2022年人教版暑假小升初數學銜接精編講義專題03《有理數的加減法》知識互聯網知識互聯網學習目標學習目標1．掌握有理數加法的意義，法則及運算律，并會使用運算律簡算；2．掌握有理數減法的法則和運算技巧，認識減法與加法的內在聯系；3．熟練將加減混合運算統一成加法運算，理解運算符號和性質符號的意義，運用加法運算律合理簡算，并會解決簡單的實際問題.知識要點知識要點知識點1：有理數的加法1.定義：把兩個有理數合成一個有理數的運算叫作有理數的加法．2.法則：（1）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2）絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數的兩個數相加得0；（3）一個數同0相加，仍得這個數．要點分析：利用法則進行加法運算的步驟：(1)判斷兩個加數的符號是同號、異號，還是有一個加數為零，以此來選擇用哪條法則．(2)確定和的符號(是“+”還是“－”)．(3)求各加數的絕對值，并確定和的絕對值(加數的絕對值是相加還是相減)．3.運算律：有理數加法運算律加法交換律文字語言兩個數相加，交換加數的位置，和不變符號語言a+b＝b+a加法結合律文字語言三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變符號語言(a+b)+c＝a+(b+c)要點分析：交換加數的位置時，不要忘記符號．知識點2：有理數的減法定義：已知兩個數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算，叫做減法，例如：(5)+?＝7，求？，減法是加法的逆運算．要點分析：（1）任意兩個數都可以進行減法運算．（2）幾個有理數相減，差仍為有理數，差由兩部分組成：①性質符號；②數字即數的絕對值．2.法則：減去一個數，等于加這個數的相反數，即有：．要點分析：將減法轉化為加法時，注意同時進行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數變為它的相反數”．如：知識點3：有理數加減混合運算將加減法統一成加法運算，適當應用加法運算律簡化計算.題型1題型1：有理數的加法及應用典例精講典例精講【典型例題01】（2022?射陽縣一模）小華參加“中探協”組織的徒步探險旅行活動，每天有“低強度”“高強度”“休整”三種方案，下表對應了每天不同方案的徒步距離（單位：km）．若選擇“高強度”要求前一天必須“休整”（第一天可選擇“高強度”）．則小華5天徒步探險旅行活動的最遠距離為37km．日期第1天第2天第3天第4天第5天低強度87565高強度121314129休整00000【思路引導】根據“高強度”要求前一天必須“休息”，則如果“高強度”的距離比前一天+當天的“低強度”距離短的話，則沒有必要選擇“高強度”，因此只有第一天和第三天適合選擇“高強度”計算出此時的距離即可．【完整解答】解：∵“高強度”要求前一天必須“休息”，∴當“高強度”的徒步距離＞前一天“低強度”距離+當天“低強度”距離時選擇“高強度”能使徒步距離最遠，∵14＞7+5，12＞6+5，∴適合選擇“高強度”的是第三天和第四天，又∵第一天可選擇“高強度”，∴方案①第一天選擇“高強度”，第二天“休息”，第三天選擇“高強度”，第四天和第五天選擇“低強度”，此時徒步距離為：12+0+14+6+5＝37（km），方案②第一天選擇“高強度”，第二天選擇“低強度”，第三天選擇“休息”，第四天選擇“高強度”，第五天選擇“低強度”，此時徒步距離為：12+7+0+12+5＝36（km），綜上，徒步的最遠距離為37km．【考察注意點】本題主要考查最優路線選擇，找出適合選擇“高強度”的時間是解題的關鍵．【典型例題02】（2022?東麗區二模）計算（﹣5）+（﹣3）的值是（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【思路引導】根據有理數的加法法則計算即可．【完整解答】解：原式＝﹣（5+3）＝﹣8．故選：D．【考察注意點】本題考查了有理數的加法，掌握同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加是解題的關鍵．變式訓練變式訓練【變式訓練01】（2022?