




版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內容提供方,若內容存在侵權,請進行舉報或認領
文檔簡介
考點16解三角形
【考點剖析】
1.最新考試說明:
(1)考查余弦定理、三角形面積公式,考查方程思想、運算能力,是歷年??純热?
2
【2020年局考全國HI卷文數11】在AABC中,cosC=—,AC=4,BC=3,則tan3=()
3
A.亞B.26C.475D.875
【答案】C
【思路導引】先根據余弦定理求c,再根據余弦定理求cos5,最后根據同角三角函數關系求tanA
2
222
【解析】設AB=c,8C=a,C4=b,c=a+/?-2abcosC=9+16-2x3x4x-=9/.c=3,
3
cosB-a+C——sinB-Jl-(—)2-tanB-4>/5,故選:C.
2ac9V99
【2020年高考全國I卷文數181A43C的內角的對邊分別為a,Z?,c.已知B=150°.
(1)若(1=&加=2不,求AABC的面積;(2)若sin4+百sinC=也,求C.
2
【答案】(1)&;(2)15°.
【思路導引】(1)已知角5和b邊,結合。關系,由余弦定理建立c的方程,求解得出利用面積公
式,即可得出結論;(2)將A=30°—C代入已知等式,由兩角差的正弦和輔助角公式,化簡得出有關。角
的三角函數值,結合C的范圍,即可求解.
【解析】(1)山余弦定理可得。2=28=a2+c2—2ac-cosl5()°=7c2,
:.c=2,a=2A/3,.\AABC的面積S=gacsin6=百.
(2)A+C=30°..,.sinA+>/3sinC=sin(30o-C)+\/3sinC=—cosC+—sinC=sin(C+30°)=—,
222
-.0°<C<30°,30°<C+30°<60°.:.C+30°=45°,.-.C=15o.
【專家解讀】本題考查了余弦定理、三角恒等變換解三角形,考查數學運算學科素養.解題關鍵是熟記有
關公式.
(2)考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀.
[2020年高考全國II卷文數17]△A8C的內角A,B,C的對邊分別為。,》,C,已知④/停+A)+COSA=:.
(1)求A;
⑵若h-c=9L,證明:是直角三角形.
3
TC
【答案】(1)A=一:(2)證明見解析.
3
【思路導引】(1)根據誘導公式和同角三角函數平方關系,cos2(1+A)+cosA=;可化為
5R
1-cos23A+cosA=-,即可解出;(2)根據余弦定理可得Z?2+c2—4=bc,將b—c=代入可找到
43
關系,再根據勾股定理或正弦定理即可證出.
222
【解析】(1)cos1-4-/i|+cosA=-f:.sinA+cosA=—,BP1-cosA4-cosA=—,
UJ444
17T
解得cosA=—,又0<A<%,,A=—.
23
(2)':A=-,.?.cosA=>+[一/=L即匕一標=歷①,又b-c=&②,將②代入①得,
326c23
Z?2+c2-3(/?-c)2=be,即如2+2<?—5bc=0,而?!礳,解得b=2c,:.a=gc,故。2=a?+c2,
即△ABC是直角三角形.
【專家解讀】本題考查了余弦定理、三角恒等變換解三角形,考查誘導公式及平方關系,考查三角形形狀
的判斷,考查數學運算、邏輯推理等學科素養.解題關鍵是熟記有關公式,進行合理轉化.
(3)考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法.
2
【2020年高考全國HI卷理數7】在△ABC中,cosC=—,AC=4,8C=3,則cos3=()
3
11cl2
A.-B.-C.—D.一
9323
【答案】A
【思路導引】根據已知條件結合余弦定理求得AB,再根據《?5=空盤1mC,即可求得答案.
2ABBC
2
【解析】??.在AABC中,cosC=-,AC=4,BC=3,
3
2
根據余弦定理:AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosC,AB2=42+32-2x4x3x-,
r,日c"n°AB2+BC2-AC29+9-161_1
可GrAB~=9>即AB=3,cosBn=----------------=---------—,故cos8D=一,故!Z達AA.
2ABBC2x3x399
【專家解讀】本題考查了余弦定理,考查數學運算學科素養.解題關鍵是熟記有關公式.
【2020年高考全國n卷理數171AABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.
(1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周長的最大值.
