專題18三角形及全等三角形（40題）

一、單選題

1.（2024?陜西中考真題）如圖，在AABC中，ABAC=90°,AO是BC邊上的高，E是。C的中點，連接4E,

則圖中的直角三角形有（）

C.4個D.5個

【答案】C

【分析】本題主要考查直角三角形的概念.根據直角三角形的概念可以直接判斷.

【解析】由圖得△ABD,AABC,AADC,VADE為直角三角形，共有4個直角三角形.故選，C.

2.（2024?河北?中考真題）觀察圖中尺規作圖的痕跡，可得線段3。一定是AABC的（）

C.中位線D.中線

【答案】B

【分析】本題考查:的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據作圖痕跡可得3D，AC,從而可得答案.

【解析】由作圖可得：...線段5。一定是AABC的高線；故選B

3.（2024.黑龍江齊齊哈爾.中考真題）將一個含30。角的三角尺和直尺如圖放置，若4=50。，則N2的度

數是（）

C.50°D.60°

【答案】B

【分析】本題考查了對頂角的性質，三角形內角和定理.根據對頂角相等和三角形的內角和定理，即可求

解.

【解析】如圖所示，由題意得/3=N1=5O°,Z5=90°,N2=N4,

Z2=Z4=180°-90°-Z3=90°-50°=40°,故選，B.

4.（2024.四川涼山?中考真題）數學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的

解決方案是：在工件圓弧上任取兩點A，B,連接48,作AB的垂直平分線CD交A3于點。，交A8于點C,

測出A5=40cm,CD=10cm,則圓形工件的半徑為（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識.由垂徑定理，可得出2。的長；設圓心為。，連接。B,在

及△08□中，可用半徑表示出OD的長，進而可根據勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的

直徑長.

【解析】：CD是線段的垂直平分線，，直線CD經過圓心，設圓心為0,連接03.口△080中，

19

BD=-AB=20cm,根據勾股定理得：OD?+BD?=OB?,即：（05-10）"+202=OB2,解得:08=25；

故輪子的半徑為25cm,故選，C.

5.（2024?云南?中考真題）已知AF是等腰“WC底邊上的高，若點尸到直線的距離為3,則點尸到

直線AC的距離為（）

,37

A.—B.2C.3D.一

22

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的性質定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

由等腰三角形“三線合一”得到AF平分/B4C,再角平分線的性質定理即可求解.

【解析】如圖，是等腰"LBC底邊BC上的高，平分/BAC,.?.點/到直線AB,AC的距離

相等，：點尸到直線AB的距離為3,...點/到直線AC的距離為3.故選，C.

6.（2024?四川涼山.中考真題）如圖，在Rt^ABC中，^ACB=90°,垂直平分AB交BC于點。，若AACD

的周長為50cm,貝i]4C+3C=（）

【答案】C

【分析】本題考查了線段垂直平分線的的性質，由線段垂直平分線的的性質可得4。=班＞,進而可得AACD

的周長=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+3C=50cm,即可求解，掌握線段垂直平分線的的性質是解

題的關鍵.

【解析】：垂直平分AB,AD=AACD的周長

=AC+CD+AD=AC+CD+3D=AC+3C=50cm,故選，C.

7.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC=6,BC=4,分別以點A,點8為圓心，大

于;AB的長為半徑作弧，兩弧交于點E,F,過點E,尸作直線交AC于點￡）,連接8D,則△BCD的周

長為（）

【答案】C

【分析】本題考查了尺規作圖一作垂直平分線，根據垂直平分線的性質即可證明根據△BCD的

周長=3D+CD+3C=AD+CE>+3C=AC+3C,即可求出答案.

【解析】由作圖知，E尸垂直平分48,.?.&￡>=8￡>,.?.△BCD的周長

=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC,-.-AB=AC=6,BC=4,.?.△BCD的周長=6+4=10,故

選，C.

