考點16解三角形

【考點剖析】

1.最新考試說明：

(1)考查余弦定理、三角形面積公式，考查方程思想、運算能力，是歷年?？純热?

2

【2020年局考全國HI卷文數11】在AABC中，cosC=—,AC=4,BC=3,則tan3=()

3

A.亞B.26C.475D.875

【答案】C

【思路導引】先根據余弦定理求c,再根據余弦定理求cos5,最后根據同角三角函數關系求tanA

2

222

【解析】設AB=c,8C=a,C4=b,c=a+/?-2abcosC=9+16-2x3x4x-=9/.c=3,

3

cosB-a+C——sinB-Jl-(—)2-tanB-4>/5,故選：C.

2ac9V99

【2020年高考全國I卷文數181A43C的內角的對邊分別為a,Z?,c.已知B=150°.

(1)若(1=&加=2不，求AABC的面積；(2)若sin4+百sinC=也，求C.

2

【答案】(1)&；(2)15°.

【思路導引】(1)已知角5和b邊，結合。關系，由余弦定理建立c的方程，求解得出利用面積公

式，即可得出結論；(2)將A=30°—C代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡得出有關。角

的三角函數值，結合C的范圍，即可求解.

【解析】(1)山余弦定理可得。2=28=a2+c2—2ac-cosl5()°=7c2,

:.c=2,a=2A/3,.\AABC的面積S=gacsin6=百.

(2)A+C=30°..,.sinA+>/3sinC=sin(30o-C)+\/3sinC=—cosC+—sinC=sin(C+30°)=—，

222

-.0°<C<30°,30°<C+30°<60°.:.C+30°=45°,.-.C=15o.

【專家解讀】本題考查了余弦定理、三角恒等變換解三角形，考查數學運算學科素養.解題關鍵是熟記有

關公式.

(2)考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀.

[2020年高考全國II卷文數17]△A8C的內角A,B,C的對邊分別為。，》，C,已知④/停+A）+COSA=：.

（1）求A；

⑵若h-c=9L,證明：是直角三角形.

3

TC

【答案】（1）A=一：（2）證明見解析.

3

【思路導引】（1）根據誘導公式和同角三角函數平方關系，cos2（1+A）+cosA=；可化為

5R

1-cos23A+cosA=-,即可解出；（2）根據余弦定理可得Z?2+c2—4=bc，將b—c=代入可找到

43

關系，再根據勾股定理或正弦定理即可證出.

222

【解析】（1）cos1-4-/i|+cosA=-f：.sinA+cosA=—,BP1-cosA4-cosA=—,

UJ444

17T

解得cosA=—,又0<A<%,，A=—.

23

（2）'：A=-,.?.cosA=>+[一/=L即匕一標=歷①，又b-c=&②,將②代入①得,

326c23

Z?2+c2-3（/?-c）2=be,即如2+2<?—5bc=0，而?！礳,解得b=2c,：.a=gc，故。2=a?+c2,

即△ABC是直角三角形.

【專家解讀】本題考查了余弦定理、三角恒等變換解三角形，考查誘導公式及平方關系，考查三角形形狀

的判斷，考查數學運算、邏輯推理等學科素養.解題關鍵是熟記有關公式，進行合理轉化.

（3）考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法.

2

【2020年高考全國HI卷理數7】在△ABC中，cosC=—,AC=4,8C=3,則cos3=（）

3

11cl2

A.-B.-C.—D.一

9323

【答案】A

【思路導引】根據已知條件結合余弦定理求得AB,再根據《?5=空盤1mC,即可求得答案.

2ABBC

2

【解析】??.在AABC中，cosC=-,AC=4,BC=3,

3

2

根據余弦定理：AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosC，AB2=42+32-2x4x3x-,

r,日c"n°AB2+BC2-AC29+9-161_1

可GrAB~=9>即AB=3,cosBn=----------------=---------—,故cos8D=一,故!Z達AA.

