2025年中考數學復習熱搜題速遞之分式方程

選擇題（共10小題）

Xm

1.分式方程—--1=有增根，則m的值為（)

(x-l)(%+2)

A.0和3B.1C.1和一2D.3

2.關于x的分式方程——=1的解為正數，則字母〃的取值范圍為（）

x+1

A.-1B.a>-1C.-1D.a<--1

2x—a1

3.若關于x的分式方程一7=7的解為非負數，則〃的取值范圍是（）

X-22

A.B.a>\C.心1且D.。>1且。#4

ax4

4.若關于x的方程一；=—+1無解，則a的值為（）

x-2x-2

A.1B.2C.1或2D.0或2

5.已知方程土上-°=工，且關于x的不等式組任只有4個整數解，那么6的取值范圍是（

a-4"a<b

A.-1V6W3B.2<b^3C.8W6V9D.3Wb<4

7723

6.已知關于x的分式方程——+——=1的解是非負數，則相的取值范圍是（）

x-11-x

A.m>2B.m^2C.m22且用W3D.加>2且znW3

7.A,8兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至8地，又立即從8地逆流返回A地，共用去9小

時，已知水流速度為4千米/時，若設該輪船在靜水中的速度為％千米/時，則可列方程（）

48484848

A.——+——=9B.——+——=9

x+4x-44+x4-X

489696

C.—+4=9D.——+——=9

xx+4x-4

XA-7TI3??1

8.若關于元的方程一二+—=3的解為正數，則m的取值范圍是（）

x-33-x

A.m<TB.m且相。2

993

C.m>--TD.根〉一彳且根。一彳

fm-5x>22-my8

9.如果關于x的不等式組11/,,1、有且僅有四個整數解，且關于y的分式方程——--——=1

[X<3（%+2）2-yy-2

有非負數解，則符合條件的所有整數機的和是（）

A.13B.15C.20D.22

10.解分式方程二+—=3時，去分母后變形為（）

x-11-x

A.2+(尤+2)=3(x-1)B.2-x+2=3(x-1)

C.2-(x+2)=3(1-x)D.2-(x+2)=3(x-1)

填空題(共5小題)

27YLX3

11.若關于X的分式方程一；+丁:無解，則機=.

x-2X2-4X+2

dx41

12.若關于x的方程—-=--+1無解，則a的值是________.

%-2%-2

%+/ck

13.已知關于x的分式方程一---=1的解為負數，則k的取值范圍是_____________________.

x+1x-1

2久+772

14.已知關于x的方程----=3的解是正數，則m的取值范圍是

x-2

15.已知關于x的方程3=機的解滿足仁=3(0<n<3),若y>l,則m的取值范圍

x(%+2y=5九J

是.

三.解答題(共5小題)

16.京廣高速鐵路工程指揮部，要對某路段工程進行招標，接到了甲、乙兩個工程隊的投標書.從投標書

中得知：甲隊單獨完成這項工程所需天數是乙隊單獨完成這項工程所需天數的|；若由甲隊先做10天,

剩下的工程再由甲、乙兩隊合作30天完成.

(1)求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？

(2)已知甲隊每天的施工費用為8.4萬元，乙隊每天的施工費用為5.6萬元.工程預算的施工費用為

500萬元.為縮短工期并高效完成工程，擬安排預算的施工費用是否夠用？若不夠用，需追加預算多少

萬元？請給出你的判斷并說明理由.

17.某商家預測一種應季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進了一批這種襯衫，面市后果然供不應求，商

家又用28800元購進了第二批這種襯衫，所購數量是第一批購進量的2倍，但單價貴了10元.

(1)該商家購進的第一批襯衫是多少件？

(2)若兩批襯衫按相同的標價銷售，最后剩下50件按八折優惠賣出，如果兩批襯衫全部售完后利潤率

不低于25%(不考慮其他因素)，那么每件襯衫的標價至少是多少元？

X+134

18.解分式方程：-V-=——-——.

