期中）展開式的常數項為20，則實數_____________．5．（2021·上海·曹楊二中高三期中）在的展開式中，二項式系數之和為256，則展開式中項的系數為___________.6．（2021·廣東福田·高三月考）已知多項式，則________．7．（2021·浙江·模擬預測）已知，則___________.8．（2021·浙江·模擬預測）已知，的系數為______；系數最大的項是第______項.9．（2020·上海市浦東中學高三月考）在的二項式中，所有項的二項式系數之和為，則常數項等于__________.10．（2021·山東師范大學附中高三月考）在二項式的展開式中恰好第3項的二項式系數最大，則展開式中的常數項是___________.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·河北·唐山市第十中學高三期中）若，則等于（）A． B． C． D．2.【多選題】（2021·貴州遵義·高二期末（理））將楊輝三角中的每一個數都換成分數，可得到如圖所示的分數三角形，成為“萊布尼茨三角形”，從萊布尼茨三角形可以看出，存在使得，則的值是（）．A． B． C． D．3．【多選題】（2021·湖北武漢·高三期中）已知二項式，則下列說法正確的是（）A．若，則展開式的常數為60B．展開式中有理項的個數為3C．若展開式中各項系數之和為64，則D．展開式中二項式系數最大為第4項4．（2021·全國·模擬預測）的展開式中，項的系數是___________.（用數字作答）5.（2021·浙江·學軍中學高三期中）在的展開式中，所有項的系數和為64，則___________.常數項的系數為___________.6．（2021·河南·高三月考（理））若的展開式中各項系數的和為，則該展開式的常數項為___________.7．（2021·全國·高二課時練習）在楊輝三角中，它的開頭幾行如圖所示，則第______行會出現三個相鄰的數的比為.8．（2021·浙江·模擬預測）二項式的展開式中，常數項為___________，系數最大的項為______________.9．（2021·全國·高二課時練習）求的展開式中的常數項．10．（2021·全國·高二課時練習）求的展開式中含的項．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2019·全國高考真題（理））（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數為（）A．12 B．16 C．20 D．242．（2020·北京高考真題）在的展開式中，的系數為（）．A． B．5 C． D．103．（2020·全國高考真題（理））的展開式中x3y3的系數為（）A．5 B．10C．15 D．204.（2021·北京高考真題）展開式中常數項為__________．5.（2021·浙江高考真題）已知多項式，則___________，___________.6．（2019·浙江高考真題）在二項式的展開式中，常數項是________；系數為有理數的項的個數是_______.專題11.3二項式定理練基礎練基礎1．（2021·河北·藁城新冀明中學高二月考）已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，則自然數n等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】利用賦值法，令即可求解.【詳解】解：因為=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a0+a1+a2+…+an=16，令，則=a0+a1+a2+…+an=16，所以，故選：C.2．（2021·福建寧德·高三期中）對任意實數，有，則（）A．6 B．7C．8 D．10【答案】C【分析】運用二項式定理進行求解即可.【詳解】，因此，故選：C3．（2017·全國高考真題（理））(+)(2-)5的展開式中33的系數為（）A.-80 B.-40 C.40 D.80【答案】C【解析】，由展開式的通項公式可得：當時，展開式中的系數為；當時，展開式中的系數為，則的系數為.4．（2021·上海·閔行中學高三期中）展開式的常數項為20，則實數_____________．【答案】【分析】由二項展開式通項公式寫出常數項，從而可求得參數．【詳解】展開式通項公式為，，，所以，，故答案為：．5．（2021·上海·曹楊二中高三期中）在的展開式中，二項式系數之和為256，則展開式中項的系數為___________.【答案】1120【分析】根據二項式展開式的二項式系數和為,求出n的值,再寫出二項式的通項公式為,當時,即可求出的系數【詳解】展開式的二項式系數之和為展開式的通項公式當時,,即則展開式中的系數為1120故答案為：11206．（2021·廣東福田·高三月考）已知多項式，則________．【答案】【分析】由題意，為的系數，和的展開式中都包含項，利用二項式展開的通項公式，即得解【詳解】由題意，為的系數，和的展開式中都包含項故故故答案為：7．（2021·浙江·模擬預測）已知，則___________.【答案】【分析】由，應用二項式定理求展開式通項，結合題設確定對應的r值，即可求.【詳解】，則展開式通項為，∴時，故答案為：8．（2021·浙江·模擬預測）已知，的系數為______；系數最大的項是第______項.【答案】285【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數為2，求出，從而可求出，利用二項式的性質可求得系數最大的項【詳解】展開式的通項公式為，令，得，所以的系數為，因為的展開式有9項，所以由二項式的性質可知系數最大的項是第5項，故答案為：28，59．