專(zhuān)題03函數(shù)的概念與性質(zhì)

（思維構(gòu)建+知識(shí)盤(pán)點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧）

維構(gòu)建?耀蓿陳紿

遜01求具體麋睚義域

廠(chǎng)（函數(shù)的概念：兩個(gè)非至雌之間的對(duì)應(yīng)關(guān)一）

型02

_（O知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的有關(guān)忘）-（函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系）型03數(shù)的定義域求例

,04判斷是否為同一個(gè)函數(shù)

L（骨函數(shù)與分段函數(shù)）

壁05求蜃的I種試

型06分段函數(shù)及其應(yīng)用

函數(shù)的概念與性質(zhì)遜01函克奇偶性&喇?dāng)?/p>

/--------------一x廠(chǎng)：奇?。?xA/（r度于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)型02利用奇雌求畫(huà)翅1

,-------------------------------「函數(shù)奇偶性的定義與圖象特點(diǎn)T:一.

Y?知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)的奇偶性xKM-XR8送云颯稱(chēng)」型03利用奇偶性求參數(shù)

型04利用奇偶性求照依

、------------------------------，匚函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論

型05利用單調(diào)在與奇倜翔不"

型06利用單調(diào)性與奇國(guó)批較大小

周期函螭斗存國(guó)疇常數(shù)T滿(mǎn)足"X+7）寸（公

o知識(shí)點(diǎn)四函數(shù)的周期性型01利用周期性求函數(shù)直

是小正周期：所有周期中最小的正數(shù)周期遜02利用周期住求函數(shù)解儂

—（〔O知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性例01周期性與對(duì)稱(chēng)性驍應(yīng)用

轆02

關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)j三。M；二可三與函數(shù)等三巨乏

口行盤(pán)點(diǎn)?置熱訃標(biāo)

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的有關(guān)概念

1、函數(shù)的概念：一般地，設(shè)A,3是非空的數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對(duì)應(yīng)

關(guān)系了,在集合5中都有唯一確定的y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)/:Af3為從集合A到集合3的一個(gè)函數(shù)，

記作y=/（%）,xeA.

2、函數(shù)的三要素：

（1）在函數(shù)y=/（x）,xeA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；

（2）與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合伏x）|xGA｝叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合B

的子集.

（3）函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：y=/（x）,xeA.

3、相等函數(shù)與分段函數(shù)

（1）相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的

依據(jù).

(2)分段函數(shù)：在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x取值的不同區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)稱(chēng)為

分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。分段函數(shù)雖然是由幾個(gè)部分

構(gòu)成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)，各部分函數(shù)定義域不可以相交。

知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的單調(diào)性

1、單調(diào)函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)兀0的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值看,馬，

當(dāng)西＜%2時(shí)，都有/'(%)＜/"(/)，那么就說(shuō)函數(shù)/W在區(qū)間D上是單調(diào)遞增函數(shù)。

當(dāng)王＜%2時(shí)，都有/'(匹)＞/(%2)，那么就說(shuō)函數(shù)力切在區(qū)間D上是單調(diào)遞減函數(shù)。

單調(diào)性的圖形趨勢(shì)(從左往右)

2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

若函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)y=#為在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D

叫做y=/田的單調(diào)區(qū)間.

【注意】

(1)函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單獨(dú)一點(diǎn)不存在單調(diào)性問(wèn)題，

故單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)若屬于定義域，則區(qū)間可開(kāi)可閉，若區(qū)間端點(diǎn)不屬于定義域則只能開(kāi).

(2)單調(diào)區(qū)間。u定義域/.

(3)遵循最簡(jiǎn)原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大；

(4)單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開(kāi)，不能用“U”，可以用“和”來(lái)表示；

3、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

若函數(shù)/(%)與g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：

(1)/(幻與/(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

(2)/(%)與—f(x)的單調(diào)性相反.

(3)當(dāng)。＞0時(shí)，/(X)與/(%)單調(diào)性相同；當(dāng)。＜0時(shí)，始(x)與/(x)單調(diào)性相反.

(4)若/(x)K),則/(x)與J7由具有相同的單調(diào)性.

