PAGEPAGE7課時過關檢測(六十七)列聯表與獨立性檢驗A級——基礎達標1．想要檢驗是否喜愛參與體育活動與性別有關，應當檢驗()A．零假設H0：男性喜愛參與體育活動B．零假設H0：女性不喜愛參與體育活動C．零假設H0：喜愛參與體育活動與性別有關D．零假設H0：喜愛參與體育活動與性別無關解析：D獨立性檢驗假設有反證法的意味，應假設兩類變量(而非變量的屬性)無關，這時的χ2應當很小，假如χ2很大，則可以否定假設，假如χ2很小，則不能夠確定或者否定假設．2．為了探討中學學生對鄉村音樂的看法(喜愛和不喜愛兩種看法)與性別的關系，運用2×2列聯表進行獨立性檢驗，經計算得χ2＝7．01，則認為“喜愛鄉村音樂與性別有關系”的把握約為()A．0．1% B．1%C．99% D．99．9%解析：C易知χ2＝7．01>6．635＝x0．01，比照臨界值表知，有99%的把握認為喜愛鄉村音樂與性別有關系．3．(2024·湖北四校聯考)兩個分類變量X和Y，值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數分別是a＝10，b＝21，c＋d＝35．若X與Y有關系的可信程度不小于97．5%，則c等于()A．3 B．4C．5 D．6附：α0．050．025xα3．8415．024解析：A列2×2列聯表如下：XY合計y1y2x1102131x2cd35合計10＋c21＋d66故χ2＝eq\f(66×[1035－c－21c]2,31×35×10＋c56－c)≥5．024．把選項A、B、C、D代入驗證可知選A．4．針對“中學生追星問題”，某校團委對“學生性別和中學生追星是否有關”作了一次調查，調查樣本中女生人數是男生人數的eq\f(1,2)，男生追星的人數占男生人數的eq\f(1,6)，女生追星的人數占女生人數的eq\f(2,3)，若在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認為是否追星和性別有關，則調查樣本中男生至少有()參考數據及公式如下：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，α0．0500．0100．001xα3．8416．63510．828A．12人 B．11人C．10人 D．18人解析：A設男生人數為x，依題意可得列聯表如下：單位：人性別追星合計喜愛追星不喜愛追星男生eq\f(x,6)eq\f(5x,6)x女生eq\f(x,3)eq\f(x,6)eq\f(x,2)合計eq\f(x,2)xeq\f(3x,2)若在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認為是否喜愛追星和性別有關，則χ2>3．841，由χ2＝eq\f(\f(3x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)－\f(5x2,18)))2,\f(x,2)·x·x·\f(x,2))＝eq\f(3,8)x>3．841，解得x>10．24，因為eq\f(x,2)，eq\f(x,6)為整數，所以若在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認為是否喜愛追星和性別有關，則男生至少有12人．故選A．5．(多選)有兩個分類變量X，Y，其列聯表如下所示，Y1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a,15－a均為大于5的整數，依據小概率值α＝0．05的χ2獨立性檢驗，認為X，Y有關，則a的值可能為()A．8 B．9C．7 D．6解析：AB依據公式，得χ2＝eq\f(65×[a30＋a－15－a20－a]2,20×45×15×50)＝eq\f(13×13a－602,20×45×3×2)>3．841＝x0．05，依據a>5且15－a>5，a∈Z，求得當a＝8或9時滿意題意．6．(多選)下列關于χ2的說法正確的是()A．依據2×2列聯表中的數據計算得出χ2＝6．735＞6．635＝x0．01，則有99%的把握認為兩個分類變量有關系B．χ2越大，認為兩個分類變量有關系的把握性就越大C．χ2是用來推斷兩個分類變量有關系的可信程度的隨機變量D．χ2＝eq\f(nad－bc,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量解析：ABCD選項的公式中分子應當是n(ad－bc)2．故選A、B、C．7．世界杯期間，某一電視臺對年齡高于40歲和不高于40歲的人是否喜愛西班牙隊進行調查，對高于40歲的調查了50人，不高于40歲的調查了50人，所得數據制成如下列聯表：單位：人年齡是否喜愛西班牙隊合計不喜愛西班牙隊喜愛西班牙隊高于40歲pq50不高于40歲153550合計ab100若工作人員從全部統計結果中任取一個，取到喜愛西班牙隊的人的概率為eq\f(3,5)，則在犯錯誤的概率不超過________下認為年齡與西班牙隊的被喜愛程度有關．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)．α0．150．100．050．0250．0100．0050．001xα2．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828解析：設“從全部人中隨意抽取一個，取到喜愛西班牙隊的人”為事務A，由已知得P(A)＝eq\f(q＋35,100)＝eq\f(3,5)，所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60．χ2＝eq\f(100×25×35－25×152,40×60×50×50)＝eq\f(25,6)≈4．167>3．841＝x0．05．依據小概率值α＝0．05的χ2獨立性檢驗，在犯錯的概率不超過5%下認為年齡與西班牙隊的被喜愛程度有關．答案：5%8．探討人員選取170名青年男女高校生的樣本，對他們進行一種心理測驗，發覺有60名女生對該心理測驗中的最終一個題目的反應是：作確定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的項目上作確定的有22名，否定的有88名．問：性別與看法之間是否存在某種關系？