白云區模擬）綜合實踐課上，同學們在如圖所示的三階幻方中，填寫了一些數、式子和圖案（其中每個式子或圖案都表示一個數），若處于每一橫行、每一豎列、兩條斜對角線上的3個數之和都相等，則xy的值為（）A．﹣8 B．2 C．16 D．64【思路引導】根據題意列出方程求出x，y的值，代入代數式求值即可．【完整解答】解：根據題意得：x﹣2+0＝﹣2+y+6＝0+y+2y，解得：x＝8，y＝2，∴xy＝82＝64．故選：D．【考察注意點】本題考查了有理數的加法，體現了方程思想，根據題意列出方程是解題的關鍵．【變式訓練02】（2021秋?禮泉縣期末）計算：﹣8+|﹣9|＝1．【思路引導】根據絕對值和有理數的加法法則即可得出答案．【完整解答】解：原式＝﹣8+9＝1．故答案為：1．【考察注意點】本題考查了絕對值，有理數的加法，掌握負數的絕對值等于它的相反數是解題的關鍵．題型題型2：有理數的減法及應用典例精講典例精講【典型例題03】（2022?河西區一模）計算12﹣（﹣2）的結果等于（）A．6 B．8 C．10 D．14【思路引導】根據有理數的減法法則計算即可．【完整解答】解：12﹣（﹣2）＝12+2＝14．故選：D．【考察注意點】本題考查了有理數的減法，掌握減去一個數等于加上這個數的相反數是解題的關鍵．【典型例題04】（2020秋?歷下區校級月考）夜來南風起，小麥覆隴黃．今年夏天，2019級附中學子耕耘的麥田喜獲豐收，某天收割的10袋小麥，稱重后記錄如下（單位：千克）：21，21，21.5，19，21.2，21.3，18.7，18.8，21.8，21.1．在沒帶計算器的情況下，小明想幫老師快速算出這10袋小麥一共多少千克．（1）小明通過觀察發現，如果以20千克為標準，把超出的千克數記為正，不足的千克數記為負，則可寫出這10袋小麥的千克數與20的差值，請你依次寫出小明得到的這10個差值．（2）請利用（1）中的差值，求這10袋小麥一共多少千克．【思路引導】（1）分別求出每袋小麥的重量與20千克的差即可；（2）求出差值的和再加上20×10即可．【完整解答】解：（1）+1，+1，+1.5，﹣1，+1.2，+1.3，﹣1.3，﹣1.2，+1.8，+1.1；（2）+1+1+1.5﹣1+1.2+1.3﹣1.3﹣1.2+1.8+1.1＝5.4（千克），20×10+5.4＝205.4（千克），答：這10袋小麥一共205.4千克．【考察注意點】此題主要考查了有理數的減法，關鍵是正確理解題意，掌握正負數表示的意義．變式訓練變式訓練【變式訓練03】（2021秋?西青區期末）冰箱冷凍室的溫度為﹣10℃，此時房屋內的溫度為25℃，則房屋內的溫度比冰箱冷凍室的溫度高（）A．﹣35℃ B．﹣25℃ C．25℃ D．35℃【思路引導】根據有理數的減法列式計算即可．【完整解答】解：25﹣（﹣10）＝25+10＝35（℃），故選：D．【考察注意點】本題考查了有理數的減法，掌握減去一個數等于加上這個數的相反數是解題的關鍵．【變式訓練04】（2021秋?尋烏縣期末）受冷空氣影響，我縣元旦期間氣溫下降較大，1月1日最低氣溫為﹣2℃，1月2日最低氣溫是﹣4℃，最低氣溫1月2日比1月1日下降了2℃．【思路引導】根據有理數的減法計算即可．【完整解答】解：﹣2﹣（﹣4）＝﹣2+4＝2（℃），故答案為：2．【考察注意點】本題考查了有理數的減法，掌握減去一個數等于加上這個數的相反數是解題的關鍵．【變式訓練05】（2021秋?漳州期末）某景點山上的溫度是﹣1℃，山下的溫度是4℃，則山下的溫度比山上的溫度高5℃．【思路引導】根據山下的溫度﹣山上的溫度列式計算即可．【完整解答】解：4﹣（﹣1）＝4+1＝5（℃），故答案為：5．【考察注意點】本題考查了有理數的減法，掌握減去一個數等于加上這個數的相反數是解題的關鍵題型題型3：有理數的加減混合運算及應用典例精講典例精講【典型例題05】（2022春?龍巖期中）規定：把四個有理數1，2，3，﹣5分成兩組，每組兩個，假設1，3分為一組，2，﹣5分為另一組，則A＝|1+3|+|2﹣5|．在數軸上原點右側從左到右取兩個有理數m、n，再取這兩個數的相反數，對于這樣的四個數，其所有A的和為（）A．4m B．4m+4n C．4n D．4m﹣4n【思路引導】根據已知條件，列出所有情況，并求出A的值，即可求得所有A的和．