專題01圓的基本性質+垂徑定理考點類型知識串講（一）圓的相關概念（1）圓的概念：在一個平面內，線段繞它固定的一個端點旋轉一周，另一個端點所形成的圖形叫圓．這個固定的端點叫做圓心，線段叫做半徑．以點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．特點：圓是在一個平面內，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形．（2）確定圓的條件：①圓心；②半徑，③其中圓心確定圓的位置，半徑長確定圓的大小．（3）相關概念同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；等圓：半徑相等的圓叫做等圓．（二）垂徑定理及其推論（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧（2）推論：①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧②弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧③圓的兩條平行弦所夾的弧相等（3）常見輔助線做法：①過圓心，作垂線，連半徑，造，用勾股，求長度（多為方程勾股）；②有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分．考點訓練考點1：圓的相關概念典例1：（2023·福建·九年級專題練習）生活中經常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進井里去，這是因為（

）A．同樣長度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B．同一個圓所有的直徑都相等C．圓的周長是直徑的π倍D．圓是軸對稱圖形【變式1】（2023春·江蘇無錫·九年級統考期中）已知線段AB的中點為M，動點P滿足AB=2PM，則點P的軌跡是（

）A．以AB為直徑的圓B．AB的延長線 C．AB的垂直平分線 D．平行AB的直線【變式2】（2022秋·浙江杭州·九年級統考期末）已知AB是半徑為2的圓的一條弦，則AB的長可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式3】（2023·江蘇·九年級假期作業）畫圓時，圓規兩腳間可叉開的距離是圓的（）A．直徑 B．半徑 C．周長 D．面積考點2：利用垂徑定理——求線段典例2：（2023春·湖南長沙·八年級校考期末）如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，若AB長為16，OE長為6，則⊙O半徑是（

）A．5 B．6 C．8 D．10【變式1】（2023·浙江·九年級假期作業）如圖，點A、B是⊙O上兩點，AB=10，點P是⊙O上的動點（P與A、B不重合），連接AP、PB，過點O分別作OE⊥AP交AP于點E，OF⊥PB交PB于點

A．2 B．3 C．5 D．6【變式2】（2023·浙江·一模）如圖，在水平放置的圓柱形排水管的截面中，圓的半徑為5，弓形部分水面寬度AB=8，則該截面中水的最大深度是（

）

A．5 B．4 C．3 D．2【變式3】（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，點A、B、C三點在⊙O上，點D為弦AB的中點，AB=8cm，CD=6cm，則A．43cm B．53cm C．83考點3：利用垂徑定理——求平行弦典例3：（2022秋·天津和平·九年級校考期末）⊙O半徑為5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，則AB與CD間的距離為（A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【變式1】（2022秋·浙江寧波·九年級寧波市第七中學校考階段練習）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA=1m，水面寬AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，則此時排水管水面寬為（

）A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m【變式2】（2022秋·浙江紹興·九年級校聯考期中）圓的半徑為13cm，兩弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，則兩弦AB和CD的距離是（

）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm【變式3】（2023春·全國·九年級專題練習）在圓柱形油槽內裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變為8cm，則油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7考點4：利用垂徑定理——求同心圓典例4：（2022秋·北京·九年級北師大實驗中學校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，一條圓弧經過A2,2，B4,0，A．點D B．點E C．點F D．點G【變式1】（2022春·九年級課時練習）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B．42 C．43 【變式2】（2023春·九年級課時練習）已知△ABC的邊BC=23，且△A．60° B．120° C．60°或120° D．90°【變式3】（2021春·九年級課時練習）如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點，AB=12cm，AO=8cm，則OC長為（）cmA．5 B．4 C．25 D．考點5：利用垂徑定理——實際應用典例5：（2023·廣西·統考中考真題）趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（

A．20m B．28m C．35m【變式1】（2022秋·河北邢臺·九年級校考期末）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（

）A．1米 B．3+5米 C．3米 D．3?【變式2】（2023春·福建南平·九年級專題練習）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧．如圖1，點M表示筒車的一個盛水桶．如圖2，當筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心O（O在水面上方）為圓心的圓，且圓O被水面截得的弦AB長為8米．若筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為2米，則這個圓的半徑為（

）A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【變式3】（2023·河北滄州·統考三模）圖1是木馬玩具，圖2是木馬玩具底座水平放置的示意圖，點O是AB所在圓的圓心，點A，B離地高度均為15cm，水平距離AB=90cm，則

A．60cm B．65cm C．70cm 考點6：垂徑定理的推論——定圓心典例6：（2023春·安徽亳州·九年級專題練習）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD交于點E，CE=DE，則下列說法錯誤的是（

）A．CB=BD B．OE=BE C．CA=DA D．【變式1】（2022秋·九年級統考期中）如圖，⊙O的弦AB=8，M是AB的中點，且OM=3，則⊙O的半徑等于（

）A．7 B．4 C．5 D．6【變式2】（2022春·九年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB的中點，將△ACD沿CD對折得△A′CD．連接BA′，連接AA′交CD于點E，若AB=14cm，BA．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【變式3】（2022秋·浙江臺州·九年級統考期末）如圖，在正方形網格中，一條圓弧經過A、B、C三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）．A．點P B．點Q C．點R D．點M同步過關一、單選題1．（2022春·九年級單元測試）如圖所示，在⊙O中，點A，O，D以及點B，O，C分別在一條直線上，則圖中的弦有(