4x2-l2x+l4x-2

27YLX3

19.(1)若解關于％的分式方程一；+二—;會產生增根，求相的值.

x-2x2-4x+2

2

(2)若方程——=-1的解是正數，求。的取值范圍.

x-2

20.為了提高產品的附加值，某公司計劃將研發生產的1200件新產品進行精加工后再投放市場.現有甲、

乙兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息:

信息一：甲工廠單獨加工完成這批產品比乙工廠單獨加工完成這批產品多用10天;

信息二：乙工廠每天加工的數量是甲工廠每天加工數量的1.5倍.

根據以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產品？

2025年中考數學復習熱搜題速遞之分式方程(2024年7月)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

XYfi

1.分式方程工.1=E均有增根,則m的值為()

A.。和3B.1C.1和-2D.3

【考點】分式方程的增根；解一元一次方程.

【專題】分式；運算能力.

【答案】D

【分析】根據分式方程有增根，得出x-1=0,x+2=0,再代入求出即可.

Xm

【解答】解::分式方程占一L有增根,

(x-l)(x+2)

.'.x-1=0,x+2=0,

=X2=-2.

兩邊同時乘以(x-1)(x+2),原方程可化為x(x+2)-(x-1)(x+2)=m,

整理得，m=x+2,

當x=l時，代入得：m=l+2=3,

當x=-2時，代入得：m=-2+2=0(當初=0時，方程為-----1=0,此時方程無解，舍去)，

x-1

故選：D.

【點評】本題主要考查對分式方程的增根，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，理解分式方程的增

根的意義是解此題的關鍵.

2.關于x的分式方程之二=1的解為正數，則字母a的取值范圍為()

x+1

A._1B.。＞_1C.aW_1D.-1

【考點】分式方程的解.

【專題】計算題.

【答案】B

【分析】將分式方程化為整式方程，求得尤的值，然后根據解為正數，求得。的范圍，但還應考慮分母

x+lNO即尤W-1.

【解答】解：分式方程去分母得：2x-a=x+l,

解得：x=a+l,

根據題意得：。+1>0且a+iw-1,

解得:a>-1且aW-2.

即字母。的取值范圍為。>-1.

故選：B.

【點評】本題考查了分式方程的解，本題需注意在任何時候都要考慮分母不為0.

2%—CL1

3.若關于x的分式方程——=-的解為非負數，則。的取值范圍是（）

X-22

A.B.a>lC.心1且aW4D.。>1且。片4

【考點】分式方程的解.

【答案】C

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，表示出整式方程的解，根據解為非負數及分式方程分母不為

0求出。的范圍即可.

【解答】解:去分母得：2（2x-a）=x-2,

解得：x=2%

2a—22a—2

由題意得:>0且-。--2-,-

33

解得：且QTM,

故選：C.

【點評】此題考查了分式方程的解，需注意在任何時候都要考慮分母不為0.

ax4

4.若關于尤的方程一；--+1無解，則a的值為（）

x-2x-2

A.1B.2C.1或2D.0或2

【考點】分式方程的解.

【專題】運算能力；模型思想.

【答案】C

【分析】分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的

分母等于0.

【解答】解：方程去分母得：ax=4+x-2

解得：（aT）x=2）

.?.當a-1=0即a=l時，整式方程無解，分式方程無解；

9

當〃W1時，X=——7

x=2時分母為0,方程無解，

r2

即---=2,

Q—1

4=2時方程無解.

故選：C.

【點評】本題考查了分式方程無解的條件，是需要識記的內容.

5.己知方程土4-°=工，且關于x的不等式組卜只有4個整數解，那么6的取值范圍是()

a-44-akx<b

A.-1<6W3B.2<6W3C.8W6<9D.3Wb<4

【考點】分式方程的解；一元一次不等式組的整數解.