8.(2024?湖北?中考真題)平面坐標系無S中，點A的坐標為(-4,6),將線段Q4繞點。順時針旋轉90。，

【答案】B

【分析】本題考查坐標系下的旋轉.過點A和點A分別作x軸的垂線，證明AAC?絲ACMyAAS),得到

A'C=OB=4,OC=AB-6,據此求解即可.

【解析】過點A和點A，分別作x軸的垂線，垂足分別為BC,..?點A的坐標為(T,6),.?.08=4,A5=6,

:將線段。4繞點。順時針旋轉90。得到04’,Q4=Q4',ZAOA'=90°,AZAOB=90°-ZAOC=ZOAC,

：.^AOB^OAC(AAS),：.AC=OB=4,OC=AB=6,...點A的坐標為(6,4),故選，B.

9.(2024.北京?中考真題)下面是“作一個角使其等于/AQ?”的尺規作圖方法.

(D如圖，以點。為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交Q4,。3于點C,。；

(2)作射線O'A,以點O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交O'A于點C'；以點C'為圓心，8長為半徑畫

B.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

D.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等

【答案】A

【分析】根據基本作圖中，判定三角形全等的依據是邊邊邊，解答即可.

本題考查了作一個角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據是解題的關鍵.

【解析】根據上述基本作圖，可得OC=O'C',OD=（yD',CD=C'D',故可得判定三角形全等的依據是邊

邊邊，故選A.

10.（2024?廣東廣州?中考真題）下列圖案中，點。為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影

部分的兩個三角形關于點。對稱的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了圖形關于某點對稱，掌握中心對稱圖形的性質是解題關鍵.根據對應點連線是否過點

。判斷即可.

【解析】由圖形可知，陰影部分的兩個三角形關于點。對稱的是C,故選，C.

11.（2024?青海?中考真題）如圖，OC平分NA08,點P在。C上，PD1OB,尸￡）=2,則點尸到。4的

距離是（）

【答案】C

【分析】本題考查了角平分線的性質定理.過點P作于點E,根據角平分線的性質可得尸E=PD,

即可求解.

【解析】過點P作PELQ4于點E,VOC^ZAOB,PD±OB,PE工OA,；.PE=PD=2,故選,

C.

12.（2024.四川涼山?中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點E在AB的延長線上，當D尸〃A8

時，NEZ汨的度數為（）

15°C.30°D.45°

【答案】B

【分析】本題考查平行線的性質，三角形的外角的性質，掌握平行線的性質，是解題的關鍵.證明

ZAED=ZFDE=30°,再利用NED3=NABC-NAED,進行求解即可.

【解析】由題意，得：NEDF=30。,ZABC=45°,'：DF//AB,：.ZAED=ZFDE=30°,：.

ZEDB=ZABC-ZAED=45°-30°=15°；故選B.

13.（2024.天津?中考真題）如圖，Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=40°,以點A為圓心，適當長為半徑畫弧,

交AB于點E，交忙于點八再分別以點瓦尸為圓心，大于凈的長為半徑畫弧，兩弧（所在圓的半徑

相等）在/胡C的內部相交于點尸；畫射線AP,與BC相交于點則ZAAC的大小為（）

A.60°B.65C.70°D.75°

【答案】B

【分析】本題主要考查基本作圖，直角三角形兩銳角互余以及三角形外角的性質，由直角三角形兩銳角互

余可求出440=50。，由作圖得440=25。，由三角形的外角的性質可得NADC=65。，故可得答案

【解析】VZC=90°,ZB=40°,ABAC=90°-ZB=90°-40°=50°,由作圖知，AP平分/SAC,

ZBAD=-ABAC=-x50°=25°,又ZAT）C=N8+Za4。,；.//1￡）。=40°+25°=65°,故選，B

22

14.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在AABC中，AB=3y/2,AC=2,以2C為邊作口以38,BC=BD,

點。與點A在BC的兩側，則AO的最大值為（）

A.2+3夜B.6+2&C.5D.8

【答案】D

【分析】如圖，把MSC繞B順時針旋轉90°得到AUBD,求解AH=《AB。+BH?=6AD<DH+AH,

（A,”,D三點共線時取等號），從而可得答案.