)A．2條 B．3條 C．4條 D．5條2．（2023春·九年級單元測試）在⊙O中，P為其內一點，過點P的最長弦的長為8cm，最短的弦的長為4cm，則OP的長為（）．A．23cm B．22cm C．2cm 3．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在⊙O內有折線OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，則BC的長為()A．19 B．16 C．18 D．204．（2023春·九年級單元測試）已知⊙O的半徑為10，P為⊙O內一點，且OP＝6，則過P點，且長度為整數的弦有（

）A．5條 B．6條 C．8條 D．10條5．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，由邊長為1的正方形組成的6×5網格中，一塊含45°的三角板ABC的斜邊AB始終經過格點N，AC始終經過格點M，點A在MN下方運動，格點P到A的距離最小值為（

）A．1 B．2 C．13﹣1 D．22﹣26．（2022秋·全國·九年級專題練習）小明想知道一塊扇形鐵片OAB中的AB的拱高（弧的中點到弦的距離）是多少？但他沒有任何測量工具，聰明的小明觀察發現身旁的墻壁是由10cm的正方形瓷磚密鋪而成（接縫忽略不計）．他將扇形OAB按如圖方式擺放，點O,A,B恰好與正方形瓷磚的頂點重合，根據以上操作，AB的拱高約是（

A．10cm B．20cm C．(30?1057．（2023·廣東梅州·統考一模）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，OE⊥AB交⊙O于點E，垂足為點D，AE，CB的延長線交于點F．若OD=3，AB=8，則FC的長是（

A．10 B．8 C．6 D．48．（2023春·九年級單元測試）如圖，已知圓O的半徑為10，AB⊥CD，垂足為P，且AB＝CD＝16，則OP的長為()A．6 B．62 C．8 D．829．（2023·九年級單元測試）☉O的半徑為10cm,弦AB=12cm,則圓心到AB的距離為()A．2cm B．6cm C．8cm D．10cm10．（2022秋·浙江杭州·九年級期中）CD是圓O的直徑，弦AB⊥CD于點E，若OE=3，AE=4，則下列說法正確的是（

）A．AC的長為25 B．CEC．CD的長為12 D．AD的長為10二、填空題11．（2022秋·九年級課時練習）在同一平面內，點P到圓上的點的最大距離為10cm，最小距離為4cm，則此圓的半徑為．12．（2022春·九年級單元測試）點A、B在⊙O上，若∠AOB=40°，則∠OAB=．13．（2022秋·九年級單元測試）如圖，將半徑為4cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經過圓心O，則折痕AB的長度為cm．14．（2023春·九年級課時練習）如圖，AB是⊙o的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm,那么A、B兩點到直線CD的距離之和為.15．（2022春·九年級課時練習）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，∠C＝30°，⊙O的半徑是6，若點P是⊙O上的一點，PB＝AB，則PA的長為．16．（2022秋·九年級課時練習）如圖，⊙O的半徑為10cm，△ABC內接于⊙O，圓心O在△ABC內，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面積為cm2．三、解答題17．（2022秋·九年級課時練習）已知；如圖，在⊙O中，C、D分別是半徑OA、BO的中點，求證：AD＝BC．18．（2022秋·九年級單元測試）往直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油以后，截面如圖所示．若油面寬AB=60019．（2011秋·七年級課時練習）如下圖，在半徑為5米的圓形花壇周圍修一條寬1米的小路，求小路的面積．20．（2022春·九年級課時練習）為了落實“二十大”報告精神，辦人民滿意教育，決定重新修建學校運動場，設計圖如下：兩端是半圓形，中間是長方形．（π取3）(1)求這個運動場的周長．(2)求這個運動場的面積．(3)已知整個運動場由草坪和塑膠跑道組成，塑膠跑道和草坪的面積比是3：7，每平方米草坪的價格是5元，比每平方米塑膠的價格低192021．（2021·全國·九年級假期作業）在直徑為10cm的圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如圖，油面寬AB為6cm，當油面寬AB為8cm時，油上升了多少cm？22．（2021秋·九年級課時練習）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上且不與點A，B重合，∠ABC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AB，垂足為點G，交⊙O于點E，連接CE交BD于點F，連接FG．(1)求證：FG=1(2)若AB=65，FG=623．（2022秋·九年級課時練習）如圖，已知AB=AC，∠APC=60°（1）求證：△ABC是等邊三角形．（2）若BC=4cm，求⊙O的面積．24．（2022秋·全國·九年級專題練習）問題提出（1）如圖①，在△ABC中，BC＝6，D為BC上一點，AD＝4，則△ABC面積的最大值是．問題探究（2）如圖②，已知矩形ABCD的周長為12，求矩形ABCD面積的最大值．問題解決（3）如圖③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意圖，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，現在他想利用周邊地的情況，把原來的三角形地拓展成符合條件的面積盡可能大、周長盡可能長的四邊形地，用來建魚塘．已知葛叔叔欲建的魚塘是四邊形ABCD，且滿足∠ADC＝60°．你認為葛叔叔的想法能否實現？若能，求出這個四邊形魚塘周長的最大值；若不能，請說明理由．25．（2022·全國·九年級專題練習）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直線MN是過點A的直線CD⊥MN于點D，連接BD．（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC，AD，BD之間有什么數量關系．經過觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過點B作BE⊥BD，交MN于點E，進而得出：DC+AD=BD．（2）探究證明將直線MN繞點A順時針旋轉到圖2的位置寫出此時線段DC，AD，BD之間的數量關系，并證明（3）拓展延伸在直線MN繞點A旋轉的過程中，當△ABD面積取得最大值時，若CD長為1，請直接寫BD的長．

