選擇性必修3總結(jié)及測試考點一排列組合【例1-1】（2024重慶開州）（多選）有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，下列說法正確的是（）A．若丙在甲、乙的中間（可不相鄰）排隊，則不同的排法有20種B．若五位同學(xué)排隊甲不在最左端，乙不在最右端，則不同的排法共有78種C．若五位同學(xué)排隊要求甲、乙必須相鄰且甲、丙不能相鄰，則不同的排法有36種D．若甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每位同學(xué)只去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少一位同學(xué)，則不同的分配方案有150種【例1-2】（2023·重慶永川·階段練習(xí)）（多選）從，，，，，中任取三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù)，則在所組成的數(shù)中（

）A．偶數(shù)有個 B．比大的奇數(shù)有個C．個位和百位數(shù)字之和為的數(shù)有個 D．能被整除的數(shù)有個【例1-3】（2024江蘇常州）（多選）如圖，用4種不同的顏色，對四邊形中的四個區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為（

）A． B．C． D．【例1-4】（2023江蘇泰州·開學(xué)考試）（多選）有6本不同的書，按下列方式進(jìn)行分配，其中分配種數(shù)正確的是A．分給甲?乙?丙三人，每人各2本，有90種分法；B．分給甲?乙?丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有90種分法；C．分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，有180種分法；D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有2160種分法；考點二二項式定理【例2-1】（2024·江西）（多選）在的展開式中（

）A．二項式系數(shù)之和為 B．第項的系數(shù)最大C．所有項系數(shù)之和為 D．不含常數(shù)項【例2-2】（23-24高二上·陜西西安·期末）已知，則（

）A． B．C． D．【例2-3】（2024·河北）（多選）已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為1，則（

）A．展開式的常數(shù)項為B．C．展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)為80D．所有冪指數(shù)為非負(fù)數(shù)的項的系數(shù)和為【例2-4】（2024·遼寧）的展開式中的系數(shù)為（

）A．55 B． C．30 D．【例2-5】（2024·安徽蚌埠）的展開式中，的系數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．5考點三條件概率及全概率【例3-1】（2024河北）甲?乙?丙?丁4位同學(xué)報名參加學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)建模?物理探究?英語演講?勞動實踐四項活動，每人只能報其中一項，則在甲同學(xué)報的活動其他同學(xué)不報的情況下，4位同學(xué)所報活動各不相同的概率為（

）A． B． C． D．【例3-2】（2024·寧夏吳忠）已知甲同學(xué)從學(xué)校的2個科技類社團(tuán)，4個藝術(shù)類社團(tuán)，3個體育類社團(tuán)中選擇報名參加，若甲報名了兩個社團(tuán)，則在僅有一個是藝術(shù)類社團(tuán)的條件下，另一個是體育類社團(tuán)的概率（

）A． B． C． D．【例3-3】（2024·河南）已知口袋中有3個黑球和2個白球（除顏色外完全相同），現(xiàn)進(jìn)行不放回摸球，每次摸一個，則第一次摸到白球的情況下，第三次又摸到白球的概率為（

）A． B． C． D．【例3-4】（2023湖南邵陽）一玩具制造廠的某一配件由A，B，C三家配件制造廠提供，根據(jù)三家配件制造廠以往的制造記錄分析得到數(shù)據(jù)：制造廠A，B，C的次品率分別為0.02，0.01，0.03，提供配件的份額分別為，，，設(shè)三家制造廠的配件在玩具制造廠倉庫均勻混合且不區(qū)別標(biāo)記，從中隨機抽取一件配件，若抽到的是次品，則該次品來自制造廠C概率為（