2ABBC2x3x399

【專家解讀】本題考查了余弦定理，考查數學運算學科素養.解題關鍵是熟記有關公式.

【2020年高考全國n卷理數171AABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(1)求A；

(2)若BC=3,求△ABC周長的最大值.

24

【答案】⑴y；⑵3+25/3.

【思路導引】(1)利用正弦定理角化邊，配湊出cosA的形式，進而求得A；

(2)利用余弦定理可得到(AC+A8)2—AC-43=9,利用基本不等式可求得AC+AB的最大值，進而

得到結果.

222AC+ABBC

【解析】（1）由正弦定理可得：BC-AC-AB^ACAB，：.cosA=''-'=_1

2ACAB2

〃），A--.

（2）由余弦定理得：BC2^AC2+AB2-2ACABCOSA^AC2+AB2+ACAB=9,

"AC+AB^

即（AC+AB）2-ACA8=9.???ACABV(當且僅當AC=A5時取等號),

、2J

.?.9=（AC+AB）2—AOA8?（AC+A8）2-（^^^）=:（AC+A6『，解得AC+A642G（當且僅

當AC=AB時取等號)，.?.△ABC周長L=AC+AB+BC<3+2百，.1△ABC周長的最大值為3+26.

【專家解讀】本題考查了正弦定理、余弦定理，考查三角形周長最大值的求解問題，考查數學運算、邏輯

推理、數學建模等學科素養.解題關鍵能夠在余弦定理構造的等式中，結合基本不等式構造不等關系求得

最值.

2.命題方向預測：

(1)利用正、余弦定理求三角形中的邊、角及其面積問題是高考考查的熱點.

(2)常與三角恒等變換相結合，綜合考查三角形中的邊與角、三角形形狀的判斷等.

3.課本結論總結：

abc

(1)正弦定理：sinA=sin8=sinC

（2）余弦定理：a1=b2-\-c1—2bccosA,b2=a2+c2—2accosB,c1=a1+b2-2abcosC.

kr+c1—a1cP+c1—b2n2+/>2—c2

余弦定理可以變形為：cosA=2bc?cosB—2ac>cosC—病.

Ill

(3)SAXSC—2a^s>nC=2bcsinA=24csinB

(4)已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況.如已知a,b,A,則

A為鈍角或直

A為銳角

角

*/^\a

圖形品&

ABAB]—8?MB

關系

〃VZ?sinAa=bsinAbsinA<a<ba>ba>ba<b

式

解的

無解一解兩解一解一解無解

個數

（5）常見題型：

在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：（1）已知兩角及任一邊，求其它邊或角；（2）已知兩邊及一邊的對

角，求其它邊或角.情況（2）中結果可能有一解、兩解、無解，應注意區分.

余弦定理可解決兩類問題：（1）已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；（2）己知三邊，求各角.

4.名師二級結論：

（1）在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在AABC

中，A>sinB.

abc

（2）正弦定理的變形：^A=^B=^C=2Rf其中R是三角形外接圓的半徑.

①。：b:c=sinA：sin8：sinC；

②。=2Hsin_A,h=2Rs\n_Bfc=2Rsin_C；

abc

③sinA=永，sinB=詬，sinC=灰等形式，以解決不同的三角形問題.

j_j_j_abcJ

（4）三角形的面積公式：5AABC=2^sinC=，8csinA=%csin8=詬=，3+6+。）蟲/?是三角形外接圓半徑,

，?是三角形內切圓的半徑），并可由此計算R廠

（5）解三角形的常用途徑：

①化邊為角；②化角為邊，并常用正弦（余弦）定理實施邊、角轉換.

5.課本經典習題：

（1）新課標A版第10頁，第B2題（例題）在A4BC中，如果有性質acosA=bcosB,試問這個三角形

的形狀具有什么特點.

【解析】法■：利用正弦定理及acosA=Z?cos6,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B：

■-0<A,B<7r,-.2A=2B或2A+2B=7,即A=B或A+B=萬,所以三角形是等腰三角形或直角三角形.