專題01圓的基本性質+垂徑定理考點類型知識串講（一）圓的相關概念（1）圓的概念：在一個平面內，線段繞它固定的一個端點旋轉一周，另一個端點所形成的圖形叫圓．這個固定的端點叫做圓心，線段叫做半徑．以點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．特點：圓是在一個平面內，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形．（2）確定圓的條件：①圓心；②半徑，③其中圓心確定圓的位置，半徑長確定圓的大小．（3）相關概念同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；等圓：半徑相等的圓叫做等圓．（二）垂徑定理及其推論（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧（2）推論：①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧②弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧③圓的兩條平行弦所夾的弧相等（3）常見輔助線做法：①過圓心，作垂線，連半徑，造，用勾股，求長度（多為方程勾股）；②有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分．考點訓練考點1：圓的相關概念典例1：（2023·福建·九年級專題練習）生活中經常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進井里去，這是因為（

）A．同樣長度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B．同一個圓所有的直徑都相等C．圓的周長是直徑的π倍D．圓是軸對稱圖形【答案】B【分析】根據圓的特征即可求解．【詳解】解：根據同一個圓所有的直徑都相等，則井蓋就不會掉進井里去，故選：B．【點睛】本題主要考查圓的基礎知識，理解并掌握圓的基礎知識，圓的基本特征是解題的關鍵．【變式1】（2023春·江蘇無錫·九年級統考期中）已知線段AB的中點為M，動點P滿足AB=2PM，則點P的軌跡是（

）A．以AB為直徑的圓B．AB的延長線 C．AB的垂直平分線 D．平行AB的直線【答案】A【分析】根據圓的有關概念即可分析判斷．【詳解】解：∵線段AB的中點為M，∴MA=MB=1∵AB=2PM，∴PM=MA=MB=1∴點P在以點M為圓心，AB為直徑的圓上，故選：A．【點睛】本題考查了圓的有關認識，掌握圓的有關概念是解題的關鍵．【變式2】（2022秋·浙江杭州·九年級統考期末）已知AB是半徑為2的圓的一條弦，則AB的長可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】求出圓的直徑，根據直徑是圓中最長的弦判斷即可．【詳解】∵圓的半徑為2，∴圓的直徑為4，∵AB是半徑為2的圓的一條弦，∴0<AB≤4，故選：A．【點睛】此題考查了圓的弦的性質：直徑是圓中最長的弦，正確理解是解題的關鍵．【變式3】（2023·江蘇·九年級假期作業）畫圓時，圓規兩腳間可叉開的距離是圓的（）A．直徑 B．半徑 C．周長 D．面積【答案】B【詳解】解：畫圓時，圓規兩腳間可叉開的距離是圓的半徑．故選：B．【點睛】本題考查了圓的半徑的定義，理解半徑的定義是解本題的關鍵．考點2：利用垂徑定理——求線段典例2：（2023春·湖南長沙·八年級校考期末）如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，若AB長為16，OE長為6，則⊙O半徑是（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】連接OB，由垂徑定理可得BE=AE=8，由勾股定理計算即可獲得答案．【詳解】解：如圖，連接OB，∵線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，AB=16，∴BE=AE=1∴在Rt△OBE中，可有OB=∴⊙O半徑是10．故選：D．【點睛】本題主要考查了垂徑定理及勾股定理等知識，理解并掌握垂徑定理是解題關鍵．【變式1】（2023·浙江·九年級假期作業）如圖，點A、B是⊙O上兩點，AB=10，點P是⊙O上的動點（P與A、B不重合），連接AP、PB，過點O分別作OE⊥AP交AP于點E，OF⊥PB交PB于點

A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【分析】先根據垂徑定理得出AE=PE，PF=BF，故可得出EF是【詳解】解：∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于∴AE=PE，∴EF是△APB的中位線，∴EF=1故選：C．【點睛】本題考查的是垂徑定理，中位線定理，熟知垂直于弦的直徑平分弦是解答此題的關鍵．【變式2】（2023·浙江·一模）如圖，在水平放置的圓柱形排水管的截面中，圓的半徑為5，弓形部分水面寬度AB=8，則該截面中水的最大深度是（

）

A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】根據垂徑定理和勾股定理求解即可．【詳解】解：連接OA，過O作OC⊥AB于C，并延長交圓于D，則OD=OA=5，AC=12AB=4

在Rt△OCA在，OC=∴CD=OD?OC=2，即該截面中水的最大深度是2，故選：D．【點睛】本題考查垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理得到是解答的關鍵．【變式3】（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，點A、B、C三點在⊙O上，點D為弦AB的中點，AB=8cm，CD=6cm，則A．43cm B．53cm C．83【答案】B【分析】連接OA，設OA=r(cm)，根據CD的長計算出OD的長，根據點D為弦AB的中點，O為圓心得到OD⊥AB，從而求出AD的長，在Rt△AOD中利用勾股定理求出r【詳解】解：連接OA，設OA=r(cm則OC=OA=r(cm∵點D為弦AB的中點，O為圓心，∴OD⊥AB，∵AB=8(cm∴AD=BD=4(cm∵CD=6(cm∴OD=CD?OC=(6?r)(cm在Rt△AOD中，由勾股定理得O∴r解得r=13∴OD=5故選：B．【點睛】本題考查了垂徑定理及推論，熟知：垂直于弦的直徑平分這條弦，熟練掌握勾股定理的計算．考點3：利用垂徑定理——求平行弦典例3：（2022秋·天津和平·九年級校考期末）⊙O半徑為5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，則AB與CD間的距離為（A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】過O點作OE⊥AB，E為垂足，交CD與F，連OA，OC，由AB∥CD，得到OF⊥CD，根據垂徑定理得AE=3，CF=4，再在Rt△OAE中和在Rt△OCF中分別利用勾股定理求出OE，OF，然后討論：當圓O點在AB、CD之間，AB與CD之間的距離=OE+OF；當圓O點不在AB、CD之間，AB與【詳解】解：過O點作OE⊥AB，E為垂足，交CD與F，連OA，OC，如圖，∵AB∥∴OF⊥CD，∴AE=BE，CF=DF，而AB=6，CD=8，∴AE=3，CF=4，在Rt△OAE中，OA=5，OE=在Rt△OCF中，OC=5，OF=當圓O點在AB、CD之間，AB與CD之間的距離=OE+OF=7；當圓O點不在AB、CD之間，AB與CD之間的距離=OE?OF=1；所以AB與CD之間的距離為7或1．故選：C．【點睛】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧．也考查了勾股定理以及分類討論的思想的運用．【變式1】（2022秋·浙江寧波·九年級寧波市第七中學校考階段練習）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA=1m，水面寬AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，則此時排水管水面寬為（