）A． B． C． D．【例3-5】（2024·河北滄州）某商場舉辦摸球贏購物券活動．現(xiàn)有完全相同的甲?乙兩個小盒，每盒中有除顏色外形狀和大小完全相同的10個小球，其中甲盒中有8個黑球和2個白球，乙盒中有3個黑球和7個白球．參加活動者首次摸球，可從這兩個盒子中隨機選擇一個盒子，再從選中的盒子中隨機摸出一個球，若摸出黑球，則結(jié)束摸球，得300元購物券；若摸出的是白球，則將摸出的白球放回原來盒子中，再進(jìn)行第二次摸球．第二次摸球有如下兩種方案：方案一，從原來盒子中隨機摸出一個球；方案二，從另外一個盒子中隨機摸出一個球．若第二次摸出黑球，則結(jié)束摸球，得200元購物券；若摸出的是白球，也結(jié)束摸球，得100元購物券．用X表示一位參加活動者所得購物券的金額．(1)在第一次摸出白球的條件下，求選中的盒子為甲盒的概率．(2)①在第一次摸出白球的條件下，通過計算，說明選擇哪個方案第二次摸到黑球的概率更大；②依據(jù)以上分析，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望的最大值.考點四超幾何分布及二項分布【例4-1】（2024·新疆）水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果?優(yōu)質(zhì)果?精品果?禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機抽取100個，利用水果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個數(shù)個10254025(1)若將頻率視為概率，從這100個水果中有放回地隨機抽取4個，求恰好有2個水果是禮品果的概率；(2)用分層抽樣的方法從這100個水果中抽取20個，再從抽取的20個水果中隨機地抽取2個，用表示抽取的是精品果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【例4-2】（2024上海）袋中有大小和質(zhì)地均相同的10個球，其中4個黃球，6個白球，從中隨機地摸出3個球，用表示其中黃球的個數(shù).(1)采用不放回摸球，求的分布；(2)采用有放回摸球，求的分布?期望和方差.【例4-3】（23-24高二上·江西贛州·期末）現(xiàn)有一種趣味答題比賽，其比賽規(guī)則如下：①每位參賽者最多參加5輪比賽；②每一輪比賽中，參賽選手從10道題中隨機抽取4道回答，每答對一道題積2分，答錯或放棄均積0分；③每一輪比賽中，獲得積分至少6分的選手將獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章一枚；④結(jié)束所有輪比賽后，參賽選手還可以憑總積分獲得相對應(yīng)的禮品．據(jù)主辦方透露：這10道題中有7道題是大家都會做的，有3道題是大家都不會做的．(1)求某參賽選手在一輪比賽中所獲得積分X的分布列和期望；(2)若參賽選手每輪獲得勛章的概率穩(wěn)定且每輪是否獲得勛章相互獨立．問：某參賽選手在5輪參賽中，獲得多少枚“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率最大？考點五正態(tài)分布【例5-1】（2024·湖南邵陽）為了選拔創(chuàng)新型人才，某大學(xué)對高三年級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科和物理學(xué)科進(jìn)行了檢測（檢測分為初試和復(fù)試），共有4萬名學(xué)生參加初試.組織者隨機抽取了200名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求的值及樣本平均數(shù)的估計值；(2)若所有學(xué)生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，.規(guī)定初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計能參加復(fù)試的人數(shù)；(3)復(fù)試筆試試題包括兩道數(shù)學(xué)題和一道物理題，已知小明進(jìn)入了復(fù)試，且在復(fù)試筆試中答對每一道數(shù)學(xué)題的概率均為，答對物理題的概率為.若小明全部答對的概率為，答對兩道題的概率為，求概率的最小值.附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，.【例5-2】（2024高二下·江蘇·專題練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包．該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是1000g，上下浮動不超過50g．這句話用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)就是：每個面包的質(zhì)量服從期望為1000g，標(biāo)準(zhǔn)差為50g的正態(tài)分布．(1)已知如下結(jié)論：若X～N（μ，σ2），從X的取值中隨機抽取k（k∈N*，k≥2）個數(shù)據(jù)，記這k個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機變量Y～N.利用該結(jié)論解決下面問題．①假設(shè)面包師的說法是真實的，隨機購買25個面包，記隨機購買25個面包的平均值為Y，求P（Y≤980）；②龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在區(qū)間（950，1050）內(nèi)，并得出計算25個面包的平均質(zhì)量為978.72g．龐加萊通過分析舉報了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報該面包師的理由；(2)假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黑色面包2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黑色面包3個．現(xiàn)隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包，求取出黑色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：①若隨機變量η服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ－σ≤η≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤η≤μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ≤η≤μ＋3σ）≈0.9973；②通常把發(fā)生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生．考點六回歸方程及獨立性檢驗【例6-1】（23-24山東·開學(xué)考試）為研究某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積（單位：）與水生植物的株數(shù)（單位：株）之間的相關(guān)關(guān)系，收集了4組數(shù)據(jù)，用模型去擬合與的關(guān)系，設(shè)與的數(shù)據(jù)如表格所示：得到與的線性回歸方程，則（

）346722.54.57A．-2 B．-1 C． D．【例6-2】（2024·河南鄭州）某高中數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)了統(tǒng)計案例后，準(zhǔn)備利用所學(xué)知識研究成年男性的臂長y（cm）與身高x（cm）之間的關(guān)系，為此他們隨機統(tǒng)計了5名成年男性的身高與臂長，得到如下數(shù)據(jù)：x159165170176180y6771737678(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(3)從5名樣本成年男性中任取2人，記這2人臂長差的絕對值為X，求．參考數(shù)據(jù)：，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【例6-3】（2024湖南邵陽）為響應(yīng)國家綠色環(huán)保的政策，改善空氣質(zhì)量，某監(jiān)測部門對某地區(qū)空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機抽查該地區(qū)100天空氣中的PM2.5和濃度（單位：），得下表：PM2.53218468123710(1)估計事件“該地區(qū)一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且濃度不超過150”的概率；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：PM2.5根據(jù)所列的列聯(lián)表計算，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關(guān)？附公式和參考數(shù)據(jù)：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【例6-4】（23-24廣東廣州·階段練習(xí)）中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，某數(shù)學(xué)建模小組為了獲得茶水溫度y（單位：）關(guān)于時間x（單位：min）的回歸方程模型，通過實驗收集在室溫，用同一溫度的水沖泡的條件下，茶水溫度隨時間變化的7組數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)做初步處理得到如圖所示散點圖以及如表所示數(shù)據(jù).