法二：利用余弦定理及acosA=〃cos6,得〃—土二〃."上一L,化簡得

2hc2ac

(a+bXa-h)(a2+h2-c2)=O,則a=b或/+〃=/,即三角形是等腰三角形或直角三角形.

【經典理山】一題多解，既可利用正弦定理進行求解，也可利用余弦定理進行求解。

新課標A版第25頁，第B3題(例題)研究一下，一個三角形能否同時具有一下兩個性質：

(1)三邊是連續的三個自然數；(2)最大角是最小角的2倍.

qin2/A77+1

【解析】設三角形的三邊長依次為〃一+對應角依次為A氏2A油正弦定理，得^------=——,

sinAn-1

貝(]2cosA=C±L又由余弦定理得(“+D+”——~~9-=巴也，化簡得(〃+4)(〃-1)=(〃+1)2,

n-\〃(〃+1)n-1

解得〃=5,即存在這樣的三角形，邊長依次為4,5,6.

【經典理由】綜合考查解三角形與二倍角公式.

6.考點交匯展示：

(1)與平面幾何相結合

1、【2020年高考江蘇卷16】在AABC中，角A，B，C的對邊分別為4，b,c,已知。=3,c=J5,

3=45°.

【答案】見解析

【解析】(1)由余弦定理，得cos5=cos45°=土上二a==也，

2ac6V22

b6_也R

因此加=5,即b=6，由正弦定理一J=——,得碇=79,因此sinC=9.

smCsinB」一5

2

(2)VcosZA￡)C=一，/.sinZADC=71-cos2ZADC=-,VZAZ)Ce(-,^),ACe(0,-),

5522

cosC=Jl—sin2c=-,：.sinADAC=sin(%-ADAC)=sin(ZAZ)C+ZC)

=sinZAZ)CcosC+cosZ/lDCsinC=—.VZZ)ACe(0,^),cosNZMC=Jl-sin?NZMC=,

25225

【專家解讀】本題考查了正弦定理，考查兩角和與差的三角函數公式，考查數學運算、邏輯推理、數學建

模等學科素養.解題關鍵熟記有關公式，進行合理轉化.

(2)與三角函數的圖像與性質的交匯

1、已知a,b,c為ZMBC的內角4,B,C的對邊，滿足叫上里叫“cosC,函數/(乃=$也3%

sinAcos4

nTI

?>0)在區間［0,予］上單調遞增，在區間寫,記上單調遞減.

TC

(1)證明：b+c=2a；(2)若/?(§)=cos4證明△4BC為等邊三角形.

sin/?+sinC2-cosB-cosC

【解析】(1),?*------；---------=-------------------------,sinBcosA+sinCcosA=2sin4-cosfisin74-cosCsinA

，sinBcos/+cosBsin71+sinCcos/l+cosCsin/1=2sin4

sinG4+B)+sin(/I+C)=2sinAsinC+sinB=2sinA所以8+c=2a

27r4TT37T7T171

(2)由題意知：—=—,解得：0)=-因為/'Q)=sin：=二=cos44W(0,兀),所以4=77,

o)32f9623

k212_21

由余弦定理知cosA=±"r—-n=-，所以屬+c2-a2=bc因為b+c=2a,所以

b4-c

bo24-c2o-(—―)29=be，

jt

即屬+。2-2%=0所以匕=&又4=§,所以△ABC為等邊三角形.

(3)與平面向量的交匯

1、AABC的內角A,B,C所對的邊分別為已知向量而=(cosAb),1=(sinA,a),若瓦反共線，

且8為鈍角.

(1)證明：B-A=g⑵若b=2瓜a=2,求A43C的面積.

【答案】(1)證明見解析；(2)V3.

【解析】(1)證明：:根,〃共線，acosA-/?sinA=0,又由正弦定理得sinAcosA-sin5sinA=0,

\71?Ji冗

BPcosA=sinB.又：8為鈍角，，cosA=sin|[+A|=sin8,3=—+A,即B-A=一：

V2；22

（2）：a=2,/?=26，，2cosA-2百sinA=0，二tanA=走，；?A=[，

36

又3=4+工=也，，C=工，.?.SAABc=La0sinC='x2x2V5x'=6.

