專題05相似三角形中的基本模型之對角互補(bǔ)模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就對角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.對角互補(bǔ)模型（相似模型）【模型解讀】四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補(bǔ)。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向兩邊做垂線，從而證明兩個三角形相似.【常見模型及結(jié)論】1）對角互補(bǔ)相似1 條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，輔助線：過點(diǎn)O作OD⊥AC，垂足為D，過點(diǎn)O作OH⊥BC，垂足為H，結(jié)論：①△ODE～△OHF；②（思路提示：）.2）對角互補(bǔ)相似 2條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.輔助線：作法1：如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥OA，垂足為F，過點(diǎn)C作CG⊥OB，垂足為G；結(jié)論：①△ECG～△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，）輔助線：作法2：如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥OC，交OB于F；結(jié)論：①△CFE～△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，）3）對角互補(bǔ)相似3 條件：已知如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°輔助線：過點(diǎn)D作DE⊥BA，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F；結(jié)論：①△DAE～△DCF；②ABCD四點(diǎn)共圓。例1．（2023·重慶·九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，點(diǎn)P在AC上，PM交AB于點(diǎn)E，PN交BC于點(diǎn)F，當(dāng)PE＝2PF時，AP＝________．【答案】3【分析】如圖作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，設(shè)PQ=4x，則AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解決問題．【詳解】解：如圖作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，PR⊥BC于點(diǎn)R．∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四邊形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴，，，∵PQ//BC，設(shè)PQ＝4x，則AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x＋3x＝3∴，∴AP＝5x＝3．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．例2．（2023·河南南陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在等腰直角中，，，過點(diǎn)作射線，為射線上一點(diǎn)，在邊上（不與重合）且，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：；（3）如果，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)題意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，從而結(jié)合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行線的性質(zhì)得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，從而得到△ADC∽△AEB；（2）根據(jù)題意由相似三角形的性質(zhì)得到AD：AE=AC：AB，轉(zhuǎn)化為AD：AC=AE：AB，結(jié)合∠DAE=∠CAB=45°得證結(jié)果；（3）根據(jù)題意結(jié)合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，從而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求證．【詳解】解：（1）證明：∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，，∴；（2）證明：∵∴，即，∵，∴；（3）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴，又∵，∴，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過線段的比例關(guān)系得到三角形相似．例3．（2023·廣東深圳·校考一模）綜合與實(shí)踐問題情境：在中，，，．直角三角板中，將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊，分別與邊，交于點(diǎn)M，N．

猜想證明：(1)如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)時，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；問題解決：(2)如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，請直接寫出的長；(3)如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，請求出線段的長．【答案】(1)四邊形是矩形，理由見解析(2)(3)【分析】（1）由三角形中位線定理可得，可證，即可求解；（2）由勾股定理可求的長，由中點(diǎn)的性質(zhì)可得的長，由銳角三角函數(shù)可求解；（3）通過證明點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，可得，由直角三角形的性質(zhì)可求的長，即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，理由如下：點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，四邊形是矩形；（2）如圖2，過點(diǎn)作于，

，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，又，，，，；（3）如圖③，連接，，過點(diǎn)作于，

