2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)選擇性必修一《橢圓》測(cè)試試卷

（本卷共19道題；總分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）

姓名：成績(jī):

單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

xVb+c

1.若c是橢圓方+77=1(〃>/?>0)的半焦距，則---的取值范圍是()

A.(0,2]B.(0,2)C.(1,V2]D.(1,V2)

xv

2.已知尸i,b2為橢圓-7+*=l（4>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)b2作橢圓的弦AB,若八8的周長(zhǎng)為16,橢圓

azbz

的離心率e=^，則橢圓的方程為（）

x2y2x2y2

A.—+—=1B.—+—=1

43163

x2y2x2y2

C.—+—=1D.—+—=1

1641612

x2y2__

3.橢圓方+77=1（〃>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為人、/2,點(diǎn)尸在橢圓上，若1PAi=2|尸尸2|,則橢圓的禺心率的

azbz

最小值是（）

V3V211

A.—B.—C.-D.-

2223

%2y2

4.已知橢圓丁+77=1（心心0）的一個(gè)焦點(diǎn)是圓/+/-6x+8=0的圓心，且短軸長(zhǎng)為8,則橢圓的左頂點(diǎn)為（）

azbz

A.（-3,0）B.（-4,0）C.（-10,0）D.（-5,0）

%"V"

5.橢圓）+-=1Q>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)2,若橢圓上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P,使得再2為等

腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是（）

11

A.(―,1)B.(-,1)

32

1111

C.(0,-)D.(-,-)U(-,1)

3322

XV

6.過(guò)橢圓元+工=1內(nèi)一點(diǎn)尸JD的直線/與橢圓交于48兩點(diǎn)，且尸是線段42的中點(diǎn)，則直線/的方程

是（）

A.x+2y-3=0B.x-2y+1=0C.2x+y-3=0D.2x-y-1=0

7.若以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為2,則此橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值是（）

A.1B.2V2C.2D.4

8.已知橢圓C萬(wàn)+7=1，點(diǎn)'與c的焦點(diǎn)不重合，若加關(guān)于c的焦點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)分別為4B,線段的中點(diǎn)

在C上，則|AN]+|BV|=()

A.6B.8C.10D.12

二.多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)

的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

22

（多選）9.已知橢圓Ei：/+4y2=/（a>0）和&：y+4^=4a（a>0）,貝！］（）

A.Ei與比的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等

B.Ei的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與比的短軸長(zhǎng)相等

C.￡1與&的離心率相等

D.目與及有4個(gè)公共點(diǎn)

x2y2

（多選）10.已知橢圓E：一+乙=1左焦點(diǎn)R左頂點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)/的直線,交橢圓于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象

43

限），則下列說(shuō)法正確的是（）

TTK

A.若4F=2FB,貝心的斜率上詈

27

B.|AE+4|B引的最小值為一

4

C.以AF為直徑的圓與圓/+/=4相切

D.若直線AC,8C的斜率為近，fe,則近乂2=-怖

4,

x2

（多選）11.已知橢圓萬(wàn)+y?=L。為原點(diǎn)，過(guò)第一象限內(nèi)橢圓外一點(diǎn)尸（xo,yo）作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分

別為A,B.記直線。4,OB,PA,尸5的斜率分別為匕，to,fa,kA,若匕,電=",貝！J（）

A.直線A3過(guò)定點(diǎn)

B.（左1+履）?（近+依）為定值

C.%o-yo的最大值為2

D.5xo-3yo的最小值為4

三.填空題（共3小題）

汽2y2

12.橢圓上一+—=1上的點(diǎn)P到直線x-y-10=0的距離最小值是

169-----------------------------------

V27

13.已知橢圓=+*=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為H,F2,離心率為一.若點(diǎn)尸在該橢圓上，且|尸乃|：\P

a2b213

尸2|=5：8,則/四尸/2=.

x2y2

14.橢圓三+9=l（a>6>0）的左焦點(diǎn)為F,A（-a,0）,B（0,b）,C（0,-b）分別為其三個(gè)頂點(diǎn).直線

azoz

CF與AB交于點(diǎn)D,若橢圓的離心率e=則tanZBDC=.

