第37講切線放縮【典型例題】例1．已知，，，成等比數列，且，若，則A．， B．， C．， D．，例2．已知，已知數列滿足，，且，則有A．最大值6030 B．最大值6027 C．最小值6027 D．最小值6030例3．已知不等式對一切都成立，則的最小值是A． B． C． D．1例4．若存在，滿足，則實數的取值范圍是A． B． C． D．例5．已知函數，函數，，．（1）討論的單調性；（2）證明：當時，．（3）證明：當時，．例6．已知函數，函數，，．（1）討論的單調性；（2）證明：當時，．（3）證明：．【同步練習】一．選擇題1．已知函數，，函數的最小值，則實數的最小值是A． B． C．0 D．二．填空題2．若，是實數，是自然對數的底數，，則．3．若，是實數，是自然對數的底數，，則．4．已知不等式對一切都成立，則的最小值是．5．已知函數，，直線與的圖象相切，與的圖象也相切，則直線的方程是．6．已知實數，，滿足為自然對數的底數），則的最小值是．7．已知實數，，滿足（其中為自然對數的底數），則的最小值是．8．函數，，若使得，則．三．解答題9．已知函數．（1）求的單調區間；（2）討論函數零點的個數；（3）對任意的，恒成立，求實數的取值范圍．

第37講切線放縮【典型例題】例1．已知，，，成等比數列，且，若，則A．， B．， C．， D．，【解析】解：，，，成等比數列，由等比數列的性質可知，奇數項符號相同，偶數項符號相同，，設公比為，當時，令，，即，故，不成立，即：，，，，不成立，排除、．當時，，，等式不成立，所以；當時，，，不成立，當時，，，并且，能夠成立，故選：．例2．已知，已知數列滿足，，且，則有A．最大值6030 B．最大值6027 C．最小值6027 D．最小值6030【解析】解：，當時，，對于函數，，在處的切線方程為，即，則成立，，時，有，．故選：．例3．已知不等式對一切都成立，則的最小值是A． B． C． D．1【解析】解：令，則，若，則恒成立，時函數遞增，無最值．若，由得：，當時，，函數遞增；當時，，函數遞減．則處取得極大值，也為最大值，，，，令，，上，，，上，，，．的最小值為．故選：．例4．若存在，滿足，則實數的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：設，，則是單調增函數，且的值域為，；設，則恒過定點，又，，且（1），存在，不等式時，即，不等式不成立，由此得，解得，所以的取值范圍是．故選：．例5．已知函數，函數，，．（1）討論的單調性；（2）證明：當時，．（3）證明：當時，．【解析】解：（1）的定義域為，，當，時，，則在上單調遞增；當，時，令，得，令，得，則在上單調遞減，在上單調遞增；當，時，，則在上單調遞減；當，時，令，得，令，得，則在上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明：設函數，則．，，，，則，從而在，上單調遞減，，即．（3）證明：方法一：當時，．由（1）知，（1），，即．當時，，，則，即，又，，即．方法二：當時，要證，只需證即證，令，易證，故，所以當時，．例6．已知函數，函數，，．（1）討論的單調性；（2）證明：當時，．（3）證明：．【解析】解：（1）函數的定義域，，當，時，，則在上單調遞增；當，時，由可得，此時函數單調遞增，令可得，此時函數單調遞減，當，時，，函數在單調遞減，當，時，由可得，此時函數單調遞增，令可得，此時函數單調遞減，（2）當時，，由（1）知，（1），所以，（3）因為，所以，由（2）可得，即，又．，即．【同步練習】一．選擇題1．已知函數，，函數的最小值，則實數的最小值是A． B． C．0 D．【解析】解：函數，，，由，解得：，設，則，當時，，當，，從而在上單調遞減，在，上單調遞增，，當，，即，在上，，，單調遞減，在，上，，，單調遞增，，設，，，，，在，上單調遞減，，的最小值為0．故選：．二．填空題2．若，是實數，是自然對數的底數，，則．【解析】解：，（當時取等號），，，此時時取等號，，（當時取等號），，此時取等號，又，，故有且同時成立，解可得，，，此時．故答案為：3．若，是實數，是自然對數的底數，，則．【解析】解：令，則，當時，；當時，，則在上遞增，在上遞減，即，（1），即，當且僅當時取“”，于是，當且僅當時取“”，顯然，即，所以，當且僅當時取“”，所以，當且僅當時取“”，即，所以，當且僅當時取“”，由，解得，此時．故答案為：．4．已知不等式對一切都成立，則的最小值是．【解析】解：令，則，若，則恒成立，時函數遞增，無最值．若，由得：，當時，，函數遞增；當時，，函數遞減．則處取得極大值，也為最大值，，，，令，，上，，，上，，，．的最小值為．故答案為：．5．已知函數，，直線與的圖象相切，與的圖象也相切，則直線的方程是．【解析】解：與互為反函數，其圖象如圖，其公共點為，由，得，，曲線在處的切線方程為，由，得，，曲線在處的切線方程為，曲線與曲線的公切線為．故答案為：．6．已知實數，，滿足為自然對數的底數），則的最小值是．【解析】解：由題意設新函數，設，則，可知，即；由不等式性質可知，當且僅當時取等號；為自然對數的底數），即有：，即：；；；當且僅當時，取等號，則的最小值是：故答案為：7．已知實數，，滿足（其中為自然對數的底數），則的最小值是．【解析】解：構造函數，，令解得：，故函數在遞減，遞增，故的最小值為，故在上恒成立，故，，，故，當且僅當：，時取等號，故，，故，觀察可得可表示為關于的二次函數，故在對稱軸取最小值，最小值為，故答案為：．8．函數，，若使得，則．【解析】解：令，令，，故在上是減函數，上是增函數，故當時，有最小值，而（當且僅當，即時，等號成立）；故（當且僅當等號同時成立時，等號成立）；故，即．故答案為：三．解答題9．已知函數．（1）求的單調區間；（2）討論函數零點的個數；（3）對任意的，恒成立，求實數的取值范圍．【解析】解：（1）的定義域是，，①時，，在遞增，②時，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在，遞減；（2）函數，由，可得，，設，，，當時，，遞減；當時，，遞增，可得處取得最大值1，如圖所示：當或，即或時，直線與有一個交點，當即時，直線與有兩個交點，當即時，直線與沒有交點，綜上可得，，函數零點的個數為0