24
【答案】⑴y;⑵3+25/3.
【思路導引】(1)利用正弦定理角化邊,配湊出cosA的形式,進而求得A;
(2)利用余弦定理可得到(AC+A8)2—AC-43=9,利用基本不等式可求得AC+AB的最大值,進而
得到結果.
222AC+ABBC
【解析】(1)由正弦定理可得:BC-AC-AB^ACAB,:.cosA=''-'=_1
2ACAB2
〃),A--.
(2)由余弦定理得:BC2^AC2+AB2-2ACABCOSA^AC2+AB2+ACAB=9,
"AC+AB^
即(AC+AB)2-ACA8=9.???ACABV(當且僅當AC=A5時取等號),
、2J
.?.9=(AC+AB)2—AOA8?(AC+A8)2-(^^^)=:(AC+A6『,解得AC+A642G(當且僅
當AC=AB時取等號),.?.△ABC周長L=AC+AB+BC<3+2百,.1△ABC周長的最大值為3+26.
【專家解讀】本題考查了正弦定理、余弦定理,考查三角形周長最大值的求解問題,考查數學運算、邏輯
推理、數學建模等學科素養.解題關鍵能夠在余弦定理構造的等式中,結合基本不等式構造不等關系求得
最值.
2.命題方向預測:
(1)利用正、余弦定理求三角形中的邊、角及其面積問題是高考考查的熱點.
(2)常與三角恒等變換相結合,綜合考查三角形中的邊與角、三角形形狀的判斷等.
3.課本結論總結:
abc
(1)正弦定理:sinA=sin8=sinC
(2)余弦定理:a1=b2-\-c1—2bccosA,b2=a2+c2—2accosB,c1=a1+b2-2abcosC.
kr+c1—a1cP+c1—b2n2+/>2—c2
余弦定理可以變形為:cosA=2bc?cosB—2ac>cosC—病.
Ill
(3)SAXSC—2a^s>nC=2bcsinA=24csinB
(4)已知兩邊和其中一邊的對角,解三角形時,注意解的情況.如已知a,b,A,則
A為鈍角或直
A為銳角
角
*/^\a
圖形品&
ABAB]—8?MB
關系
〃VZ?sinAa=bsinAbsinA<a<ba>ba>ba<b
式
解的
無解一解兩解一解一解無解
個數
(5)常見題型:
在解三角形時,正弦定理可解決兩類問題:(1)已知兩角及任一邊,求其它邊或角;(2)已知兩邊及一邊的對
角,求其它邊或角.情況(2)中結果可能有一解、兩解、無解,應注意區分.
余弦定理可解決兩類問題:(1)已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角;(2)己知三邊,求各角.
4.名師二級結論:
(1)在三角形中,大角對大邊,大邊對大角;大角的正弦值也較大,正弦值較大的角也較大,即在AABC
中,A>sinB.
abc
(2)正弦定理的變形:^A=^B=^C=2Rf其中R是三角形外接圓的半徑.
①。:b:c=sinA:sin8:sinC;
②。=2Hsin_A,h=2Rs\n_Bfc=2Rsin_C;
abc
③sinA=永,sinB=詬,sinC=灰等形式,以解決不同的三角形問題.
j_j_j_abcJ
(4)三角形的面積公式:5AABC=2^sinC=,8csinA=%csin8=詬=,3+6+。)蟲/?是三角形外接圓半徑,
,?是三角形內切圓的半徑),并可由此計算R廠
(5)解三角形的常用途徑:
①化邊為角;②化角為邊,并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉換.
5.課本經典習題:
(1)新課標A版第10頁,第B2題(例題)在A4BC中,如果有性質acosA=bcosB,試問這個三角形
的形狀具有什么特點.
【解析】法■:利用正弦定理及acosA=Z?cos6,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B:
■-0<A,B<7r,-.2A=2B或2A+2B=7,即A=B或A+B=萬,所以三角形是等腰三角形或直角三角形.
法二:利用余弦定理及acosA=〃cos6,得〃—土二〃."上一L,化簡得
2hc2ac
(a+bXa-h)(a2+h2-c2)=O,則a=b或/+〃=/,即三角形是等腰三角形或直角三角形.