四.解答題(共6小題)

15.橢圓C：各，=l(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,過(guò)其右焦點(diǎn)/與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A,8,點(diǎn)尸是直線尤=1上的動(dòng)點(diǎn)，直線出與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為直

線尸8與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N,求證：直線MN經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

16.己知橢圓E：(a>b>0)的焦距為2c,且b=V^c,圓。：Ay^r2(r>0)與x軸交于點(diǎn)M,

azbz

N,尸為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)，\PM\+\PN\=2a,△PMN面積最大值為百.

(1)求圓。與橢圓E的方程；

(2)圓。的切線/交橢圓E于點(diǎn)A,B,求|AB|的取值范圍.

17.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,-1),焦點(diǎn)在x軸上，其右焦點(diǎn)到直線x-y+2&=0的距離為3.

(1)求橢圓的方程；

(2)直線尸學(xué)尤+1與橢圓交于P、N兩點(diǎn)，求|取.

Xv

18.已知直線>=左(尤-1)(%>0)與橢圓1+彳■=1交于A,3兩點(diǎn)，與無(wú)軸、y軸交于M,N兩點(diǎn).

->-?

(1)若MB=AN,求上的值；

,7TT

(2)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(;，0),求證：QA?QB為定值.

4

19.已知橢圓C；全+/=l(a>6>0)的短軸長(zhǎng)為2,離心率e=字.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/：>=尤+機(jī)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,若/A08為銳角，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)選擇性必修一《橢圓》測(cè)試試卷

參考答案與試題解析

單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

x2V2b+c

L若。是橢電+記=1（4心。）的半焦距，則工的取值范圍是（）

A.(0,2]B.(0,2)C.(1,V2]D.(1,V2)

,匕+c0A~t2.hc2bc2bc

解：（——）2十+隼+妾-2,

CLaab+c2

當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí)，等號(hào)成立，故IV*Wa,故選：C.

2■已知八尸2為橢圓/+記=1（46>。）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)放作橢圓的弦岫若△,8的周長(zhǎng)為16,橢圓

的離心率6=字，則橢圓的方程為(

x2y2x2y2

A.—+—=1B.—+—=1

43163

x2y2x2y2

C.—+—=1D.—+—=1

1641612

解：由橢圓定義有4〃=16,，4=4.又因?yàn)闄E圓的離心率e=字,

Y2-v2

所以廬=4,所以橢圓的方程為7+—=1.故選：C.

164

X2yJ2

3.橢圓方+77=1Q>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為為、尸2,點(diǎn)尸在橢圓上，若|尸人|=2|尸放|,則橢圓的離心率的

az

最小值是（)

V211

AYB.—C.一D.-

2223

第2y2

解一.橢圓我+￡=l（a〉b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸1、F2,點(diǎn)尸在橢圓上，且|尸乃|=2|尸尸2|,

b乙

24

.,.|PFi|+|PF2|=2tz,???|尸尸2|=可〃，|尸尸

4a2(5—4COSZ.FPF)

在△乃尸2P中，由余弦定理得4C2=|PFI|2+|PF2|2-2\PFI\\PF2\COSZFIPF2=12,當(dāng)且僅當(dāng)

9cosZ

時(shí)，心獷解得卜加是《（不合題意，舍去）,

、.1

故橢圓的禺心率的最小值是3故選：D.

