天津市南開區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知經(jīng)過，兩點的直線AB與直線l垂直，則直線l的傾斜角是（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．拋物線的焦點坐標(biāo)為（）A． B． C． D．3．如圖所示的函數(shù)圖象，對應(yīng)的函數(shù)解析式可能是（）A． B． C． D．4．盒中裝有10個乒乓球，其中6個新球，4個舊球，不放回地依次取出2個球使用，在第一次取出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為（）A． B． C． D．5．“三個臭皮匠，賽過諸葛亮”，這是我們常說的口頭禪，主要是說集體智慧的強大.假設(shè)李某智商較高，他獨自一人解決項目M的概率為；同時，有個水平相同的人也在研究項目M，他們各自獨立地解決項目M的概率都是.現(xiàn)在李某單獨研究項目M，且這個人組成的團(tuán)隊也同時研究項目M，設(shè)這個人團(tuán)隊解決項目M的概率為，若，則的最小值是()A．3 B．4 C．5 D．66．已知直線與拋物線交于、兩點，若四邊形為矩形，記直線的斜率為，則的最小值為（）．A．4 B． C．2 D．7．我市擬向新疆哈密地區(qū)的三所中學(xué)派出5名教師支教，要求每所中學(xué)至少派遣一名教師，則不同的派出方法有（）A．300種 B．150種 C．120種 D．90種8．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上是減函數(shù)，則（）A．- B．1或2 C．1 D．29．六安一中高三教學(xué)樓共五層，甲、乙、丙、丁四人走進(jìn)該教學(xué)樓2~5層的某一層樓上課，則滿足且僅有一人上5樓上課，且甲不在2樓上課的所有可能的情況有（）種A．27 B．81 C．54 D．10810．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．11．設(shè)地球的半徑為R，在緯度為的緯線圈上有A,B兩地，若這兩地的緯線圈上的弧長為，則A,B兩地之間的球面距離為（）A． B． C． D．12．甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有（）A．36種 B．48種 C．96種 D．192種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在三棱柱中，底面，，，是的中點，則直線與所成角的余弦值為__________．14．一個直三棱柱的每條棱長都是，且每個頂點都在球的表面上，則球的表面積為________15．若對滿足的任意正實數(shù),都有,則實數(shù)的取值范圍為____________.16．若，，，且的最小值是___.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標(biāo)系中，直線，為直線上一點，且點在極軸上方以為一邊作正三角形（逆時針方向），且面積為.（1）求點Q的極坐標(biāo)；（2）寫出外接圓的圓心的極坐標(biāo)，并求外接圓與極軸的相交弦長.18．（12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，M是的中點，是的中點，點在上，且滿足.（1）證明：.（2）當(dāng)取何值時，直線與平面所成的角最大？并求該角最大值的正切值.（3）若平面與平面所成的二面角為，試確定P點的位置.19．（12分）已知函數(shù)在與時都取得極值．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.20．（12分）設(shè)且，函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處切線的斜率；（2）求函數(shù)的極值點．21．（12分）已知橢圓C:的離心率為，且過點（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線：交橢圓C于A、B兩點，0為坐標(biāo)原點，求△OAB面積的最大值.22．（10分）為豐富市民的文化生活，市政府計劃在一塊半徑為200m，圓心角為的扇形地上建造市民廣場，規(guī)劃設(shè)計如圖：內(nèi)接梯形區(qū)域為運動休閑區(qū)，其中A，B分別在半徑，上，C，D在圓弧上，；上，；區(qū)域為文化展區(qū)，長為，其余空地為綠化區(qū)域，且長不得超過200m.(1)試確定A，B的位置，使的周長最大？(2)當(dāng)?shù)闹荛L最長時，設(shè)，試將運動休閑區(qū)的面積S表示為的函數(shù)，并求出S的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

首先求直線的斜率，再根據(jù)兩直線垂直，求直線的斜率，以及傾斜角.【詳解】，，，直線l的傾斜角是.故選B.本題考查了兩直線垂直的關(guān)系，以及傾斜角和斜率的基本問題，屬于簡單題型.2、C【解析】

根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出拋物線的焦點坐標(biāo).【詳解】由題意可知，拋物線的焦點坐標(biāo)為，故選：C.本題考查拋物線焦點坐標(biāo)的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