，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了矩形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，圓的有關(guān)知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．例4．（2023年江西省南昌市月考）如圖，兩個全等的四邊形和，其中四邊形的頂點(diǎn)O位于四邊形的對角線交點(diǎn)O．(1)如圖1，若四邊形和都是正方形，則下列說法正確的有_______．（填序號）①；②重疊部分的面積始終等于四邊形的；③．(2)應(yīng)用提升:如圖2，若四邊形和都是矩形，，寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)類比拓展:如圖3，若四邊形和都是菱形，，判斷（1）中的結(jié)論是否依然成立；如不成立，請寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論（可用表示），并選取你所寫結(jié)論中的一個說明理由．【答案】(1)①②③(2)關(guān)系為，證明見解析(3)①成立，②③不成立，正確結(jié)論②重疊部分的面積始終等于四邊形的；③．證明①的過程見解析【詳解】（1）如圖，在圖1中，過點(diǎn)O作于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∵于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∴∵四邊形和都是正方形∴∴∵,∴在和中∴∴故①正確∵∴∴故②正確∵四邊形是正方形∴∴故③正確（2）關(guān)系為，證明如下：如圖，在圖2中，過點(diǎn)O作于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∵于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∴∵四邊形和都是矩形∴∵,∴在和中∴∴（3）（1）中結(jié)論，①成立，②③不成立，正確結(jié)論②重疊部分的面積始終等于四邊形的；③．現(xiàn)證明①如下：如圖，在圖3中，過點(diǎn)O作于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∵于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∴∵四邊形和都是菱形∴∴∵,∴在和中∴∴例5．（2023.遼寧中考模擬）如圖，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)O在線段AB上（點(diǎn)O不與點(diǎn)A，B重合），且OB＝kOA，點(diǎn)M是AC延長線上的一點(diǎn)，作射線OM，將射線OM繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交射線CB于點(diǎn)N．（1）如圖1，當(dāng)k＝1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，當(dāng)k＞1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并證明；（3）點(diǎn)P在射線BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，請直接寫出的值（用含k的式子表示）．【答案】（1）OM＝ON，見解析；（2）ON＝k?OM，見解析；（3）【分析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM≌△EON；（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM∽△EON；（3）設(shè)AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含的代數(shù)式分別表示再利用比例的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：（1）OM＝ON，如圖1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，在Rt△AOD中，，同理：OE＝OB，∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON，在Rt△DOM和Rt△EON中，，∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON．（2）如圖2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，∴，由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON，∴，∴ON＝k?OM．（3）如圖3，設(shè)AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵OB＝k?OA，∴OB＝?a，OA＝?a，∴OE＝OB＝a，∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝＝OE＝?a，∵CE＝OD＝OA＝a，∴NC＝CE＋EN＝a＋?a，由（2）知：，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30°∵，∴，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°，∴PE＝OE＝a，∴PN＝PE＋EN＝a＋?a，設(shè)AD＝OD＝x，∴DM＝，由AD＋DM＝AC＋CM得，（＋1）x＝AC＋CM，∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，∴k＞1∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是作OD⊥AC，OE⊥BC；本題的難點(diǎn)是條件得出k＞1．例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如圖1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC邊上中點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，連接DE，作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，求證：BE＝AF；（2）探索發(fā)現(xiàn)：如圖2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC邊上中點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)E為BA延長線上一點(diǎn)，AE＝1，連接DE，作DF⊥DE交AC延長線于點(diǎn)F，求AF的長；（3）類比遷移：如圖3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC邊上中點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)E為射線BA上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），連接DE，將射線DE繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)30°交射線CA于點(diǎn)F，當(dāng)AE＝4AF時，求AF的長．【答案】（1）見解析；（2）4；（3）或或【分析】（1）證明△BDE≌△ADF（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到BE＝AF；（2）方法同（1），利用全等三角形的性質(zhì)解決問題；（3）證明△EBD∽△DCF，推出，設(shè)AF＝m，則AE＝4m，分三種情形，分別構(gòu)建方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高，∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；（2）解：如圖2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4；（3）解：如圖3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°，∴BD＝CD＝AB?sin60°＝2，∵AE＝4AF，∴可以假設(shè)AF＝m，則AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m，∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴，∴，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m或（舍棄），經(jīng)檢驗(yàn)，m是分式方程的解．當(dāng)點(diǎn)F在CA的延長線上時，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得，∴，解得，m或（舍棄），經(jīng)檢驗(yàn)，m是分式方程的解．當(dāng)點(diǎn)E在射線BA上時，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF，∴，∴解得，m或（舍棄），經(jīng)檢驗(yàn)，m是分式方程的解．綜上所述，滿足條件的AF的值為或或．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023廣東九年級期中）如圖，中，，平分，，連接，并延長分別交，于點(diǎn)和點(diǎn)，若，，則的長為（）A．10 B．12 C．15 D．16【答案】C【分析】由四點(diǎn)共圓，得到，再證明，得到與的比，延長到，使，得到為等邊三角形，在證明出，證出與，利用即可求出．【詳解】解：，，、、、四點(diǎn)共圓，平分，，，，，，，，如圖，延長到，使，，為等邊三角形，，，，設(shè)每一份為，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的應(yīng)用及相似比的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．2．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）在菱形中，，對角線交于點(diǎn)，分別是邊上的點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，則的值為．