）A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m【答案】C【分析】先根據垂徑定理和勾股定理求出OE的長，再根據垂徑定理求出CF，即可得出結論.【詳解】如圖作OE⊥AB于點E，交CD于F∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1∴OE=0.8m∵水管水面上升了0.2米，∴OF=OE-EF=0.8-0.2=0.6m∴CF=O∴CD=1.6m故選C【點睛】本題考查垂徑定理和勾股定理的應用，熟練掌握垂徑定理是解題關鍵.【變式2】（2022秋·浙江紹興·九年級校聯考期中）圓的半徑為13cm，兩弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，則兩弦AB和CD的距離是（

）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm【答案】D【分析】分AB、CD在圓心的同側和異側兩種情況，根據垂徑定理和勾股定理進行計算即可．【詳解】第一種情況：兩弦在圓心的一側時，∵CD=10cm，OE⊥CD，∴DE=1∵圓的半徑為13cm，∴OD=13cm，∴利用勾股定理可得：OE=O同理可求OF=5cm，∴EF=OE-OF=12cm-5cm=7cm；第二種情況：只是EF=OE+OF=17cm．其它和第一種一樣；綜上分析可知，兩弦之間的距離為7cm或17cm，故D正確．故選D．【點睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理的應用，靈活運用定理、注意分AB、CD在圓心的同側和異側兩種情況討論是解題的關鍵．【變式3】（2023春·全國·九年級專題練習）在圓柱形油槽內裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變為8cm，則油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【答案】D【分析】分兩種情況求解：①如圖1，寬度為8cm的油面CD，作ON⊥AB與CD、AB的交點為M、N，可知OM⊥CD，CM=MD=12CD=4cm，AN=BN=12AB=3cm，在Rt△BON中，由勾股定理得ON=OB2?BN2，解得ON的值，在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=OD2?DM2，解得OM的值，計算ON?OM即可；②如圖2，寬度為8cm的油面EF，作PN⊥EF與AB、EF的交點為【詳解】解：分兩種情況求解：①如圖1，寬度為8cm的油面CD，作ON⊥AB與CD、AB的交點為M、N由題意知OM⊥CD，CM=MD=12在Rt△BON中，由勾股定理得ON=在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=∴MN=ON?OM=1②如圖2，寬度為8cm的油面EF，作PN⊥EF與AB、EF的交點為N、P，連接OB由題意知PN⊥AB，EP=PF=12在Rt△BON中，由勾股定理得ON=在Rt△EPO中，由勾股定理得OP=∴NP=ON+OP=7∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；故選D．【點睛】本題考查了圓的垂徑定理，勾股定理．解題的關鍵在于對兩種情況全面考慮．考點4：利用垂徑定理——求同心圓典例4：（2022秋·北京·九年級北師大實驗中學校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，一條圓弧經過A2,2，B4,0，A．點D B．點E C．點F D．點G【答案】B【分析】根據圖形作線段AB和PQ的垂直平分線，兩線的交點即為圓心，根據圖形得出即可．【詳解】解：如圖作線段AB和PQ的垂直平分線，交于點E，即為弧的圓心，故選：B．【點睛】本題考查了垂徑定理，線段垂直平分線性質，坐標與圖形性質的應用．【變式1】（2022春·九年級課時練習）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B．42 C．43 【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運用勾股定理即可求得AC的長，即可求得AB的長.【詳解】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=OA∴AB=2AC=43故答案為C.【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用及勾股定理，作出輔助線、構造出直角三角形是解答本題的關鍵.【變式2】（2023春·九年級課時練習）已知△ABC的邊BC=23，且△A．60° B．120° C．60°或120° D．90°【答案】C【分析】連接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂徑定理和特殊角的三角函數可求得∠BOD=60°，從而求得答案.注意弦所對的圓周角有銳角和鈍角兩種情況.【詳解】①當△ABC時銳角三角形時，連接OB，OC，過點O作OD⊥BC于點D，∴BD=12∵OB=2∴sin∴∠BOD=60°∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°，∵BC=BC，∴∠A=1②當△ABC時鈍角三角形時，如圖，由①可知∠E=60°，∵四邊形ABEC是圓內接四邊形，∴∠E+∠A=180°，∴∠A=180°-60°=120°.故∠A的度數為60°或120°.故答案為：C【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理和解直角三角形．正確作出輔助線是解題的關鍵.【變式3】（2021春·九年級課時練習）如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點，AB=12cm，AO=8cm，則OC長為（）cmA．5 B．4 C．25 D．【答案】D【詳解】解：∵O為圓心的兩個同心圓的圓心，大圓的弦AB與小圓相切于C點，∴C點是AB的中點，即AC=BC=12并且OC⊥AB，在RtΔAOC中，由勾股定理得AO所以OC2=AO2所以OC所以OC=27故選：D【點睛】本題考查弦心距，勾股定理，解答本題要求考生掌握弦心距的概念和性質，熟悉勾股定理的內容.考點5：利用垂徑定理——實際應用典例5：（2023·廣西·統考中考真題）趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（

