第2章·軸對稱圖形小結與思考學習目標1.整理本章所學知識，構建本章知識框架；2.理解并掌握軸對稱性質和簡單的軸對稱圖形—線段、角、等腰三角形、等邊三角形的性質，并能運用這些性質解決問題.知識框架定義軸對稱軸對稱圖形軸對稱圖形把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸.把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形，這條直線叫對稱軸.軸對稱的性質1.成軸對稱的兩個圖形全等；2.成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線被對稱軸垂直平分.簡單的軸對稱圖形線段角等腰三角形線段的垂直平分線是它的對稱軸線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上角平分線所在的直線是它的對稱軸角平分線上的點到角兩邊的距離相等角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上知識框架頂角平分線所在的直線是它的對稱軸“等邊對等角”、“三線合一”“等角對等邊”直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等腰三角形等邊三角形角平分線所在的直線是它的對稱軸三邊相等、各角都等于60°三角相等的三角形是等邊三角形，有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形直角三角形尺規作圖畫已知圖形的對稱圖形用尺規作線段的垂直平分線已知底邊及底邊上的高作等腰三角形討論交流問題1

軸對稱與軸對稱圖形區別與聯系？軸對稱圖形軸對稱區別

聯系名稱關系本質不同一個具有特殊形狀的圖形兩個圖形之間的對稱關系對象不同一個圖形兩個圖形對稱軸的位置不同過圖形的某條直線在兩個圖形之間對稱軸的數量不同不一定只有一條只有一條對稱軸(1)沿對稱軸折疊，圖形的兩部分重合(2)如果把軸對稱圖形對稱軸兩邊的部分看作兩個圖形，那么這兩個圖形成軸對稱(1)沿對稱軸折疊，兩個圖形重合(2)如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形討論交流問題2

比較線段、角、等腰三角形、等邊三角形的對稱性.線段角等腰三角形等邊三角形圖形

對稱性BCA軸對稱圖形，對稱軸（1條）BCA軸對稱圖形，對稱軸（3條）軸對稱圖形，對稱軸（2條）OBA軸對稱圖形，對稱軸（1條）BA討論交流問題3

比較線段的垂直平分線和角平分線的性質.線段的垂直平分線性質角的平分線的性質圖形結論已知條件lBA●●O●P點P在線段AB的垂直平分線上PA=PBPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PE討論交流問題4

比較等腰三角形和等邊三角形的性質.等腰三角形邊角特殊線

對稱性每一邊上的中線、高和這一邊所對的角的平分線互相重合(三條)三個角都相等，軸對稱圖形對稱軸（3條）等邊三角形軸對稱圖形對稱軸（1條）兩個底角相等底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合(1條)且都是60°兩條邊相等三條邊都相等討論交流問題5

證明線段相等、角相等的常用方法有哪些？

證明線段相等的方法:(1)證明兩個三角形全等;(2)根據垂直平分線的性質證明;(3)根據角平分線的性質證明;(4)根據“等角對等邊”證明;(5)根據直角三角形斜邊上的中線的性質證明.

證明角相等的方法:(1)對頂角相等；(2)證明兩個三角形全等；(3)兩直線平行，同位角(內錯角)相等;(4)同角或等角的余角(補角)相等；(5)根據角平分線的判定證明;(6)根據“等邊對等角”證明.考點分析例1

如圖，陰影部分是由5個大小相同的小正方形組成的圖形，請分別在圖中方格內涂兩個小正方形，使涂后所得陰影部分圖形是軸對稱圖形．考點一軸對稱與軸對稱圖形考點分析例2

如圖，如下圖均為2×2的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1.請分別在四個圖中各畫出一個與△ABC成軸對稱、頂點在格點上，且位置不同的三角形．ABCABCABCABC鞏固練習1.在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“節水”這四個標志中，屬于軸對稱圖形的是(

)B2.在線段、角、圓、等腰三角形、平行四邊形、正方形中不是軸對稱圖形的是______________．平行四邊形鞏固練習3.如圖，方格紙上畫有AB、CD兩條線段，按下列要求作圖(不要求寫出作法)：(1)請你在圖①中畫出線段AB關于線段CD所在直線成軸對稱的圖形；(2)請你在圖②中畫一條線段，使圖中的三條線段組成一個軸對稱圖形，請畫出所有情形.解:(1)如圖①所示.①②ABCDABCD(2)如圖②所示.鞏固練習4.用四塊如圖①所示的瓷磚拼成一個正方形，使拼成的圖案成一個軸對稱圖形，請你分別在圖②、圖③中各畫一種拼法（要求兩種拼法各不相同，可平移和旋轉瓷磚）解：拼法如下：①②③考點分析考點二軸對稱的性質例

