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文檔簡(jiǎn)介
專(zhuān)題03函數(shù)的概念與性質(zhì)
(思維構(gòu)建+知識(shí)盤(pán)點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧)
維構(gòu)建?耀蓿陳紿
遜01求具體麋睚義域
廠(chǎng)(函數(shù)的概念:兩個(gè)非至雌之間的對(duì)應(yīng)關(guān)一)
型02
_(O知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的有關(guān)忘)-(函數(shù)的三要素:定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系)型03數(shù)的定義域求例
,04判斷是否為同一個(gè)函數(shù)
L(骨函數(shù)與分段函數(shù))
壁05求蜃的I種試
型06分段函數(shù)及其應(yīng)用
函數(shù)的概念與性質(zhì)遜01函克奇偶性&喇?dāng)?/p>
/--------------一x廠(chǎng):奇?。?xA/(r度于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)型02利用奇雌求畫(huà)翅1
,-------------------------------「函數(shù)奇偶性的定義與圖象特點(diǎn)T:一.
Y?知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)的奇偶性xKM-XR8送云颯稱(chēng)」型03利用奇偶性求參數(shù)
型04利用奇偶性求照依
、------------------------------,匚函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論
型05利用單調(diào)在與奇倜翔不"
型06利用單調(diào)性與奇國(guó)批較大小
周期函螭斗存國(guó)疇常數(shù)T滿(mǎn)足"X+7)寸(公
o知識(shí)點(diǎn)四函數(shù)的周期性型01利用周期性求函數(shù)直
是小正周期:所有周期中最小的正數(shù)周期遜02利用周期住求函數(shù)解儂
—(〔O知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性例01周期性與對(duì)稱(chēng)性驍應(yīng)用
轆02
關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)j三。M;二可三與函數(shù)等三巨乏
口行盤(pán)點(diǎn)?置熱訃標(biāo)
知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的有關(guān)概念
1、函數(shù)的概念:一般地,設(shè)A,3是非空的數(shù)集,如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對(duì)應(yīng)
關(guān)系了,在集合5中都有唯一確定的y和它對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng)/:Af3為從集合A到集合3的一個(gè)函數(shù),
記作y=/(%),xeA.
2、函數(shù)的三要素:
(1)在函數(shù)y=/(x),xeA中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;
(2)與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合伏x)|xGA}叫做函數(shù)的值域。顯然,值域是集合B
的子集.
(3)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系:y=/(x),xeA.
3、相等函數(shù)與分段函數(shù)
(1)相等函數(shù):如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)相等,這是判斷兩函數(shù)相等的
依據(jù).
(2)分段函數(shù):在函數(shù)定義域內(nèi),對(duì)于自變量x取值的不同區(qū)間,有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這樣的函數(shù)稱(chēng)為
分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集。分段函數(shù)雖然是由幾個(gè)部分
構(gòu)成,但它表示的是一個(gè)函數(shù),各部分函數(shù)定義域不可以相交。
知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的單調(diào)性
1、單調(diào)函數(shù)的定義
設(shè)函數(shù)兀0的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值看,馬,
當(dāng)西<%2時(shí),都有/'(%)</"(/),那么就說(shuō)函數(shù)/W在區(qū)間D上是單調(diào)遞增函數(shù)。
當(dāng)王<%2時(shí),都有/'(匹)>/(%2),那么就說(shuō)函數(shù)力切在區(qū)間D上是單調(diào)遞減函數(shù)。
單調(diào)性的圖形趨勢(shì)(從左往右)
2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
若函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱(chēng)函數(shù)y=#為在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D
叫做y=/田的單調(diào)區(qū)間.
【注意】
(1)函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),單獨(dú)一點(diǎn)不存在單調(diào)性問(wèn)題,
故單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)若屬于定義域,則區(qū)間可開(kāi)可閉,若區(qū)間端點(diǎn)不屬于定義域則只能開(kāi).
(2)單調(diào)區(qū)間。u定義域/.
(3)遵循最簡(jiǎn)原則,單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大;
(4)單調(diào)區(qū)間之間可用“,”分開(kāi),不能用“U”,可以用“和”來(lái)表示;
3、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)
若函數(shù)/(%)與g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性,則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì):
(1)/(幻與/(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.
(2)/(%)與—f(x)的單調(diào)性相反.
(3)當(dāng)。>0時(shí),/(X)與/(%)單調(diào)性相同;當(dāng)。<0時(shí),始(x)與/(x)單調(diào)性相反.