【答案】【分析】由菱形的性質(zhì)及可證，得，；由得，，于是，可得，進(jìn)而求得答案．【詳解】∵∴∴∵四邊形是菱形，∴，∴∴∴，又∵∴．，∵∴，∴．設(shè)，則，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用全等及相似得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇揚(yáng)州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，已知△ABC是等邊三角形,D是AC的中點(diǎn),F為AB邊上一點(diǎn),且AF=2BF,E為射線BC上一點(diǎn),∠EDF=120°,則=.【答案】【分析】過D作DG∥BC交AB于G，則DG為△ABC的中位線，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ACB＝∠ABC＝60°，由DG∥BC，得∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD為等邊三角形，而∠EDF＝120°，得∠GDF＝∠CDE，易證得△GDF∽△CDE，所以FG：CE＝DG：DC，即CE：DC＝FG：DG＝FG：AG，設(shè)BF＝x，AF＝2x，則AB＝3x，AG＝1.5x，F(xiàn)G＝1.5x?x＝0.5x，即可得到CE：CD的比值．【詳解】解：過D作DG∥BC交AB于G，如圖，∵D是AC的中點(diǎn)，∴DG為△ABC的中位線，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DCE＝120°，又∵DG∥BC，∴∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD為等邊三角形，∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，∴△GDF∽△CDE，∴FG：CE＝DG：CD，即CE：CD＝FG：DG，而DG＝AG＝BG，AF＝2BF，設(shè)BF＝x，AF＝2x，則AB＝3x，AG＝1.5x，F(xiàn)G＝1.5x?x＝0.5x，∴CE：CD＝FG：DG＝FG：AG＝0.5x：1.5x＝1：3．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三邊相等；三個角都等于60°；也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練應(yīng)用各性質(zhì)進(jìn)行推理計算是解題關(guān)鍵．4．（2023·江蘇揚(yáng)州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，已知△ABC是等邊三角形,D是AC的中點(diǎn),F為AB邊上一點(diǎn),且AF=2BF,E為射線BC上一點(diǎn),∠EDF=120°,則=.【答案】【分析】過D作DG∥BC交AB于G，則DG為△ABC的中位線，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ACB＝∠ABC＝60°，由DG∥BC，得∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD為等邊三角形，而∠EDF＝120°，得∠GDF＝∠CDE，易證得△GDF∽△CDE，所以FG：CE＝DG：DC，即CE：DC＝FG：DG＝FG：AG，設(shè)BF＝x，AF＝2x，則AB＝3x，AG＝1.5x，F(xiàn)G＝1.5x?x＝0.5x，即可得到CE：CD的比值．【詳解】解：過D作DG∥BC交AB于G，如圖，∵D是AC的中點(diǎn)，∴DG為△ABC的中位線，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DCE＝120°，又∵DG∥BC，∴∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD為等邊三角形，∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，∴△GDF∽△CDE，∴FG：CE＝DG：CD，即CE：CD＝FG：DG，而DG＝AG＝BG，AF＝2BF，設(shè)BF＝x，AF＝2x，則AB＝3x，AG＝1.5x，F(xiàn)G＝1.5x?x＝0.5x，∴CE：CD＝FG：DG＝FG：AG＝0.5x：1.5x＝1：3．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三邊相等；三個角都等于60°；也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練應(yīng)用各性質(zhì)進(jìn)行推理計算是解題關(guān)鍵．5．（2023青島版九年級月考）如圖，在中，，，直角的頂點(diǎn)在上，、分別交、于點(diǎn)、，繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)．當(dāng)時，的值為；當(dāng)時，為．（用含的式子表示）【答案】,【詳解】如圖，過點(diǎn)O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由條件可以表示出HO、GO的值，通過證明△PHO∽△QGO由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．解答：解：過點(diǎn)O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，∴∠OHP=∠OGQ=90°．∵∠ACB=90°，∴四邊形HCGO為矩形，∴∠HOG=90°，∴∠HOP=∠GOQ，∴△PHO∽△QGO，∴．∵，設(shè)OA=x，則OB=2x，且∠ABC=30°，∴AH=x，OG=x．在Rt△AHO中，由勾股定理，得OH=x，∴，∴=．故答案為．6．（2023春·浙江嘉興·九年級校考階段練習(xí)）已知一塊含的直角三角板ABC按圖1放置，其中，點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，，．現(xiàn)將點(diǎn)A沿y軸向下滑動，同時點(diǎn)B沿x軸向右滑動，當(dāng)點(diǎn)A滑動至與原點(diǎn)O重合時停止．當(dāng)四邊形為矩形時（如圖2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)A滑動到原點(diǎn)O時，點(diǎn)C經(jīng)過的路徑長為．

