上海市金陵中學2025屆數學高二上期末檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某一電子集成塊有三個元件a，b，c并聯構成，三個元件是否有故障相互獨立．已知至少1個元件正常工作，該集成塊就能正常運行．若每個元件能正常工作的概率均為，則在該集成塊能夠正常工作的情況下，有且僅有一個元件出現故障的概率為（）A. B.C. D.2．某地政府為落實疫情防控常態化，不定時從當地780名公務員中，采用系統抽樣的方法抽取30人做核酸檢測.把這批公務員按001到780進行編號，若054號被抽中，則下列編號也被抽中的是（）A.076 B.104C.390 D.5223．如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，為底面內的一動點，若，則動點的軌跡在（）A.圓上 B.雙曲線上C.拋物線上 D.橢圓上4．如圖，在長方體中，，E，F分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．過雙曲線右焦點F作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線交于點B，若，則雙曲線C的離心率為（）A.或 B.2或C.或 D.2或6．直線是雙曲線的一條漸近線，，分別是雙曲線左、右焦點，P是雙曲線上一點，且，則（）A.2 B.6C.8 D.107．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為6π，則橢圓C的標準方程為（）A. B.C. D.8．已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，若，則（）A. B.C. D.9．下列語句中是命題的是A.周期函數的和是周期函數嗎？ B.C. D.梯形是不是平面圖形呢？10．已知直線是圓的對稱軸，過點A作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.811．現有甲、乙、丙、丁、戊五位同學，分別帶著A、B、C、D、E五個不同的禮物參加“抽盲盒”學游戲，先將五個禮物分別放入五個相同的盒子里，每位同學再分別隨機抽取一個盒子，恰有一位同學拿到自己禮物的概率為（）A. B.C. D.12．在等差數列中，為其前項和，若．則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，是側面正方形內一點（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是__________14．若直線與直線平行，則________.15．在數列中，，，記是數列的前項和，則=___.16．已知直線與曲線，在曲線上隨機取一點，則點到直線的距離不大于的概率為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等比數列中，已知，（1）若，求數列的前項和；（2）若以數列中的相鄰兩項，構造雙曲線，求證：雙曲線系中所有雙曲線的漸近線、離心率都相同18．（12分）設函數（Ⅰ）求的單調區間；（Ⅱ）若，為整數，且當時，恒成立，求的最大值．（其中為的導函數．）19．（12分）已知函數.（1）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；（2）解關于的不等式：.20．（12分）在公差為的等差數列中,已知，且成等比數列.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.21．（12分）已知的內角的對邊分別為a，，若向量，且（1）求角的值；（2）已知的外接圓半徑為，求周長的最大值.22．（10分）在數列中，，.（1）證明：數列為等比數列，并求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個元件出現故障，進而結合對立事件的概率公式得，再根據條件概率公式求解即可.【詳解】解：記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個元件出現故障，則為該集成塊不能正常工作，所以，，所以故選：A2、D【解析】根據題意，求得組數與抽中編號的對應關系，即可判斷和選擇.【詳解】從780名公務員中，采用系統抽樣的方法抽取30人做核酸檢測，故需要分為組，每組人，設第組抽中的編號為，設，由題可知：，故可得，故可得.當時，.故選：.3、A【解析】根據題意，得到兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，設，由題意，得到，，再由得到，求出點的軌跡，即可得出結果.【詳解】由題意，兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為底面是邊長為的正方形，則，，因為為底面內的一動點，所以可設，因此，，因為平面，所以，因此，所以由得，即，整理得：，表示圓，因此，動點的軌跡在圓上.故選：A.【點睛】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，靈活運用空間向量的方法求解即可，屬于常考題型.4、A【解析】利用平行線，將異面直線的夾角問題轉化為共面直線的夾角問題，再解三角形.【詳解】取BC中點H，BH中點I，連接AI、FI、，因為E為中點，在長方體中，，所以四邊形是平行四邊形，所以所以，又因為F為的中點，所以，所以，則即為異面直線與所成角(或其補角).設AB=BC=4，則，則,，根據勾股定理：，，，所以是等腰三角形，所以.故B，C，D錯誤.故選：A.5、D【解析】求得點A，B的坐標，利用轉化為坐標比求解.【詳解】不妨設直線，由題意得，解得，即；由得，即，因為，所以，所以當時，，；當時，，則，故選：D6、C【解析】根據漸近線可求出a，再由雙曲線定義可求解.