對B選項的對稱性判斷可排除B.對選項的定義域來看可排除，對選項中，時，計算得，可排除，問題得解．【詳解】為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，排除B.函數(shù)的定義域為，排除.對于，當(dāng)時，，排除故選D本題主要考查了函數(shù)的對稱性、定義域、函數(shù)值的判斷與計算，考查分析能力，屬于中檔題．4、C【解析】試題分析：在第一次取出新球的條件下，盒子中還有9個球，這9個球中有5個新球和4個舊球，故第二次也取到新球的概率為考點：古典概型概率5、B【解析】

設(shè)這個人團(tuán)隊解決項目的概率為，則，由，得，由此能求出的最小值．【詳解】李某智商較高，他獨自一人解決項目的概率為，有個水平相同的人也在研究項目，他們各自獨立地解決項目的概率都是0.1，現(xiàn)在李某單獨研究項目，且這個人組成的團(tuán)隊也同時研究，設(shè)這個人團(tuán)隊解決項目的概率為，則，，，解得．的最小值是1．故選．本題考查實數(shù)的最小值的求法，考查次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生次的概率的計算公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．6、B【解析】

設(shè)直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,根據(jù),借助韋達(dá)定理化簡得.根據(jù),相互平分,由中點坐標(biāo)公式可得,即可求得,根據(jù)基本不等式即可求得最小值.【詳解】設(shè),,設(shè)直線:將直線與聯(lián)立方程組,消掉:得:由韋達(dá)定理可得:┄①,┄②，故,可得:┄③，，是上的點,,可得:┄④由③④可得:,結(jié)合②可得:和相互平分,由中點坐標(biāo)公式可得，結(jié)合①②可得:,，故，根據(jù)對勾函數(shù)(對號函數(shù))可知時,.(當(dāng)且僅當(dāng))時,.(當(dāng)且僅當(dāng))所以.故選:B.本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,通過聯(lián)立直線方程與拋物線方程的方程組,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式,確定函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.7、B【解析】分析：根據(jù)題意，先選后排.①先選，將5名教師分成三組，有兩種方式，即1，1，3與1，2，2，注意去除重復(fù)部分；②后排，將分好的三組全排列，即可得到答案.詳解：根據(jù)題意：分兩步計算（1）將5名教師分成三組，有兩種方式即1，1，3與1，2，2；①分成1，1，3三組的方法有②分成1，2，2三組的方法有一共有種的分組方法；（2）將分好的三組全排列有種方法.則不同的派出方法有種.故選B.點睛：對于排列組合混合問題，可先選出元素，再排列。8、C【解析】分析：由為偶數(shù)，且，即可得結(jié)果.詳解：冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上是減函數(shù)，為偶數(shù)，且，解得，故選C.點睛：本題考查冪函數(shù)的定義、冪函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用，意在考查綜合利用所學(xué)知識解決問題的能力.9、B【解析】

以特殊元素甲為主體，根據(jù)分類計數(shù)原理，計算出所有可能的情況，求得結(jié)果.【詳解】甲在五樓有33甲不在五樓且不在二樓有C3由分類加法計數(shù)原理知共有54+27=81種不同的情況，故選B.該題主要考查排列組合的有關(guān)知識，需要理解排列組合的概念，根據(jù)題目要求分情況計數(shù)，屬于簡單題目.10、D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數(shù)，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．11、D【解析】

根據(jù)緯線圈上的弧長為求出A,B兩地間的徑度差，即可得出答案。【詳解】設(shè)球心為O，緯度為的緯線圈的圓心為O′，則∠O′AO=,∴O′A=OAcos∠O′AO=Rcos,設(shè)A,B兩地間的徑度差的弧度數(shù)為，則Rcos=,∴=,即A,B兩地是⊙O′的一條直徑的兩端點，∴∠AOB=,∴A,B兩地之間的球面距離為．答案：D．本題涉及到了地理相關(guān)的經(jīng)緯度概念。學(xué)生需理解其基本概念，將題干所述信息轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)相關(guān)知識求解。12、C【解析】試題分析：設(shè)4門課程分別為1，2，3，4，甲選修2門，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6種情況，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4種情況，∴不同的選修方案共有6×4×4=96種，故選C．考點：分步計數(shù)原理點評：本題需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一種方案，用列舉法找到相應(yīng)的組合即可．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：記中點為E，則，則直線與所成角即為與所成角，設(shè)，從而即可計算.詳解：記中點為E，并連接，是的中點，則，直線與所成角即為與所成角，設(shè)，，.故答案為.點睛：(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．(2)求異面直線所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求”．其中空間選點任意，但要靈活，經(jīng)常選擇“端點、中點、等分點”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進(jìn)行平移，作出異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問題，進(jìn)而求解．14、【解析】