(5)若/(x)恒為正值或恒為負(fù)值，則當(dāng)?！?時(shí)，/(x)與二^具有相反的單調(diào)性；

/(%)

當(dāng)。＜0時(shí)，/(x)與q具有相同的單調(diào)性.

/(X)

(6)/(x)與g(x)的和與差的單調(diào)性(相同區(qū)間上)：

簡(jiǎn)記為：/+/=/；(2)'+、=、；(3)/-\=/;(4)X-/=、.

(7)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)],

若f=g(尤)在區(qū)間(a,6)上是單調(diào)函數(shù)，且>=式力在區(qū)間(g(a),g(6))或(g(b),g(a))上是單調(diào)函數(shù)

若t=g⑴與尸期的單調(diào)性相同，則y=/[g(x)]為增函數(shù)

若/=g(x)與y=/(t)的單調(diào)性相反，則y=/[g(x)]為減函數(shù).簡(jiǎn)稱(chēng)“同增異減”.

知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的奇偶性

1、函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)尤，都

偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

有/(-X)=/(X),那么函數(shù)/(X)是偶函數(shù)

如果對(duì)于函數(shù)/U)的定義域內(nèi)任意一個(gè)無(wú)，都有

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

/(_x)=_/(x),那么函數(shù)/(尤)是奇函數(shù)

2、函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論

(1)f(x)為奇函數(shù)=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；y(x)為偶函數(shù)。f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么y(x)=y(國(guó)).

(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類(lèi)型，即/(x)=0,x^D,其中定義域。是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的非

空數(shù)集.

(4)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

(5)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).

知識(shí)點(diǎn)4函數(shù)的周期性

1、周期函數(shù)的定義

對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有/(x+T)=/(x),那

么就稱(chēng)函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期.

2、最小正周期：如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做了(x)的

最小正周期.

知識(shí)點(diǎn)5函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

1、關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)

若函數(shù)y=/(x)滿(mǎn)足/(a+x)=/(6-x),則函數(shù)y=/(x)關(guān)于直線(xiàn)x=色2對(duì)稱(chēng)，特別地，當(dāng)a=6=0時(shí)，

2

函數(shù)y=/(x)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，此時(shí)函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù).

2、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

若函數(shù),=/(%)滿(mǎn)足f(2a-x)=2b-f^x),則函數(shù)y=/(%)關(guān)于點(diǎn)(。，/?)對(duì)稱(chēng)，特別地，當(dāng)〃=0,/?=0時(shí)，

/(X)=-/(-%),則函數(shù)y=/(%)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，此時(shí)函數(shù)/(x)是奇函數(shù).

X重點(diǎn)突破?塞分?必將

重難點(diǎn)01求函數(shù)值域的七種方法

法一、單調(diào)性法：如果一個(gè)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則由定義域結(jié)合單調(diào)性可快速求出函數(shù)的最值(值域).

(1)若函數(shù)y=?x)在區(qū)間團(tuán)，切上單調(diào)遞增，則ymax=A。)，ymin=/(a).

(2)若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[a,切上單調(diào)遞減，則ymax=/(a)，ymin=/S).

(3)若函數(shù)y=/a)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再?gòu)母鲄^(qū)間的最值中決定出最大(小)值.函

數(shù)的最大(小)值是整個(gè)值域范圍內(nèi)的最大(小)值.

9

【典例1](23-24高三?全國(guó)?專(zhuān)題)函數(shù)〃力=〒：(xe[2,6])的最大值為()

X—1

?22

A.2B.-C.-D.—

3535

【典例2】(23-24高三?全國(guó)?專(zhuān)題)函數(shù)〃x)=lgx+x的定義域?yàn)椤?,則值域?yàn)?)

法二、圖象法：作出函數(shù)的圖象，通過(guò)觀(guān)察曲線(xiàn)所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會(huì)考慮進(jìn)行數(shù)

形結(jié)合.

(1)分段函數(shù)：盡管分段函數(shù)可以通過(guò)求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但對(duì)于一些便于

作圖的分段函數(shù)，數(shù)形結(jié)合也可很方便的計(jì)算值域.