【完整解答】解：根據題意，得m＜n，m，n的相反數為﹣m，﹣n，則有如下三種情況：①m，n為一組，﹣m，﹣n為另一組，此時有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2n；②m，﹣m為一組，n，﹣n為另一組，此時有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0；③m，﹣n為一組，n，﹣m為另一組，此時有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m．∴所有A的和為2m+2n+0+2n﹣2m＝4n．故選：C．【考察注意點】本題考查有理數的混合運算、絕對值和相反數．數軸上一個數所對應的點與原點的距離就叫該數的絕對值．正數的絕對值大于0，負數的絕對值是它的相反數．【典型例題06】（2021秋?長春期末）把（﹣3）﹣（﹣7）+4﹣（+5）寫成省略加號的和的形式是（）A．﹣3﹣7+4﹣5 B．﹣3+7+4﹣5 C．3+7﹣4+5 D．﹣3﹣7﹣4﹣5【思路引導】利用減法法則把減法化為加法寫成省略加號的和的形式．【完整解答】解：（﹣3）﹣（﹣7）+4﹣（+5）＝﹣3+7+4﹣5，故選：B．【考察注意點】本題主要考查了有理數的加減混合運算，掌握把有理數加減法統一成加法是解題關鍵．變式訓練變式訓練【變式訓練06】（2021秋?朝陽區期末）計算＝1．【思路引導】根據有理數加減混合運算的方法：有理數加減法統一成加法，解答即可．【完整解答】解：原式＝1＝1＝1．故答案為：1．【考察注意點】本題考查了有理數加減混合運算，掌握有理數加減混合運算的方法是解題的關鍵．【變式訓練07】（2021秋?涼山州期末）規定圖形表示運算a﹣b+c，圖形表示運算x+z﹣y﹣w，則+＝0（直接寫出答案）．【思路引導】根據題中的新定義化簡，計算即可得到結果．【完整解答】解：根據題意得：1﹣2+3+4+6﹣5﹣7＝0．故答案為：0．【考察注意點】此題考查了有理數的加減混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．【變式訓練08】（2021秋?玉門市期末）隨著人們生活水平的提高，家用轎車越來越多地進入家庭，小亮家中買了一輛小轎車，他連續記錄了7天中每天行駛的路程（如下表），以50km為標準，多于50km的記為“+”，不足50km的記為“﹣”，剛好50km的記為“0”．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）﹣7﹣12﹣130﹣17+40+9（1）請求出這7天中平均每天行駛多少千米？（2）若每行駛50km需用汽油4升，汽油價6.8元/升，計算小亮家這7天的汽油費用大約是多少元？【思路引導】（1）根據有理數的加法，可得超出或不足部分的路程平均數，再加上50，可得平均路程；（2）先求出平均一天的耗油量，根據總價＝單價×數量可求一天的需要的錢數，再乘天數7，可得答案．【完整解答】解：（1）×（﹣7﹣12﹣13+0﹣17+40+9）＝0，∴50+0＝50（千米）．答：這七天平均每天行駛50千米；（2）50××6.8＝27.2（元），27.2×7＝190.4（元）．答：小亮家這7天的汽油費用大約是190.4元．【考察注意點】本題主要考查了正數和負數，利用有理數的運算得出平均一天的耗油量是解題關鍵．基礎基礎達標一．選擇題1．（2022?富平縣二模）計算﹣2+5的結果是（）A．﹣3 B．3 C．﹣7 D．7【完整解答】解：﹣2+5＝5﹣2＝3．故選：B．2．（2022?蓮湖區二模）計算：﹣3+1＝（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【完整解答】解：﹣3+1＝﹣（|﹣3|﹣|1|）＝﹣2，故選：A．3．（2022?云巖區一模）一個數與2的和為0，則這個數是（）A． B．2 C．﹣2 D．0【完整解答】解：∵﹣2+2＝0，∴與2的和為0的數是﹣2．故選：C．4．（2022?東麗區二模）計算（﹣5）+（﹣3）的值是（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【完整解答】解：原式＝﹣（5+3）＝﹣8．故選：D．5．（2022?白云區模擬）綜合實踐課上，同學們在如圖所示的三階幻方中，填寫了一些數、式子和圖案（其中每個式子或圖案都表示一個數），若處于每一橫行、每一豎列、兩條斜對角線上的3個數之和都相等，則xy的值為（）A．