設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為，則球心為線段的中點，利用勾股定理求出球的半徑，由此能求出球的表面積．【詳解】∵一個直三棱柱的每條棱長都是，且每個頂點都在球的球面上，∴設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為，則球心為線段的中點，設(shè)球的半徑為，則∴球的表面積.故答案為：．本題考查球的表面積的求法，空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、屬于中檔題．15、【解析】分析：正實數(shù)滿足，可求得，由可求得恒成立，利用雙鉤函數(shù)性質(zhì)可求得a的取值范圍.詳解：因為，又因為正實數(shù)滿足解得：由可求得根據(jù)雙鉤函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時有最小值所以的取值范圍為點睛：（1）基本不等式是每年高考中必考的考點，要熟練掌握；（2）恒成立問題要注意首選方法是分離參數(shù)，將參數(shù)分離后讓不等式的另一邊構(gòu)造為一個新函數(shù)，從而解決新函數(shù)的最值是這類問題的基本解題思路.16、9【解析】

根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合乘“1”法求出代數(shù)式的最小值即可．【詳解】∵，，，,當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立，故答案為9.本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2），弦長為2【解析】

（1）設(shè)，由面積為，得，結(jié)合直線l方程可得解，由于為以為一邊的正三角形，因此的極角為，結(jié)合可得解.（2）由于為正三角形，可得到其外接圓的半徑，圓心，求解圓心到極軸的距離，即可得解.【詳解】解：（1）直線，設(shè)，由面積為得，，故由于為以為一邊的正三角形（逆時針方向）因此的極角為.且，所以，．（2）由于為正三角形，得到其外接圓的半徑，圓心，圓心到極軸的距離，外接圓與極軸的相交弦長為.本題考查了極坐標(biāo)幾何意義的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】

（1）以AB，AC，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點的坐標(biāo)及對應(yīng)向量的坐標(biāo)，易判斷，即；（2）設(shè)出平面ABC的一個法向量，我們易表達(dá)出，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性及正切函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，求出滿足條件的值，進(jìn)而求出此時的正線值；（3）平面PMN與平面ABC所成的二面角為，則平面PMN與平面ABC法向量的夾角余弦值的絕對值為，代入向量夾角公式，可以構(gòu)造一個關(guān)于的方程，解方程即可求出對應(yīng)值，進(jìn)而確定出滿足條件的點P的位置．【詳解】（1）證明：如圖，以AB，AC，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，從而，，，所以．（2）平面ABC的一個法向量為，則（※）．而，當(dāng)最大時，最大，無意義，除外，由（※）式，當(dāng)時，，．（3）平面ABC的一個法向量為．設(shè)平面PMN的一個法向量為，由（1）得．由得，解得，令，得，∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為，∴，解得．故點P在的延長線上，且．本題考查的知識點是向量評議表述線線的垂直、平等關(guān)系，用空間向量求直線與平面的夾角，用空間向量求平面間的夾角，其中熟練掌握向量夾角公式是解答此類問題的關(guān)鍵．19、（1）；（2）增區(qū)間是和，減區(qū)間是．【解析】

⑴求出，并令其為得到方程，把與代入求出的值⑵求出，分別令，，求出的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【詳解】⑴，由解得⑵由⑴可知令，解得令，解得或的增區(qū)間是和，減區(qū)間為本題考查的是函數(shù)在某點取得極值的條件以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，較為基礎(chǔ)，只要運用法則來求解即可。20、(1).(2)見解析.【解析】試題分析：（1）由已知中函數(shù)，根據(jù)a=2，我們易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切線的斜率k=f′（3）．（2）由已知我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)值為0，我們則求出導(dǎo)函數(shù)的零點，根據(jù)m＞0，我們可將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，分別在每個區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得到函數(shù)函數(shù)f（x）的極值點．試題解析：(1)由已知得x>0.當(dāng)a＝2時，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，所以曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率為.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝.由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.①當(dāng)0<a<1時，當(dāng)x∈(0，a)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(a,1)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．此時x＝a時f(x)的極大值點，x＝1是f(x)的極小值點．②當(dāng)a>1時，當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，a)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．此時x＝1是f(x)的極大值點，x＝a是f(x)的極小值點．綜上，當(dāng)0<a<1時，x＝a是f(x)的極大值點，x＝1是f(x)的極小值點；當(dāng)a>1時，x＝1是f(x)的極大值點，x＝a是f(x)的極小值點．點睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，屬于中檔題.求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個極值點，則在該處即是極值也是最值.21、(1);(2).【解析】分析：（1）由離心率和過點建立等式方程組求解即可