【經典理山】一題多解,既可利用正弦定理進行求解,也可利用余弦定理進行求解。
新課標A版第25頁,第B3題(例題)研究一下,一個三角形能否同時具有一下兩個性質:
(1)三邊是連續的三個自然數;(2)最大角是最小角的2倍.
qin2/A77+1
【解析】設三角形的三邊長依次為〃一+對應角依次為A氏2A油正弦定理,得^------=——,
sinAn-1
貝(]2cosA=C±L又由余弦定理得(“+D+”——~~9-=巴也,化簡得(〃+4)(〃-1)=(〃+1)2,
n-\〃(〃+1)n-1
解得〃=5,即存在這樣的三角形,邊長依次為4,5,6.
【經典理由】綜合考查解三角形與二倍角公式.
6.考點交匯展示:
(1)與平面幾何相結合
1、【2020年高考江蘇卷16】在AABC中,角A,B,C的對邊分別為4,b,c,已知。=3,c=J5,
3=45°.
【答案】見解析
【解析】(1)由余弦定理,得cos5=cos45°=土上二a==也,
2ac6V22
b6_也R
因此加=5,即b=6,由正弦定理一J=——,得碇=79,因此sinC=9.
smCsinB」一5
2
(2)VcosZA£)C=一,/.sinZADC=71-cos2ZADC=-,VZAZ)Ce(-,^),ACe(0,-),
5522
cosC=Jl—sin2c=-,:.sinADAC=sin(%-ADAC)=sin(ZAZ)C+ZC)
=sinZAZ)CcosC+cosZ/lDCsinC=—.VZZ)ACe(0,^),cosNZMC=Jl-sin?NZMC=,
25225
【專家解讀】本題考查了正弦定理,考查兩角和與差的三角函數公式,考查數學運算、邏輯推理、數學建
模等學科素養.解題關鍵熟記有關公式,進行合理轉化.
(2)與三角函數的圖像與性質的交匯
1、已知a,b,c為ZMBC的內角4,B,C的對邊,滿足叫上里叫“cosC,函數/(乃=$也3%
sinAcos4
nTI
?>0)在區間[0,予]上單調遞增,在區間寫,記上單調遞減.
TC
(1)證明:b+c=2a;(2)若/?(§)=cos4證明△4BC為等邊三角形.
sin/?+sinC2-cosB-cosC
【解析】(1),?*------;---------=-------------------------,sinBcosA+sinCcosA=2sin4-cosfisin74-cosCsinA
,sinBcos/+cosBsin71+sinCcos/l+cosCsin/1=2sin4
sinG4+B)+sin(/I+C)=2sinAsinC+sinB=2sinA所以8+c=2a
27r4TT37T7T171
(2)由題意知:—=—,解得:0)=-因為/'Q)=sin:=二=cos44W(0,兀),所以4=77,
o)32f9623
k212_21
由余弦定理知cosA=±"r—-n=-,所以屬+c2-a2=bc因為b+c=2a,所以
b4-c
bo24-c2o-(—―)29=be,
jt
即屬+。2-2%=0所以匕=&又4=§,所以△ABC為等邊三角形.
(3)與平面向量的交匯
1、AABC的內角A,B,C所對的邊分別為已知向量而=(cosAb),1=(sinA,a),若瓦反共線,
且8為鈍角.
(1)證明:B-A=g⑵若b=2瓜a=2,求A43C的面積.
【答案】(1)證明見解析;(2)V3.
【解析】(1)證明::根,〃共線,acosA-/?sinA=0,又由正弦定理得sinAcosA-sin5sinA=0,
\71?Ji冗
BPcosA=sinB.又:8為鈍角,,cosA=sin|[+A|=sin8,3=—+A,即B-A=一:
V2;22
(2):a=2,/?=26,,2cosA-2百sinA=0,二tanA=走,;?A=[,
36
又3=4+工=也,,C=工,.?.SAABc=La0sinC='x2x2V5x'=6.
236MBC222
2、【2017山東,文17】在AABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=3,而./=—6,SAW3,求A和a.
【答案】A=二兀,a=j29.
4
【解析】因為與?衣=一6,所以人ccosA=-6,又S^BC=3,所以Z?csinA=6,因此tanA=-l,
3兀
乂0<A<?,所以A=q-,乂/?=3,所以c=2j^,由余弦定理a?=〃2+c、2—2Z>ccosA,
得/=9+8—2?3?2四?(一J)=29,所以。=回.