﹣8 B．2 C．16 D．64【完整解答】解：根據題意得：x﹣2+0＝﹣2+y+6＝0+y+2y，解得：x＝8，y＝2，∴xy＝82＝64．故選：D．6．（2022?玄武區二模）計算|﹣3﹣（﹣2）|的結果是（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5【完整解答】解：原式＝|﹣3+2|＝|﹣1|＝1，故選：A．二．填空題7．（2021秋?鐵東區期末）若a是最大的負整數，b是最小的正整數，c的相反數等于它本身，則代數式a﹣b+2c＝﹣2．【完整解答】解：∵a是最大的負整數，b是最小的正整數，c的相反數等于它本身，∴a＝﹣1，b＝1，c＝0，∴a﹣b+2c＝﹣1﹣1+0＝﹣2，故答案為：﹣2．8．（2021秋?井研縣期末）把5+（﹣3）﹣（﹣7）﹣（+2）寫成省略括號和加號的形式是5﹣3+7﹣2．【完整解答】解：原式＝5+（﹣3）+7+（﹣2）＝5﹣3+7﹣2，故答案為：5﹣3+7﹣2．9．（2022春?高港區校級月考）計算：＝0．【完整解答】解：原式＝＝0．故答案為：0．10．（2022?麗水二模）某地周六白天最高溫度+4℃，與夜晚最低氣溫的溫差是6℃，則夜晚最低氣溫是﹣2℃．【完整解答】解：4﹣6＝﹣2（℃），故答案為：﹣2．11．（2022春?鼓樓區校級期中）計算：3+|﹣5|＝8．【完整解答】解：原式＝3+5＝8．故答案為：8．12．（2022春?雨花區校級月考）計算9+95+995++9999…+的結果為數字M，則M中數字1的個數是2019．（如數字131452中有2個1）【完整解答】解：M＝（10﹣1）+（102﹣5）+（103﹣5）+…+（102022﹣5）＝（10+102+103+…+102022）﹣（5×2021+1）＝0﹣10106＝1004．所以M中數字1的個數是2019．故答案為：2019．三．解答題13．（2021秋?利通區校級期末）計算：20+（﹣14）﹣（﹣18）+13．【完整解答】解：20+（﹣14）﹣（﹣18）+13，＝20﹣14+18+13，＝6+31，＝37．14．（2022春?涇陽縣月考）登山隊員王叔叔以某營地為基準，向距該營地500米的頂峰沖擊，由于天氣驟變，攀巖過程中不得不幾次下撤躲避強高空風記王叔叔向上爬升的海拔高度為正數，向下撤退時下降的海拔高度為負數，這次登山的行進過程記錄如下：（單位：米）+260，﹣50，+90，﹣20，+80，﹣25，+105．（1）這次登山王叔叔有沒有登上頂峰？若沒有，最終距頂峰還有多少米？（2）這次登山過程中，每上升或下降1米，平均消耗8千卡的能量，求王叔叔這次登山過程中共消耗了多少能量？【完整解答】解：（1）260﹣50+90﹣20+80﹣25+105＝440（米）．500﹣440＝60（米）．∴這次登山王叔叔沒有登上頂峰，最終矩頂峰還有60米．（2）|+260|+|﹣50|+|+90|+|﹣20|+|+80|+|﹣25|+|+105|＝630（米），630×8＝5040（千卡）．所以王叔叔這次登山過程中共消耗5040千卡的能量．15．（2021秋?普陀區期末）計算：3.43﹣2+6.57﹣5．【完整解答】解：3.43﹣2+6.57﹣5＝（3.43+6.57）﹣（2+5）＝10﹣8＝2．16．（2022春?閔行區校級期中）計算：（﹣0.5）+3+2.75+（﹣5）．【完整解答】解：原式＝[（﹣0.5）+（﹣5.5）]+（3.25+2.75）＝﹣6+6＝0．17．（2022?渦陽縣二模）“九宮圖”傳說是遠古時代洛河中的一個神龜背上的圖案，故又稱“龜背圖”，中國古代數學史上經常研究這一神話．數學上的“九宮圖”所體現的是一個3×3表格，每行的三個數、每列的三個數、斜對角的三個數之和都相等，如圖．（1）求x；（2）在剩下的5個格子里，請你再求出一個格子里的數．（指出某號格子，直接寫出對應的數即可）【完整解答】解：（1）由題意得：﹣5+3+⑤＝⑤+x+，∴﹣5+3＝x+，∴x＝﹣；（2）設①格子里的數為y，由題意得：y+③﹣＝﹣5+③+，∴y﹣＝﹣5+，∴y＝﹣2，∴①格子里的數為﹣2能力提升能力提升一．選擇題1．（2021秋?孟村縣期末）已知圖中各行、各列及對角線上的3個數之和都相等，則y﹣x的值為（）0﹣3y﹣2y4xA．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣2【完整解答】解：∵圖中各行、各列及對角線上的3個數之和都相等，∴0﹣2+x＝﹣2+y+4．