【答案】2【分析】在中，求得，的長度，再根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求解；確定出點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，即可求解．【詳解】解：由題意可得：在中，，∴，∴當(dāng)四邊形為矩形，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；作，軸，連接，如下圖：

∵，，∴四邊形為矩形，，∵∴∴∴，即因此點(diǎn)在直線上運(yùn)動，且當(dāng)四邊形為矩形時，點(diǎn)運(yùn)動到最高點(diǎn)，點(diǎn)移動到時，運(yùn)動到最低點(diǎn)，可作圖如下，點(diǎn)運(yùn)動路徑為，三點(diǎn)共線，

∵四邊形為矩形，∴，∵，∴．故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)，通過作輔助線確定出點(diǎn)的運(yùn)動軌跡．7．（2023年河南省周口市一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在菱形中，，，對角線，交于點(diǎn)，，分別是，邊上的點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，則的值為．

【答案】或1【分析】先證，接著在中利用勾股定理求出所需線段的長度，最后利用正切的定義求解．【詳解】解：在菱形中，，∴為等邊三角形，∴，.∵，，∴，∴.如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn).在中，，∴，∴.設(shè)，則，.

在中，，即，解得，.當(dāng)時，，，∴，即，解得，∴，∴.當(dāng)時，，，即，解得，∴，∴綜上可知，的值為或1.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、正切的定義等．綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的幾何推理能力．8．（2023.廣東九年級期中）如圖，在中，，，，，，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時，．【答案】3【分析】如圖作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出==2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，設(shè)PQ=4x，則AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解決問題．【詳解】如圖，作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四邊形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴==2，∴PQ=2PR=2BQ．∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，設(shè)PQ=4x，則AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，∴x=，∴AP=5x=3．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．9．（2023年福建泉州中考數(shù)學(xué)模擬試卷）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=12，AC=16，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上的一動點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動點(diǎn)，且∠PDQ=90°．（1）求ED、EC的長；（2）若BP=2，求CQ的長；（3）若線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為F，當(dāng)△PDF為等腰三角形時，求BP的長．【答案】（1）DE=，CE=；（2）CQ的長為11或14；（3）BP=或．【詳解】分析：（1）先根據(jù)勾股定理求得BC的長，再結(jié)合點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)可得CD的長，然后證得△ABC∽△DEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；（2）分點(diǎn)P在AB邊上和點(diǎn)P在AB的延長線上兩種情況求解即可；（3）先證得△PDF∽△CDQ，因△PDF為等腰三角形可得△CDQ為等腰三角形，再分CQ=CD、QC=QD和DC=DQ三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可.詳解：（1）∵∠A=90°，AB=12，AC=16，∴根據(jù)勾股定理得到，BC==20，∴CD=BC=10，∵DE⊥BC，∴∠A=∠CDE=90°，∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∴DE：AB=CE：CB=CD：CA，即DE：12=CE：20=10：16，∴DE=，CE=；（2）分兩種情況考慮：如圖，∵△CDE∽△CAB，∴∠B=∠DEC，∵∠PDQ=90°，∴∠QDC+∠PDB=90°，∵∠QDC+∠EDQ=90°，∴∠EDQ=∠PDB，∴△PBD∽△QED，∴=，即=，∴EQ=，∴CQ=CE﹣EQ=﹣=11；如圖2，∵∠B=DEC，∴∠PBD=∠QED，∵∠PDQ=90°∴∠BPD+∠QDB=90°，∵∠QDE+∠QDB=90°，∴∠BDP=∠QDE，∴△PBD∽△QED，∴=，即=，∴EQ=，∴CQ=+=14，則CQ的長為11或14；（3）∵線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為點(diǎn)FF，∴點(diǎn)P在邊AB上，∵△BPD∽△EQD，∴====，若設(shè)BP=x，則EQ=x，CQ=﹣x，∵cot∠QPD==，cotC===，∴∠QPD=∠C，∵∠PDE=∠CDQ，∴△PDF∽△CDQ，∵△PDF為等腰三角形，∴△CDQ為等腰三角形，①當(dāng)CQ=CD時，可得：﹣x=10，解得：x=；②當(dāng)QC=QD時，過點(diǎn)Q作QM⊥CB于M，如圖3所示，∴CM=CD=5，∵cos∠C====，∴CQ=，∴﹣x=，解得：x=；③當(dāng)DC=DQ時，過點(diǎn)D作DN⊥CQ于N，如圖4所示，∴CQ=2CN，∵cos∠C===，∴CN=8，∴CQ=16，∴﹣x=16，解得：x=﹣（舍去），∴綜上所述，BP=或．點(diǎn)睛：本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，分類討論思想在解實(shí)際問題的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，解答時運(yùn)用三角函數(shù)值求證三角形的角相等是難點(diǎn)，證明三角形相似是關(guān)鍵．10．（2022春·四川達(dá)州·九年級專題練習(xí)）已知，在中，．（1）如圖1，已知點(diǎn)D在邊上，，連結(jié)．試探究與的關(guān)系；（2）如圖2，已知點(diǎn)D在下方，，連結(jié)．若，，，交于點(diǎn)F，求的長；（3）如圖3，已知點(diǎn)D在下方，連結(jié)、、．若，，，，求的值．