專練19動量和能量觀點的綜合應用1．如圖1所示，P物體推壓著輕彈簧置于A點，Q物體放在B點靜止，P和Q為質量均為m＝1kg的物體，它們的大小相對于軌道來說可忽略．光滑軌道ABCD中的AB部分水平，BC部分為曲線，CD部分為直徑d＝5m的圓弧的一部分，該圓弧軌跡與地面相切，D點為圓弧的最高點，各段連接處對滑塊的運動無影響．現松開P物體，P沿軌道運動至B點，與Q相碰后不再分開，最后兩物體從D點水平拋出，測得水平射程s＝2m．(g＝10m/s2)求：圖1(1)兩物體水平拋出時的速率．(2)兩物體運動到D點時對圓弧的壓力N.(3)輕彈簧被壓縮時的彈性勢能Ep.答案(1)2m/s(2)16.8N(3)208J解析(1)兩物體從D點開始做平拋運動，設拋出時的速率為v1，有：d＝eq\f(1,2)gt2 ①s＝v1t ②解得：v1＝2m/s ③(2)兩物體在最高點時，有：2mg－N＝2meq\f(v\o\al(2,1),\f(1,2)d) ④解得：N＝16.8N ⑤由牛頓第三定律知兩物體在D點對圓弧的壓力為16.8N ⑥(3)設P在碰撞前瞬間速率為v0，碰撞后瞬間速率為v2，兩物體碰撞過程動量守恒，由動量守恒定律得：mv0＝2mv2 ⑦兩物體碰后從B滑至D，由機械能守恒得：eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,2)＝eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,1)＋2mgd ⑧P被輕彈簧彈出過程，由機械能守恒定律得：Ep＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0) ⑨聯立③⑦⑧⑨式得：Ep＝208J ⑩2．如圖2所示，有一個豎直固定在地面的透氣圓筒，筒中有一勁度系數為k的輕彈簧，其下端固定，上端連接一質量為m的薄滑塊，圓筒內壁涂有一層新型智能材料——ER流體，它對滑塊的阻力可調．起初，滑塊靜止，ER流體對其阻力為0，彈簧的長度為L.現有一質量也為m的物體從距地面2L處自由落下，與滑塊碰撞后粘在一起向下運動．為保證滑塊做勻減速運動，且下移距離為eq\f(2mg,k)時速度減為0，ER流體對滑塊的阻力須隨滑塊下移而變化．試求(忽略空氣阻力)：圖2(1)下落物體與滑塊碰撞過程中系統損失的機械能；(2)滑塊下移距離d時ER流體對滑塊阻力的大小．(3)已知彈簧的彈性勢能的表達式為Ep＝eq\f(1,2)kx2(式中k為彈簧勁度系數，x為彈簧的伸長或壓縮量)，試求：兩物體碰撞后粘在一起向下運動eq\f(2mg,k)距離，速度減為零的過程中，ER流體對滑塊的阻力所做的功．答案(1)eq\f(1,2)mgL(2)mg＋eq\f(kL,4)－kd(3)－eq\f(1,2)mgL解析(1)設下落物體與薄滑塊碰撞前瞬間的速度大小為v0，由機械能守恒定律，得mgL＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0) ①解得：v0＝eq\r(2gL)設碰后共同速率為v1，由動量守恒定律，得2mv1＝mv0 ②解得：v1＝eq\f(1,2)eq\r(2gL)碰撞過程中系統損失的機械能E損＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)×2m·veq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)mgL(2)設加速度大小為a，有2a·eq\f(2mg,k)＝veq\o\al(2,1) ③得a＝eq\f(kL,8m)設彈簧彈力為F彈，ER流體對滑塊的阻力為FER，受力分析如圖所示，有 F彈＋FER－2mg＝2ma ④下滑距離為d時，F彈＝mg＋kd ⑤聯立③④⑤三式解得：FER＝mg＋eq\f(kL,4)－kd(3)從碰撞結束瞬間到下滑至最低點的過程中，重力做功為：WG＝2mg·eq\f(2mg,k)＝eq\f(4m2g2,k) ⑥彈性勢能的變化為：ΔEp＝eq\f(1,2)k(eq\f(mg,k)＋eq\f(2mg,k))2－eq\f(1,2)k(eq\f(mg,k))2＝eq\f(4m2g2,k) ⑦所以重力做功恰等于彈性勢能的增加，所以ER流體做功等于動能變化WER＝0－eq\f(1,2)×2m·veq\o\al(2,1)＝－eq\f(1,2)mgL ⑧[另解：2mg·eq\f(2mg,k)＋WER－W彈＝0－eq\f(1,2)×2mveq\o\al(2,1)彈力做功W彈＝eq\f(1,2)k(eq\f(mg,k)＋eq\f(2mg,k))2－eq\f(1,2)k(eq\f(mg,k))2聯立上面兩式解得：WER＝－eq\f(1,2)mgL]3．