(2)“X)的函數(shù)值為多個(gè)函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值，此時(shí)需將多個(gè)函數(shù)作于同一坐標(biāo)系中，然后確

定靠下(或靠上)的部分為該/(x)函數(shù)的圖象，從而利用圖象求得函數(shù)的值域.

【典例1](23-24高三上.河南新鄉(xiāng).月考)對(duì)VxeR,用M(x)表示〃尤)，g(x)中的較大者，記為

M(x)=max{/(x),g(x)},若函數(shù)M(x)=max卜x+3,(x-,則M(x)的最小值為.

【典例2](23-24高三上?重慶北倍?月考)高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名

的“高斯函數(shù)”為：對(duì)于實(shí)數(shù)x,符號(hào)印表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[-m=-3,[2.1]=2,定義函數(shù)

f(x)=x-[x],則函數(shù)/(X)的值域?yàn)?

法三、配方法：主要用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)，要特別注意自變量的取值范圍.

【典例1]（23-24高三上?全國(guó)?專(zhuān)題）函數(shù)〃尤）=J-爐一2尤+3的值域是（）

A.[0,2]B.[0,+e）C.[2,”）D.（0,2）U（2,4?）

【典例2]（2。23高三江西萍鄉(xiāng)?開(kāi)學(xué)考）函數(shù)的值域?yàn)椤?

法四、換元法：換元法是將函數(shù)解析式中關(guān)于x的部分表達(dá)式視為一個(gè)整體，并用新元f代替，將解析式化

歸為熟悉的函數(shù)，進(jìn)而解出最值（值域）.

（1）在換元的過(guò)程中，因?yàn)樽詈笫且眯略鉀Q值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取值范圍.

（2）換元的作用有兩個(gè)：

①通過(guò)換元可將函數(shù)解析式簡(jiǎn)化，例如當(dāng)解析式中含有根式時(shí)，通過(guò)將根式視為一個(gè)整體，換元后即

可“消滅”根式，達(dá)到簡(jiǎn)化解析式的目的.

②可將不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為會(huì)求值域的函數(shù)進(jìn)行處理

【典例1】（2023高三上?廣東河源?開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)"x）=2x+7T7的最大值為.

【典例2]（23-24高三.全國(guó)?專(zhuān)題）函數(shù)y=l-x+”二五的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.1一?3，!B.[0,+co）C.；，+81D.

法五、分離常數(shù)法：主要用于含有一次的分式函數(shù)，

形如（=竺心或y=-+/+e（a,c至少有一個(gè)不為零）的函數(shù)，求其值域可用此法

cx+dcx+d

以丁=竺心為例，解題步驟如下：

cx+d

第一步，用分子配湊出分母的形式，將函數(shù)變形成y=0+—的形式，

ccx+d

第二步，求出函數(shù)y=在定義域范圍內(nèi)的值域，進(jìn)而求出丁=竺心的值域。

cx+dcx+d

【典例1】（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)Y二二7的值域?yàn)?

【典例2】（2024高三下.北京懷柔.模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,函數(shù)的值域

是（）

A.（0,2）B.（0,2]C.[0,2）D.[0,2]

ax2+bx+c

法六、判別式法：主要用于含有二次的分式函數(shù)，形如：y=----------

ax~+ex+f

將函數(shù)式化成關(guān)于X的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數(shù)y的取值范圍，即得函數(shù)的值域。應(yīng)

用判別式法時(shí)必須考慮原函數(shù)的定義域，并且注意變形過(guò)程中的等價(jià)性。

另外，此種形式還可使用分離常數(shù)法解法。

【典例1](23-24高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))求函數(shù)y=2：2-x+2的值域.

