陜西省咸陽市禮泉縣2025屆高二數學第一學期期末預測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．，則與分別為（）A.與 B.與C.與0 D.0與2．德國數學家高斯是近代數學奠基者之一，有“數學王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時就表現出超人的數學天才，10歲時，他在進行的求和運算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數列，則（）A.96 B.97C.98 D.993．在中，已知點在線段上，點是的中點，，，，則的最小值為（）A. B.4C. D.4．正方體的棱長為，為側面內動點，且滿足，則△面積的最小值為（）A. B.C. D.5．如圖，在四面體OABC中，，，，點在線段上，且，為的中點，則等于（）A. B.C. D.6．曲線y=x3+11在點P（1，12）處的切線與y軸交點的縱坐標是（）A.﹣9 B.﹣3C.9 D.157．已知函數只有一個零點，則實數的取值范圍是（）A B.C. D.8．已知雙曲線C：(a>0，b>0)，斜率為的直線與雙曲線交于不同的兩點，且線段的中點為P(2，4)，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.9．已知函數的部分圖象如圖所示，且經過點，則（）A.關于點對稱B.關于直線對稱C.為奇函數D.為偶函數10．設是等比數列，且，，則（）A.12 B.24C.30 D.3211．在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．設函數，則下列函數中為奇函數的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設O為坐標原點，拋物線的焦點為F，P為拋物線上一點，若，則的面積為____________14．已知實數滿足，則的取值范圍是____________15．已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為________16．設有下列命題：①當，時，不等式恒成立；②函數在上的最小值為2；③函數在上的最大值為；④若，，且，則的最小值為其中真命題為________________．（填寫所有真命題的序號）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，，，為的中點，.請用空間向量知識解答下列問題：（1）求線段的長；（2）若為線段上一點，且，求平面與平面夾角的余弦值.18．（12分）已知函數（1）求關于x的不等式的解集；（2）若對任意的，恒成立，求實數a的取值范圍19．（12分）已知直線l經過兩條直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交點，且與直線x+y﹣2＝0垂直（1）求直線l的方程；（2）若圓C過點（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長為，求圓C的標準方程20．（12分）已知橢圓C：過兩點（1）求C的方程；（2）定點M坐標為，過C右焦點的直線與C交于P，Q兩點，判斷是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由21．（12分）已知橢圓與橢圓有共同的焦點，且橢圓經過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設為橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，為坐標原點，求的最小值.22．（10分）已知數列的前n項和為，，且（1）求數列的通項公式；（2）令，記數列的前n項和為，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用正弦函數和常數導數公式，結合代入法進行求解即可.【詳解】因為，所以，所以，，故選：C2、C【解析】令，利用倒序相加原理計算即可得出結果.【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C3、C【解析】利用三點共線可得，由，利用基本不等式即可求解.【詳解】由點是的中點，則，又因為點在線段上，則，所以，當且僅當，時取等號，故選：C【點睛】本題考查了基本不等式求最值、平面向量共線的推論，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.4、B【解析】建立空間直角坐標系如圖所示，設由，得出點的軌跡方程，由幾何性質求得，再根據垂直關系求出△面積的最小值【詳解】以點為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，設所以，得，所以因為平面，所以故△面積的最小值為故選：B5、D【解析】利用空間向量的加法與減法可得出關于、、的表達式.【詳解】.故選：D.6、C【解析】y′＝3x2，則y′|x＝1＝3，所以曲線在P點處的切線方程為y－12＝3(x－1)即y＝3x＋9，它在y軸上的截距為9.7、B【解析】將題目轉化為函數的圖像與的圖像只有一個交點，利用導數研究函數的單調性與極值，作出圖像，利用數形結合求出的取值范圍.