%2y2

4.已知橢圓/+-=1（心心0）的一個(gè)焦點(diǎn)是圓xW-6x+8=。的圓心，且短軸長(zhǎng)為8,則橢圓的左頂點(diǎn)為（）

A.(-3,0)B.(-4,0)C.(-10,0)D.(-5,0)

22

解：：圓/+y2-6x+8=0的圓心為（3,0）,...橢圓=+七=l（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為產(chǎn)（3,0）,得c=3

又：短軸長(zhǎng)為26=8,得6=4：.a=V/?2+c2=5,可得橢圓的左頂點(diǎn)為（-5,0）故選：D.

xy

5.橢圓)+==1(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)i,若橢圓上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P,使得△PF1F2為等

腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是()

11

A.(-,1)B.(-,1)

32

1111

C.(0,-)D.(-,-)U(-,1)

3322

解：①當(dāng)點(diǎn)尸與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，△尸2P構(gòu)成以為尸2為底邊的等腰三角形,

此種情況有2個(gè)滿足條件的等腰△四尸2尸;

②當(dāng)△乃乃尸構(gòu)成以尸肥2為一腰的等腰三角形時(shí)，以放尸作為等腰三角形的底邊為例,

：尸歸2=防尸，.?.點(diǎn)尸在以人為圓心，半徑為焦距2c的圓上,

因此，當(dāng)以為為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2交點(diǎn)時(shí)，

存在2個(gè)滿足條件的等腰△尸1尸2尸，在△KF2Pl中，F(xiàn)1F2+PF1>PF2,即2C+2c>2CZ-2C,

1

由此得知3c>a.所以禺心率

當(dāng)e另時(shí)，△四尸2尸是等邊三角形，與①中的三角形重復(fù)，故e弓

同理，當(dāng)尸1P為等腰三角形的底邊時(shí)，在e>4且eK?寸也存在2個(gè)滿足條件的等腰△為尸2尸,

這樣，總共有6個(gè)不同的點(diǎn)P使得△尸1F2P為等腰三角形，

111

綜上所述，離心率的取值范圍是：eC(-，-)U(-,1).故選：D.

322

XV

6.過(guò)橢圓丁+-=1內(nèi)一點(diǎn)P(1,1)的直線/與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且P是線段A8的中點(diǎn)，則直線/的方程

84

是()

A.x+2y-3=0B.%-2y+l=0C.2x+y-3=0D.lx-y-1=0

解：設(shè)A(xi,yi),B(必”)，P(1,1)是線段A3的中點(diǎn)，則劉+%2=2,yi+”=2；

1i

點(diǎn)A,5代入橢圓方程作差，得：-(xi+x2)(xi-X2)+[(yi+y2)(#-”)=0,

由題意知，直線/的斜率存在，...履B=—4,.?.直線/的方程為：(X-1),

整理得：x+2y-3=0.故選：A.

7.若以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為2,則此橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值是()

A.1B.2V2C.2D.4

解：由題意知bc=2.a2=b2+c2=b2+>2

???。22,當(dāng)且僅當(dāng)人=魚時(shí)取“=”.???2〃24,故選：D.

X2V2

8.已知橢圓C：—+—=1,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，若M關(guān)于C的焦點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)分別為A,B,線段的中點(diǎn)

94

在C上，則|AN|+|BN|=（）

C.10D.12

解：設(shè)MN的中點(diǎn)為。橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)1,如圖，連接。尸1,QF2,

?.?人是的中點(diǎn)，。是MN的中點(diǎn)，，尸1。是的中位線；IQF1|=今1ANI,

同理：I。&|=義|N8I,\?。在橢圓C上，：.\QFi\+\QFi\=2a=6,|AN|+|BN]=12.故選：D.