X+X+1

【典例2](23-24高三上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)y=J1°,x>0的值域?yàn)?/p>

-6x+7

法七、導(dǎo)數(shù)法：對(duì)可導(dǎo)函數(shù)/(x)求導(dǎo)，令/'(x)=0,求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性：

如果定義域時(shí)閉區(qū)間，額函數(shù)的最值一定取在極值點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)處；

如果定義域是開(kāi)區(qū)間且函數(shù)存在最值，則函數(shù)最值一定取在極值點(diǎn)處。

【典例1*23-24高三上?遼寧?開(kāi)學(xué)考試)函數(shù)/(x)=(-2x+4)e，在區(qū)間[1,+8)上的最大值為

【典例2](23-24高三上?山東濟(jì)寧.月考)函數(shù)〃x)=x-lnx的最小值___________

重難點(diǎn)02常見(jiàn)奇函數(shù)、偶函數(shù)的類(lèi)型及應(yīng)用

1、(。>0且為偶函數(shù)；

2、/(x)=a￥-a~x(a>0且a00)為奇函數(shù)；

/72x_1

3、f(x)=_(a>0且aH0)為奇函數(shù)；

優(yōu)+4%a尤+1

b一丫

4、/(%)=log-----(〃〉°且〃為奇函數(shù)；

-ab+x

5、5(%)=log”(J」?+1±%)(a>°且awO)為奇函數(shù)；

6、/(%)=麻+4+版一4為偶函數(shù)；

7、/(%)二向+可一版一，為奇函數(shù)；

【典例1](23-24高三下.四川南充.二模)已知函數(shù)/(x)=e—b，則函數(shù)V=D+1的圖象()

A.關(guān)于點(diǎn)(1』)對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于點(diǎn)(T1)對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于點(diǎn)(—1,0)對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于點(diǎn)(1,。)對(duì)稱(chēng)

【典例2］（23-24高三下?重慶?模擬預(yù)測(cè)）（多選）函數(shù)=g（x）=ln（Jl+9d-3x）,刃」么（）

A./（x）+g（x）是偶函數(shù)B.，（X）?g（x）是奇函數(shù)

g（尤）

C.日是奇函數(shù)D.g（/（x））是奇函數(shù)

了（尤）

重難點(diǎn)03函數(shù)周期性的常用結(jié)論及應(yīng)用

1、（。是不為0的常數(shù)）

(1)若"％+〃)=則T=a；(2)若/(%+〃)=/(%—〃)，則T=2a；

(3)若/(%+〃)=-/(%),則T=2a；(4)若/(x+a)=y^y,則T=2a；

1

若)則=,一/?|；

若"x+a)=_：77V則T=2a；(6)/(x+a)=/(x+/2,7(awb)

2、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性與周期性的關(guān)系

（1）若函數(shù)〃尤）關(guān)于直線(xiàn)x=a與直線(xiàn)x=b對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)的周期是2也—小

（2）若函數(shù)/（九）關(guān)于點(diǎn)（a,O）對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于點(diǎn)伍,0）對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)的周期是2|b—4；

（3）若函數(shù)/（九）關(guān)于直線(xiàn)x=a,又關(guān)于點(diǎn)0,0）對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)的周期是4|A—小

3、函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系

(1)①函數(shù)/（九）是偶函數(shù)；②函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)；③函數(shù)的周期為21d.

(2)①函數(shù)/（九）是奇函數(shù)；②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（a,0）對(duì)稱(chēng)；③函數(shù)的周期為21al.

(3)①函數(shù)/（九）是奇函數(shù)；②函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)；③函數(shù)的周期為41d.

(4)①函數(shù)/（九）是偶函數(shù)；②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（a,0）對(duì)稱(chēng)；③函數(shù)的周期為川a|.

其中awO,上面每組三個(gè)結(jié)論中的任意兩個(gè)能夠推出第三個(gè)。

【典例1］（23-24高三下.河北.模擬預(yù)測(cè)）定義在R上的函數(shù)〃x）周期為4,且〃2x+l）為奇函數(shù)，貝U（）

A./（x）為偶函數(shù)B./（x+1）為偶函數(shù)

C.〃x+2）為奇函數(shù)D./（x+3）為奇函數(shù)

【典例2］（23-24高三下.江西?月考）（多選）已知AM的定義域?yàn)镽,若/'（尤）的圖象關(guān)于直線(xiàn)丫=》對(duì)稱(chēng),

且/（x+1）為奇函數(shù)，則（）

A.7（/（%））=xB.f（x）+/（-x）=2C./（x+4）-/（無(wú)）=4D.”2024）=—2023

重難點(diǎn)04抽象函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用

1、抽象函數(shù)求值：以抽象函數(shù)為載體的求值問(wèn)題的常見(jiàn)形式，是給出函數(shù)滿(mǎn)足的特殊條件，指定求出某處

的函數(shù)值或某抽象代數(shù)式的值。常用賦值法來(lái)解決，要從以下方面考慮：令了:…,-2,-1,0,1,2…等特殊

值求抽象函數(shù)的函數(shù)值。

2、判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：

(1)湊：湊定義或湊已知，利用定義或已知條件得出結(jié)論；

(2)賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.