236MBC222

2、【2017山東,文17】在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=3,而./=—6，SAW3,求A和a.

【答案】A=二兀,a=j29.

4

【解析】因為與?衣=一6，所以人ccosA=-6,又S^BC=3,所以Z?csinA=6,因此tanA=-l,

3兀

乂0<A<?,所以A=q-,乂/?=3,所以c=2j^，由余弦定理a?=〃2+c、2—2Z>ccosA，

得/=9+8—2?3?2四?（一J）=29，所以。=回.

2

（4）與實際問題的交匯

1、如圖所示，某工廠要設計一個三角形原料，其中A6=Ji4C.

（1）若BC=2,求A48c的面積的最大值；

（2）若AA8C的面積為1,問N84C=6為何值時8C取得最小值.

【答案】（1）&；（2）。=工時，/（。）有最小值，即BC最小.

6

【解析】（D以8C所在直線為x軸，8c的中垂線為y軸建立直角坐標系，則3（—l,0）,C（l,0）,設

A（x,y），由A8=Ji4C得，（x+l『+y2=3[（x_l）2+y2],化簡得（》_2）2+丁2=3.所以A點的軌

跡為以（2,0）為圓心，為半徑的圓.（除去與％軸的交點），所以S1rax=gBC-d=g2?道=Ji.

（2）設AB=c,BC=a,AC=/?,由AB=>/得、c=.

*:S=—bcsxnA-—?V3Z?2sinA,/./sin0-?心b1-

2233sin6

*/a2=b2+c2-2bccosA=4/72-2百。2cosA=——牝。"

3sin6sin。

令/（。）=國亙-也士匹（0,0，/，⑻=也氏"+，=雙1經”乜

3sin6sin。3sin~6sin?。3sin2^

令/⑻=0得cose二日力=看,列表：略????/⑻在收）

上單調遞減,

在序》J上單調遞增，當6=工71時,/（e）有最小值，即最小.

6

【考點分類】

熱點一利用正余弦定理在三角形中求三角函數值、求角、求邊長

1.在△ABC中，角A,3,C的對邊分別為。,b,c,若a=1,6sinAcosC+(6sinC+b)cosA=0,

則角A=（）

2兀兀

A.—B.一

33

_兀5兀

C.一D.——

66

【答案】D

【解析】:。=1,6sinAcosC+G/JsinC+b)cosA=0,.??V3sinAcosC+>/3sinCeosA=-hcosA，

A/3sin(A+C)=5/3sinB=-hcosA,/.>/3tzsinB=-bcosA，由正弦定理可得:

5/3sinAsinB=-sinBcosA，sinB>0,GsinA二一cosA，即tanA=-------，G(0,7i),

3

.5兀

A=—.

6

【名師點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理，兩角和的正弦公式即可，屬尸基礎題.解答本題時,

山GsinAcosC+(6sinC+b)cosA=(),可得、&sin3=-〃cosA，再由正弦定理得到

tanA=-—,結合A￡（0,兀），即可求得A的值.

3

2.【2020年高考天津卷16】在AA5c中，角A,B,C所對的邊分別為a,》,c.已知a=2&力=5,c=g.

（I）求角C的大??；（II）求sinA的值；（III）求sin2A+?的值.

【答案】(1)C=工；(IDsinA=^^；(III)sin(24+三］

413I4J26

【思路導引】（I）直接利用余弦定理運算即可；（H）由（I）及正弦定理即可得到答案;

（III）先計算出5布4854進一步求出豆1124,（：0524再利用兩角和的正弦公式計算即可.