2
(4)與實際問題的交匯
1、如圖所示,某工廠要設計一個三角形原料,其中A6=Ji4C.
(1)若BC=2,求A48c的面積的最大值;
(2)若AA8C的面積為1,問N84C=6為何值時8C取得最小值.
【答案】(1)&;(2)。=工時,/(。)有最小值,即BC最小.
6
【解析】(D以8C所在直線為x軸,8c的中垂線為y軸建立直角坐標系,則3(—l,0),C(l,0),設
A(x,y),由A8=Ji4C得,(x+l『+y2=3[(x_l)2+y2],化簡得(》_2)2+丁2=3.所以A點的軌
跡為以(2,0)為圓心,為半徑的圓.(除去與%軸的交點),所以S1rax=gBC-d=g2?道=Ji.
(2)設AB=c,BC=a,AC=/?,由AB=>/得、c=.
*:S=—bcsxnA-—?V3Z?2sinA,/./sin0-?心b1-
2233sin6
*/a2=b2+c2-2bccosA=4/72-2百。2cosA=——牝。"
3sin6sin。
令/(。)=國亙-也士匹(0,0,/,⑻=也氏"+,=雙1經”乜
3sin6sin。3sin~6sin?。3sin2^
令/⑻=0得cose二日力=看,列表:略????/⑻在收)
上單調遞減,
在序》J上單調遞增,當6=工71時,/(e)有最小值,即最小.
6
【考點分類】
熱點一利用正余弦定理在三角形中求三角函數值、求角、求邊長
1.在△ABC中,角A,3,C的對邊分別為。,b,c,若a=1,6sinAcosC+(6sinC+b)cosA=0,
則角A=()
2兀兀
A.—B.一
33
_兀5兀
C.一D.——
66
【答案】D
【解析】:。=1,6sinAcosC+G/JsinC+b)cosA=0,.??V3sinAcosC+>/3sinCeosA=-hcosA,
A/3sin(A+C)=5/3sinB=-hcosA,/.>/3tzsinB=-bcosA,由正弦定理可得:
5/3sinAsinB=-sinBcosA,sinB>0,GsinA二一cosA,即tanA=-------,G(0,7i),
3
.5兀
A=—.
6
【名師點睛】本題主要考查解三角形,熟記正弦定理,兩角和的正弦公式即可,屬尸基礎題.解答本題時,
山GsinAcosC+(6sinC+b)cosA=(),可得、&sin3=-〃cosA,再由正弦定理得到
tanA=-—,結合A£(0,兀),即可求得A的值.
3
2.【2020年高考天津卷16】在AA5c中,角A,B,C所對的邊分別為a,》,c.已知a=2&力=5,c=g.
(I)求角C的大??;(II)求sinA的值;(III)求sin2A+?的值.
【答案】(1)C=工;(IDsinA=^^;(III)sin(24+三]
413I4J26
【思路導引】(I)直接利用余弦定理運算即可;(H)由(I)及正弦定理即可得到答案;
(III)先計算出5布4854進一步求出豆1124,(:0524再利用兩角和的正弦公式計算即可.
【解析】(1)在AABC中,由a=2&/=5,c=及余弦定理得
…上48+25-1341
2ab2x26x5-2
77
又因為Ce(0,不),所以C=
4
(II)在AABC中,由C=(,a=20,c=屈及正弦定理,可得
2近x也2屈
asinC
sinA=
-7B_-13
(III)由a<c知角A為銳角,由sinA=*3,可得cosA=J1-sin2A=,
125
進而sin2A=2sinAcosA=—,cos2A=2cos2A-l=—,
1313
r...7V.71c-)1205170
所B以rsin(2Ad--)-sin2/1cos—+cos2Asin—=—x-----1----x——=--------
44413213226
【專家解讀】本題考查了正弦定理、余弦定理及其應用,考查三角恒等變換在解三角形中的應用,考查數
學運算、邏輯推理、數學建模等學科素養.解題關鍵熟記有關公式,進行合理轉化.
3.【2019年高考江蘇卷】在AABC中,角A,B,C的對邊分別為a,h,c.
,,l2,、上,……sinACOSJB?.?兀、…
(1)右a=3c,b=yf2,cosB=—,求c的值;(2)右-----=------,求sin(ZjB+一)的值.