【解析】如圖，把"LBC繞5順時針旋轉90。得到△HBD,A2=2H=3>/LAC=DH=2,ZABH=90°,

AH=y/AB2+BH2=6-VAD<DH+AH,（A,",。三點共線時取等號），的最大值為6+2=8,

故選D

B

15.（2024?山東煙臺?中考真題）某班開展“用直尺和圓規作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下,

其中射線OP為ZAOB的平分線的有()

A

°DB

A.1個D.4個

【答案】D

【分析】本題考查角平分線的判定,全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，中垂線的性質

和判定，根據作圖痕跡，逐一進行判斷即可.

【解析】第一個圖為尺規作角平分線的方法，。尸為NAO3的平分線；第二個圖，由作圖可知:

OC=OD,OA=OB,AC^BD,VZAOD=ZBOC,：.ZlAOD^ZxBOC,：.ZOAD=ZOBC,VAC^BD,

NBPD=ZAPC,：.ABPD^APC,：.AP=BP,YOA=OB,OP=OP,：.^AOP^/\BOP,：.ZAOP=NBOP,

OP為NAOB的平分線;第三個圖，由作圖可知ZACP=ZAOB,OC=CP,：.CP//BO,ZCOP=ZCPO,

：.?CPO?BOP：.ZCOP=ZBOP,，。尸為/AOB的平分線;

第四個圖，由作圖可知：OPVCD,OC=OD,OP為/A03的平分線；故選D.

16.（2024?安徽?中考真題）在凸五邊形A3CDE中，AB=AE,BC=DE,尸是CO的中點.下列條件中,

不能推出A/7與CD一定垂直的是（）

A.ZABC=ZAEDB.ZBAF=ZEAF

C.ZBCF=ZEDFD.ZABD=ZAEC

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形“三線合一”性質的應用，熟練掌握全等三角形

的判定的方法是解題的關鍵.

利用全等三角形的判定及性質對各選項進行判定，結合根據等腰三角形“三線合一”的性質即可證得結論.

【解析】A、連接AC、AD,

VZABC=ZAED,AB^AE,BC=DE,：.△AC5^AADE（SAS）,AAC^AD又：點P為CD的中點

AAFLCD,故不符合題意；B、連接BREF,

VAB=AE,ZBAF=ZEAF,AF=AF,/.AABF^AAEF（SAS）,/.BF=EF,NAFB=NAFE又；點、

產為CO的中點，CF=DF,BC=DE,：.ACBF分DEF（SSS）,：.NCFB=ZDFE,

ZCFB+ZAFB=ZDFE+ZAFE=90°,AFYCD,故不符合題意；C、連接BREF,

:點尸為CD的中點，.?.（：「=D7",:NBCF=NEDF,BC=DE,：.ACBF%DEF（SAS）,；.BF=EF,

Z.CFB=ZDFE,VAB=AE,AF=AF,：.^ABF^AEF（SSS）,:.ZAFB=ZAFE：.

ZCFB+ZAFB=ZDFE+ZAFE=90°,：.AF1CD,故不符合題意；D、ZABD=ZAEC,無法得出題干結

論，符合題意；故選，D.

17.(2024.浙江?中考真題)如圖，正方形由四個全等的直角三角形和

中間一個小正方形EFGH組成，連接OE.若AE=4,BE=3,則DE=()

C.V17D.4

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理，正方形的性質，全等三角形的信紙，求得"E的長度，利用勾股定理即可

解答，利用全等三角形的性質得到HE=1是解題的關鍵.

【解析】?.?△ABEAgCFACDGZVMH是四個全等的直角三角形，AE=4,BE=3：.AH=EB,

DH=AE=4,:.HE=AE-AH=1-；四邊形EFGH為正方形，..ZDHE=90°,：,DE=《DH?+HE?=方，

故選，C.