①若給出的是“和型”抽象函數(shù)，(x+y)=…，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：

/(^2)-/(^1)=/((%一X)+%)一/(匹)或/(%)一/(占)=/(尤2)一/((七一%)+%)；

②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，(孫)=…，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：

/\c、

X!?—一/(%)或/(%)一/(石)=/(9)—了尤2.再

kX17kX2y

3、求抽象函數(shù)解析式的方法

①換元法：用中間變量表示原自變量X的代數(shù)式，從而求出f(x)；

②湊合法：在已知/(以久))=攸式)的條件下，把攸X)并湊成以g(x)表示的代數(shù)式，再利用代換即可求/(%)；

③待定系數(shù)法：已知函數(shù)類(lèi)型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，求出出關(guān)系式中的未知系數(shù)；

④利用函數(shù)性質(zhì)法：主要利用函數(shù)的奇偶性，求分段函數(shù)的解析式；

⑤賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出〃久)的表達(dá)式；

⑥方程組法：一般等號(hào)左邊有兩個(gè)抽象函數(shù)(如久)/(-功)，將左邊的兩個(gè)抽象函數(shù)看成兩個(gè)變量，變換變

量構(gòu)造一個(gè)方程，與原方程組成一個(gè)方程組，利用消元法求〃久)的解析式.

【典例1](23-24高三下.河南?月考)(多選)己知非常數(shù)函數(shù)/■(*)的定義域?yàn)镽,且

/(x)/(y)=f(孫)+孫(x+y),則()

A./(0)=0B.〃1)=-2或/⑴=1

C.小1是｛尤且％片0｝上的增函數(shù)D.是R上的增函數(shù)

【典例2](23-24高三上?福建莆田?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,并且滿(mǎn)足下列條件：對(duì)任意x,

yGR,都有/(x+y)=/(x)+/(y),當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<0.

(1)證明：為奇函數(shù);

(2)若〃—1)=1,解不等式/?(尤2+法)—〃2-%)>-2.

法技巧?名學(xué)霸

一、求函數(shù)定義域的依據(jù)

函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍

1、分式的分母不能為零.

2、偶次方根的被開(kāi)方數(shù)的被開(kāi)方數(shù)必須大于等于零，即y（其中〃=24狀eN*）中x?0,

奇次方根的被開(kāi)方數(shù)取全體實(shí)數(shù)，即祗（其中〃=2左+l#eN*）中，x&R.

3、零次累的底數(shù)不能為零，即x°中尤W0.

4、如果函數(shù)是一些簡(jiǎn)單函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算復(fù)合而成的，那么它的定義域是各個(gè)簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單函數(shù)定義域的交集。

【注意】定義域用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示熟記，不能用“或”連接，而應(yīng)用并集符號(hào)“U”連接。

【典例1］（23-24高三下?四川南充.三模）函數(shù)〃尤）=逅三的定義域?yàn)?

【典例2］（23-24高三下?北京?開(kāi)學(xué)考）函數(shù)〃苫）=坨，_］）的定義域?yàn)?

二、函數(shù)解析式的四種求法

1、待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類(lèi)型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等），可用待定系數(shù)法.

（1）確定所有函數(shù)問(wèn)題含待定系數(shù)的一般解析式；

（2）根據(jù)恒等條件，列出一組含有待定系數(shù)的方程；

（3）解方程或消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決。

2、換元法：主要用于解決已知/（g（x））的解析式，求函數(shù)的解析式的問(wèn)題

（1）先令g（尤）=r,注意分析/的取值范圍；

（2）反解出x,即用含/的代數(shù)式表示尤；

⑶將/（g（%））中的x度替換為f的表示,可求得了⑺的解析式,從而求得"％）。

3、配湊法：由已知條件/（g（*））=/（%）,可將尸（￡）改寫(xiě)成關(guān)于g（x）的表達(dá)式，

然后以無(wú)替代gOO,便得的解析式.