分別用下面兩種方法進行檢驗：(1)用等高積累條形圖；(2)依據小概率值α＝0．025的獨立性檢驗．解：建立性別與看法的2×2列聯表如下：單位：人性別看法合計確定否定男生2288110女生223860合計44126170依據列聯表中所給的數據，可求出男生中作確定看法的頻率為eq\f(22,110)＝0．2，女生中作確定看法的頻率為eq\f(22,60)≈0．37．作等高條形圖如圖，其中兩個深色條形的高分別表示男生和女生中作確定看法的頻率，比較圖中深色條形的高可以發覺，女生中作確定看法的頻率明顯高于男生中作確定看法的頻率，因此可以認為性別與看法有關系．零假設為H0：性別和看法沒有關系．依據列聯表中的數據得到χ2＝eq\f(170×22×38－22×882,110×60×44×126)≈5．622>5．024＝x0．025．依據小概率值α＝0．025的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為性別和看法有關系，此推斷認為犯錯誤的概率不大于0．025．B級——綜合應用9．某校對學生進行心理障礙測試，得到的數據如下表：焦慮說謊懶散總計女生5101530男生20105080總計252065110依據以上數據可推斷在這三種心理障礙中，與性別關系最大的是()A．焦慮 B．說謊C．懶散 D．以上都不對解析：B對于焦慮，說謊，懶散三種心理障礙，設它們觀測值分別為χeq\o\al(2,1)，χeq\o\al(2,2)，χeq\o\al(2,3)，由表中數據可得：χeq\o\al(2,1)＝eq\f(110×5×60－25×202,30×80×25×85)≈0．863，χeq\o\al(2,2)＝eq\f(110×10×70－20×102,30×80×20×90)≈6．366，χeq\o\al(2,3)＝eq\f(110×15×30－15×502,30×80×65×45)≈1．410，因為χeq\o\al(2,2)的值最大，所以說謊與性別關系最大．故選B．10．某旅行社為調查市民喜愛“人文景觀”景點是否與年齡有關，隨機抽取了55名市民，得到數據如下表所示：喜愛不喜愛合計大于40歲2052520歲至40歲102030合計302555依據小概率值α＝0．005的獨立性檢驗，________推斷出在犯錯誤的概率不大于0．005的狀況下認為喜愛“人文景觀”景點與年齡有關(填“能”或“不能”)．解析：零假設為H0：喜愛“人文景觀”景點與年齡無關．由公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得，χ2≈11．978>7．879＝x0．005，依據小概率值α＝0．005的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為喜愛“人文景觀”景點與年齡有關，此推斷認為犯錯誤的概率不大于0．005．答案：能11．為調查某社區居民的業余生活狀況，探討這一社區居民在20：00～22：00時間段的休閑方式與性別的關系，隨機調查了該社區80人，得到下面的數據表：單位：人性別休閑方式合計看電視看書男105060女101020合計206080(1)依據小概率值α＝0．01的獨立性檢驗，能否認為“在20：00～22：00時間段居民的休閑方式與性別有關系”？(2)將此樣本的頻率估計為總體的概率，在該社區的全部男性中隨機調查3人，設調查的3人在這一時間段以看書為休閑方式的人數為隨機變量X，求X的數學期望和方差．解：(1)零假設為H0：在20：00～22：00時間段居民的休閑方式與性別無關系，依據2×2列聯表得，χ2＝eq\f(80×10×10－10×502,60×20×20×60)＝eq\f(80,9)≈8．889>6．635＝x0．01，依據小概率值α＝0．01的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為“在20：00～22：00時間段居民的休閑方式與性別有關系”，此推斷認為犯錯誤的概率不超過0．01．(2)由題意得，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,6)))，且P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))3－k，k＝0,1,2,3，故E(X)＝np＝3×eq\f(5,6)＝eq\f(5,2)，D(X)＝np(1－p)＝3×eq\f(5,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)．C級——遷移創新12．國家創新指數是反映一個國家科學技術和創新競爭力的綜合指數．對國家創新指數得分排名前40的國家的有關數據進行收集、整理、描述和分析．下面給出了部分信息：①國家創新指數得分的頻率分布直方圖(數據分成7組：30≤x<40,40≤x<50,50≤x<60,60≤x<70，70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)．②國家創新指數得分在60≤x<70這一組的是：61．7,62．4,63．6,65．9,66．4,68．5,69．1,69．3,69．5．③40個國家的人均國內生產總值(萬美元)和國家創新指數得分狀況統計圖：④中國的國家創新指數得分為69．5，人均國內生產總值9960美元．(以上數據來源于《國家創新指數報告(2024)》)依據以上信息，解答下列問題：(1)中國的國家創新指數得分排名世界第幾？(2)是否有99．9%的把握認為“人均國內生產總值影響國家創新指數得分”？(3)用(1)(2)得到的結論，結合所學學問，合理說明④中客觀存在的數據．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)．α0．0500．0100．001xα3．8416．63510．828解：(1)由國家創新指數得分的頻率分布直方圖可得，“國家創新指數得分”在70≤x≤100的頻率為(0．03＋0．005＋0．005)×10＝0．4．因此，中國的國家創新指數得分排名為0．4×40＋1＝17．(2)由40個國家的人均國內生產總值和國家創新指數得分狀況統計圖可得2×2列聯表如下：國家創新指數得分人均國內生產總值合計人均國內生產總值≤