二.多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)

的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

（多選）9.己知橢圓目：/+4/=/Q＞o）和比：9+4/=4/（。＞0）,貝I]（）

A.目與比的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B.￡1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與&的短軸長(zhǎng)相等

C.E1與比的離心率相等D.Ei與瓦有4個(gè)公共點(diǎn)

%2y2

解：橢圓Ei：7+4/=〃2（〃＞（））,即方+廠_=1,

02評(píng)

橢圓/+4/=4〃2(〃>0),-^―+—=1,

4a"2aci乙

則El的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2Q,短軸長(zhǎng)為〃，石2的長(zhǎng)軸為4m短軸為2〃，故A錯(cuò)誤，B正確;

Ei的離心率為q=-----芳—=苧，Ei的離心率°2=

,故C正確;

因?yàn)槟康拈L(zhǎng)軸長(zhǎng)與比的短軸長(zhǎng)相等，且E1的焦點(diǎn)在工軸上，比的焦點(diǎn)在y軸上，

則Ei與比有2個(gè)公共點(diǎn)，故。錯(cuò)誤.故選：BC.

x2y2

（多選）10.已知橢圓E：一+==1左焦點(diǎn)尸，左頂點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)尸的直線/交橢圓于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象

43

限），則下列說(shuō)法正確的是（)

A.若京=2還，貝1/的斜率g孚B.|AF|+4|即的最小值為二

/4

C.以AF為直徑的圓與圓/+/=4相切D.若直線AC,8C的斜率為近，ki,則右乂2=-5

汽2y2

解：橢圓E：一+—=1可得〃=2,b=V3,c=l所以左焦點(diǎn)/（-1,0）,

43f

左頂點(diǎn)。（-2,0）,因?yàn)锳點(diǎn)在第一象限，則3在第三象限，所以直線/的斜率左＞0,

設(shè)直線A5的方程成為％-1,m=石,設(shè)A(xi,yi),B(%2,y2),

x=my—1

22

聯(lián)立%2y2整理可得：(4+3m)y-Gmy-9=0,可得yi+*=716Tyiy2=--7,

(T+T=14+3772乙4+3/72乙

A選項(xiàng)中，因?yàn)?F=2FB,即（-1-xi,-yi）=2（我+1,*）,

可得-yi=2"，即yi=-2"，代入yi+*=屋罌w中,可得"=片舞,"=壯舞’

再代入”=一儡中，可得一驀=-儡,

整理可得8后=4+3??,解得相2==即必=2，即仁孚所以A選項(xiàng)不正確；

34Z

B選項(xiàng)中，\AF\=Vl+m2*yi,\BF\=-V1+m2*yi,

則」_+」_=i（±_±）_i.（巧-2）_i」（為+丫2）2-4叫_i

、|明|BF|VI石滔y】y2JIw力及而E當(dāng)先河下

I367n2"_9

222

rJ（4+3m）4+3m4

[------------------1=3-

4+3m^

所以即|+4|吁（|加+4|即）彳扁+高）=91+4+鵠+?N\仃+2摘.及=|X9=系

27

當(dāng)且僅當(dāng)|An=2|B/q時(shí)等號(hào)成立，即|Afl+4|3F|的最小值為二，所以5選項(xiàng)正確；

4

C選項(xiàng)中，可得AF的中點(diǎn)尸（然，y）,設(shè)右焦點(diǎn)F,由中位線的性質(zhì)可得|OP|=拒舁）2+伶）2=啰1,

再由橢圓的定義可得|。尸|=2a丁*=。一早=2一唱，

由圓12+y2=4的圓心為（0,0）,半徑為2,

所以圓心距e尸?為兩個(gè)半徑之差，所以兩個(gè)圓內(nèi)切，所以。選項(xiàng)確;

。選項(xiàng)中，由題意可得上次2=斗?―月乃713^

2

%1+2%2+2(my1+l)(my2+1)my1y2+m(y1+y2)+l

-9

29

9三+設(shè)祥—=-7＞所以。選項(xiàng)正確.故選：BCD.