(4)若/(x)K),則/(x)與J7由具有相同的單調(diào)性.
(5)若/(x)恒為正值或恒為負(fù)值,則當(dāng)?!?時(shí),/(x)與二^具有相反的單調(diào)性;
/(%)
當(dāng)。<0時(shí),/(x)與q具有相同的單調(diào)性.
/(X)
(6)/(x)與g(x)的和與差的單調(diào)性(相同區(qū)間上):
簡(jiǎn)記為:/+/=/;(2)'+、=、;(3)/-\=/;(4)X-/=、.
(7)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)],
若f=g(尤)在區(qū)間(a,6)上是單調(diào)函數(shù),且>=式力在區(qū)間(g(a),g(6))或(g(b),g(a))上是單調(diào)函數(shù)
若t=g⑴與尸期的單調(diào)性相同,則y=/[g(x)]為增函數(shù)
若/=g(x)與y=/(t)的單調(diào)性相反,則y=/[g(x)]為減函數(shù).簡(jiǎn)稱(chēng)“同增異減”.
知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的奇偶性
1、函數(shù)的奇偶性
奇偶性定義圖象特點(diǎn)
如果對(duì)于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)尤,都
偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
有/(-X)=/(X),那么函數(shù)/(X)是偶函數(shù)
如果對(duì)于函數(shù)/U)的定義域內(nèi)任意一個(gè)無(wú),都有
奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
/(_x)=_/(x),那么函數(shù)/(尤)是奇函數(shù)
2、函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論
(1)f(x)為奇函數(shù)=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);y(x)為偶函數(shù)。f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).
(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么y(x)=y(國(guó)).
(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類(lèi)型,即/(x)=0,x^D,其中定義域。是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的非
空數(shù)集.
(4)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.
(5)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的最大(小)值,取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù);奇函數(shù)在關(guān)于
原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的最值互為相反數(shù),取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).
知識(shí)點(diǎn)4函數(shù)的周期性
1、周期函數(shù)的定義
對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有/(x+T)=/(x),那
么就稱(chēng)函數(shù)/(x)為周期函數(shù),稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期.
2、最小正周期:如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做了(x)的
最小正周期.
知識(shí)點(diǎn)5函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性
1、關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)
若函數(shù)y=/(x)滿(mǎn)足/(a+x)=/(6-x),則函數(shù)y=/(x)關(guān)于直線(xiàn)x=色2對(duì)稱(chēng),特別地,當(dāng)a=6=0時(shí),
2
函數(shù)y=/(x)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),此時(shí)函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù).
2、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
若函數(shù),=/(%)滿(mǎn)足f(2a-x)=2b-f^x),則函數(shù)y=/(%)關(guān)于點(diǎn)(。,/?)對(duì)稱(chēng),特別地,當(dāng)〃=0,/?=0時(shí),
/(X)=-/(-%),則函數(shù)y=/(%)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),此時(shí)函數(shù)/(x)是奇函數(shù).
X重點(diǎn)突破?塞分?必將
重難點(diǎn)01求函數(shù)值域的七種方法
法一、單調(diào)性法:如果一個(gè)函數(shù)為單調(diào)函數(shù),則由定義域結(jié)合單調(diào)性可快速求出函數(shù)的最值(值域).
(1)若函數(shù)y=?x)在區(qū)間團(tuán),切上單調(diào)遞增,則ymax=A。),ymin=/(a).
(2)若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[a,切上單調(diào)遞減,則ymax=/(a),ymin=/S).
(3)若函數(shù)y=/a)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間,那就先求出各區(qū)間上的最值,再?gòu)母鲄^(qū)間的最值中決定出最大(小)值.函
數(shù)的最大(小)值是整個(gè)值域范圍內(nèi)的最大(小)值.
9
【典例1](23-24高三?全國(guó)?專(zhuān)題)函數(shù)〃力=〒:(xe[2,6])的最大值為()
X—1
?22
A.2B.-C.-D.—
3535
【典例2】(23-24高三?全國(guó)?專(zhuān)題)函數(shù)〃x)=lgx+x的定義域?yàn)椤?,則值域?yàn)?)
法二、圖象法:作出函數(shù)的圖象,通過(guò)觀(guān)察曲線(xiàn)所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域,以下函數(shù)常會(huì)考慮進(jìn)行數(shù)
形結(jié)合.