【詳解】由函數只有一個零點，等價于函數的圖像與的圖像只有一個交點，，求導，令，得當時，，函數在上單調遞減；當時，，函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減；故當時，函數取得極小值；當時，函數取得極大值；作出函數圖像，如圖所示，由圖可知，實數的取值范圍是故選：B【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.8、C【解析】設，代入雙曲線方程相減后可求得，從而得漸近線方程【詳解】設，則，相減得，∴，又線段的中點為P(2，4)，的斜率為1，∴，，∴漸近線方程為故選：C【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的漸近線方程，已知弦的中點（或涉及到中點），可設弦兩端點的坐標，代入雙曲線方程后作差，作差后式子中有直線的斜率，弦中點坐標，有．這種方法叫點差法9、D【解析】根據圖象求得函數解析式，結合三角函數的圖象與性質，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，可得，根據圖形走勢，可得，解得，令，可得，所以，由，所以A不正確；由，可得不是函數的對稱軸，所以B不正確；由，此時函數為非奇非偶函數，所以C不正確；由為偶函數，所以D正確.故選：D.10、D【解析】根據已知條件求得的值，再由可求得結果.【詳解】設等比數列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點睛】本題主要考查等比數列基本量的計算，屬于基礎題11、D【解析】以為坐標原點，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】以為坐標原點，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，，，因此異面直線與所成角的余弦值等于.故選：D.12、A【解析】求出函數圖象的對稱中心，結合函數圖象平移變換可得結果.【詳解】因為，所以，，所以，函數圖象的對稱中心為，將函數的圖象向右平移個單位，再將所得圖象向下平移個單位長度，可得到奇函數的圖象，即函數為奇函數.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據拋物線定義求出點坐標，即可求出面積.【詳解】由題可得，設，則由拋物線定義可得，解得，代入拋物線方程可得，所以.故答案為：.14、【解析】去絕對值分別列出每個象限解析式，數形結合利用距離求解范圍.【詳解】當，表示橢圓第一象限部分；當，表示雙曲線第四象限部分；當，表示雙曲線第二象限部分；當，不表示任何圖形；以及兩點，作出大致圖象如圖：曲線上的點到的距離為，根據雙曲線方程可得第二四象限雙曲線漸近線方程都是，與距離為2，曲線二四象限上的點到的距離為小于且無限接近2，考慮曲線第一象限的任意點設為到的距離，當時取等號，所以，則的取值范圍是故答案為：15、9【解析】根據橢圓的定義可得，結合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據基本不等式可得，即，當且僅當時取等號.故答案為：9.16、①③④【解析】①直接利用基本不等式判斷即可；②直接利用基本不等式以及等號成立的條件判斷即可；③分子、分母同除，利用基本不等式即可判斷；④設，，利用指、對互化以及基本不等式即可判斷.【詳解】由于，，故恒成立，當且僅當時取等號，所以①正確；，當且僅當，即時取等號，由于，所以②不正確；因為，所以，當且僅當時取等號，而，即函數的最大值為，所以③正確；設，，則，，，，，所以，當且僅當，時取等號，故的最小值為，所以④正確.故答案為：①③④【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，由已知可得出，求出的值，即可得解；（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】解：平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、，則，，，則，解得，故.【小問2詳解】解：，則，又、、，所以，，，設為平面的法向量，則，取，可得，顯然，為平面的一個法向量，，因此，平面與平面夾角的余弦值為.18、（1）答案見解析（2）【解析】（1）求出對應方程的根，再根據根的大小進行討論，即可得解；（2）對任意的，恒成立，即恒成立，結合基本不等式求出的最小值即可得解.【小問1詳解】解：由已知易得即為：，令可得與，所以，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；【小問2詳解】解：由可得，由，得，所以可得，，當且僅當，即時等號成立，所以，所以的取值范圍是.19、（1）（2）【解析】（1）先求得直線和直線的交點坐標，再用點斜式求得直線的方程.（2）設圓的標準方程為，根據已知條件列方程組，求得，由此求得圓的標準方程.【小問1詳解】.直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為.【小問2詳解】設圓的標準方程為，則，所以圓的標準方程為.20、（1）；（2）為定值.【解析】（1）根據題意，列出的方程組，求解即可；（2）對直線的斜率是否存在進行討論，當直線斜率存在時，設出直線的方程，聯立橢圓方程，利用韋達定理，轉化，求解即可.【小問1詳解】因為橢圓過兩點，故可得，解得，故橢圓方程為：.【小問2詳解】由（1）可得：，故橢圓的右焦點的坐標為；當直線的斜率不存在時，此時直線的方程為：，代入橢圓方程，可得，不妨取，又，故.當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，聯立橢圓方程，可得：，設坐標為，故可得，則.綜上所述，為定值.【點睛】本題考察橢圓方程的求解，以及橢圓中的定值問題；處理問題的關鍵是合理的利用韋達定理，將目標式進行轉化，屬中檔題.21、（1）（2）【解析】（1）設橢圓的方程為，將點的坐標代入橢圓的方程，求出的值，即可得出橢圓的方程；（2）設點，則，且，利用平面向量數量積的坐標運算結合二次