---4--+--3--7-7--1--2--1--4---+--3---m--2---p14

x2

（多選）11.已知橢圓萬(wàn)+/=L。為原點(diǎn)，過(guò)第一象限內(nèi)橢圓外一點(diǎn)尸（xo,yo）作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分

1

別為A,B.記直線OA,OB,PA,P8的斜率分別為近，to,fa,履，若/q?七=京貝U（）

A.直線A3過(guò)定點(diǎn)B.（匕+履）?（左2+依）為定值

C.xo-yo的最大值為2D.5xo-3yo的最小值為4

解：由于匕?k2=J>0,故A,8不關(guān)于x軸對(duì)稱，且A,8的橫坐標(biāo)不為0,所以橫縱坐標(biāo)不為0,

所以直線AB的方程為y=fct+b聯(lián)立萬(wàn)+『=1得（1+29）x2+4te+2?-2=0,

,A.kt7r2_7

設(shè)A（xi,yi）,B（%2,y2）,則xi+%2=----------不xix2=-------5，

1+2/1+2公

“t2t2-2-4kt-2/c2+t

所以>1>2=（kxi+t）（辰2+力=lC9XlX2+kt（X1+X2）+/9=公?9------+kf--------+9r=--------丁，

1+2-1+2-i+2/c

』,yVn?viy1”,-8/c2+4t22t2-2

其中匕=91，ki=廿,所以----2=:，即4yly2=xix2,所以一;一.-=~一~

12%1%24l+n2k72l+2/c2

解得及=4乒-1,其中燈=注左2=白

X1x2

X2V2XoXVoV

下面證明橢圓￡：—+—=1（tz>Z?>0）,在Q（%3,”）處的切線方程為一~+—~r=L

a2b2a2b2

理由如下：當(dāng)*WO時(shí)，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為>=加+加，

代入橢圓方程得（/川+啟）/+2〃2向a+〃2機(jī)2_〃2廿=0,由A=（2〃2"機(jī)）2-4（$層+戶）（/m2_〃2廿）=0,

化簡(jiǎn)得/層-八房=°,所以,=養(yǎng)標(biāo)—2cflnm±/A_-a2n

2m2~m

把后=嚕代入y=〃x+",得、3=衛(wèi)譽(yù)史=（，于是片—弩=—與町=次久3

yJzz

mmmaay3a2y3

,2h2

則橢圓的切線斜率為一手，切線方程為>-”=-陰（尤-X3）,

Q丫30丫3

整理得到a2y3》+/尤3X=/黃+院以，其中。2泊+必環(huán)=a2%2,所以a2y3丫+廬羽苫=（12廬，即^^+堆為=1.

a乙b乙

當(dāng)”=0時(shí)，此時(shí)％3=〃或-。，當(dāng)X3=4時(shí)，切線方程為％=〃，滿足萬(wàn)~+言-=L

當(dāng)時(shí)，切線方程為％滿足-+

X3=-Q=-4,“2匕2

22

XVXoXV-3V

綜上，橢圓E—+—=1（a>b>0）在Q（孫”）處的切線方程為^~+=匕

a2b2a2b2

XoX

所以橢圓在點(diǎn)A（xi,yi）的切線方程為+y2y=1,

由于點(diǎn)尸（xo,yo）為+yiy=l與+y2y=1的交點(diǎn)，所以±^+yiyo=l,+y2yo=1,

所以直線AB為殛x+yoy=l,因?yàn)橹本€AB方程為y=fcv+r,對(duì)照系數(shù)可得左=-熱,U二，

2乙為70

1

又於=49-1,所以（7）2=4（-嬴r）2-1,整理可得就一據(jù)=1,又PGo,yo）在第一象限,

所以點(diǎn)尸（xo,為）的軌跡為雙曲線/-/=1位于第一象限的部分，

對(duì)于A：由上可知直線A3方程為y=Ax+b金=4經(jīng)-1,直線A3不過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

22

對(duì)于8,抬=一就=一羨=一擊，同理可得%=一冷=一羨=+，則七%=一壺.（一壺）=忌G=

1111

1,（七+%）?（七+憶3）=k1攵2+上也3+k2k4+k3k4=4-^一］+l=］為定值，故B正確;