(1)分段函數(shù):盡管分段函數(shù)可以通過(guò)求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域,但對(duì)于一些便于
作圖的分段函數(shù),數(shù)形結(jié)合也可很方便的計(jì)算值域.
(2)“X)的函數(shù)值為多個(gè)函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值,此時(shí)需將多個(gè)函數(shù)作于同一坐標(biāo)系中,然后確
定靠下(或靠上)的部分為該/(x)函數(shù)的圖象,從而利用圖象求得函數(shù)的值域.
【典例1](23-24高三上.河南新鄉(xiāng).月考)對(duì)VxeR,用M(x)表示〃尤),g(x)中的較大者,記為
M(x)=max{/(x),g(x)},若函數(shù)M(x)=max卜x+3,(x-,則M(x)的最小值為.
【典例2](23-24高三上?重慶北倍?月考)高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,用其名字命名
的“高斯函數(shù)”為:對(duì)于實(shí)數(shù)x,符號(hào)印表示不超過(guò)x的最大整數(shù),例如[-m=-3,[2.1]=2,定義函數(shù)
f(x)=x-[x],則函數(shù)/(X)的值域?yàn)?
法三、配方法:主要用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù),要特別注意自變量的取值范圍.
【典例1](23-24高三上?全國(guó)?專(zhuān)題)函數(shù)〃尤)=J-爐一2尤+3的值域是()
A.[0,2]B.[0,+e)C.[2,”)D.(0,2)U(2,4?)
【典例2](2。23高三江西萍鄉(xiāng)?開(kāi)學(xué)考)函數(shù)的值域?yàn)椤?
法四、換元法:換元法是將函數(shù)解析式中關(guān)于x的部分表達(dá)式視為一個(gè)整體,并用新元f代替,將解析式化
歸為熟悉的函數(shù),進(jìn)而解出最值(值域).
(1)在換元的過(guò)程中,因?yàn)樽詈笫且眯略鉀Q值域,所以一旦換元,后面緊跟新元的取值范圍.
(2)換元的作用有兩個(gè):
①通過(guò)換元可將函數(shù)解析式簡(jiǎn)化,例如當(dāng)解析式中含有根式時(shí),通過(guò)將根式視為一個(gè)整體,換元后即
可“消滅”根式,達(dá)到簡(jiǎn)化解析式的目的.
②可將不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為會(huì)求值域的函數(shù)進(jìn)行處理
【典例1】(2023高三上?廣東河源?開(kāi)學(xué)考試)函數(shù)"x)=2x+7T7的最大值為.
【典例2](23-24高三.全國(guó)?專(zhuān)題)函數(shù)y=l-x+”二五的值域?yàn)椋ǎ?/p>
A.1一?3,!B.[0,+co)C.;,+81D.
法五、分離常數(shù)法:主要用于含有一次的分式函數(shù),
形如(=竺心或y=-+/+e(a,c至少有一個(gè)不為零)的函數(shù),求其值域可用此法
cx+dcx+d
以丁=竺心為例,解題步驟如下:
cx+d
第一步,用分子配湊出分母的形式,將函數(shù)變形成y=0+—的形式,
ccx+d
第二步,求出函數(shù)y=在定義域范圍內(nèi)的值域,進(jìn)而求出丁=竺心的值域。
cx+dcx+d
【典例1】(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)Y二二7的值域?yàn)?
【典例2】(2024高三下.北京懷柔.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,函數(shù)的值域
是()
A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]
ax2+bx+c
法六、判別式法:主要用于含有二次的分式函數(shù),形如:y=----------
ax~+ex+f
將函數(shù)式化成關(guān)于X的方程,且方程有解,用根的判別式求出參數(shù)y的取值范圍,即得函數(shù)的值域。應(yīng)
用判別式法時(shí)必須考慮原函數(shù)的定義域,并且注意變形過(guò)程中的等價(jià)性。
另外,此種形式還可使用分離常數(shù)法解法。
【典例1](23-24高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))求函數(shù)y=2:2-x+2的值域.