【專題】計算題.

【答案】D

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程,求出整式方程的解得到a的值,經檢驗確定出分式方程的解，

根據已知不等式組只有4個正整數解，即可確定出b的范圍.

【解答】解：分式方程去分母得：3-?-a2+4a=-1,即(a-4)(a+1)=0,

解得：a=4或a=-1,

經檢驗。=4是增根，故分式方程的解為。=-1,

已知不等式組解得：-l<xWb,

..?不等式組只有4個整數解，

；.3W6<4.

故選：D.

【點評】此題考查了分式方程的解，以及一元一次不等式組的整數解，弄清題意是解本題的關鍵.

77)3

6.已知關于x的分式方程——+——=1的解是非負數，則相的取值范圍是()

x-11-x

A.m>2B.m22C.m22且加W3D.m>2且加W3

【考點】分式方程的解.

【專題】計算題.

【答案】c

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解表示出無，根據方程的解為非負數求出相

的范圍即可.

【解答】解：分式方程去分母得：〃z-3=x-l,

解得：x—m-2,

由方程的解為非負數，得到機-220,且機-2W1,

解得：加22且m豐3.

故選：C.

【點評】此題考查了分式方程的解，時刻注意分母不為0這個條件.

7.A,5兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至5地，又立即從3地逆流返回A地，共用去9小

時，已知水流速度為4千米/時，若設該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則可列方程()

48484848

A.-----+------=9B.-----+------=9

%+4%-44+x4-x

489696

C.—+4=9D.-----+------=9

xx+4x-4

【考點】由實際問題抽象出分式方程.

【專題】應用題.

【答案】A

【分析】本題的等量關系為：順流時間+逆流時間=9小時.

4848

【解答】解:順流時間為：;逆流時間為：----

%+4X-4

4848

所列方程為:-----+------=9.

x+4x-4

故選：A.

【點評】未知量是速度，有速度，一定是根據時間來列等量關系的.找到關鍵描述語，找到等量關系是

解決問題的關鍵.

8.若關于x的方程+=3的解為正數,則小的取值范圍是()

993

<

m---

A.222

9

C9

-D.根〉一彳且根W一

44

【考點】分式方程的解.

【答案】B

【分析】直接解分式方程，再利用解為正數列不等式，解不等式得出工的取值范圍，進而得出答案.

【解答】解：去分母得：x+m-3m=3x-9,

整理得:2x=-2m+9,

—2m+9

解得：x=

-2-

xA-TR.3nr

???關于x的方程=+0=3的解為正數,

l-2m+9

-2m+9>0且-------K3

2

a9

解得：MZ<2且mA2,

qQ

故機的取值范圍是：機<2且加力N

故選：B.

【點評】此題主要考查了分式方程的解以及不等式的解法，正確解分式方程是解題關鍵.

fm-5x>22-my8

9.如果關于x的不等式組11—,1、有且僅有四個整數解，且關于y的分式方程=上--；=1

<3(%+2)2-yy-2

有非負數解，則符合條件的所有整數根的和是()

A.13B.15C.20D.22

【考點】分式方程的解；一元一次不等式組的整數解.

【專題】分式方程及應用；運算能力.

【答案】B

【分析】根據不等式組的整數解的個數確定機的取值范圍，再根據分式方程的非負數解確定機的取值

范圍，從而求出符合條件的所有整數即可得結論.

【解答】解：原不等式組的解集為-〈43絲薩，

因為不等式組有且僅有四個整數解，

所以0W警VI,

解得2W相<7.

原分式方程的解為了=3，

因為分式方程有非負數解，

8

所以貳M20,解得%>1,且相W5,因為加=5時y=2是原分式方程的增根.

所以符合條件的所有整數m的和是2+3+4+6=15.

故選：B.

【點評】本題考查了不等式組的整數解、分式方程的解，解決本題的關鍵是根據不等式組的整數解的個

數確定機的取值范圍.