∴x＝y+4．∴y﹣x＝﹣4．故選：C．2．（2021秋?西青區期末）冰箱冷凍室的溫度為﹣10℃，此時房屋內的溫度為25℃，則房屋內的溫度比冰箱冷凍室的溫度高（）A．﹣35℃ B．﹣25℃ C．25℃ D．35℃【完整解答】解：25﹣（﹣10）＝25+10＝35（℃），故選：D．3．（2021秋?西青區期末）計算（﹣3）+8的結果等于（）A．11 B．5 C．﹣5 D．﹣11【完整解答】解：（﹣3）+8＝+（8﹣3）＝5，故選：B．4．（2021?寧波模擬）設x和y為兩個自然數，它們的和與差相乘的積是偶數，則x+y與x﹣y（）A．同為偶數 B．同為奇數 C．x+y是偶數，x﹣y是奇數 D．x+y是奇數，x﹣y是偶數【完整解答】解：∵x+y與x﹣y積是偶數，∴x+y與x﹣y不可能都是奇數，而x+y與x﹣y相同，∴x+y與x﹣y都是偶數，故選：A．5．（2020秋?羅湖區校級期末）如果a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|，則下列式子可能成立的是（）A．c＞0，a＜0 B．a＞0，b＞0 C．b＞0，c＜0 D．b＝0【完整解答】解：由題目答案可知a，b，c三數中只有兩正一負或兩負一正兩種情況，如果假設兩負一正情況合理，要使a+b+c＝0成立，則必是b＜0、c＜0、a＞0，否則a+b+c≠0，但題中并無此答案，則假設不成立．于是應在兩正一負的答案中尋找正確答案，若a，b為正數，c為負數時，則：a+b＞c，∴a+b+c≠0，若a，c為正數，b為負數時，則：a+c＞b，只有A符合題意．故選：A．二．填空題6．（2021秋?黔江區期末）某天的最高氣溫是7℃，最低氣溫是﹣3℃，則這天的最高氣溫比最低氣溫高10℃．【完整解答】解：7﹣（﹣3）＝7+3＝10（℃）．故答案為：10．7．（2021秋?龍山縣期末）計算：﹣26﹣（﹣15）＝﹣11．【完整解答】解：原式＝﹣26+15＝﹣11．故答案為：﹣11．8．（2021秋?澄海區期末）計算：|﹣|＝．【完整解答】解：原式＝|﹣|＝，故答案為：．9．（2021秋?凌海市期中）計算（﹣1）﹣（﹣9）+（﹣9）﹣（﹣6）的結果是5．【完整解答】解：原式＝﹣1+9﹣9+6＝5，故答案為：510．（2020秋?夏津縣期末）數軸上表示﹣4.5與2.5之間的所有整數之和是﹣7．【完整解答】解：如圖所示：，數軸上表示﹣4.5與2.5之間的所有整數為：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，故符合題意的所有整數之和是：﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2＝﹣7．故答案為：﹣7．11．（2021秋?鄖西縣月考）我們定義一種新運算，規定：圖表示a﹣b+c，圖形表示﹣x+y﹣z，則+的值為﹣3．【完整解答】解：+＝2﹣3+4+（﹣5+6﹣7）＝2﹣3+4﹣5+6﹣7＝﹣3，故答案為：﹣3．三．解答題12．（2021秋?興山縣期末）﹣4.2+5.7﹣8.4+10．【完整解答】解：原式＝（﹣4.2﹣8.4）+（5.7+10）＝﹣12.6+15.7＝3.1．13．（2021秋?長汀縣校級月考）已知|a|＝6.3，|b|＝3.5，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．【完整解答】解：∵|a|＝6.3，|b|＝3.5，∴a＝±6.3，b＝±3.5，∵|a﹣b|＝b﹣a，∴a﹣b≤0，∴a≤b，∴當a＝﹣6.3，b＝3.5時，a+b＝﹣6.3+3.5＝﹣2.8；當a＝﹣6.3，b＝﹣3.5時，a+b＝﹣6.3+（﹣3.5）＝﹣9.8；∴a+b的值為﹣2.8或﹣9.8．14．（2021秋?嵐皋縣校級月考）已知有理數a，b滿足|a|＝2，|b|＝3，且|a+b|＝a+b，求b﹣a的值．【完整解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，∴a＝±2，b＝±3，∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0，∴當a＝2，b＝3時，b﹣a＝1，當a＝﹣2，b＝3時，b﹣a