X+X+1
【典例2](23-24高三上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)y=J1°,x>0的值域?yàn)?/p>
-6x+7
法七、導(dǎo)數(shù)法:對(duì)可導(dǎo)函數(shù)/(x)求導(dǎo),令/'(x)=0,求出極值點(diǎn),判斷函數(shù)的單調(diào)性:
如果定義域時(shí)閉區(qū)間,額函數(shù)的最值一定取在極值點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)處;
如果定義域是開(kāi)區(qū)間且函數(shù)存在最值,則函數(shù)最值一定取在極值點(diǎn)處。
【典例1*23-24高三上?遼寧?開(kāi)學(xué)考試)函數(shù)/(x)=(-2x+4)e,在區(qū)間[1,+8)上的最大值為
【典例2](23-24高三上?山東濟(jì)寧.月考)函數(shù)〃x)=x-lnx的最小值___________
重難點(diǎn)02常見(jiàn)奇函數(shù)、偶函數(shù)的類(lèi)型及應(yīng)用
1、(。>0且為偶函數(shù);
2、/(x)=a¥-a~x(a>0且a00)為奇函數(shù);
/72x_1
3、f(x)=_(a>0且aH0)為奇函數(shù);
優(yōu)+4%a尤+1
b一丫
4、/(%)=log-----(〃〉°且〃為奇函數(shù);
-ab+x
5、5(%)=log”(J」?+1±%)(a>°且awO)為奇函數(shù);
6、/(%)=麻+4+版一4為偶函數(shù);
7、/(%)二向+可一版一,為奇函數(shù);
【典例1](23-24高三下.四川南充.二模)已知函數(shù)/(x)=e—b,則函數(shù)V=D+1的圖象()
A.關(guān)于點(diǎn)(1』)對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于點(diǎn)(T1)對(duì)稱(chēng)
C.關(guān)于點(diǎn)(—1,0)對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于點(diǎn)(1,。)對(duì)稱(chēng)
【典例2](23-24高三下?重慶?模擬預(yù)測(cè))(多選)函數(shù)=g(x)=ln(Jl+9d-3x),刃」么()
A./(x)+g(x)是偶函數(shù)B.,(X)?g(x)是奇函數(shù)
g(尤)
C.日是奇函數(shù)D.g(/(x))是奇函數(shù)
了(尤)
重難點(diǎn)03函數(shù)周期性的常用結(jié)論及應(yīng)用
1、(。是不為0的常數(shù))
(1)若"%+〃)=則T=a;(2)若/(%+〃)=/(%—〃),則T=2a;
(3)若/(%+〃)=-/(%),則T=2a;(4)若/(x+a)=y^y,則T=2a;
1
若)則=,一/?|;
若"x+a)=_:77V則T=2a;(6)/(x+a)=/(x+/2,7(awb)
2、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性與周期性的關(guān)系
(1)若函數(shù)〃尤)關(guān)于直線(xiàn)x=a與直線(xiàn)x=b對(duì)稱(chēng),那么函數(shù)的周期是2也—小
(2)若函數(shù)/(九)關(guān)于點(diǎn)(a,O)對(duì)稱(chēng),又關(guān)于點(diǎn)伍,0)對(duì)稱(chēng),那么函數(shù)的周期是2|b—4;
(3)若函數(shù)/(九)關(guān)于直線(xiàn)x=a,又關(guān)于點(diǎn)0,0)對(duì)稱(chēng),那么函數(shù)的周期是4|A—小
3、函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系
(1)①函數(shù)/(九)是偶函數(shù);②函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng);③函數(shù)的周期為21d.
(2)①函數(shù)/(九)是奇函數(shù);②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng);③函數(shù)的周期為21al.
(3)①函數(shù)/(九)是奇函數(shù);②函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng);③函數(shù)的周期為41d.
(4)①函數(shù)/(九)是偶函數(shù);②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng);③函數(shù)的周期為川a|.
其中awO,上面每組三個(gè)結(jié)論中的任意兩個(gè)能夠推出第三個(gè)。
【典例1](23-24高三下.河北.模擬預(yù)測(cè))定義在R上的函數(shù)〃x)周期為4,且〃2x+l)為奇函數(shù),貝U()
A./(x)為偶函數(shù)B./(x+1)為偶函數(shù)
C.〃x+2)為奇函數(shù)D./(x+3)為奇函數(shù)
【典例2](23-24高三下.江西?月考)(多選)已知AM的定義域?yàn)镽,若/'(尤)的圖象關(guān)于直線(xiàn)丫=》對(duì)稱(chēng),
且/(x+1)為奇函數(shù),則()
A.7(/(%))=xB.f(x)+/(-x)=2C./(x+4)-/(無(wú))=4D.”2024)=—2023
重難點(diǎn)04抽象函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用
1、抽象函數(shù)求值:以抽象函數(shù)為載體的求值問(wèn)題的常見(jiàn)形式,是給出函數(shù)滿(mǎn)足的特殊條件,指定求出某處
的函數(shù)值或某抽象代數(shù)式的值。常用賦值法來(lái)解決,要從以下方面考慮:令了:…,-2,-1,0,1,2…等特殊
值求抽象函數(shù)的函數(shù)值。
2、判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法:
(1)湊:湊定義或湊已知,利用定義或已知條件得出結(jié)論;
(2)賦值:給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.
