浙江強基聯盟2024年10月高一聯考數學試題浙江強基聯盟研究院命制考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。2.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.“是等腰三角形”是“是等邊三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.不等式的解集是（）A. B.C. D.4.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，5.不等式對于任意恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.6.已知全集，集合，，，則陰影部分對應的集合是（）A. B.C. D.7.已知，，，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.8.若，，則的最小值為（）A.8 B.9 C.10 D.11二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若集合，，則（）A. B.C. D.10.已知關于的方程，則（）A.當時，方程只有一個實數根 B.是方程有實數根的必要不充分條件C.該方程不可能有兩個不等正根 D.該方程不可能有兩個不等負根11.若關于的不等式的解集為，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.設，集合，，若，則______.13.已知，，則的取值范圍是______.14.若方程有且僅有一個實數解，則實數取值集合為______四、解答題：本大題共6小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.（10分）已知集合，.（1）若，求實數的取值范圍；（2）若，求實數的取值范圍.16.（12分）解下列不等式（組）：（1） （2） （3）17.（13分）為積極響應國家對于網絡游戲的防沉迷政策，某中學學生會對同學假期游戲時長進行調查.（1）小丁同學某天玩游戲的時長取值范圍為非空集合，合理游戲時長為，若小丁游戲時長在合理游戲時長范圍之內，求的取值范圍；（2）某班共50人，其中10人玩游戲，12人玩游戲，7人玩游戲，已知玩游戲的均不玩游戲，只玩游戲的人數與游戲和游戲都玩的人數相同，只玩游戲的人數與和都玩的人數相同，求班上這三種游戲都不玩的同學人數.18.（13分）現要在閣樓屋頂（可視作如圖所示的銳角三角形）上開一內接矩形窗戶（陰影部分），設其一邊長（單位：）為.（1）若要使窗戶面積不小于2平方米，求的取值范圍；（2）一般認為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應不小于，而且這個比值越大，采光效果越好.（i）若閣樓的窗戶面積與地板面積的總和為16.5平方米，則當邊長為多少米時窗戶面積最小？最小值是多少平方米？（ii）若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，采光效果是變好了還是變壞了？試說明理由.19.（14分）已知二次函數（，且）.（1）若，求該二次函數的最大值；（2）已知該函數的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，若的面積為，求的值；（3）若，，，恒成立，求的取值范圍.20.（15分）設數集滿足：①；②，且，有，則稱數集具有性質.（1）判斷集合，是否具有性質，并說明理由；（2）證明：集合具有性質；（3）求滿足性質的所有三元素集.

浙江強基聯盟2024年10月高一聯考數學卷參考答案與評分標準1.A由，可得.故選A.2.B等腰三角形不一定是等邊三角形，等邊三角形一定是等腰三角形.故選B.3.C原不等式等價于，即.故選C.4.C命題“，”的否定是“，”.故選C.5.D，即.故選D.6.D由圖可知陰影部分對應的集合是集合，故選D.7.D由，可得，即，故A錯誤；由，，可得，所以，故B錯誤；取，，，，則，故C錯誤；，故選D.8.B，當且僅當，時取到最小值9.故選B.9.BCD集合為點集，故選項A錯誤，選項B正確；，，選項C、D正確.故選BCD.10.AC對于A選項，時，方程的解為，故A正確；對于B選項，方程有實數根，則，即，所以或，故B錯誤；對于C選項，，，不可能有兩個不等正根，C正確；對于D選項，當時，方程有2個不等負根，故D錯誤.故選AC.11.AD原不等式等價于，根據的正負討論，當時，解集為，則；當或時，解集不可能為.故選AD.12.0由可得，，則.13.由，可得.14.方程有且僅有一解等價于有一個不等于3的實數解.當時，解為，滿足題意；當時，方程解的情況分為以及但3是方程的解兩種情況，計算可得，.15.解：（1）由得，，所以；（2）由得，所以.16.解：（1）由題意得：，解得，故不等式的解集為；（2）由題意得：解得，故不等式組的解集為；（3）由題意得：，無解.故不等式的解集為.17.解：（1）由題意得，且，解得，故的取值范圍為；（2）設只玩的人數為，由圖得，解得則人.故班上這三種游戲都不玩的同學有28人.18.解：（1）設矩形的另一邊長為，由三角形相似得且，，所以.又矩形面積，解得故的取值范圍為.（2）（i）設地板面積為，解不等式組解得，故當時，窗戶面積最小，此時由（1）可得或.故當為米或米時，窗戶面積最小，最小值為平方米.（ii）設和分別表示原來窗戶面積和地板面積，表示窗戶和地板所增加的面積（面積單位都相同），由題意得：，，則.因為，，所以.又因為，所以.因此，即.所以窗戶和地板同時增加相等的面積，采光條件變好了.19.解：（1）當時，.所以當時，函數有最大值為2；（2）設，，則，是方程的兩個相異根，則，即.由韋達定理知，.，解得.故的值為1或.（3），且恒成立，即恒成立，則即所以.故的取值范圍為.20.解：（1）若，，則，故集合不具有性質；集合中元素均為整數，滿足①，且，，，滿足②，故集合具有性質.（2）證明：①，；②且，，則集合具有性質.（3），.證明：對于三元素集，