（2020·上海市浦東中學高三月考）在的二項式中，所有項的二項式系數之和為，則常數項等于__________.【答案】7【分析】先通過求出n，再通過二項展開式的通項公式，令的次數為即可求出常數項.【詳解】由已知得，解得的展開式的通項公式為，令，得.故常數項為.故答案為：7.10．（2021·山東師范大學附中高三月考）在二項式的展開式中恰好第3項的二項式系數最大，則展開式中的常數項是___________.【答案】6【分析】由已知，根據二項式定理可得,再利用二項展開式的通項公式即可求解【詳解】由已知，展開式中恰好第3項的二項式系數最大可知，.根據二項式定理設第項是常數項，則：=,令,解得,所以常數項是=6故答案為：6練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·河北·唐山市第十中學高三期中）若，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件可知為展開式中的系數，利用二項式定理及組合數的性質即可得出答案.【詳解】解：由已知條件可知為展開式中的系數，則.故選：C.2.【多選題】（2021·貴州遵義·高二期末（理））將楊輝三角中的每一個數都換成分數，可得到如圖所示的分數三角形，成為“萊布尼茨三角形”，從萊布尼茨三角形可以看出，存在使得，則的值是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意由可知是第行的第個數減去下一行的第個數，等于下一行即第行的第個數，結合數圖進行舉例即可得解.【詳解】根據題意可得，即是第行的第個數減去下一行的第個數，等于下一行即第行的第個數，其中，當時，為，當時，為，等等.由圖知是與同一行的右邊一個數，所以是第行的第個數，故.故選：C3．【多選題】（2021·湖北武漢·高三期中）已知二項式，則下列說法正確的是（）A．若，則展開式的常數為60B．展開式中有理項的個數為3C．若展開式中各項系數之和為64，則D．展開式中二項式系數最大為第4項【答案】AD【分析】寫出二項式展開式的通項公式，對4個選項進行分析【詳解】A選項：當時，，其中為整數，且，令，解得：，此時，故常數項為60；A正確；B選項：，其中為整數，且，當時，，當時，，，當時，，，當時，，滿足有理項要求，故有4項，故B錯誤；C選項：令中的得：，所以或，故C錯誤；D選項：展開式共有7項，最中間一項二項式系數最大，而最中間為第4項，所以展開式中二項式系數最大為第4項，D正確故選：AD4．（2021·全國·模擬預測）的展開式中，項的系數是___________.（用數字作答）【答案】65【分析】先寫出的展開式的通項，令與展開式的項相乘，與展開式的常數項相乘，相加即為項，計算系數即可【詳解】由題意，的展開式的通項，令，得，得；令，得，得.故的展開式中，項的系數為.故答案為：655.（2021·浙江·學軍中學高三期中）在的展開式中，所有項的系數和為64，則___________.常數項的系數為___________.【答案】【分析】令，即可得到展開式所有項的系數和，從而求出，再寫出展開式的通項，即可求出展開式中的常數項；【詳解】解：令，則，即，解得；即展開式的通項為，令，即，故展開式中常數項為故答案為：，；6．（2021·河南·高三月考（理））若的展開式中各項系數的和為，則該展開式的常數項為___________.【答案】【分析】根據的展開式中各項系數的和為0，令求得a，再利用通項公式求解.【詳解】因為的展開式中各項系數的和為0，令得，解得，所以的常數項為.故答案為：-1207．（2021·全國·高二課時練習）在楊輝三角中，它的開頭幾行如圖所示，則第______行會出現三個相鄰的數的比為.【答案】63【分析】設第行第個數的比是，列方程求解可得．【詳解】根據題意，設所求的行數為，則存在自然數，使得且，化簡得且，解得，.故第63行會出現滿足條件的三個相鄰的數.故答案為：63．8．（2021·浙江·模擬預測）二項式的展開式中，常數項為___________，系數最大的項為______________.【答案】15【分析】先求得展開式的通項，令x的次數為0求常數項；設系數最大的項為項，由求解.【詳解】展開式的通項為，令，解得，所以，即常數項為15，設系數最大的項為項，則，即，解得，所以系數最大的項為.故答案為：15；9．（2021·全國·高二課時練習）求的展開式中的常數項．【答案】【分析】，寫出通項，令的指數為0，即可求得展開式中的常數項．【詳解】：，則，令，則，．所以常數項為.10．（2021·全國·高二課時練習）求的展開式中含的項．【答案】【分析】根據二項展開式的形式，以及組合數的性質，即可求解.【詳解】由，可得展開式中含的項為：.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2019·全國高考真題（理））（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數為（）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【解析】由題意得x3的系數為，故選A．2．（2020·北京高考真題）在的展開式中，的系數為（）．A． B．5 C． D．10【答案】C【解析】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數為：.故選：C.3．（2020·全國高考真題（理））的展開式中x3y3的系數為（）A．5 B．10C．15 D．20【答案】C【解析】展開式的通項公式為（且）所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項中的系數為，在中，令，可得：，該項中的系數為所以的系數為故選：C4.（