①若給出的是“和型”抽象函數(shù),(x+y)=…,判斷符號(hào)時(shí)要變形為:
/(^2)-/(^1)=/((%一X)+%)一/(匹)或/(%)一/(占)=/(尤2)一/((七一%)+%);
②若給出的是“積型”抽象函數(shù),(孫)=…,判斷符號(hào)時(shí)要變形為:
/\c、
X!?—一/(%)或/(%)一/(石)=/(9)—了尤2.再
kX17kX2y
3、求抽象函數(shù)解析式的方法
①換元法:用中間變量表示原自變量X的代數(shù)式,從而求出f(x);
②湊合法:在已知/(以久))=攸式)的條件下,把攸X)并湊成以g(x)表示的代數(shù)式,再利用代換即可求/(%);
③待定系數(shù)法:已知函數(shù)類(lèi)型,設(shè)定函數(shù)關(guān)系式,再由已知條件,求出出關(guān)系式中的未知系數(shù);
④利用函數(shù)性質(zhì)法:主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式;
⑤賦值法:給自變量取特殊值,從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律,求出〃久)的表達(dá)式;
⑥方程組法:一般等號(hào)左邊有兩個(gè)抽象函數(shù)(如久)/(-功),將左邊的兩個(gè)抽象函數(shù)看成兩個(gè)變量,變換變
量構(gòu)造一個(gè)方程,與原方程組成一個(gè)方程組,利用消元法求〃久)的解析式.
【典例1](23-24高三下.河南?月考)(多選)己知非常數(shù)函數(shù)/■(*)的定義域?yàn)镽,且
/(x)/(y)=f(孫)+孫(x+y),則()
A./(0)=0B.〃1)=-2或/⑴=1
C.小1是{尤且%片0}上的增函數(shù)D.是R上的增函數(shù)
【典例2](23-24高三上?福建莆田?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,并且滿(mǎn)足下列條件:對(duì)任意x,
yGR,都有/(x+y)=/(x)+/(y),當(dāng)x>0時(shí),/(x)<0.
(1)證明:為奇函數(shù);
(2)若〃—1)=1,解不等式/?(尤2+法)—〃2-%)>-2.
法技巧?名學(xué)霸
一、求函數(shù)定義域的依據(jù)
函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍
1、分式的分母不能為零.
2、偶次方根的被開(kāi)方數(shù)的被開(kāi)方數(shù)必須大于等于零,即y(其中〃=24狀eN*)中x?0,
奇次方根的被開(kāi)方數(shù)取全體實(shí)數(shù),即祗(其中〃=2左+l#eN*)中,x&R.
3、零次累的底數(shù)不能為零,即x°中尤W0.
4、如果函數(shù)是一些簡(jiǎn)單函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算復(fù)合而成的,那么它的定義域是各個(gè)簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單函數(shù)定義域的交集。
【注意】定義域用集合或區(qū)間表示,若用區(qū)間表示熟記,不能用“或”連接,而應(yīng)用并集符號(hào)“U”連接。
【典例1](23-24高三下?四川南充.三模)函數(shù)〃尤)=逅三的定義域?yàn)?
【典例2](23-24高三下?北京?開(kāi)學(xué)考)函數(shù)〃苫)=坨,_])的定義域?yàn)?
二、函數(shù)解析式的四種求法
1、待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類(lèi)型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等),可用待定系數(shù)法.
(1)確定所有函數(shù)問(wèn)題含待定系數(shù)的一般解析式;
(2)根據(jù)恒等條件,列出一組含有待定系數(shù)的方程;
(3)解方程或消去待定系數(shù),從而使問(wèn)題得到解決。
2、換元法:主要用于解決已知/(g(x))的解析式,求函數(shù)的解析式的問(wèn)題
(1)先令g(尤)=r,注意分析/的取值范圍;
(2)反解出x,即用含/的代數(shù)式表示尤;
⑶將/(g(%))中的x度替換為f的表示,可求得了⑺的解析式,從而求得"%)。
3、配湊法:由已知條件/(g(*))=/(%),可將尸(£)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式,
然后以無(wú)替代gOO,便得的解析式.