對(duì)于C：由于以-另=1,xo>O,jo>O,所以雙曲線的一條漸近線為y=尤,

設(shè)xo-yo=s,貝!]s<l,所以xo-yo無(wú)取大值，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：由于以-據(jù)=1,xo>O,yo>O,所以無(wú)o>yo,設(shè)5xo-3yo=/z,則〃>0,

22

將兩式聯(lián)立可得-16據(jù)+6hyo+h-25=0,由A=36/?+64（序-25）2o,得辰生

5

%--

o4

檢驗(yàn)，當(dāng)/i=4時(shí)，5xo-3yo=4,又福一據(jù)=1,解得■3滿足要求,

y-

O-4

所以5xo-3yo的最小值為4,故。正確.故選：BD.

三.填空題（共3小題）

xV5V2

12.橢圓上一+—=1上的點(diǎn)尸到直線x-y-10=0的距離最小值是---.

169一2一

解：設(shè)與直線x-y-10=0平行的直線方程為：％-y+c=0,與橢圓方程聯(lián)立，消元可得25^+32cx+16沸-144

=0令A(yù)=1024c2-10。（16d-144）=0,可得c=±15

V一……一J±15T0|572^2572

???兩條平行線間的是巨離為---7==一^-或---，

V222

第2丫25^/2

二?橢圓上一+—=1上的點(diǎn)P到直線x-y-10=0的距離最小值是：---.

1692

%?V27

13.已知橢圓丁+==1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q,F2,離心率為一.若點(diǎn)P在該橢圓上，且|尸八|：|P

azbz13

r,71

F2|=5：8,則/尸1尸尸2=—.

一3一

解:V|PFi|：|PF2|=5：8,\PFi\+\PFi\=2a,

解得：聘，\PF2\=^,_7a

|PF1|=丁一石’“育

（臂/+（罌）2_（您）2TT

COSZFIPF2=910a16a又NAP氏2W[0,IT],AZF1PF2=

ZXv1TXv1T

Xv

14.橢圓方+匕=lQ〉b〉0）的左焦點(diǎn)為RA（-m0）,B（0,b）,C（0,-b）分別為其三個(gè)頂點(diǎn).直線

QZb乙

CF與AB交于點(diǎn)。，若橢圓的離心率e=貝Utan/8DC=-皚.

3—5-

解：由圖象可知：ZBDC^ZBAO+ZDFA^ZBAO+ZCFO,

tanZ.BAO+tanZ.CFO

所以tan/RDC=tan（/BAO+/CFO）=

1—tanZ.BAOtanZ.CFO

因?yàn)闄E圓的離心率為e=（=則a=3c,設(shè)c=m，則〃=3,b=2y[2m,

b2V2b孥+2/

所以tanABDC=

則丁丁7l-2V2.2/2

y

四.解答題(共6小題)

15.橢圓C：今+、=l(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,過(guò)其右焦點(diǎn)6與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為1.(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)尸是直線尤=1上的動(dòng)點(diǎn)，直線B4與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為M,直

線網(wǎng)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N,求證：直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

2y2

解：(1)由題得。=2,所以02=4-廬①，聯(lián)立X忖+廬=1,得,2戶+1=4廬②,

<%=C

第2

再聯(lián)列①②得廬=1,。2=3,故橢圓C方程為：—+y2=1；

4

(2)證明：A(-2,0),B(2,0),設(shè)P(1,r),

y=g(x+2)

則降4=號(hào)，直線B4：y=g(%+2),聯(lián)立?得：(4代+9)尤2+16P工+16/-36=0,

2

X2

IT+y=1

所以一2。二筆房,則>加=需'所以18-8t212t

4t2+9'4t2+9)；

8t2-24t

同理N(4/+1'4/+/

由橢圓對(duì)稱性可知定點(diǎn)在工軸上，故設(shè)定點(diǎn)。(機(jī)，0),

⑵41

所以“卓；-4a+1

4t2+94tz+l

因?yàn)閗MD=kND,

故得(8祖-32)P-6〃計(jì)24=0,貝I]8〃L32=0,-6m+24=0,解得m=4.