【答案】（1），理由見詳解；（2）；（3）【分析】（1）由題意易得，則易證，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求解；（2）過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，由題意易得，，然后可得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得，設(shè)，則，易得，則有，所以，最后問題可求解；（3）將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，過點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，作DT⊥BC于點(diǎn)T，分別過點(diǎn)G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延長線于點(diǎn)M，交AP于點(diǎn)N，由題意易得，，則有，然后可得，設(shè)，，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可求解x的值，然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．【詳解】解：（1），理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖所示：∵，∴△BAC是等腰直角三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，解得：，∴AF=5；（3）將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，過點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，作DT⊥BC于點(diǎn)T，分別過點(diǎn)G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延長線于點(diǎn)M，交AP于點(diǎn)N，如圖所示：∵，，∴△BAC是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∵GM⊥BC，GN⊥AP，AP⊥BC，∴四邊形GMPN是矩形，∴，設(shè)，∴，在Rt△ANG中，，∵，∴，化簡得：，解得：，∵，∴當(dāng)時，易知與相矛盾，∴，∴，∴，∴，∴在Rt△DTC中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．（2023遼寧鐵嶺市中考模擬）如圖，中，，DE垂直平分AB，交線段BC于點(diǎn)E（點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合），點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)G為AB上一點(diǎn)（點(diǎn)G與點(diǎn)A不重合），且．（1）如圖1，當(dāng)時，線段AG和CF的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，當(dāng)時，猜想線段AG和CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（3）若，，，請直接寫出CF的長．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）2.5或5【分析】（1）如圖1，連接AE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）如圖2，連接AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，解直角三角形即可得到；（3）①當(dāng)G在DA上時，如圖3，連接AE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，由三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，過A作于點(diǎn)H由三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．②當(dāng)點(diǎn)G在BD上，如圖4，方法同（1）．【詳解】解：（1）相等，理由：如圖1，連接AE，∵DE垂直平分AB，，，，，，，，，，，，，；故答案為；（2），理由：如圖2，連接AE，，，，∵DE垂直平分AB，，，，，，，，，，，在中，，，，；（3）①當(dāng)G在DA上時，如圖3，連接AE，∵DE垂直平分AB，，，，，，，，，，，，，，，，過A作于點(diǎn)H，，，，，，，，，；②當(dāng)點(diǎn)G在BD上，如圖4，同（1）可得，，，，，，綜上所述，CF的長為2.5或5．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2023西南交通大學(xué)附屬中學(xué)九年級月考）在中，，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一動點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一動點(diǎn)，且．（1）求、的長．（2）若，求的長．（3）記線段與線段的交點(diǎn)為點(diǎn)，若為等腰三角形，求的長．【答案】（1），；（2）或；（3）或【分析】（1）由勾股定理求得BC=10．通過“兩角法”證得△CDE∽△CAB，則對應(yīng)邊成比例DE：AB=CE：CB=CD：CA，由此可以求得DE、CE的值；（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在AB上時，由∠PDQ=90°就可以得出∠2=∠4，就可以證明△PBD∽△QED，就可以EQ的值，從而求得CQ的值；如圖2-1，當(dāng)P點(diǎn)在AB的延長線上時，證明△PBD∽△QED，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；（3）如圖3，4，5由條件可以求出△BPD∽△EQD，就有，設(shè)BP=x，則EQ=，CQ=，由三角函數(shù)值可以得出△PDF∽△CDQ．由△PDF為等腰三角形就可以得出△CDQ為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論就可以求出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，∵，，，∴根據(jù)勾股定理得到，∴．∵．∴，∴∴，即∴，．（2）如圖，∵，∴．∵∴．∵∴，∴，∴，∴，∴，∴．如圖，∵，∴．∵∴．∵∴，∴∴，∴，∴，∴故或．（3）∵線段與線段的交點(diǎn)為點(diǎn)，∴點(diǎn)在邊上∵∴．若設(shè)，則，．∵，，∴∵，∴．∵為等腰三角形，∴為等腰三角形．①當(dāng)時，可得：，解得：．②當(dāng)時，過點(diǎn)作于，∴．∵，∴，∴．∴解得：③當(dāng)時，過點(diǎn)作于，∴．∵∴，∴，∴，∴解得：（舍去）．∴綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，分類討論思想在解實(shí)際問題的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，解答時運(yùn)用三角函數(shù)值求證三角形的角相等是難點(diǎn)，證明三角形相似是關(guān)鍵．13．（2022秋·山西呂梁·九年級校考階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐問題情境：在中，．點(diǎn)在斜邊上運(yùn)動，過點(diǎn)作射線，分別與邊交于點(diǎn)．猜想證明：（1）當(dāng)點(diǎn)在斜邊的中點(diǎn)處時，