18.（2024?內蒙古赤峰?中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程V一10*+21=0的兩個根，則這個三角形

的周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關系及周長，由方程可得為=3,

%=7,根據三角形的三邊關系可得等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,進而即可求出三角形的周長，掌

握等腰三角形的定義及三角形的三邊關系是解題的關鍵.

【解析】由方程--10x+21=0得，%=3,々=7,：3+3<7,.?.等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,

這個三角形的周長為3+7+7=17,故選，C.

二、填空題

19.（2024?四川成都?中考真題）如圖，AABC^ACDE,若/0=35。，/ACB=45。，則/OCE的度數

【答案】100°/100度

【分析】本題考查了三角形的內角和定理和全等三角形的性質，先利用全等三角形的性質，求出

Z.CED=ZACB=45。，再利用三角形內角和求出ZDCE的度數即可.

【解析】由AABC四△CDE,"=35°,AZCED=ZACB=45°,VZD=35°,/.

ZDCE=180°-ZD-ZCED=180°-35°-45°=100°,故答案為：100°

20.（2024.甘肅臨夏.中考真題）如圖，在AABC中，點A的坐標為（0,1）,點8的坐標為（4,1）,點C的坐標

為（3,4）,點Z）在第一象限（不與點C重合），且△ABD與AABC全等，點。的坐標是.

【答案】（1,4）

【分析】本題考查坐標與圖形，三角形全等的性質.利用數形結合的思想是解題的關鍵.根據點O在第一

象限（不與點C重合），且與ULBC全等，畫出圖形，結合圖形的對稱性可直接得出0（1,4）.

【解析】：點。在第一象限（不與點C重合），且△ABD與AABC全等，；.AD=BC,AC=BD,可畫

圖形如下，由圖可知點C、D關于線段A3的垂直平分線x=2對稱，則0（1,4）.故答案為：（1,4）.

21.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，中，。是AB上一點，CF//AB,D、E、P三點共線,

請添加一個條件,使得=（只添一種情況即可）

A

【答案】DE=EF或AD=CF（答案不唯一）

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答.根

據題目中的條件和全等三角形的判定，可以寫出添加的條件，注意本題答案不唯一.

【解析CF//AB：.ZA=ZECF,=NCFE,.,.添加條件=EF,可以使得四ACFE（AAS）,

添加條件=也可以使得AADE絲ACEE（ASA）,A￡=CE；故答案為：DE=EF或AD=CF（答

案不唯一）.

22.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，AABC中，^BCD=30°,^ACB=80°,CD是邊AB上的高，AE是

/C4B的平分線，則NAEB的度數是.

【答案】100。/100度

【分析】本題考查了三角形內角和以及外角性質、角平分線的定義.先求出NACD=5O。，結合高的定義,

得NZMC=40。，因為角平分線的定義得NC4￡=2O。，運用三角形的外角性質，即可作答.

【解析】^BCD=30°,-48=80°,AZACD=5O°,<CD是邊A8上的高，NADC=90°,

ZDAC=40°,；AE是/GW的平分線，AZCAE=-ZDAC=20°,：.

2

ZAEB=ZCAE+ZACB=20o+80°=100°.故答案為：100。.

23.（2024.江蘇連云港.中考真題）如圖，直線。〃方，直線Ua,Zl=120°,則N2=

【答案】30

【分析】本題考查平行線的性質，三角形的外角性質，根據兩直線平行，同位角相等，求出/3的度數,

根據三角形的外角的性質，得至4/3=90°+/2,即可求出N2的度數.

【解析】'：aHb,Z3=Z1=12O0,V/±tz,Z3=Z2+90°,AZ2=30°；故答案為：30.

24.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，AB//CD,ZC=33°,OC=OE.則NA=

【答案】66

【分析】本題考查了平行線的性質，等邊對等角，三角形外角的性質，根據等邊對等角可得NE=/C=33°,

根據三角形的外角的性質可得NDOE=66。，根據平行線的性質，即可求解.

【解析】'：OC=OE,ZC=33°,NE=NC=33°,AZDOE=ZE+ZC=66°,VAB//CD,

/A=/DOE=66。，故答案為：66.