4、方程組法:主要解決已知〃龍)與/(-%)、f的方程,求“力解析式。
例如:若條件是關(guān)于“X)與/(-%)的條件(或者與/)的條件,
可把X代為-X(或者把X代為L(zhǎng))得到第二個(gè)式子,與原式聯(lián)立方程組,求出了(九)
X
【典例1](23-24高三上.甘肅蘭州?月考)已知五+1)=尤+26,則/(X)=()
A./(x)=x2B./(x)=x2-l(x>l)
C./(x)=%2-l(x>0)D./(x)=x2+l(x>l)
【典例2](23-24高三上.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))根據(jù)下列條件,求函數(shù)八%)的解析式
(1)已知〃%)是一次函數(shù),且滿(mǎn)足37(%+1)-2/(1)=2「+17;
(2)已知函數(shù)/(X)滿(mǎn)足條件2/(x)+/[5]=3x對(duì)任意不為零的實(shí)數(shù)x恒成立
三、分段函數(shù)常見(jiàn)題型及解題方法
1、求函數(shù)值問(wèn)題:根據(jù)所給自變量值的大小,選擇相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系求值,有時(shí)每段交替使用求值。
2、解方程或解不等式:分類(lèi)求出各子區(qū)間上的解,再將它們合并在一起,但要檢驗(yàn)所求是否符合相應(yīng)各段
自變量的取值范圍。
3、求最值或值域:先求出各段上的最值或值域,然后進(jìn)行比較得出最大值、最小值,合并得出值域。
4、圖象及其應(yīng)用:根據(jù)每段函數(shù)的定義域和解析式在同一坐標(biāo)系中作出圖象,作圖時(shí)要注意每段圖象端點(diǎn)
的虛實(shí)。
【典例1](23-24高三上.江蘇連云港.月考)己知函數(shù)=<(2],%-2則〃log20等于()
/(x-l),x>2
11
A.—3B.—6C.—D.
63
4eT尤Wl,
【典例2](23-24高三上?廣東深圳?月考)已知函數(shù)/(尤)=4,則Ax)的最大值為()
—X+1,X>1
A.1B.4C.4eD.5
【典例3]⑵-24高三上?河北廊坊?期中)已知函數(shù)言°'則滿(mǎn)足f(x-l)</(2x)的x的取值范
圍是.
四、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用及方法
1、比較函數(shù)值的大?。合葘⒆宰兞哭D(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決。
2、解函數(shù)不等式:根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性條件脫去“/”,轉(zhuǎn)化為自變量間的大小問(wèn)題,應(yīng)注意函數(shù)的定義域。
3、利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
(1)視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù);
(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a,切上是單調(diào)的,則該函數(shù)在此區(qū)間上的任意子集區(qū)間上也是單調(diào)的。
【典例11(23-24高三上?天津南開(kāi)?月考)已知奇函數(shù)/(x)在R上是減函數(shù),若。=-71og3;],匕=/lo§22
c=_/(2?s),貝/,b,c的大小關(guān)系為()
A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a
【典例2](23-24高三上?福建福州?月考)已知/(x)為定義在R上的偶函數(shù),在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞減,
且滿(mǎn)足"3)=0,則不等式+的解集為.