A．20m B．28m C．35m【答案】B【分析】由題意可知，AB=37m，CD=7m，主橋拱半徑R，根據垂徑定理，得到【詳解】解：如圖，由題意可知，AB=37m，CD=7m，主橋拱半徑∴OD=OC?CD=R?7∵OC是半徑，且OC⊥AB，∴AD=BD=1在Rt△ADO中，A∴37解得：R=1565故選B

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解題關鍵．【變式1】（2022秋·河北邢臺·九年級校考期末）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（

）A．1米 B．3+5米 C．3米 D．3?【答案】D【分析】連接OC交AB于D，根據圓的性質和垂徑定理可知OC⊥AB，AD=BD=2，根據勾股定理求得OD的長，由CD=OC?OD即可求解．【詳解】解：根據題意和圓的性質知點C為AB的中點，連接OC交AB于D，則OC⊥AB，AD=BD=1在Rt△OAD中，OA=3，AD=2∴OD=A∴CD=OC?OD=3?5即點C到弦AB所在直線的距離是3?5故選：D．【點睛】本題考查圓的性質、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關鍵．【變式2】（2023春·福建南平·九年級專題練習）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧．如圖1，點M表示筒車的一個盛水桶．如圖2，當筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心O（O在水面上方）為圓心的圓，且圓O被水面截得的弦AB長為8米．若筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為2米，則這個圓的半徑為（

）A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【答案】D【分析】過圓O作OD⊥AB于E，如圖所示，由垂徑定理可知AE=BE=4，設圓的半徑為r，再利用勾股定理列方程求解即可得到答案．【詳解】解：過圓O作OD⊥AB于E，如圖所示：∵弦AB長為8米，∴AE=BE=4，∵盛水桶在水面以下的最大深度為2米，設圓的半徑為r，在Rt△AOE中，∠AEO=90°，OA=r，AE=4，OE=OD?ED=r?2，則由勾股定理可知OA2=OE解得r=5，∴這個圓的半徑為5米，故選：D．【點睛】本題考查垂徑定理及勾股定理的應用，根據題意，垂徑定理構造直角三角形，勾股定理列方程求線段長是圓背景下求線段長的解題關鍵．【變式3】（2023·河北滄州·統考三模）圖1是木馬玩具，圖2是木馬玩具底座水平放置的示意圖，點O是AB所在圓的圓心，點A，B離地高度均為15cm，水平距離AB=90cm，則

A．60cm B．65cm C．70cm 【答案】D【分析】連接AB，作半徑OD⊥AB交AB于E，設OA=xcm，則OE=OD?DE=x?15cm，應用垂徑定理、勾股定理列出關于x【詳解】解：如圖所示，連接AB，作半徑OD⊥AB交AB于E，

，則AE=BE=12AB=設OA=xcm，則OE=OD?DE=∵OA∴x解得：x=75，故選：D．【點睛】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理，關鍵是通過作輔助線構造直角三角形，應用勾股定理來解決問題．考點6：垂徑定理的推論——定圓心典例6：（2023春·安徽亳州·九年級專題練習）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD交于點E，CE=DE，則下列說法錯誤的是（

）A．CB=BD B．OE=BE C．CA=DA D．【答案】B【分析】根據垂徑定理及其推論判斷即可．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑與弦CD交于點E，CE=DE，∴根據垂徑定理及其推論可得，點B為劣弧CD的中點，點A為優弧CD的中點，AB⊥CD∴CB=BD，∴CA=DA但不能證明OE=BE，故B選項說法錯誤，符合題意；故選：B．【點睛】本題考查的是垂徑定理及其推論，解決本題的關鍵是熟練掌握垂徑定理及其推論：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧，平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．【變式1】（2022秋·九年級統考期中）如圖，⊙O的弦AB=8，M是AB的中點，且OM=3，則⊙O的半徑等于（

）A．7 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】連接OA，根據M是AB的中點，得到OM⊥AB，利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：∵⊙O的弦AB=8，M是AB的中點，∴OM⊥AB，AM=1連接OA，在Rt△OMA中，OA=即：⊙O的半徑等于5；故選C．【點睛】本題考查垂徑定理的逆定理．熟練掌握平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，是解題的關鍵．【變式2】（2022春·九年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB的中點，將△ACD沿CD對折得△A′CD．連接BA′，連接AA′交CD于點E，若AB=14cm，BA．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】B【分析】由折疊性質得AA′⊥CD，AD=A′D，根據直角三角形斜邊上的中線性質可證得CD=AD=BD=A′D，可證得A、C、A′、B共圓且AB為直徑，利用垂徑定理的推論和三角形的中位線性質證得DE=12A′B，進而可求解CE【詳解】解：由折疊性質得AA′⊥CD，AD=A′D，∵∠ACB=90°，點D是∴CD=AD=BD=A′D=12AB∴A、C、A′、B共圓且AB為直徑，又AA′⊥CD，∴AE=A′E，又AD=BD，∴DE是△ABA′的中位線，∴DE=12A′B∵AB=14cm，B∴CD=7cm，DE=2cm，∴CE=CD-DE=7-2=5cm，故選B．【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線性質、三角形的中位線性質、折疊性質、垂徑定理的推論，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答的關鍵．【變式3】（2022秋·浙江臺州·九年級統考期末）如圖，在正方形網格中，一條圓弧經過A、B、C三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）．A．點P B．點Q C．點R D．點M【答案】B【分析】根據垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，分別作AB，BC的垂直平分線即可得到答案．【詳解】解：作AB的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，它們都經過Q，所以點Q為這條圓弧所在圓的圓心．故選：B．【點睛】本題主要查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，理解并掌握圓心為弦垂直平分線的交點是解決此題的關鍵．同步過關一、單選題1．（2022春·九年級單元測試）如圖所示，在⊙O中，點A，O，D以及點B，O，C分別在一條直線上，則圖中的弦有(