25.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知NAO3=50。，點尸為NAOB內部一點，點M為射線。4、

點N為射線上的兩個動點，當APMN的周長最小時，則NMPN=.

［分析］本題考查了軸對稱-最短路線問題，等腰三角形的性質,三角形內角和定理的應用；作點P關于。4,

02的對稱點AP2.連接。gOP2.則當M,N是PR與OA,02的交點時，APMN的周長最短，根據

對稱的性質結合等腰三角形的性質即可求解.

【解析】作P關于。4,的對稱點與心.連接。耳。鳥.則當M,N是勺鳥與Q4,QB的交點時，APMN

的周長最短，連接4尸、PF,；P、6關于。4對稱，???

ZPtOP=2NM0P,OPX=OP,PtM=PM,AOP}M=ZOPM,

同理，ZP2OP=2ZNOP,OP=OP,,ZOP2N=ZOPN,

ZF\OP2=APXOP+AP2OP=2(ZMOP+ZNOP)=2ZAOB=100°,OPt=OP2=OP,△片。鳥是等腰三角

形.ZOB,N=ZOPtM=40°,ZMPN=ZMPO+ZNPO=ZOP2N+ZOI\M=800故答案為：80°.

26.(2024?四川廣元?中考真題)點F是正五邊形ABCDE邊OE的中點，連接8尸并延長與C。延長線交于

點G,則/3GC的度數為.

【答案】18。/18度

【分析】連接8￡>,3E,根據正多邊形的性質可證AABE/ACB/XSAS),得至1」9=瓦>,進而得到BG是。E

的垂直平分線，即ZDFG=90°,根據多邊形的內角和公式可求出每個內角的度數，進而得到/TOG=72。，

再根據三角形的內角和定理即可解答.

【解析】連接50，8E,：五邊形ABCDE是正五邊形；.AB=5C=CD=AE,ZA=ZC

二AA8E0ACBD(SAS”.8E=3D,：點F是OE的中點，，3G是OE的垂直平分線，/DFG=90。，

在正五邊形ABCDE中，ZCDE=)-2)-180=10§0,.../"婦=180°-ZCDE=72°,

Z.G=180°-ZDFG-ZFDG=180°-90°-72°=18°.故答案為：18。

A

27.（2024?湖南?中考真題）如圖，在銳角三角形A3C中，AD是邊上的高，在54,3C上分別截取線

段BE,BF,使BE=BF；分別以點E,尸為圓心，大于3E產的長為半徑畫弧，在NABC內，兩弧交于點

P,作射線3尸，交AD于點過點M作朋NSAB于點M若MN=2,AD=4MD,則.

【答案】6

【分析】本題考查了尺規作圖，角平分線的性質等知識，根據作圖可知平分/ASC,根據角平分線的

性質可知AM=MV=2,結合A￡>=4Aff）求出A￡）,AM.

【解析】作圖可知BP平分/ABC：AD是邊BC上的高，MN±AB,MN=2,：.MD=MN=2,VAD=4MD,

：.AD=8,：.AM=AD-MD=6,故答案為：6.

28.（2024.重慶?中考真題）如圖，在AABC中，延長AC至點。，使CD=C4,過點。作DE//CB,且OE=OC,

連接AE交BC于點F.^ZCAB=ZCFA,CF=1,貝.

【答案】3

【分析】先根據平行線分線段成比例證AF=￡F,進而得DE=CD=AC=2CF=2,AD=4,再證明

^CAB^DEA,得BC=AD=4,從而即可得解.