如圖所示,已知△ABC和直線l.求作：△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC關于直線MN對稱.(不要求寫作法,只保留作圖痕跡)l

ABCl

ABCl

ABC鞏固練習1.如圖是一個風箏的圖案，它是以直線AF為對稱軸的軸對稱圖形，下列結論中不一定成立的是(

)A．△ABD≌△ACDB．AF垂直平分EGC．直線BG，CE的交點在直線AF上D．△DEG是等邊三角形DABCDEGF2.如圖，將長方形紙片ABCD按如圖方式折疊，使得∠A′EB′=80°,其中EF，EG為折痕，則∠AEF＋∠BEG＝________．50°鞏固練習鞏固練習3.如圖，在△ABC中，D點在BC邊上，將D點分別以AB，AC邊所在直線為對稱軸，畫出對稱點E，F，并連接AE，AF.根據圖中標示的角度，則∠EAF的度數為___________.ABC●D●E●F60°50°140°4.如圖，已知O是∠APB內的一點，M，N分別是點O關于PA，PB的對稱點，MN與PA，PB分別相交于點E，F，已知MN＝5cm.(1)求△OEF的周長；解：(1)∵點M，N分別是O點關于PA，PB的對稱點，∴ME＝EO，FN＝FO.∴△OEF的周長為OE＋EF＋OF＝ME＋EF＋FN

＝MN

＝5(cm)．當堂檢測ABPMENFO4.如圖，已知O是∠APB內的一點，M，N分別是點O關于PA，PB的對稱點，MN與PA，PB分別相交于點E，F，已知MN＝5cm.(2)連接PM、PN，判斷△PMN的形狀，并說明理由；當堂檢測解：(2)連接PO.∵點M，N分別是O點關于PA，PB的對稱點，∴PM＝PO，PO＝PN，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形．ABPMENFO解：(3)∵點M，N分別是O點關于PA，PB的對稱點，∴∠APO＝∠APM，∠BPO＝∠BPN，∵∠APO＋∠BPO＝∠APB＝α，∴∠APM＋∠BPN＝∠APO＋∠BPO

＝∠APB＝α，∴∠MPN＝∠MPA＋∠APO＋∠BPO＋∠BPN

＝α＋α＝2α.4.如圖，已知O是∠APB內的一點，M，N分別是點O關于PA，PB的對稱點，MN與PA，PB分別相交于點E，F，已知MN＝5cm.(3)若∠APB＝α，求∠MPN的度數．(用含α的代數式表示)當堂檢測ABPMENFO考點分析考點三線段的軸對稱性例1已知：如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線l1，l2相交于點O．求證：點O在BC的垂直平分線上．BACOl1l2證明：連接OA、OB、OC.∵點O在AB的垂直平分線上，∴

OA＝OB，（線段垂直平分線上的點與線段兩端距離相等）同理OA＝OC.∴

OB＝OC.∴點O在BC的垂直平分線上（與線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上)

.

例2如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于點E，DE垂直平分AB于點D．求證：BE＋DE＝AC．BACDE證明：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DE＝CE，∴BE＋DE＝AE＋EC＝AC.考點分析考點分析例3用直尺和圓規作圖:如圖，已知∠AOB和C、D兩點，在OB上求作一點P，使PC=PD.解：連接CD，作CD的垂直平分線與OB相交，交點即為所求.ABO●C●D●P鞏固練習1.如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分AC和BC，且分別交AB于M，N兩點，DM與EN相交于點F.(1)若△CMN的周長為15cm，則AB＝________cm；(2)若∠MFN＝65°，則∠MCN＝________．AFCNMBDE15

50°鞏固練習證明：∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB＝AC.∵AB＋BD＝DE，∴AB＋BD＝DC＋CE，∴AC＝CE，∴點C在AE的垂直平分線上．2.如圖，已知AD⊥BC，BD＝DC，AB＋BD＝DE，

求證：點C在AE的垂直平分線上．BACDEaＡＢ3.如圖，已知直線a和直線a同側的兩點A、B，(1)在直線a上求作一點，使得PA=PB;鞏固練習●PaＡＢ(2)在直線a上求作一點，使得PA+PB最小．鞏固練習●A'●P考點分析考點四角的軸對稱性例1

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：DE=DF.ABCDEF證明：∵AB=AC，BD=CD，

∴

AD是∠BAC的平分線.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.例2已知：如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P.