3a2h2
【答案】(1)c=—:(2)處.
35
【解析】(1)因為a=3c,b=JIcos8=一,由余弦定理cos3=%上——,
32ac
<?2
得2=(3)2+—(血)2,BpC=~,所以c=1.
32x3cxc33
、…,sinAcosB,丁什-e。bcosBsin5六八.一
(2)因為-----=------,由正弦定理二=-....,得------=-----,所以cos3=2sin3.
a2bsinAsinB2bb
從而cos?B=(2sinB)2,即cos?B=4(l—cos?8),故cos?8.因為sinB>0,
所以cosB=2sinB>0,從而cosB=35.因此sin(8+¥]=cosB=2.
5I2)5
【名師點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數關系、誘導公式等基礎知識,考查運算
求解能力.
【方法規律】
(1)已知兩角一邊可求第三角,解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.
(2)已知兩邊和一邊對角,解三角形時,利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角,這是解題的難點,
應引起注意.
(3)已知三功,解三角形,利用余弦定理;
(4)已知兩邊與夾角解三角形,利用余弦定理;
【解題技巧】
在處理解三角形過程中,要注意"整體思想''的運用,可起到事半功倍的效果。
如:在ZiABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程/一26t+2=0的兩個根,且2cos(A+8)=1。求:(1)
角C的度數;(2)AB的長度。
【解析】(1)cosC=cos[〃一(A+8)]=-cos(A+8)=-;/.C=120°
a+b=2y[^
,??.AB2=AC2+BC2-2ACeBCcosC=a2+b2-2tz/?cosl20°
{ab=2
=ci1+h2+ab=(?+Z?)2—ab=(2-73)-2=10,,A3=e
【易錯點睛】
己知兩邊和一邊對角,解三角形時,利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角,這是解題的難點,
應引起注意.
如:在aABC中,a=2A/3,b=2A/2?B=45°,則A等于()
A.30°B.60°C.60?;?20°D.30?;?50°
【解析】由正弦定理,可得隨-=二旦,解得sinA=3;
sinAsin45°2
因為a=2G>b=20,.,.A〉B=所以A=60°或120°,故選C.
4
熱點二利用正余弦定理判斷三角形形狀
1.若(a+〃+c)(b+c—a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,那么2148。是()
A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形
【答案】B
【解析】;(a+b+c(b+c-a)=3bc,/.[(Z?+c)+ci^b4-c)-a]=3bc,(Z?+c)2-a2=3hc,
b2-bc+c2=a2,根據余弦定理有a2=b2+c2-2Z;ccosA,b2-bc+c1=a2=b2+c2-2bccosA,
1SinA
BPbc=2bccosA即cosA=—,,A=60°,又由sinA=2sinBcosC,則-----=2cosA,即
f2sin£?
f=2。+:j],化簡可得,〃=。2,即力=c,.?.AABC是等邊三角形,故選B.
bI2bcJ
2.AA3C中,若Iga—lgc=lgsin8=—lg正且3e(0,5),則AA8C的形狀是()
A.等邊三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形
【答案】C
【解析】Vlg?-lgc=lgsinB=-lgV2,—=sin8,sinB=.,:B6(0,g),:.B=£.
c224
_sinA_V2,=0sinA=&sin(^^—C)=>/2(-^-cosC+-^-sinC),化為
csinC2422
TT7T
cosC=0,vCeCO,萬),C=-.;.A=1—6—C=—.,AABC是等腰直角三角形.故選C.
24
【方法規律】
依據已知條件中的邊角關系判斷三角形的形狀時,主要有如下兩種方法:
1.利用正、余弦定理把已知條件轉化為邊邊關系,通過因式分解、配方等得出邊的相應關系,從而判斷三
角形的形狀;
2.利用正、余弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數間的關系,通過三角函數恒等變形,得出內角的關
系,從而判斷出三角形的形狀,此時要注意應用A+8+C=兀這個結論.
【解題技巧】
熟練運用余弦定理及其推論,同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用
如:在AABC中,己知/=。2+02+A,則角人為()
71712萬1一2萬
A.—B.—C.—D.—或——
36333
【解析】考慮余弦定理的公式特點,則:?.?/=〃+。2+/?£>,.?.從+。2一/=—"c,
b-+c~-a~—he1)r\tA2萬,,.
則cosA-----------=----=—,又A——,故選14C.