【解析】（1）在AABC中，由a=2&/=5,c=及余弦定理得

…上48+25-1341

2ab2x26x5-2

77

又因為Ce（0,不），所以C=

4

（II）在AABC中，由C=（，a=20,c=屈及正弦定理，可得

2近x也2屈

asinC

sinA=

-7B_-13

（III）由a<c知角A為銳角，由sinA=*3,可得cosA=J1-sin2A=，

125

進而sin2A=2sinAcosA=—,cos2A=2cos2A-l=—,

1313

r...7V.71c-）1205170

所B以rsin（2Ad--）-sin2/1cos—+cos2Asin—=—x-----1----x——=--------

44413213226

【專家解讀】本題考查了正弦定理、余弦定理及其應用，考查三角恒等變換在解三角形中的應用，考查數

學運算、邏輯推理、數學建模等學科素養.解題關鍵熟記有關公式，進行合理轉化.

3.【2019年高考江蘇卷】在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,h,c.

,,l2,、上，……sinACOSJB?.?兀、…

（1）右a=3c,b=yf2,cosB=—,求c的值；（2）右-----=------,求sin（ZjB+一）的值.

3a2h2

【答案】（1）c=—:（2）處.

35

【解析】（1）因為a=3c,b=JIcos8=一，由余弦定理cos3=%上——,

32ac

<?2

得2=（3）2+—（血）2,BpC=~,所以c=1.

32x3cxc33

、…，sinAcosB,丁什-e。bcosBsin5六八.一

（2）因為-----=------,由正弦定理二=-....,得------=-----，所以cos3=2sin3.

a2bsinAsinB2bb

從而cos?B=（2sinB）2,即cos?B=4（l—cos?8）,故cos?8.因為sinB>0,

所以cosB=2sinB>0,從而cosB=35.因此sin（8+￥]=cosB=2.

5I2）5

【名師點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數關系、誘導公式等基礎知識，考查運算

求解能力.

【方法規律】

（1）已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.

（2）已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點,

應引起注意.

（3）已知三功，解三角形，利用余弦定理；

（4）已知兩邊與夾角解三角形，利用余弦定理；

【解題技巧】

在處理解三角形過程中，要注意"整體思想''的運用，可起到事半功倍的效果。

如：在ZiABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程/一26t+2=0的兩個根，且2cos（A+8）=1。求：（1）

角C的度數；（2）AB的長度。

【解析】（1）cosC=cos[〃一（A+8）]=-cos（A+8）=-；/.C=120°

a+b=2y[^

，??.AB2=AC2+BC2-2ACeBCcosC=a2+b2-2tz/?cosl20°

{ab=2

=ci1+h2+ab=（?+Z?）2—ab=（2-73）-2=10,,A3=e

【易錯點睛】

己知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，

應引起注意.

如：在aABC中，a=2A/3，b=2A/2?B=45°,則A等于()

A.30°B.60°C.60?；?20°D.30?；?50°

【解析】由正弦定理，可得隨-=二旦,解得sinA=3；

sinAsin45°2

因為a=2G>b=20，.,.A〉B=所以A=60°或120°，故選C.

4

熱點二利用正余弦定理判斷三角形形狀

1.若(a+〃+c)(b+c—a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,那么2148。是()

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】；(a+b+c(b+c-a)=3bc,/.[(Z?+c)+ci^b4-c)-a]=3bc,(Z?+c)2-a2=3hc,

b2-bc+c2=a2，根據余弦定理有a2=b2+c2-2Z;ccosA，b2-bc+c1=a2=b2+c2-2bccosA，

1SinA

BPbc=2bccosA即cosA=—,，A=60°，又由sinA=2sinBcosC，則-----=2cosA,即

f2sin￡?

f=2。+：j],化簡可得，〃=。2,即力=c,.?.AABC是等邊三角形，故選B.

bI2bcJ

2.AA3C中，若Iga—lgc=lgsin8=—lg正且3e(0,5),則AA8C的形狀是()

A.等邊三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形

【答案】C

【解析】Vlg?-lgc=lgsinB=-lgV2,—=sin8,sinB=.,:B6(0,g),：.B=￡.

c224

_sinA_V2,=0sinA=&sin(^^—C)=>/2(-^-cosC+-^-sinC)，化為

csinC2422

TT7T

cosC=0,vCeCO,萬)，C=-.；.A=1—6—C=—.，AABC是等腰直角三角形.故選C.