X
【典例3](23-24高三上?全國(guó)?月考)若函數(shù)〃%)=62工-46,+5在(祖,+?))上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)〃,的取值范
圍為()
A.(ln2,+oo)B.[ln2,-H?)C.(e2,+o?)D.[e2,+a?j
五、函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用
1、判斷函數(shù)的奇偶性:(1)定義法;(2)圖像法;(3)性質(zhì)法。
2、利用奇偶性求值:將待求函數(shù)值或不等式利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解。
3、根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解解析式中的參數(shù):根據(jù)/(%)土/(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的
對(duì)等行得參數(shù)的方程(組),進(jìn)而求得參數(shù)的值。
4、涉及兩個(gè)奇偶函數(shù)的和或差的解析式:求奇偶函數(shù)的解析式需要用-X代替x后,利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)
構(gòu)造方程組求解。
O—Y
【典例1](23-24高三下.重慶?三模)設(shè)函數(shù)=—,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()
2+x
A.f(x—2)+1B.2)+2
C./(x+2)+2D./(%+2)+1
【典例2](23-24高三下.山東聊城.二模)已知函數(shù)〃%)為R上的偶函數(shù),且當(dāng)%>0時(shí),/(x)=log4x-l,
則/-=()
【典例3](23-24高三下.陜西西安.模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)〃無(wú))=。(aeR)為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)。的值為
2—1
A.—B.—C.1D.—1
22
參考答案與試題解析
專(zhuān)題03函數(shù)的概念與性質(zhì)
(思維構(gòu)建+知識(shí)盤(pán)點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧)
維構(gòu)建?誰(shuí)精曉紿
朝01求具體國(guó)改睚義《
廠(chǎng)(函數(shù)的概念:兩個(gè)非空段集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系)
型02
_(O知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的有關(guān)君)-(函數(shù)的三要素定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系)型03/函數(shù)的定義域求參數(shù)
型04判斷是否為同一個(gè)函數(shù)
L(相等函數(shù)與分段函數(shù))
型05求國(guó)蚯解儂
型06分段函數(shù)及其應(yīng)用
型01函數(shù)單調(diào)住瞪廝(硼)
函數(shù)單^65強(qiáng)型02求西毀的單調(diào)區(qū)間
霞03利用函毒件調(diào)t物盤(pán)值
霹。4匚運(yùn)勢(shì)亙豌三星三天「
三鼠。:5利用工至M3訂等式
翅06利用函單調(diào)性求皴輟面5圉
酸與唾型01函數(shù)奇偈性腓廝
------------------------\H奇『(-xA/C法于原點(diǎn)51搭;型02利用奇偶性求函擊信
函數(shù)奇偶性的定義與圖象特點(diǎn)T)———J
—(o知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)的奇偶性---------------------------y匚偶『(-xR(r炭于浦麗稱(chēng)型03利用奇蝌求參數(shù)
翹04利用奇儡性求翩成
函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論型05利用單調(diào)性與卻黯解不總
型06利用單調(diào)性與奇禺在t般大小
質(zhì)期函數(shù)的定義:存在3港常數(shù)T滿(mǎn)足“x+IJRXx)^dQi利用周期性求^賽信
o知識(shí)點(diǎn)四函數(shù)的周期性最小正副8:所有感8中j002利用制IB1求舉㈱假
YO知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性遜)1周期性與神超學(xué)應(yīng)用
/■<旺點(diǎn)碉;i轆02刮3注與對(duì)稱(chēng)性綜合應(yīng)用
轆03gg
口原盤(pán)點(diǎn)?查;層外與
知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的有關(guān)概念
1、函數(shù)的概念:一般地,設(shè)A,8是非空的數(shù)集,如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對(duì)應(yīng)
關(guān)系/,在集合8中都有唯一確定的y和它對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng)/:Af8為從集合A到集合8的一個(gè)函數(shù),
記作y=/(x),xeA.
2、函數(shù)的三要素:
(1)在函數(shù)y=/(x),xeA中,x叫做自變量,尤的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;
(2)與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合伏x)|xdA}叫做函數(shù)的值域。顯然,值域是集合B
的子集.
(3)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系:y=f(x),xeA.
3、相等函數(shù)與分段函數(shù)
(1)相等函數(shù):如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)相等,這是判斷兩函數(shù)相等的
依據(jù).
(2)分段函數(shù):在函數(shù)定義域內(nèi),對(duì)于自變量》取值的不同區(qū)間,有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這樣的函數(shù)稱(chēng)為
分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集。分段函數(shù)雖然是由幾個(gè)部分
構(gòu)成,但它表示的是一個(gè)函數(shù),各部分函數(shù)定義域不可以相交。
知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的單調(diào)性
1、單調(diào)函數(shù)的定義
設(shè)函數(shù)黃尤)的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值七,馬,
當(dāng)王<%2時(shí),都有了(X1)</(X2),那么就說(shuō)函數(shù)力切在區(qū)間D上是單調(diào)遞增函數(shù)。
當(dāng)匹<%2時(shí),都有/'(再)>/■(%),那么就說(shuō)函數(shù)力用在區(qū)間D上是單調(diào)遞減函數(shù)。
單調(diào)性的圖形趨勢(shì)(從左往右)
2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
若函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱(chēng)函數(shù)>=方的在
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