PAGE2.1.2學習目標核心素養1.會推斷空間兩直線的位置關系．(易錯點)2.理解兩異面直線的定義，會求兩異面直線所成的角．(難點、易錯點)3.能用公理4解決一些簡潔的相關問題.(重點)1.通過對空間直線位置關系的學習，培育直觀想象的數學核心素養．2.通過求異面直線所成角及公理4的運用，培育邏輯推理、直觀想象的數學核心素養．1．空間直線的位置關系(1)異面直線：不同在任何一個平面內的兩條直線．(2)異面直線的畫法(襯托平面法)如圖①②所示，為了表示異面直線不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面來襯托．①②(3)空間兩條直線的三種位置關系①從是否有公共點的角度來分：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(沒有公共點\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行,異面)),有且僅有一個公共點——相交))②從是否共面的角度來分：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(在同一平面內\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),不同在任何一個平面內——異面))思索：分別在兩個平面內的兩條直線肯定是異面直線嗎？[提示]不肯定.可能平行、相交或異面．2．公理4及定理(1)公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行．符號表示：a∥b，b∥c?a∥c．(2)等角定理：空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．3．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間隨意一點O作直線a′∥a，b′∥b，則異面直線a與b所成的角就是直線a′與b′所成的銳角(或直角).(2)范圍：0°＜θ≤90°．特殊地，當θ＝90°時，a與b相互垂直，記作a⊥b．1．空間隨意兩個角α，β，且α與β的兩邊對應平行，α＝60°，則β為()A．60°B．120°C．30°D．60°或120°D[α與β相等或互補，β為60°或120°，故選D.]2．假如兩條直線a和b沒有公共點，那么a與b的位置關系是()A．共面 B．平行C．異面 D．平行或異面D[平行直線和異面直線都沒有公共點，故應選D.]3．如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′中，異面直線A′B′與BC所成的角為________．異面直線AD′與BC所成的角為________．90°45°[∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即異面直線A′B′與BC所成的角，∴∠A′B′C′＝90°，又BC∥AD，∴∠D′AD是異面直線AD′與BC所成的角，∴∠D′AD＝45°.]空間兩條直線位置關系的判定【例1】(1)如圖為正方體表面的一種綻開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的對數為()A.1B．2C．3D．C[還原的正方體如圖所示，是異面直線的共三對，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.](2)以下選項中，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的是()ABCDC[本題簡潔錯選A或B或D.不能嚴格依據異面直線的定義對兩直線的位置關系作出正確推斷，僅憑主觀臆測和對圖形的模糊相識作出選擇．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故選C.]1．推斷空間中兩條直線位置關系的訣竅(1)建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關系．特殊關注異面直線．(2)重視正方體等常見幾何體模型的應用，會舉例說明兩條直線的位置關系.2．判定兩條直線是異面直線的方法(1)證明兩條直線既不平行又不相交．(2)重要結論：連接平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線．用符號語言可表示為A?α，B∈α，B?l，l?α，則AB與l是異面直線(如圖).eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．(1)一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系是()A．平行或異面 B．相交或異面C．異面 D．相交(2)在空間四邊形ABCD中，E，F分別為對角線AC，BD的中點，則BE與CF的位置關系為()A．平行 B．異面C．相交 D．以上均有可能(1)B(2)B[(1)假設a與b是異面直線，而c∥a，則c明顯與b不平行(否則c∥b，則有a∥b，沖突)；因此c與b可能相交或異面．