24

【方法規律】

依據已知條件中的邊角關系判斷三角形的形狀時，主要有如下兩種方法：

1.利用正、余弦定理把已知條件轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三

角形的形狀；

2.利用正、余弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數間的關系，通過三角函數恒等變形，得出內角的關

系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用A+8+C=兀這個結論.

【解題技巧】

熟練運用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用

如：在AABC中，己知/=。2+02+A，則角人為（）

71712萬1一2萬

A.—B.—C.—D.—或——

36333

【解析】考慮余弦定理的公式特點，則：?.?/=〃+。2+/?￡>,.?.從+。2一/=—"c，

b-+c~-a~—he1)r\tA2萬,,.

則cosA-----------=----=—,又A——，故選14C.

2bc2bc23

【易錯點睛】

在利用正弦定理或余弦定理判定三角形的形狀時，在化簡過程中，要保證等價變形，一定不要漏解。如:

⑴新課標A版第10頁，第B2題（例題）在A4BC中，如果有性質acosA=bcosB,試問這個三角形

的形狀具有什么特點.

【解析】法"：利用正弦定理及acosA=bcosB，得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin28;

rr

???0<A,8〈乃,二24=2呂或2\+28=萬,即4=39+8=,所以三角形是等腰三角形或直角三角形.

：T7

扇42_222_r2

法二：利用余弦定理及acosA=0cos8,得〃?匕三~_匕，化簡得

2bc2ac

（a+"（a—6）（/+〃—。2）=0,則〃=〃旦支〃2+〃2=",即三角形是等腰三角形或直角三角形.

熱點三利用正余弦定理求三角形面積

I.在△ABC中，a、b、。分別是內角A、B、。的對邊，Jix/3Z?cosA=sinA（acosC+ccosA）.

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若q=2百，AA6C的面積為土求△ABC的周長.

4

【答案】（1）A=-；（2）5百?

3

【解析】（1）；V§/?cosA=sinA（〃cosC+ccosA）,

由正弦定理可得石sinBcosA=sinA(sinAcosC+sinCcosA)=sinAsin(A+C)=sinAsinB,

即6$由8<：0524=5皿245抽3,??飛由3力0,???1@114=6，???4￡(0,兀)，??.24=方.

(2)'：A=-,a=2百，△ABC的面積為.?.」Z?csinA=^bc=^,，Ac=5,

34244

222

；.由余弦定理可得：a=b+c-2從cosA，即12="+/一反=(}+。尸-3/7c=3+c>一15,

解得：b+c=3百，??.△ABC的周長為a+Z?+c=2j5+3百=5百.

【名師點睛】本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形的面積公式，余弦定理在解三角

形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題.

(1)由正弦定理，兩角和的正弦函數公式化簡已知等式可得GsinBcosA=sinAsin5，由sin8。0，

可求tanA=百，結合Ae(0,7i),可求A=1.

(2)利用三角形的面積公式可求Ac=5,進而根據余弦定理可得人+c=36，即可計算八45。的周長的

值.

2.【2017課標3,理17WBC的內角A,8,C的對邊分別為a,b,c.己知sinA+geosA=0，a=2g,b=2.

(1)求c；

(2)設。為8C邊上一點，且401AC,求△ABO的面積.

【答案】(l)C=4;

⑵6

【解析】(1)由已知得tanA=—百.所以A=《-,在AA8C中，由余弦定理得

24

28=4+c2-4ccos——，即C2+2C-24=0.解得：c=-6(舍去)，c=4.

3

(2)由題設可得NGLD=W,所以NBHZ>=NBXC-NC4D=￥.

26

1冗

-.IB-.W-sin-

故MBD面積與A4C0面積的比值為J---------色=1.