FACA

【解析r??CD=C4,過點。作。石〃CB,CD=CA,DE=DC,：?——=——=\,CD=CA=DE,：,AF=EF,

FECD

：.DE=CD=AC=2CF=2f：.AD=AC+CD=^,?:DE〃CB,:,NCFk=/E,NACB=ND,,:

ZCAB=ZCFA,：.ZCAB=ZE,u：CD=CA,DE=CD,：,CA=DE,：?4CAB冬DEA,；?BC=AD=4,

：.BF=BC-CF=3,故答案為：3,

29.（2024?陜西?中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,E是邊A3上一點，連接CE,在BC右側作3尸〃AC,

且3尸=/，連接C/＜若AC=13,BC=10,則四邊形￡?尸（7的面積為.

c

【分析】本題考查等邊對等角，平行線的性質，角平分線的性質，勾股定理:過點c作a/1AB,CNLBF,

根據等邊對等角結合平行線的性質，推出=產，進而得到C7W=av,得到當CM=S,ACE，進而得

到四邊形EBFC的面積等于“Me，設AM=x,勾股定理求出CM的長，再利用面積公式求出融BC的面

積即可.

【解析】VAB^AC,：.ZABC^ZACB,VBF//AC,：.ZACB^ZCBF,：.ZABC=ZCBF,BC平

分NAB尸，過點C作口/±AB,C7V_L3產，則：CM=C7V,：,也=1臺尸CN,且BF=AE,

=

**,^^CBFS^ACE,*?四邊形EBFC的面積=S&CBF+SgE=S.ACE+SACBE=S《BA'?「AC=13,「?AB=13,設

222222222

=貝！J：BM=13-xf由勾股定理，得：CM=AC-AM=BC-BM,A13-x=10-(13-x),

解：x=詈，??.6=卜_］詈］、槨...5/耐=：48941=6。，...四邊形￡B尸C的面積為60.故

答案為：60.

30.(2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，以點。為圓心，適當長為半徑畫弧,

交x軸正半軸于點交y軸正半軸于點M再分別以點M,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩

弧在第一象限交于點H,畫射線0H,若〃(2a-l,a+l),則。=.

o\'Mx

【答案】2

【分析】此題主要考查了角平分線的尺規作圖和性質，坐標與圖形的性質，根據作圖方法可得點》在第一

象限的角平分線上，根據角平分線的性質和第一象限內點的坐標符號可得答案.

【解析】根據作圖方法可得點》在第一象限角平分線上；點H橫縱坐標相等且為正數；??.2a-l=a+l,

解得：a-2,故答案為：2.

31.（2024.四川內江?中考真題）如圖，在AABC中，ZDCE=40°,AE^AC,BC=BD,則/ACB的度

數為;

【分析】本題考查三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，角的和差.

根據三角形的內角和可得NCDE+NCED=140。，根據AE=AC,3c=3。得至=,

ZBCD=ZBDC,從而NACE+/BCD=140。，根據角的和差有NACB=/ACE+/BCr>-Na）E,即可解

答.

【解析】:NDCE=4O。,：.Z,CDE+ZCED=180°-ZDCE=140°,VAE=AC,BC=BD,：.

ZACE=ZAEC,/BCD=ZBDC,：.ZACE+ZBCD=ZCDE+ZCED=140°Z.

ZACB=ZACE+ZBCE=ZACE+ZBCD-ZCDE=140°-40°=100°.故答案為：100°

三、解答題

32.（2024?四川樂山?中考真題）知：如圖，AB平分/CW,AC^AD.求證：NC=/D.

AB

【分析】利用SAS證明△G4B/AZMB,即可證明NC=/￡>.

解：?.?AB平分NCW,

:.NCAB=NDAB,

在AC4B和AZMB中，

AC=AD

<NCAB=ZDAB,

AB=AB

ACAB^ADAB(SAS),

：.ZC=ZD.

33.(2024?四川內江?中考真題)如圖，點A、D、B、E在同一條直線上，AD=BE,AC=DF,BC=EF

(1)求證：△ABC四△D￡F；

⑵若ZA=55。，ZE=45°,求NF的度數.

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練地掌握全等三角形的判定和性質是解決本題的關

鍵.

(1)先證明45=小，再結合已知條件可得結論；

(2)證明NA=NEDE=55。，再結合三角形的內角和定理可得結論.