①如圖（1），在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)時，與的數(shù)量關(guān)系是______，_______．②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時，的值是否發(fā)生變化？若不變，請證明；若變化，請說明理由．③如圖③，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，直接寫出線段的長_______；類比探究（2）當(dāng)點(diǎn)在斜邊上運(yùn)動時，①如圖④，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到時，_______；②如圖⑤，連接，當(dāng)是等腰三角形時，求的長．【答案】（1）①，；②不變化，證明見解析；③；（2）①；②【分析】（1）①證明四邊形是矩形，求出，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，進(jìn)而可得答案；②如圖②，過點(diǎn)D作，證明，結(jié)合（1）的結(jié)論即可解答；③如圖③，過點(diǎn)D作，同理可證：，設(shè)，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合①②列出方程求解即可；（2）①如圖④，過點(diǎn)D作，利用三角函數(shù)求出，證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案；②當(dāng)是等腰三角形時，由于，故只有，如圖⑤，過點(diǎn)D作，證明，得出，然后設(shè)，利用三角函數(shù)分別用含x的代數(shù)式表示出，進(jìn)而可得關(guān)于x的方程，求解x即可解決問題．【詳解】解：（1）①如圖①，在中，∵，∴，∵點(diǎn)在斜邊的中點(diǎn)，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，∴，∴，，故答案為：，；

②的值不發(fā)生變化，；證明：如圖②，過點(diǎn)D作，垂足分別為點(diǎn)G、H，則，同①的證明可得：，，∵，∴，∴，∴；③如圖③，過點(diǎn)D作，垂足分別為點(diǎn)G、H，同理可證：，∴，設(shè)，由①的結(jié)論可得：，∴，∴，解得：，即；（2）①如圖④，過點(diǎn)D作，垂足分別為點(diǎn)G、H，當(dāng)時，即，∵，∴，，∵，，∴，∴，∴；

②當(dāng)是等腰三角形時，由于，∴只有，如圖⑤，過點(diǎn)D作，垂足分別為點(diǎn)G、H，則，，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∵，，∴，∵，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了勾