2%+2

10.解分式方程+--=3時，去分母后變形為()

x-11-x

A.2+(x+2)—3(x-1)B.2-x+2—3(x-1)

C.2-(x+2)=3(1-x)D.2-(x+2)=3(x-1)

【考點】解分式方程.

【答案】D

【分析】本題考查對一個分式確定最簡公分母，去分母得能力.觀察式子x-1和1-尤互為相反數，可

得l-x=-(x-1),所以可得最簡公分母為x-1,因為去分母時式子不能漏乘，所以方程中式子每一

項都要乘最簡公分母.

【解答】解：方程兩邊都乘以X-1,

得：2-(x+2)=3(x-1).

故選：D.

【點評】考查了解分式方程，對一個分式方程而言，確定最簡公分母后要注意不要漏乘，這正是本題考

查點所在.切忌避免出現去分母后：2-(x+2)=3形式的出現.

二.填空題(共5小題)

2T71X3

11.若關于X的分式方程----+—=----無解，則加=-4或6或1.

x-2X2-4X+2-----------

【考點】分式方程的解.

【專題】計算題.

【答案】見試題解答內容

7TTLX3

【分析】該分式方程一:+^=—;無解的情況有兩種：(1)原方程存在增根；(2)原方程約去分

x-2X2-4X+2

母后，整式方程無解.

【解答】解：(l)x=-2為原方程的增根，

此時有2(x+2)+mx=3(x-2),即2X(-2+2)-2m=3義(-2-2),

解得m=6.

(2)x=2為原方程的增根，

此時有2(x+2)+mx=3(x-2),即2X(2+2)+2m=3X(2-2),

解得m=-4.

(3)方程兩邊都乘(x+2)(x-2),

得2(x+2)+nvc—3(尤-2),

化簡得：(m-1)x=-10.

當相=1時，整式方程無解.

綜上所述，當m=-4或m=6或m=l時，原方程無解.

【點評】分式方程無解，既要考慮分式方程有增根的情形，又要考慮整式方程無解的情形.

nx4

12.若關于x的方程—=—+1無解，則a的值是2或1.

x-2x-2--------------

【考點】分式方程的解.

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內容

【分析】把方程去分母得到一個整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值.

【解答】解：x-2=0,解得：x=2.

方程去分母，得：ax—4+x-2,即（a-1）尤=2

當a-IWO時，把x=2代入方程得：2a=4+2-2,

解得：a=2.

當a-1=0,即。=1時，原方程無解.

故答案為：2或1.

【點評】首先根據題意寫出。的新方程，然后解出。的值.

x+kki

13.已知關于x的分式方程——-——=1的解為負數，則k的取值范圍是當且g.

x+1x-1z

【考點】分式方程的解.

【專題】計算題.

【答案】見試題解答內容

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到X的值，根據解為負數確定出左的范

圍即可.

【解答】解：去分母得：（x+4）（尤-1）-k（x+1）=/-1,

去括號得：x2-x+kx-k-kx-k—x1-1,

移項合并得：x=l-2左，

根據題意得：1-2左＜0,且1-2AW±1

解得：且

故答案為：左〉★且ZW1.

【點評】此題考查了分式方程的解，本題需注意在任何時候都要考慮分母不為0.

2%+7?2

14.已知關于x的方程----=3的解是正數，則根的取值范圍是相＞-6且相￥-4.

x-2-------------------------------

【考點】分式方程的解.

【答案】見試題解答內容

【分析】首先求出關于X的方程--=3的解，然后根據解是正數，再解不等式組求出現的取值范圍.

X-2

【解答】解：解關于x的方程--=3得尤=根+6,

x-2

Vx-2#0,解得x#2,

:方程的解是正數，

.,.m+6>0且m+6#2,

解這個不等式得m>-6且機W-4.

故答案為：機>-6且機W-4.