所以MN過(guò)定點(diǎn)(4,0).

22

16.已知橢圓E：—+—=1(a>fe>0)的焦距為2c,且b=gc,圓。：/+;/=，(r>0)與x軸交于點(diǎn)

N,尸為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)，\PM\+\PN\^2a,△PMN面積最大值為次.

(1)求圓。與橢圓E的方程;

(2)圓。的切線/交橢圓E于點(diǎn)A,B,求|A2|的取值范圍.

解：(1)因?yàn)閎=Hc,所以〃=2c.①

因?yàn)闅wM+|RV]=2m所以點(diǎn)跖N為橢圓的焦點(diǎn)，所以，=。2=和2.

1

設(shè)尸(xo,yo),則-/?WyoW/?,所以，S#MN=r?|yo|=2〃|yo|.

當(dāng)伙)|=Z?時(shí)，(SAPMN)max=-^b=V3,②

由①，②解得〃=2,所以/?=遍，C=l.

汽2y2

所以圓。的方程為/+/=1,橢圓E的方程為丁+y=1.

3Q

(2)①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，不妨取直線/的方程為x=l,解得A(1,B(1,-f),|AB|=3.

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為>=丘+加，A(xi,kxi+m),B(必te+m).

因?yàn)橹本€/與圓相切，所以粵虧=1,即%2=1+9,

V1+/C2

y=kx+m

聯(lián)立％2y2,消去丁可得(4必+3)x2+8^mx+4m2-12=0,

(T+T=1

A=48(41c+3-m2)=48(3^+2)WO,xi+xi———8黑，1X2—

4fc+3X4fc+3

22

|AB|=V1+kJ(<x1+x2~)—4xtx2=4陋7\+12,4；3^,

_4同(/+1)(3/+2)_閭[(/+3+劭3(/+》—百

―4/+3—fc2+|，

=母一可呷+2?西1+3?

14I1i4

令―3=3則0可，所以|A3|=V3J-t2+2t-l~3,tE(0,-]j

所以|A8|=gJ一白(t-4)2+4,所以3<|A8|W竽.

4V6

綜上，|A8|的取值范圍是[3,—].

17.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,-1),焦點(diǎn)在x軸上，其右焦點(diǎn)到直線x-y+2V^=0的距離為3.

(1)求橢圓的方程;

(2)直線>=李什1與橢圓交于P、N兩點(diǎn)，求|PM.

工2v2

解：(1)由題意設(shè)橢圓方程為一+77=1(〃>/?>0).

azbz

?：b=l,又設(shè)右焦點(diǎn)尸為(c,0),

IC+2V2I、,「1-

貝!J----左一=3,解得c=V2,..a=V3.

V2

第2

?,?橢圓方程為三+產(chǎn)=1.

(2)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為尸(xi,yi)、N(X2,"),

y=日久+1

則

9+必=1

"%i=0=-V3

解方程組得

Ji=1=0

.?.直線與橢圓的交點(diǎn)為尸(0,1),N(-V3,0).

；.|吶=（V3）2+I2=2.

x2y2_

18.已知直線丁=上(％-1)(k>0)與橢圓1+萬(wàn)=1交于A,3兩點(diǎn)，與％軸、y軸交于M,N兩點(diǎn).

->—>

（1）若MB=AN,求左的值;

7—7

⑵若點(diǎn)。的坐標(biāo)為(?0),求證：Q23為定值.

解：(1)直線y=Z(x-1)與x軸交點(diǎn)為M(1,0),與y軸交點(diǎn)為N(0,-k),

y=fc(x—1)

聯(lián)立以2曠2_,消去y得：(1+2右)％-4底計(jì)2爐-4=0,

(W+2=1

△=16/-4（1+2合）（2^-4）=24^+16>0,

4k2

設(shè)A（xi,yi）,B（及，>2）,貝!J%i+%2=