解：(1)證明：VAD=BE

：.AD+DB=BE+DB,即A3=DE

,:AC=DF,BC=EF

：.AABCmADEF(SSS)

(2),/^ABC^Z\DEF,ZA=55°,

ZA=ZFDE=55°,

"?ZE=45°,

AZF=180。-ZFDE-NE=80°

34.（2024?江蘇鹽城?中考真題）已知：如圖，點A、B、C、。在同一條直線上，AE//BF,AE=BF.

若,則=

請從①CE〃DF；②CE=DF；③4="這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結論成立，并

說明理由.

【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質，①根據平行線的性質得出NA=/FBD,NO=NEC4,再

由全等三角形的判定和性質得出47=5。，結合圖形即可證明；②得不出相應的結論；③根據全等三角形

的判定得出AAECgABF/XSAS）,結合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵.

解：選擇①CE；

VAE//BF,CE//DF,

：.NA=ZFBD,ND=ZECA,

AE=BF,

：.AAEC、BFD（AAS）,

AC=BD,

:.AC—BC=BD—BC,即AB=CD；

選擇②CE=D產；

無法證明AAEC絲4BFD,

無法得出AB=CD；

選擇③NE=NP；

,/AE//BF,

ZA=NFBD,

VAE=BF,ZE=ZF,

：.AA￡C^ABFD（ASA）,

AC^BD,

：.AC-BC=BD-BC,即AB=CD；

故答案為：①或③（答案不唯一）

35.（2024?廣西?中考真題）如圖，在AABC中，ZA=45°,AC>BC.

（1）尺規作圖：作線段AB的垂直平分線/,分別交AB,AC于點。，E：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，

標明字母）

⑵在（1）所作的圖中，連接BE,若AB=8,求8E的長.

【分析】（1）分別以A、2為圓心，大于為半徑畫弧，分別交AB,AC于點。，E,作直線DE,則

直線/即為所求.

（2）連接BE,由線段垂直平分線的性質可得出由等邊對等角可得出/EBA=NA=45。，由三角

形內角和得出/3E4=90。，則得出A配為等腰直角三角形，再根據正弦的定義即可求出BE的長.

解：（1）如下直線/即為所求.

,/DE為線段48的垂直平分線,

***BE=AE,

：.ZEBA=ZA=45°,

：.ZBEA=90°,

△ABE為等腰直角三角形,

..人BE忑1

,,sinA-------J

AB2

/.BE=AB—=8x^

=4-\/2

22

36.(2024?四川南充?中考真題)如圖，在AABC中，點￡>為3C邊的中點，過點B作AC交4。的延

長線于點E.

(1)求證：△3。石且△CDA.

(2)若AD13C,求證：BA=BE

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，中垂線的判定和性質:

(1)由中點，得到50=8,由8E〃AC,得到NE=ND4C,ZD8E=NC,即可得證;

(2)由全等三角形的性質，得到即=A￡>,進而推出8D垂直平分AE,即可得證.

解：(1)證明：?.,。為BC的中點,

:.BD=CD.

BE//AC,

ZE=ADAC,ZDBE=ZC；

ZE=ZDAC

在ABDE和ACEA中，＜ZDBE=ZC

BD=CD

.?.△BDE^ACZM(AAS)；

(2)證明：?.△BDE沿ACDA,

:.ED=AD

AD±BC,

二班)垂直平分AE,

BA=BE.

37.(2024?云南?中考真題)如圖，在“IBC和△A￡D中，AB=AE,ZBAE=ZCADfAC=AD.

求證：AABC^AAEZ).

A

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵.利用“SAS”

證明△ABC名△AED,即可解決問題.

解：證明：???=

:.ZBAE+NEAC=NCAD+NEAC,ZBAC^ZEAD,

在44BC和△AED中，

AB=AE

<ABAC=ZEAD,

AC=AD

AABC冬AAED(SAS).

38.(2024?江蘇蘇州?中考真題)如圖，M1SC中，AB^AC,分別以8,C為圓心，大于JBC長為半徑畫

弧，兩弧交于點。，連接BD,CD,AD,AD與2C交于點E.

(1)