【詳解】因為直線是雙曲線的一條漸近線，所以，，又或，或（舍去），故選：C7、D【解析】設橢圓的方程為，根據題意得到和，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的焦點在軸上，可設橢圓的方程為，因為橢圓C的離心率為，可得，又由，即，解得，又因為橢圓的面積為，可得，即，聯立方程組，解答，所以橢圓方程為.故選：D.8、C【解析】根據橢圓的定義可得，由即可求解.【詳解】由，可得根據橢圓的定義，所以.故選：C9、B【解析】命題是能判斷真假的語句，疑問句不是命題，易知為命題，故選B10、C【解析】首先將圓心坐標代入直線方程求出參數a，求得點A的坐標，由切線與圓的位置關系構造直角三角形從而求得.【詳解】圓即，圓心為，半徑為r=3，由題意可知過圓的圓心，則，解得，點A坐標為，，切點為B則，故選:C【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題.11、D【解析】利用排列組合知識求出每位同學再分別隨機抽取一個盒子，恰有一位同學拿到自己禮物的情況個數，以及五人抽取五個禮物的總情況，兩者相除即可.【詳解】先從五人中抽取一人，恰好拿到自己禮物，有種情況，接下來的四人分為兩種情況，一種是兩兩一對，兩個人都拿到對方的禮物，有種情況，另一種是四個人都拿到另外一個人的禮物，不是兩兩一對，都拿到對方的情況，由種情況，綜上：共有種情況，而五人抽五個禮物總數為種情況，故恰有一位同學拿到自己禮物的概率為.故選：D12、C【解析】利用等差數列的性質和求和公式可求得的值.【詳解】由等差數列的性質和求和公式可得.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】取的中點G，連接FG，BG，FB，由正方體的幾何特征，易證平面AEC//平面BFG，再根據是側面內一點（含邊界），且平面，得到點P在線段BG上運動，然后在等腰中求解.【詳解】如圖所示：取的中點G，連接FG，BG，FB，在正方體中，易得又因為平面BFG，平面BFG，所以平面BFG，同理證得平面BFG，又因為，所以平面AEC//平面BFG，因為是側面內一點（含邊界），且平面，所以點P線段BG上運動，如圖所示：在等腰中，作，且，所以，設點F到線段BG的距離為d，由等面積法得，解得，所以線段長度的取值范圍是，故答案為：14、【解析】根據直線平行的充要條件即可求出【詳解】當時，顯然兩直線不平行，所以依題有，解得故答案為：15、930【解析】當為偶數時，，所以數列前60項中偶數項的和，當為奇數時，，因此數列是以1為首項，公差為2等差數列，前60項中奇數項的和為，所以.考點：遞推數列、等差數列.16、【解析】畫出示意圖，根據圖形分析可知點在陰影部分所對的劣弧上，由幾何概型可求出.【詳解】作出示意圖曲線是圓心為原點，半徑為2的一個半圓.圓心到直線距離，而點到直線的距離為，故若點到直線的距離不大于，則點在陰影部分所對的劣弧上，由幾何概型的概率計算公式知，所求概率為.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明過程見解析.【解析】（1）根據等比數列的通項公式，結合對數的運算性質、等比數列和等差數列前項和公式進行求解即可；（2）根據等比數列的通項公式，結合雙曲線漸近線方程和離心率公式進行證明即可.【小問1詳解】設等比數列的公比為，因為，所以，因此，所以，所以；【小問2詳解】由（1）知，在雙曲線中，，所以得，因此雙曲線的漸近線方程為：，雙曲線的離心率為：，所以雙曲線系中所有雙曲線的漸近線、離心率都相同.18、（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）的定義域為，，分和兩種情況解不等式和即可得單調遞增區間和單調遞減區間；（Ⅱ）由題意可得對于恒成立，分離可得，令，只需，利用導數求最小值即可求解.【詳解】（Ⅰ）函數的定義域為，當時，對于恒成立，此時函數在上單調遞增；當時，由可得；由可得；此時在上單調遞減，在上單調遞增；綜上所述：當時，函數的單調遞增區間為，當時，單調遞減區間為，單調遞增區間為，（Ⅱ）若，由可得，因為，所以，所以所以對于恒成立，令，則，，令，則對于恒成立，所以在單調遞增，因為，，所以在上存在唯一零點，即，可得：，當時，，則，當時，，則，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因為，所以的最大值為.【點睛】方法點睛：利用導數研究函數單調性的方法：（1）確定函數的定義域；求導函數，由（或）解出相應的的范圍，對應的區間為的增區間（或減區間）；（2）確定函數的定義域；求導函數，解方程，利用的根將函數的定義域分為若干個子區間，在這些子區間上討論的正負，由符號確定在子區間上的單調性.19、（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）由題設可得，進而可知在恒成立，即可求參數范圍.（2）題設不等式等價于，討論的大小并根據一元二次不等式的解法求解集即可.【小問1詳解】當時，得，即.由，則，∴，即，∴，即，∴實數的取值范圍是.【小問2詳解】由，即，即.①當時，不等式解集為；②當時，不等式的解集為；③當時，不等式的解集為.綜上，當時﹐不等式的解集為；當時，不等式的解集為﹔當時，不等式的解集為.20、(Ⅰ)或(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由題意求得數列的公差后可得通項公式．(Ⅱ)結合條件可得，分和兩種情況去掉中的絕對值后，利用數列的前n項和公式求解試題解析：（Ⅰ）∵成等比數列，∴，整理得，解得或，當時，;當時，所以或（Ⅱ）設數列前項和為，∵，∴，當時，，∴；當時，綜上21、（1）（2）6【解析】（1）由可得，再利用正弦定理和三角函數恒等變換公可得，從而可求出角的值，（2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理結合基本不等式可得的最大值為4，從而可求出三角形周長的最大值【小問1詳解】由，得

，由正弦定理