4、方程組法：主要解決已知〃龍）與/（-%）、f的方程，求“力解析式。

例如：若條件是關(guān)于“X）與/（-%）的條件（或者與/）的條件,

可把X代為-X(或者把X代為L(zhǎng))得到第二個(gè)式子，與原式聯(lián)立方程組，求出了(九)

X

【典例1](23-24高三上.甘肅蘭州?月考)已知五+1)=尤+26，則/(X)=()

A./(x)=x2B./(x)=x2-l(x>l)

C./(x)=%2-l(x>0)D./(x)=x2+l(x>l)

【典例2](23-24高三上.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))根據(jù)下列條件，求函數(shù)八％)的解析式

(1)已知〃%)是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足37(%+1)-2/(1)=2「+17；

(2)已知函數(shù)/(X)滿(mǎn)足條件2/(x)+/[5]=3x對(duì)任意不為零的實(shí)數(shù)x恒成立

三、分段函數(shù)常見(jiàn)題型及解題方法

1、求函數(shù)值問(wèn)題：根據(jù)所給自變量值的大小，選擇相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系求值，有時(shí)每段交替使用求值。

2、解方程或解不等式：分類(lèi)求出各子區(qū)間上的解，再將它們合并在一起，但要檢驗(yàn)所求是否符合相應(yīng)各段

自變量的取值范圍。

3、求最值或值域：先求出各段上的最值或值域，然后進(jìn)行比較得出最大值、最小值，合并得出值域。

4、圖象及其應(yīng)用：根據(jù)每段函數(shù)的定義域和解析式在同一坐標(biāo)系中作出圖象，作圖時(shí)要注意每段圖象端點(diǎn)

的虛實(shí)。

【典例1](23-24高三上.江蘇連云港.月考)己知函數(shù)=<(2]，%-2則〃log20等于()

/(x-l),x>2

11

A.—3B.—6C.—D.

63

4eT尤Wl,

【典例2](23-24高三上?廣東深圳?月考)已知函數(shù)/(尤)=4，則Ax)的最大值為()

—X+1,X>1

A.1B.4C.4eD.5

【典例3]⑵-24高三上?河北廊坊?期中)已知函數(shù)言°'則滿(mǎn)足f(x-l)</(2x)的x的取值范

圍是.

四、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用及方法

1、比較函數(shù)值的大?。合葘⒆宰兞哭D(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決。

2、解函數(shù)不等式：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性條件脫去“/”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小問(wèn)題，應(yīng)注意函數(shù)的定義域。

3、利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

（1）視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；

（2）需注意若函數(shù)在區(qū)間［a,切上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間上的任意子集區(qū)間上也是單調(diào)的。

【典例11（23-24高三上?天津南開(kāi)?月考）已知奇函數(shù)/（x）在R上是減函數(shù)，若。=-71og3；］，匕=/lo§22

c=_/（2?s）,貝/，b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【典例2］（23-24高三上?福建福州?月考）已知/（x）為定義在R上的偶函數(shù)，在區(qū)間［0,+8）上單調(diào)遞減，

且滿(mǎn)足"3）=0,則不等式+的解集為.

X

【典例3］（23-24高三上?全國(guó)?月考）若函數(shù)〃%）=62工-46，+5在（祖,+?））上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)〃，的取值范

圍為（）

A.（ln2,+oo）B.［ln2,-H?）C.（e2,+o?）D.［e2,+a?j

五、函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用

1、判斷函數(shù)的奇偶性：（1）定義法；（2）圖像法；（3）性質(zhì)法。

2、利用奇偶性求值：將待求函數(shù)值或不等式利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解。

3、根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解解析式中的參數(shù)：根據(jù)/（%）土/（-x）=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的

對(duì)等行得參數(shù)的方程（組），進(jìn)而求得參數(shù)的值。

4、涉及兩個(gè)奇偶函數(shù)的和或差的解析式：求奇偶函數(shù)的解析式需要用-X代替x后，利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)

