專題31單變量恒成立之最值分析法【方法總結】單變量恒成立之最值分析法遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立問題時，一般采用作差法，構造“左減右”的函數h(x)＝f(x)－g(x)或“右減左”的函數u(x)＝g(x)－f(x)，進而只需滿足h(x)min≥0或u(x)max≤0，將比較法的思想融入函數中，轉化為求解函數最值的問題，適用范圍較廣，但是往往需要對參數進行分類討論．【例題選講】[例1]已知函數f(x)＝ex(ex－a)－a2x．(1)討論f(x)的單調性；(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍．[例2]已知函數f(x)＝xlnx－ax＋1(a∈R)．(1)討論f(x)在(1，＋∞)上的零點個數；(2)當a>1時，若存在x∈(1，＋∞)，使得f(x)<(e－1)·(a－3)，求實數a的取值范圍．[例3]已知函數f(x)＝alnx＋xb(a≠0)．(1)當b＝2時，討論函數f(x)的單調性；(2)當a＋b＝0，b>0時，對任意的x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))，恒有f(x)≤e－1成立，求實數b的取值范圍．[例4]已知a∈R，設函數f(x)＝aln(x＋a)＋lnx．(1)討論函數f(x)的單調性；(2)若f(x)≤＋lneq\f(x,a)－1恒成立，求實數a的取值范圍．[例5](2017·全國Ⅲ)已知函數f(x)＝x－1－alnx．(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)設m為整數，且對于任意正整數n，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)))＜m，求m的最小值．[例6]已知函數f(x)＝xlnx－a(x－1)2－x＋1(a∈R)．(1)當a＝0時，求f(x)的極值；(2)若f(x)<0對x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范圍．[例7](2020·全國Ⅰ)已知函數f(x)＝ex＋ax2－x．(1)當a＝1時，討論f(x)的單調性；(2)當x≥0時，f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1，求a的取值范圍．[例8](2020·新高考Ⅰ)已知函數f(x)＝aex－1－lnx＋lna．(1)當a＝e時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．[例9]已知函數f(x)＝alnx－ex．(1)討論f(x)的極值點的個數；(2)若a∈N*，且f(x)<0恒成立，求a的最大值．參考數據：x1.61.71.8ex4.9535.4746.050lnx0.4700.5310.588【對點訓練】1．函數f(x)＝x2－2ax＋lnx(a∈R).(1)若函數y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x－2y＋1＝0垂直，求a的值；(2)若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3在區間(0，e]上恒成立，求實數a的取值范圍．2．已知函數f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋ax，其中a為常數．(1)當a＝2時，求函數f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)若對任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求實數a的取值范圍．3．已知函數f(x)＝ex－a．(1)若函數f(x)的圖象與直線l：y＝x－1相切，求a的值；(2)若f(x)－lnx>0恒成立，求整數a的最大值．4．已知函數f(x)＝x2＋(a＋1)x－lnx，g(x)＝x2＋x＋2a＋1．(1)若f(x)在(1，＋∞)上單調遞增，求實數a的取值范圍；(2)當x∈[1，e]時，f(x)<g(x)恒成立，求實數a的取值范圍．5．已知函數f(x)＝(x－2)ex－eq\f(1,2)ax2＋ax(a∈R)．(1)當a＝0時，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)當x≥2時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍．6．已知函數f(x)＝eax－ax－1.(1)討論函數f(x)的單調性；(2)設m為整數，且對于任意正整數n(n≥2)．若恒成立，求m的最小值．7．已知函數f(x)＝xlnx－ax＋1(a∈R)．(1)討論f(x)在(1，＋∞)上的零點個數；(2)當a>1時，若存在x∈(1，＋∞)，使得f(x)<(e－1)·(a－3)，求實數a的取值范圍．8．已知函數f(x)＝ex－1－ax＋lnx(a∈R)．(1)若函數f(x)在x＝1處的切線與直線3x－y＝0平行，求a的值；(2)若不等式f(x)≥lnx－a＋1對一切x∈[1，＋∞)恒成立，求實數a的取值范圍．9．已知正實數a，設函數f(x)＝x2－a2xlnx．(1)若a＝eq\r(2)，求實數f(x)在[1，e]的值域；(2)對任意實數x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))均有f(x)≥aeq\r(2x－1)恒成立，求實數a的取值范圍．10．設函數f(x)＝x－eq\f(1,x)，g(x)＝tlnx(t∈R)．(1)討論函數h(x)＝f(x)＋g(x)的單調區間；(2)若當x∈(0，1)時，f(x)的圖象恒在函數g(x)的圖象的下方，求正實數t的取值范圍．11．已知函數f(x)＝lnx＋x＋1，g(x)＝x2＋2x．(1)求函數φ(x)＝f(x)－g(x)的極值；(2)若m為整數，對任意的x＞0都有f(x)－mg(x)≤0成立，求實數m的最小值．1