)A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】B【分析】根據弦的定義進行分析，從而得到答案．【詳解】解：圖中的弦有AB，BC，CE共三條，故選B．【點睛】本題主要考查了弦的定義，熟知定義是解題的關鍵：連接圓上任意兩點的線段叫弦．2．（2023春·九年級單元測試）在⊙O中，P為其內一點，過點P的最長弦的長為8cm，最短的弦的長為4cm，則OP的長為（）．A．23cm B．22cm C．2cm 【答案】A【分析】根據直徑是圓中最長的弦，知該圓的直徑是8cm；最短弦即是過點P且垂直于過點P的直徑的弦；根據垂徑定理即可求得CP的長，再進一步根據勾股定理，可以求得OP的長【詳解】如圖所示，CD⊥AB于點P．根據題意，得：AB=8cm，CD=4cm．∴OC=1∵CD⊥AB，∴CP=12CD根據勾股定理，得OP=OC故選A．3．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在⊙O內有折線OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，則BC的長為()A．19 B．16 C．18 D．20【答案】D【分析】延長AO交BC于D，根據∠A、∠B的度數易證得△ABD是等邊三角形，由此可求出OD、BD的長；過O作BC的垂線，設垂足為E；在Rt△ODE中，根據OD的長及∠ODE的度數易求得DE的長，進而可求出BE的長；由垂徑定理知BC=2BE，由此得解．【詳解】解：延長AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；∴△ADB為等邊三角形；∴BD=AD=AB=12；∴OD=4，又∵∠ADB=60°，∴DE=12∴BE=10；∴BC=2BE=20；故選D．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質以及垂徑定理的應用，解答此題的關鍵是正確做出輔助線，得到△ADB為等邊三角形．4．（2023春·九年級單元測試）已知⊙O的半徑為10，P為⊙O內一點，且OP＝6，則過P點，且長度為整數的弦有（

）A．5條 B．6條 C．8條 D．10條【答案】C【詳解】解：如圖，AB是直徑，OA=10，OP=6，過點P作CD⊥AB，交圓于點C，D兩點．由垂徑定理知，點P是CD的中點，由勾股定理求得，PC=8，CD=16，則CD是過點P最短的弦，長為16；AB是過P最長的弦，長為20．所以過點P的弦的弦長可以是17，18，19各兩條．總共有8條長度為整數的弦．故選C．5．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，由邊長為1的正方形組成的6×5網格中，一塊含45°的三角板ABC的斜邊AB始終經過格點N，AC始終經過格點M，點A在MN下方運動，格點P到A的距離最小值為（

）A．1 B．2 C．13﹣1 D．22﹣2【答案】B【分析】根據方格紙的結構特征，得到點A的軌跡，再根據勾股定理解答即可．【詳解】解：由運動可得：點A的軌跡為以點O為圓心，ON為半徑，過格點M、A′、N的圓弧上，當點A與A′重合時，格點P到此時PA＝PA′=故選：B．【點睛】此題考查勾股定理，關鍵是明確點A的軌跡是一段圓弧，根據勾股定理求出PA的值．6．（2022秋·全國·九年級專題練習）小明想知道一塊扇形鐵片OAB中的AB的拱高（弧的中點到弦的距離）是多少？但他沒有任何測量工具，聰明的小明觀察發現身旁的墻壁是由10cm的正方形瓷磚密鋪而成（接縫忽略不計）．他將扇形OAB按如圖方式擺放，點O,A,B恰好與正方形瓷磚的頂點重合，根據以上操作，AB的拱高約是（

A．10cm B．20cm C．(30?105【答案】D【分析】如圖所示，通過數瓷磚的個數，可以得到OC=30cm，AB=40cm，由垂徑定理得OC垂直且平分AB，則BC=20cm，再由勾股定理得OB=OC2+BC2=10【詳解】解：如圖所示，通過數瓷磚的個數，可以得到OC=30cm，AB=40cm，∵D為AB中點，∴由垂徑定理得OC垂直且平分AB，∴BC=20cm，∴OB=O∵OD=OB=1013∴CD=OD-OC=1013即拱高為1013故選D．【點睛】此題考查了垂徑定理和勾股定理，根據題意做出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．7．（2023·廣東梅州·統考一模）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，OE⊥AB交⊙O于點E，垂足為點D，AE，CB的延長線交于點F．若OD=3，AB=8，則FC的長是（