-ACAD

2

又的面積為：x4x2sinN5/C=2/，所以的面積為石.

【方法規律】

常用三角形的面積公式

①S=-ah

2

②S=—ahs}nC=—bcsinA=—acsinB

222

③S=\p(p-G(p-b)(p-c)=p?r(p是周長的一半,即〃,〃為內切圓半徑);

④S=—(R為外接圓半徑).

4R

【解題技巧】

在解三角形問題時，要注意正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的綜合使用.

如：A4BC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且抄ccosC+c=2?.

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若8。為AC邊上的中線，cosA=‘，50=《畫，求AABC的面積.

72

【答案】(1)5=(.(2)10上.

【解析】(1)2Z?COSC+C=2Q,由正弦定理，得2sinBcosC+sinC=2sinA,

,:A+B+C=乃,:.sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

/.2sinBcosC+sinC=2(sinBcosC+cosBsinC)，.二sinC=2cosBsinC

<0<C<"，.??以sinCw0,，cosB=—.

2

-71

X?'0<JB<7T?B=一.

3

Vi292,久2cb.129h2I,

(2)在415。中，由余弦定理得(z———)x2=c+(—)—2c,—cosAA>??4=c2+——ibe…①,

在A45C中，由正弦定理得一^=二勺，由已知得sinA=生叵.

sinCsinB7

c/o5

/.sinC=sin(A+B)=sinAcosiB+cosAsinB=-----，,:c=-b.......②，

147

仿=7

由①，②解得u，???S“A8C=—besinA=10\/3.

1c=52

【易錯點睛】

在利用面積公式解三角形時，要注意不要漏解.如:

3

已知^ABC的面積為5,且8=2,c=g,則NA等于（）

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

【解析】由三角形的面積公式S=’0csinA,得，x2xJ5sinA=3,解得：sinA=—;

2222

?.?0°<4<180°,所以4=60°或120°.

【熱點預測】

1.已知a,b,c分別是AABC的三個內角A,B,C所對的邊，若b=6三內角A,B,C成等差數列,

則該三角形的外接圓半徑等于（）

A.3B.2C.1D.4

【答案】C

71b

【解析】A,B,C成等差數列，所以8==----=2=>/?=1

sinfisi,n71

3

2.在△ABC中，a,b,。分別為角A，B，。的對邊，若△ABC的面積為S,且4Gs=（。+匕）？—c?,

則sin1C+：J=()

0

A.1RJt).--------

2

c瓜-近DV6+\/2

、44

【答案】D

【解析】由46S=(a+g2—c2,得4百xg"sinC="+〃—,2+2",?.?/+力2_=2abcosC，

；?2ga/?sinC=2a0cosC+2ab，即6sinC-cosC=1，即2sin(c-：]=1,ijii]sinfC--=—,

兀c兀5兀「兀兀rr「兀

V0<C<7T,——<C一一<—,/.C—=-，KJC=一

666663

「兀、.『兀兀、.兀兀71.itJi411V2J6+V2

則sinC+—=sin—+—=sin—cos—+cos—sin—=_^—+—x^—=—~—

I4；U4j34342x2224

IT

3.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b2=a2+bc,A=7則角C等于（）

6

IT71431T3ITTT

A.-B.一或一C.—D.—

64444

【答案】D

222

【解析】在AABC中，由余弦定理，得cosA=+」-a2,即坦=堂士老，...b+c-a=V3bc，又

2bc22bc

____152_j_a2_c2[2口

=a2+be,：?c2+be—、/3bc,c—-l）bvb,a=,2-:.cosC=----------=—:.C=—?

2ab24

4.在AABC中，若siYA+siZBVsir?。，則AABC的形狀是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.不能確定

【答案】A

【解析】因為在AA3C中,滿足sin?A+sinB?<sin?C，由正弦定理知sinA=2,sinB=—,sinC=￡,

2R2R2R

〃2,1,2_2

代入上式得/+》2<。2,又由余弦定理可得cosC=±2―—<0,因為C是三角形的內角，所以