(2)依據題意畫出圖形如圖，BE與點C在平面ABC內，且BE不過點C，又點F?平面ABC，故BE與CF既不平行也不相交，只能異面．]公理4及等角定理的應用【例2】如圖所示，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E、F、E′、F′分別是AB、BC、A′B′、B′C′的中點．求證：EE′∥FF′.[證明]因為E、E′分別是AB、A′B′的中點，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.所以四邊形EBB′E′是平行四邊形．所以EE′∥BB′，同理可證FF′∥BB′.所以EE′∥FF′.1．證明空間兩條直線平行的方法(1)平面幾何法三角形中位線、平行四邊形的性質等．(2)定義法用定義證明兩條直線平行，要證明兩個方面：一是兩條直線在同一平面內；二是兩條直線沒有公共點．(3)公理4用公理4證明兩條直線平行，只需找到直線b，使得a∥b，同時b∥c，由公理4即可得到a∥c.2．證明兩個角相等或互補的方法(1)利用等角定理．(2)利用三角形全等或相像．eq\a\vs4\al([跟進訓練])2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別為棱CC1，BB1，DD1的中點，試證明：∠BGC＝∠FD1E[證明]因為F為BB1的中點，所以BF＝eq\f(1,2)BB1，因為G為DD1的中點，所以D1G＝eq\f(1,2)DD1.又BB1綊DD1，所以BF綊D1G所以四邊形D1GBF為平行四邊形．所以D1F∥GB，同理D1E∥GC所以∠BGC與∠FD1E的對應邊平行且方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.異面直線所成的角[探究問題]1.已知直線a，b是兩條異面直線，如圖，如何作出這兩條異面直線所成的角？[提示]如圖，在空間中任取一點O，過點O作直線a′∥a，b′∥b，則兩條相交直線a′，b′所成的銳角(或直角)θ，即兩條異面直線a，b所成的角．2．異面直線a與b所成角的大小與什么有關，與點O的位置有關嗎？通常點O取在什么位置？[提示]異面直線a與b所成角的大小只與a，b的相互位置有關，與點O的位置選擇無關，一般狀況下為了簡便，點O常選取在兩條異面直線中的一條上．【例3】如圖，三棱錐A-BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m＞0)，設α為異面直線EF和AC所成的角，β為異面直線EF和BD所成的角，試求α＋β的值.[解]過點F作MF∥BD，交BC于點M，連接ME，則CM∶MB＝CF∶FD＝m，又因為AE∶EB＝CF∶FD＝m，所以CM∶MB＝AE∶EB，所以EM∥AC，所以α＝∠MEF，β＝∠MFE，所以AC與BD所成的角為∠EMF.因為AC⊥BD，所以∠EMF＝90°，所以α＋β＝90°.將本例變為：如圖所示，點A是平面BCD外一點，AD＝BC＝2，E，F分別是AB，CD的中點，且EF＝eq\r(2)，求異面直線AD和BC所成的角．[解]如圖，設G是AC的中點，連接EG，FG.因為E，F分別是AB，CD的中點，故EG∥BC且EG＝eq\f(1,2)BC＝1，FG∥AD，且FG＝eq\f(1,2)AD＝1，即∠EGF為所求角，又EF＝eq\r(2)，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.求兩條異面直線所成的角的一般步驟(1)構造角：依據異面直線的定義，通過作平行線或平移平行線，作出異面直線夾角的相關角．(2)計算角：求角度，常利用三角形．(3)確定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角．1．判定兩直線的位置關系的依據就在于兩直線平行、相交、異面的定義．許多狀況下，定義就是一種常用的判定方法．2．在探討異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角．將空間問題向平面問題轉化，這是我們學習立體幾何的一條重要的思維途徑．須要強調的是，兩條異面直線所成角的范圍為(0°，90°]，解題時常常結合這一點去求異面直線所成角的大小．1．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，則∠A′O′B′為()A．130° B．50°C．130°或50° D．不能確定C[依據定理，∠A′O′B′與∠AOB相等或互補，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.]2．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)直線A1B與直線D1C(2)直線A1B與直線B1C(3)直線D1D與直線D1C(4)直線AB與直線B1C(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面[(1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，所以A1B∥D1(2)直線A1B與直線B1C(3)直線D1D與直線D1C相交于點D1(4)直線AB