A．10 B．8 C．6 D．4【答案】A【分析】先根據垂徑定理可得AD=4，再利用勾股定理可得OE=OA=5，然后根據三角形中位線定理即可得．【詳解】解：∵OE⊥AB,AB=8，∴AD=1∵OD=3，∴OA=O∴OE=5，∵OE⊥AB，∴∠ADO=90°=∠ABC，∴OE//又∵OA=OC，∴OE是△ACF的中位線，∴FC=2OE=10，故選：A．【點睛】本題考查了垂徑定理、三角形中位線定理等知識點，熟練掌握垂徑定理是解題關鍵．8．（2023春·九年級單元測試）如圖，已知圓O的半徑為10，AB⊥CD，垂足為P，且AB＝CD＝16，則OP的長為()A．6 B．62 C．8 D．82【答案】B【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的長，然后判定四邊形OMPN是正方形，求得正方形的對角線的長即可求得OP的長．【詳解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OP，OB，OD，∵AB=CD=16，∴BM=DN=8，∴OM=ON=102∵AB⊥CD，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四邊形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四邊形MONP是正方形，∴OP=62故選B．【點睛】本題考查的是垂徑定理，正方形的判定與性質及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．9．（2023·九年級單元測試）☉O的半徑為10cm,弦AB=12cm,則圓心到AB的距離為()A．2cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【分析】根據題意畫出圖形,利用垂徑定理、勾股定理解答即可.【詳解】如圖,作OE⊥AB于點E,AB=12cm,根據垂徑定理可知BE=6cm,在Rt△OBE中,OB=10cm,由勾股定理得OE=8cm.故選C.【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練運用垂徑定理、勾股定理是解決本題的關鍵.10．（2022秋·浙江杭州·九年級期中）CD是圓O的直徑，弦AB⊥CD于點E，若OE=3，AE=4，則下列說法正確的是（