構(gòu)造方程組求解。

O—Y

【典例1］（23-24高三下.重慶?三模）設(shè)函數(shù)=—,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）

2+x

A.f（x—2）+1B.2）+2

C./（x+2）+2D./（%+2）+1

【典例2］（23-24高三下.山東聊城.二模）已知函數(shù)〃%）為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)％>0時(shí)，/（x）=log4x-l,

則/-=（）

【典例3］（23-24高三下.陜西西安.模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)〃無(wú)）=。（aeR）為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為

2—1

A.—B.—C.1D.—1

22

參考答案與試題解析

專(zhuān)題03函數(shù)的概念與性質(zhì)

（思維構(gòu)建+知識(shí)盤(pán)點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧）

維構(gòu)建?誰(shuí)精曉紿

朝01求具體國(guó)改睚義《

廠(chǎng)（函數(shù)的概念：兩個(gè)非空段集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系）

型02

_（O知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的有關(guān)君）-（函數(shù)的三要素定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系）型03/函數(shù)的定義域求參數(shù)

型04判斷是否為同一個(gè)函數(shù)

L（相等函數(shù)與分段函數(shù)）

型05求國(guó)蚯解儂

型06分段函數(shù)及其應(yīng)用

型01函數(shù)單調(diào)住瞪廝（硼）

函數(shù)單^65強(qiáng)型02求西毀的單調(diào)區(qū)間

霞03利用函毒件調(diào)t物盤(pán)值

霹。4匚運(yùn)勢(shì)亙豌三星三天「

三鼠。：5利用工至M3訂等式

翅06利用函單調(diào)性求皴輟面5圉

酸與唾型01函數(shù)奇偈性腓廝

------------------------\H奇『（-xA/C法于原點(diǎn)51搭;型02利用奇偶性求函擊信

函數(shù)奇偶性的定義與圖象特點(diǎn)T）———J

—（o知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)的奇偶性---------------------------y匚偶『（-xR（r炭于浦麗稱(chēng)型03利用奇蝌求參數(shù)

翹04利用奇儡性求翩成

函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論型05利用單調(diào)性與卻黯解不總

型06利用單調(diào)性與奇禺在t般大小

質(zhì)期函數(shù)的定義：存在3港常數(shù)T滿(mǎn)足“x+IJRXx）^dQi利用周期性求^賽信

o知識(shí)點(diǎn)四函數(shù)的周期性最小正副8：所有感8中j002利用制IB1求舉㈱假

YO知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性遜）1周期性與神超學(xué)應(yīng)用

/■＜旺點(diǎn)碉；i轆02刮3注與對(duì)稱(chēng)性綜合應(yīng)用

轆03gg

口原盤(pán)點(diǎn)?查；層外與

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的有關(guān)概念

1、函數(shù)的概念：一般地，設(shè)A,8是非空的數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對(duì)應(yīng)

關(guān)系/,在集合8中都有唯一確定的y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)/:Af8為從集合A到集合8的一個(gè)函數(shù)，

記作y=/（x）,xeA.

2、函數(shù)的三要素：

（1）在函數(shù)y=/（x）,xeA中，x叫做自變量，尤的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；

（2）與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合伏x）|xdA｝叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合B

的子集.

(3)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：y=f(x),xeA.

3、相等函數(shù)與分段函數(shù)

(1)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的

依據(jù).

(2)分段函數(shù)：在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量》取值的不同區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)稱(chēng)為

分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。分段函數(shù)雖然是由幾個(gè)部分

構(gòu)成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)，各部分函數(shù)定義域不可以相交。

知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的單調(diào)性

1、單調(diào)函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)黃尤)的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值七,馬，

當(dāng)王<%2時(shí)，都有了(X1)</(X2)，那么就說(shuō)函數(shù)力切在區(qū)間D上是單調(diào)遞增函數(shù)。

當(dāng)匹<%2時(shí)，都有/'(再)>/■(%),那么就說(shuō)函數(shù)力用在區(qū)間D上是單調(diào)遞減函數(shù)。

單調(diào)性的圖形趨勢(shì)(從左往右)

2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

若函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)>=方的在