【點評】本題考查了分式方程的解，是一個方程與不等式組的綜合題目，解關于x的方程是關鍵，解關

于m的不等式組是本題的一個難點.

15.已知關于x的方程2M的解滿足產［廠31n（o<〃<3）,若y>l,則m的取值范圍是馬<m<

x（x+2y-5n'-5------

2

3—'

【考點】分式方程的解；解一元一次不等式；二元一次方程組的解.

【專題】一次方程（組）及應用；運算能力.

【答案】—<m<^.

【分析】先解方程組5n”,求得X和y,再根據y>l和0<〃<3,求得x的取值范圍，最后

根據3=偌，求得加的取值范圍.

X

【解答】解：解方程組得

（x=n+2

（y=2n—1"

Vy>l,

：.2n-1>1,即

又???0V〃V3,

Al<n<3,

n=x-2,

：.l<x-2<3,即3VxV5,

「2

又?.?一=m，

x

.22

017V*

5J

27

故答案為：-<m<2?

【點評】本題主要考查了分式方程的解以及二元一次方程組的解，解題時需要掌握解二元一次方程和一

元一次不等式的方法.根據X取值范圍得到二的取值范圍是解題的關鍵.

X

三.解答題(共5小題)

16.京廣高速鐵路工程指揮部，要對某路段工程進行招標，接到了甲、乙兩個工程隊的投標書.從投標書

中得知：甲隊單獨完成這項工程所需天數是乙隊單獨完成這項工程所需天數的|；若由甲隊先做10天,

剩下的工程再由甲、乙兩隊合作30天完成.

(1)求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？

(2)已知甲隊每天的施工費用為8.4萬元，乙隊每天的施工費用為5.6萬元.工程預算的施工費用為

500萬元.為縮短工期并高效完成工程，擬安排預算的施工費用是否夠用？若不夠用，需追加預算多少

萬元？請給出你的判斷并說明理由.

【考點】分式方程的應用.

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)設甲單獨完成這項工程所需天數，表示出乙單獨完成這項工程所需天數及各自的工作效

率.根據工作量=工作效率X工作時間列方程求解；

(2)根據題意，甲乙合作工期最短，所以須求合作的時間，然后計算費用，作出判斷.

【解答】解：(1)設乙隊單獨完成這項工程需要x天，則甲隊單獨完成這項工程需要|x天.根據題意，

g1011

得—+30(—+-)=1.

-x-xx

33

解得x=90.

經檢驗，％=90是原方程的根.

22

-x—5x90=60.

33

答：甲、乙兩隊單獨完成這項工程分別需60天和90天.

(2)設甲、乙兩隊合作完成這項工程需要y天，

則有丫扃+焉)=L

解得j=36.

需要施工費用：36X(8.4+5.6)=504(萬元).

V504>500.

，工程預算的施工費用不夠用，需追加預算4萬元.

【點評】此題考查分式方程的應用，涉及方案決策問題，所以綜合性較強.

17.某商家預測一種應季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進了一批這種襯衫，面市后果然供不應求，商

家又用28800元購進了第二批這種襯衫，所購數量是第一批購進量的2倍，但單價貴了10元.

(1)該商家購進的第一批襯衫是多少件？

(2)若兩批襯衫按相同的標價銷售，最后剩下50件按八折優惠賣出，如果兩批襯衫全部售完后利潤率

不低于25%(不考慮其他因素)，那么每件襯衫的標價至少是多少元？

【考點】分式方程的應用；一元一次不等式的應用.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)可設該商家購進的第一批襯衫是x件，則購進第二批這種襯衫是2x件，根據第二批這種

襯衫單價貴了10元，列出方程求解即可；

(2)設每件襯衫的標價y元，求出利潤表達式，然后列不等式解答.