）A．AC的長為25 B．CEC．CD的長為12 D．AD的長為10【答案】A【分析】連接AO，分別在Rt△AOE中，Rt△ACE中，Rt△ADE中，根據勾股定理即可求得相應線段的長度，依此判斷即可．【詳解】解：連接AO，∵AB⊥CD于點E，OE=3，AE=4，∴在Rt△AOE中，根據勾股定理AO=A∵CD為圓O的直徑，∴OC=OD=OA=5，∴CD=10，CE=OC-OE=2，故B選項和C選項錯誤；在Rt△ACE中，根據勾股定理AC=A在Rt△ADE中，根據勾股定理AD=A故選：A．【點睛】本題考查勾股定理，同圓半徑相等．正確作出輔助線，構造直角三角形是解題關鍵．注意圓中半徑相等這一隱含條件．二、填空題11．（2022秋·九年級課時練習）在同一平面內，點P到圓上的點的最大距離為10cm，最小距離為4cm，則此圓的半徑為．【答案】3cm或7cm【詳解】設⊙O的半徑為r，當點P在圓外時，r=10?42當點P在⊙O內時，r=10+42故答案為：3cm或7cm．12．（2022春·九年級單元測試）點A、B在⊙O上，若∠AOB=40°，則∠OAB=．【答案】70°．【分析】如圖，連接AB，根據圓的半徑相等得△AOB為等腰三角形，又因為∠AOB=40°，根據三角形的內角和定理解題即可．【詳解】解：如圖，連接AB，∵AO=BO，∠AOB=40°，∴∠OAB=∠OBA=180°?40°2故答案為70°．【點睛】本題考查了三角形內角和定理與圓的性質，解題的關鍵是熟練的掌握三角形內角和定理與圓的性質．13．（2022秋·九年級單元測試）如圖，將半徑為4cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經過圓心O，則折痕AB的長度為cm．【答案】43【詳解】解：如圖，過點O作OC⊥AB，垂足為C，連接OA，∵OA=4cm，∴OC=2cm，∴AC=23∴AB=43故答案為4314．（2023春·九年級課時練習）如圖，AB是⊙o的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm,那么A、B兩點到直線CD的距離之和為.【答案】6cm.【詳解】試題分析：過O作OG⊥CD于G，連接OC，如圖所示，∵OG⊥CD，CD=8cm，∴G為CD的中點，即CG=DG=4cm，在Rt△OCG中，OC=12AB=5cm，CG=4cm，根據勾股定理得：OG=O又AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，∴AE∥OG∥BF，又O為AB的中點，∴G為EF的中點，即OG為梯形AEFB的中位線，∴OG=12考點：1．垂徑定理；2．勾股定理；3．梯形中位線定理．15．（2022春·九年級課時練習）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，∠C＝30°，⊙O的半徑是6，若點P是⊙O上的一點，PB＝AB，則PA的長為．【答案】63【分析】連接OA、OB、OP，根據圓周角定理求得∠APB＝∠C＝30°，進而求得∠PAB＝∠APB＝30°，∠ABP＝120°，根據垂徑定理得到OB⊥AP，AD＝PD，∠OBP＝∠OBA＝60°，即可求得△AOB是等邊三角形，從而求得PB＝OA＝6，解直角三角形求得PD，即可求得PA．【詳解】解：連接OA、OB、OP，∵∠C＝30°，∴∠APB＝∠C＝30°，∵PB=∴PB＝AB，∴∠PAB＝∠APB＝30°∴∠ABP＝120°，∵PB＝AB，∴OB⊥AP，AD＝PD，∴∠OBP＝∠OBA＝60°，∵OB＝OA，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝6，則Rt△PBD中，PD＝cos30°?PB＝32×6＝33∴AP＝2PD＝63，故答案為63．【點睛】本題主要考查垂徑定理，關鍵在于根據題意做出輔助線，構造直角三角形，結合三角函數的特殊角進行計算,這是這類題目的通常解題思路.16．（2022秋·九年級課時練習）如圖，⊙O的半徑為10cm，△ABC內接于⊙O，圓心O在△ABC內，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面積為cm2．【答案】108【分析】過點A作AM⊥BC于點M，連接OC，根據等腰三角形的性質及垂徑定理即可求出OM的值，從而可知AM的值，進而面積可求.【詳解】如圖，過點A作AM⊥BC于點M，連接OC，∵AB=AC且BC=12cm．∴BM=CM=12BC∵圓的半徑等于10cm．∴OA=OC=10cm．∴OM=O∴AM=18cm．∴S△ABC=故答案為108【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質及垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關鍵.三、解答題17．（2022秋·九年級課時練習）已知；如圖，在⊙O中，C、D分別是半徑OA、BO的中點，求證：AD＝BC．【答案】證明見解析【分析】首先證明OC=OD，再證明△OCB≌△ODA，進而得到AD=BC．【詳解】解：∵OA、OB是⊙O的兩條半徑，∴AO＝BO，∵C、D分別是半徑OA、BO的中點，∴OC＝OD，在△OCB和△ODA中，AO＝BO∠O＝∠O∴△OCB≌△ODA（SAS），∴AD＝BC．【點睛】本題考查圓的認識，以及全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS．18．（2022秋·九年級單元測試）往直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油以后，截面如圖所示．若油面寬AB=600【答案】200mm【分析】先過點O作OD⊥AB于點D，交AB于點F，連接OA，由垂徑定理可求出AD的長，再根據勾股定理求出OD的長，進而可得出DF的長．【詳解】解：過點O作OD⊥AB于點D，交AB于點F，連接OA，∵AB＝600mm，∴AD＝12∵直徑為650mm，∴OA＝12∴OD＝OA2?A∴DF＝OF?OD＝12答：油的最大深度為200mm．【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．19．（2011秋·七年級課時練習）如下圖，在半徑為5米的圓形花壇周圍修一條寬1米的小路，求小路的面積．【答案】28.26平方米【分析】利用圓環的面積等于外圓的面積減去內圓的面積，即可完成求解．【詳解】外圓半徑r1為5米，圍修一條寬1米的小路∴內圓半徑r2為4米圓環的面積為=πr12-πr22=3.14×5×5-3.14×4×4=78.5-50.24=28.26∴小路的面積為28.26平方米．【點睛】本題考查了圓形面積計算和二次函數的知識；解題的關鍵是熟練并運用掌握二次函數和圓形面積計算的性質求解實際問題．20．（2022春·九年級課時練習）為了落實“二十大”報告精神，辦人民滿意教育，決定重新修建學校運動場，設計圖如下：兩端是半圓形，中間是長方形．（π取3）(1)求這個運動場的周長．(2)求這個運動場的面積．(3)已知整個運動場由草坪和塑膠跑道組成，塑膠跑道和草坪的面積比是3：7，每平方米草坪的價格是5元，比每平方米塑膠的價格低1920【答案】(1)440(2)12800(3)428800（元）【分析】（1）用長方形的兩條長邊加上一個圓的周長即可；（2）用長方形的面積加上圓的面積；（3）根據等量關系列方程求出塑膠的單價，然后按比例分配求出塑膠跑道的面積和草坪的面積，進而求得結果；【詳解】（1）解：運動場的周長：C=100×2+40×2π=200+80π=200+240=440(m答：這個運動場的周長為440米．（2）解：運動場的面積：S=100×80+40答：運動場的面積為：12800（3）解：設平方米塑膠的價格為x元根據題意得：(1?19解得：x=100該運動場塑膠跑道的面積為：12800×3該運動場草坪的面積為：12800×故總費用為：3840×100+8960×5=428800（元）【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，圓的基本知識；熟練根據等量關系列方程式解題的關鍵．21．（2023·全國·九年級假期作業）在直徑為10cm的圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如圖，油面寬AB為6cm，當油面寬AB為8cm時，油上升了多少cm？【答案】油上升了1cm．【詳解】連接AO，過點O作OC⊥AB于點C，根據垂徑定理結合勾股定理求出當AB=6cm和8cm時OC的長度，由此即可得出結論．解：連接AO，過點O作OC⊥AB于點C，如圖所示．∵OC⊥AB于C，且AB為弦，∴AC=12AB當AB=6cm時，在Rt△OAC中，OA=102=5cm，AC∴OC=OA當AB=8cm時，在Rt△OAC中，OA=102=5cm，AC∴OC=OA∴4cm﹣3cm=1cm．答：油上升了1cm．點睛：本題主要考查垂徑定理.利用垂徑定理與勾股定理是解題的關鍵.22．（2022秋·九年級課時練習）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上且不與點A，B重合，∠ABC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AB，垂足為點G，交⊙O于點E，連接CE交BD于點F，連接FG．(1)求證：FG=1(2)若AB=65，FG=6【答案】(1)詳見解析(2)AG的長為35【分析】（1）證明∠EFD=90°，再利用直角三角形斜邊中線的性質證明即可；（2）利用勾股定理求出OG，可得結論．【詳解】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵∠E=∠CBD，∴∠E=∠ABD，∵DE⊥AB，∴DG=EG，∵∠ABD+∠BDG=90°，∴∠E+∠FDE=90°，∴∠EFD=90°，∴GF=1（2）解：如圖，連接OD，則OD=OA=1∵FG=DG=6，∴OG=(3∴AG=OA?OG=35【點睛】本題考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．23．（2022秋·九年級課時練習）如圖，已知AB=AC，∠APC=60°（1）求證：△ABC是等邊三角形．（2）若BC=4cm，求⊙O的面積．【答案】（1）證明見解析（2）OC=43【詳解】試題分析：（1）根