求證：點P在∠C的平分線上.PABDENFMC考點分析證明：分別過點P作PF⊥AB于點F，PM⊥BC于點M，PN⊥AC于點N.∵AD平分∠BAC，點P在AD上，∴PF=PN（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）.同理PF=PM.∴PM=PN，∴點P在∠C的平分線上（角的內部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上）.解：當DE⊥AB時，線段DE的長度最小（根據垂線段最短），∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝3，∴DE＝3，即線段DE

的長度的最小值是3，鞏固練習1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，CD＝3，DB＝5，點E在邊AB上運動，連接DE，則線段DE長度的最小值為

．3BACDE鞏固練習2.如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分線交AD于E，交AB于F，FG⊥BC于G，請猜測AE與FG之間有怎樣的關系，并說明理由．證明：∵CF是∠ACB的平分線，

∠BAC＝90°，FG⊥BC，∴AF＝FG，∠AFC＝∠CED，∵∠AEF＝∠CED，∴∠AEF＝∠AFC，∴AE＝AF，∴AE＝FG，∵AD⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥FG，∴AE＝FG，AE∥FG．BACDEFG3.已知：如圖，P是OC上一點，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，F、G分別是OA、OB上的點，且PF=PG，DF=EG.求證：OC是∠AOB的平分線.OBAECDPFG

鞏固練習4.如圖，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M、N.求證：PM=PN.PMBCNAD

鞏固練習考點分析考點五等腰三角形的軸對稱性例1

如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠C．求證：AB＝BC．BACD證明：如圖，連接AC.∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC.考點分析例2

在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點，∠B=30°，∠DAB=45°.求證：△ADC是等腰三角形.BACD證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°.∵∠C+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.∵∠DAB=45°，∠B=30°,∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°.∴∠DAC=∠ADC.∴DC=AC.∴△ADC是等腰三角形.2.如圖，AOB是一鋼架，且∠AOB=10°，為使鋼架更加堅固，需在其內部添一些鋼管EF、FM、MH……，添加的鋼管長度都與OE相等，添加這樣的鋼管4根時，則∠AHB

的度數為__________.EOFHMBA10°50°1.等腰三角形一個角為36°,它的另外兩個角為____________________.72°,72°或36°,108°鞏固練習鞏固練習3.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交得的銳角為50°，則底角的大小為___________．70°或20°ABCABC注意：當題目未給定三角形的形狀時，一般需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行討論.4.如圖，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N經過點O，且MN∥BC，若AB＝5，△AMN的周長等于12，則AC的長為()A．7 B．6 C．5 D．4ANMCBO解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝5，△AMN的周長等于12，∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，∴AC＝7.鞏固練習A5.已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.如圖，若AD＝AE，

求證：BD＝CE；ACBEDG證明：如圖①，過A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE.鞏固練習鞏固練習6.如圖，在△ABC中，AC＝BC，點D在AB邊上，DE∥AC交BC邊于點E，DF⊥AB，垂足是D，交直線BC于點F.求證：△DEF是等腰三角形．BACDEF證明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∴∠B＝∠BDE.∵FD⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠BDE＋∠EDF＝90°.∵∠B＋∠F＋∠BDF＝180°，∴∠B＋∠F＝90°，∴∠F＝∠EDF，∴DE＝EF，即△DEF是等腰三角形．7.

如圖，在△ABC中，AB=AC，角平分線BD、CE相交于點O.OB與OC相等嗎？請說明理由.ABCOED

鞏固練習BAA8.(1)操作實踐：如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，請畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角形.(請在圖①、圖②中用兩種不同的分割方法畫出來.只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標出相等兩角的度數.)解：(1)如圖所示:BAA45°45°22.5°22.5°①②22.5°22.5°67.5°67.5°鞏固練習鞏固練習(2)分類探究：在△ABC中，最小內角∠B=24°，若△ABC被一直線分割成兩個等腰三角形，請畫出相應示意圖并寫出最大內角的所有可能值；BACDBACDBACDBACD24°24°24°24°78°78°39°39°24°48°48°66°66°24°48°48°84°解：(2)如圖所示:24°鞏固練習(3)猜想發現：若一個三角形能被一直線分割成兩個等腰三角形，需滿足什么條件？(請你至少寫出兩個條件，無需證明)解：(3)若一個三角形能被一直線分割成兩個等腰三角形，需滿足的條件如下：該三角形是直角三角形；該三角形有一個角是最小角的倍；該三角形有一個角是最小角的倍．

例

如圖，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．(1)線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；BCAMN解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.考點分析考點六等邊三角形的軸對稱性(2)AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結論．BCAFEMN(2)△CEF是等邊三角形．證明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等邊三角形．考點