【解答】解：(1)設該商家購進的第一批襯衫是x件，則購進第二批這種襯衫是2尤件，依題意有

1320028800

+1O~Q,

x2x

解得尤=120,

經檢驗，尤=120是原方程的解，且符合題意.

答：該商家購進的第一批襯衫是120件.

(2)3尤=3X120=360,

設每件襯衫的標價y元，依題意有

(360-50)y+50X0.8y2(13200+28800)X(1+25%),

解得y》150.

答：每件襯衫的標價至少是150元.

【點評】本題考查了分式方程的應用和一元一次不等式的應用，弄清題意并找出題中的數量關系并列出

方程是解題的關鍵.

r+134

18.解分式方程：---=——-——.

4%2-12%+14%-2

【考點】解分式方程.

【答案】見試題解答內容

【分析】方程兩邊同時乘以(2x+l)(2x-1),即可化成整式方程，解方程求得x的值，然后進行檢驗,

確定方程的解.

X+132

【解答】解:原方程即

(2%+1)(2%-1)2%+12x-l

兩邊同時乘以(2x+l)(2x-l)得：x+l=3(2x-1)-2(2x+l),

x+l=6x-3-4尤-2,

解得：尤=6.

經檢驗：尤=6是原分式方程的解.

，原方程的解是x=6.

【點評】本題考查的是解分式方程，

(1)解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解.

(2)解分式方程一定注意要驗根.

2TYIX3

19.(1)若解關于1的分式方程一；+二—;會產生增根，求相的值.

x-2X2-4X+2

2

(2)若方程——=-1的解是正數，求。的取值范圍.

x-2

【考點】分式方程的增根；分式方程的解.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)根據增根是分式方程化為整式方程后產生的使分式方程的分母為0的根，把增根代入化為

整式方程的方程即可求出m的值.

(2)先解關于尤的分式方程，求得尤的值，然后再依據“解是正數”建立不等式求。的取值范圍.

【解答】解：(1)方程兩邊都乘(x+2)(x-2),得

2(x+2)+mx=3(x-2)

?.?最簡公分母為(x+2)(x-2),

???原方程增根為％=±2,

?,?把x=2代入整式方程，得加=-4.

把％=-2代入整式方程，得m=6.

綜上，可知機=-4或6.

(2)解：去分母，得2x+a=2-x

解得：x=竽,

?.?解為正數,

2.—CL

----->0,

3

:.2-a>0,

：.a<2,且x#2,

二?aW-4

.\a<2且-4.

【點評】本題考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式，增根確定后可按如下步驟進行:

①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值.

20.為了提高產品的附加值，某公司計劃將研發生產的1200件新產品進行精加工后再投放市場.現有甲、

乙兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息:

信息一：甲工廠單獨加工完成這批產品比乙工廠單獨加工完成這批產品多用10天;

信息二：乙工廠每天加工的數量是甲工廠每天加工數量的1.5倍.

根據以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產品？

【考點】分式方程的應用.

【專題】工程問題；壓軸題.

【答案】見試題解答內容

【分析】如果設甲工廠每天加工x件產品，那么根據乙工廠每天加工的數量是甲工廠每天加工數量的

1.5倍，可知乙工廠每天加工1.5x件產品.然后根據等量關系：甲工廠單獨加工完成這批產品的天數-

乙工廠單獨加工完成這批產品的天數=10列出方程.

【解答】解：設甲工廠每天加工尤件產品，則乙工廠每天加工1.5尤件產品,

……，口12001200

依就思侍丁--=10,

解得：x=40.

經檢驗：尤=40是原方程的根，且符合題意.所以1.5x=60.

答：甲工廠每天加工40件產品，乙工廠每天加工60件產品.

【點評】本題考查了分式方程在實際生產生活中的應用.理解題意找出題中的等量關系，列出方程是解

題的關鍵.注意分式方程一定要驗根.

考點卡片

1.解一元一次方程

(1)解一元一次方程的一般步驟：

去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1,這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，

靈活應用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