如圖3所示，固定在地面上的光滑軌道AB、CD，均為半徑為R的eq\f(1,4)圓弧．一質量為m、上表面長也為R的小車靜止在光滑水平面EF上，小車上表面與軌道AB、CD的末端B、C相切．一質量為m的物體(大小不計)從軌道AB的A點由靜止下滑，由末端B滑上小車，小車在摩擦力的作用下向右運動．當小車右端與壁CF接觸前的瞬間，物體m恰好滑動到小車右端相對于小車靜止，同時小車與CF相碰后立即停止運動但不粘連，物體則繼續滑上軌道CD.求：圖3(1)物體滑上軌道CD前瞬間的速率；(2)水平面EF的長度；(3)當物體再從軌道CD滑下并滑上小車后，如果小車與壁BE相碰后速度也立即變為零，最后物體m停在小車上的Q點，則Q點距小車右端多遠？答案(1)eq\f(\r(2gR),2)(2)eq\f(3,2)R(3)eq\f(3,8)R解析(1)設物體從A滑至B時速率為v0，根據機械能守恒定律有：mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)v0＝eq\r(2gR)物體與小車相互作用過程中，系統動量守恒，設共同速度為v1，有：mv0＝2mv1解得物體滑上軌道CD前瞬間的速率：v1＝eq\f(\r(2gR),2)(2)設物體與小車上表面之間的摩擦力為f，根據動能定理，對物體有：－fsEF＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)對小車有：f(sEF－R)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)(或對系統根據能量守恒定律有：fR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)×2mveq\o\al(2,1))得f＝eq\f(1,2)mgsEF＝eq\f(3,2)R(3)設物體從CD滑下后與小車相對靜止時共同速率為v2，相對小車滑行的距離為s1，小車停后物體做勻減速運動，相對小車滑行的距離為s2，根據動量守恒和能量守恒有：mv1＝2mv2fs1＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)×2mveq\o\al(2,2)對物體根據動能定理有：fs2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)解得s1＝eq\f(1,4)Rs2＝eq\f(1,8)R則Q點距小車右端距離：s＝s1＋s2＝eq\f(3,8)R4．如圖4所示，一長度L＝3m，高h＝0.8m，質量為M＝1kg的物塊A靜止在水平面上．質量為m＝0.49kg的物塊B靜止在A的最左端，物塊B與A相比大小可忽略不計，它們之間的動摩擦因數μ1＝0.5，物塊A與地面之間的動摩擦因數μ2＝0.1.一個質量為m0＝0.01kg的子彈(可視為質點)，以速度v0沿水平方向射中物塊B，假設在任何情況下子彈均不能穿出．g＝10m/s2，問：圖4(1)子彈以v0＝400m/s擊中物塊B后的瞬間，它們的速度為多少？(2)被擊中的物塊B在A上滑動的過程中，A、B的加速度各為多少？(3)子彈速度為多少時，能使物塊B落地瞬間A同時停下？答案(1)均為8m/s(2)aA＝1m/s2，方向水平向右aB＝5m/s2，方向水平向左(3)435m/s解析(1)子彈擊中B過程中，由動量守恒定律可知：m0v0＝(m0＋m)v解得：v＝8m/s(2)由牛頓第二定律可得：對B：μ1(m0＋m)g＝(m0＋m)aBaB＝5m/s2方向水平向左對A：μ1(m0＋m)g－μ2(m0＋m＋M)g＝MaAaA＝1m/s2方向水平向右(3)如圖所示，子彈擊中B過程中，由動量守恒定律可得：m0v0′ ＝(m0＋m)vB1設B在A上運動的時間為t1，則：sB－sA＝L即：(vB1t1－eq\f(1,2)aBteq\o\al(2,1))－eq\f(1,2)aAteq\o\al(2,1)＝LB做平拋運動的時間為t2，h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)aA′＝eq\f(μ2Mg,M)＝μ2g＝1m/s20＝aAt1－aA′t2聯立求解得：子彈速率v0′＝eq\f(m0＋m,m0)vB1＝435m/s【必考模型2】動量和能量的綜合問題1．模型特點：題目中往往出現兩個(或多個)物體組成的相互作用的系統，作用前(或后)物體經歷多個運動過程．2．表現形式：(1)動量守恒常考的內力形式：①彈簧的彈力作