2bc2bc23
【易錯點睛】
在利用正弦定理或余弦定理判定三角形的形狀時,在化簡過程中,要保證等價變形,一定不要漏解。如:
⑴新課標A版第10頁,第B2題(例題)在A4BC中,如果有性質acosA=bcosB,試問這個三角形
的形狀具有什么特點.
【解析】法":利用正弦定理及acosA=bcosB,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin28;
rr
???0<A,8〈乃,二24=2呂或2\+28=萬,即4=39+8=,所以三角形是等腰三角形或直角三角形.
:T7
扇42_222_r2
法二:利用余弦定理及acosA=0cos8,得〃?匕三~_匕,化簡得
2bc2ac
(a+"(a—6)(/+〃—。2)=0,則〃=〃旦支〃2+〃2=",即三角形是等腰三角形或直角三角形.
熱點三利用正余弦定理求三角形面積
I.在△ABC中,a、b、。分別是內角A、B、。的對邊,Jix/3Z?cosA=sinA(acosC+ccosA).
(1)求角A的大?。?/p>
(2)若q=2百,AA6C的面積為土求△ABC的周長.
4
【答案】(1)A=-;(2)5百?
3
【解析】(1);V§/?cosA=sinA(〃cosC+ccosA),
由正弦定理可得石sinBcosA=sinA(sinAcosC+sinCcosA)=sinAsin(A+C)=sinAsinB,
即6$由8<:0524=5皿245抽3,??飛由3力0,???1@114=6,???4£(0,兀),??.24=方.
(2)':A=-,a=2百,△ABC的面積為.?.」Z?csinA=^bc=^,,Ac=5,
34244
222
;.由余弦定理可得:a=b+c-2從cosA,即12="+/一反=(}+。尸-3/7c=3+c>一15,
解得:b+c=3百,??.△ABC的周長為a+Z?+c=2j5+3百=5百.
【名師點睛】本題主要考查了正弦定理,兩角和的正弦函數公式,三角形的面積公式,余弦定理在解三角
形中的綜合應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于基礎題.
(1)由正弦定理,兩角和的正弦函數公式化簡已知等式可得GsinBcosA=sinAsin5,由sin8。0,
可求tanA=百,結合Ae(0,7i),可求A=1.
(2)利用三角形的面積公式可求Ac=5,進而根據余弦定理可得人+c=36,即可計算八45。的周長的
值.
2.【2017課標3,理17WBC的內角A,8,C的對邊分別為a,b,c.己知sinA+geosA=0,a=2g,b=2.
(1)求c;
(2)設。為8C邊上一點,且401AC,求△ABO的面積.
【答案】(l)C=4;
⑵6
【解析】(1)由已知得tanA=—百.所以A=《-,在AA8C中,由余弦定理得
24
28=4+c2-4ccos——,即C2+2C-24=0.解得:c=-6(舍去),c=4.
3
(2)由題設可得NGLD=W,所以NBHZ>=NBXC-NC4D=¥.
26
1冗
-.IB-.W-sin-
故MBD面積與A4C0面積的比值為J---------色=1.
-ACAD
2
又的面積為:x4x2sinN5/C=2/,所以的面積為石.
【方法規律】
常用三角形的面積公式
①S=-ah
2
②S=—ahs}nC=—bcsinA=—acsinB
222
③S=\p(p-G(p-b)(p-c)=p?r(p是周長的一半,即〃,〃為內切圓半徑);
④S=—(R為外接圓半徑).
4R
【解題技巧】
在解三角形問題時,要注意正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的綜合使用.
如:A4BC中,角A,B,C的對邊分別為。,b,c,且抄ccosC+c=2?.
(1)求角8的大?。?/p>
(2)若8。為AC邊上的中線,cosA=‘,50=《畫,求AABC的面積.
72
【答案】(1)5=(.(2)10上.
【解析】(1)2Z?COSC+C=2Q,由正弦定理,得2sinBcosC+sinC=2sinA,
,:A+B+C=乃,:.sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,
/.2sinBcosC+sinC=2(sinBcosC+cosBsinC),.二sinC=2cosBsinC
<0<C<",.??以sinCw0,,cosB=—.
2
-71
X?'0<JB<7T?B=一.
3
Vi292,久2cb.129h2I,
(2)在415。中,由余弦定理得(z———)x2=c+(—)—2c,—cosAA>??4=c2+——ibe…①,
在A45C中,由正弦定理得一^=二勺,由已知得sinA=生叵.
sinCsinB7
c/o5
/.sinC=sin(A+B)=sinAcosiB+cosAsinB=-----,,:c=-b.......②,
147
仿=7
由①,②解得u,???S“A8C=—besinA=10\/3.
1c=52
【易錯點睛】
在利用面積公式解三角形時,要注意不要漏解.如:
3
已知^ABC的面積為5,且8=2,c=g,則NA等于()
A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°
【解析】由三角形的面積公式S=’0csinA,得,x2xJ5sinA=3,解得:sinA=—;
2222
?.?0°<4<180°,所以4=60°或120°.
【熱點預測】
1.已知a,b,c分別是AABC的三個內角A,B,C所對的邊,若b=6三內角A,B,C成等差數列,
則該三角形的外接圓半徑等于()
A.3B.2C.1D.4
【答案】C
71b
【解析】A,B,C成等差數列,所以8==----=2=>/?=1
sinfisi,n71
3
2.在△ABC中,a,b,。分別為角A,B,。的對邊,若△ABC的面積為S,且4Gs=(。+匕)?—c?,
則sin1C+:J=()
0
A.1RJt).--------
2
c瓜-近DV6+\/2
、44
【答案】D
【解析】由46S=(a+g2—c2,得4百xg"sinC="+〃—,2+2",?.?/+力2_=2abcosC,
;?2ga/?sinC=2a0cosC+2ab,即6sinC-cosC=1,即2sin(c-:]=1,ijii]sinfC--=—,
兀c兀5兀「兀兀rr「兀
V0<C<7T,——<C一一<—,/.C—=-,KJC=一
666663
「兀、.『兀兀、.兀兀71.itJi411V2J6+V2
則sinC+—=sin—+—=sin—cos—+cos—sin—=_^—+—x^—=—~—
I4;U4j34342x2224
IT
3.在AABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b2=a2+bc,A=7則角C等于()
6
IT71431T3ITTT
A.-B.一或一C.—D.—
64444
【答案】D
222
【解析】在AABC中,由余弦定理,得cosA=+」-a2,即坦=堂士老,...b+c-a=V3bc,又
2bc22bc
____152_j_a2_c2[2口
=a2+be,:?c2+be—、/3bc,c—-l)bvb,a=,2-:.cosC=----------=—:.C=—?
2ab24
4.在AABC中,若siYA+siZBVsir?。,則AABC的形狀是()
A.鈍角三角形B.直角三角形
C.銳角三角形D.不能確定
【答案】A
【解析】因為在AA3C中,滿足sin?A+sinB?<sin?C,由正弦定理知sinA=2,sinB=—,sinC=£,
2R2R2R
〃2,1,2_2
代入上式得/+》2<。2,又由余弦定理可得cosC=±2―—<0,因為C是三角形的內角,所以
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業或盈利用途。
- 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 俱樂部人員轉讓協議書
- 項目銷售代理協議書
- 車輛托管合同協議書
- 餐具合同解除協議書
- 餐飲分紅股份協議書
- 車輛事故賠付協議書
- 高架施工補償協議書
- Brand KPIs for second-hand apparel online shops Garimpário Brechó Online in Brazil-外文版培訓課件(2025.2)
- 餐廳股份收購協議書
- 車輛買賣無責協議書
- 安徽省1號卷A10聯盟2025屆高三5月最后一卷化學試題及答案
- 設計合作月結協議書
- 2022《農產品質量安全法》全文解讀與學習
- 2025屆河北省邢臺市清河中學高三下學期5月模擬物理試卷(原卷版+解析版)
- 2025年全國保密教育線上培訓考試試題庫附參考答案(鞏固)帶答案詳解
- 【部編版】六年級語文下冊《語文園地五》精美課件
- 2024年不動產登記代理人《地籍調查》考試題庫大全(含真題、典型題)
- 2024年秋《MySQL數據庫應用》形考 實驗訓練1 在MySQL中創建數據庫和表答案
- 2024年《體育基礎理論》考試題庫(含答案)
- 火針操作規范
- 古建筑保護和修復建設工程項目立項申請書(可編輯)
評論
0/150
提交評論