73.53.85表中：，(1)根據(jù)散點圖判斷，①與②哪一個更適宜作為該茶水溫度y關(guān)于時間x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）請根據(jù)你的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立該茶水溫度y關(guān)于時間x的回歸方程；(2)已知該茶水溫度降至口感最佳，根據(jù)（1）中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的茶水，大約需要放置多長時間才能達(dá)到最佳飲用口感？附：（1）對于一組數(shù)據(jù)，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，（2）參考數(shù)據(jù)：，，，，單選題1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特）在寒假中，某小組成員去參加社會實踐活動，已知該組成員有4個男生?2個女生，現(xiàn)將他們分配至兩個社區(qū)，保證每個社區(qū)有2個男生?1個女生，則不同的分配方法有（

）種.A．6 B．9 C．12 D．242.（福建省泉州市2024屆高三質(zhì)量監(jiān)測（三）數(shù)學(xué)試題）中心極限定理是概率論中的一個重要結(jié)論．根據(jù)該定理，若隨機變量，則當(dāng)且時，可以由服從正態(tài)分布的隨機變量近似替代，且的期望與方差分別與的均值與方差近似相等．現(xiàn)投擲一枚質(zhì)地均勻分布的骰子2500次，利用正態(tài)分布估算骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)的次數(shù)少于1300的概率為（

）附：若：，則，，．A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.97733．（2023·四川宜賓）下表為某外來生物物種入侵某河流生態(tài)后的前3個月繁殖數(shù)量（單位：百只）的數(shù)據(jù)，通過相關(guān)理論進(jìn)行分析，知可用回歸模型對與的關(guān)系進(jìn)行擬合，則根據(jù)該回歸模型，預(yù)測第7個月該物種的繁殖數(shù)量為（

）第個月123繁殖數(shù)量A．百只 B．百只C．百只 D．百只4．（2024·遼寧）展開式中的系數(shù)為（

）A．15 B．20 C．75 D．1005．（2023山東）某個班級共有學(xué)生40人，其中有團(tuán)員15人．全班共分成4個小組，第一小組有學(xué)生10人，其中團(tuán)員x人，如果要在班內(nèi)選一人當(dāng)學(xué)生代表，在已知該代表是團(tuán)員的條件下，這個代表恰好在第一小組內(nèi)的概率是，則x可能的值為（

）A．2B．3C．4D．56.（2023吉林長春）隨機變量服從正態(tài)分布，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（23-24高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球（球除顏色外，大小質(zhì)地均相同）.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐中取出的球是紅球的事件.下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①事件與相互獨立

②③

④A．4 B．3 C．2 D．18．（2023廣東梅州）帶有編號1、2、3、4、5的五個球，則不正確的是（

）A．全部投入4個不同的盒子里，共有種放法B．放進(jìn)不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有種放法C．將其中的4個球投入4個盒子里的一個(另一個球不投入)，共有種放法D．全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法多選題9．（2023山西晉中）現(xiàn)有3位歌手和4名粉絲站成一排，要求任意兩位歌手都不相鄰，則不同的排法種數(shù)可以表示為（

）A． B．C． D．10．（2023江蘇蘇州）現(xiàn)安排高二年級A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個工廠進(jìn)行社會實踐，每名同學(xué)只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是（）A．所有可能的方法有種B．若工廠甲必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種C．若同學(xué)A必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種D．若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種11．（23-24湖北襄陽）已知的展開式第3項的系數(shù)是60，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．展開式中常數(shù)項是160C．展開式共有6項 D．展開式所有項系數(shù)和是12．（2024·云南）已知，分別為隨機事件A，B的對立事件，，，則（

）A． B．C．若A，B獨立，則 D．若A，B互斥，則填空題13．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）離散型隨機變量的概率分布規(guī)律為，其中是常數(shù)，則.14．（23-24·上海·階段練習(xí)）三位好友進(jìn)行乒乓球循環(huán)賽，先進(jìn)行一局決勝負(fù)，負(fù)者下，由挑戰(zhàn)?的勝者，繼續(xù)進(jìn)行一局決勝負(fù)，負(fù)者下，勝者下一局再接受第三人的挑戰(zhàn)，依此進(jìn)行.假設(shè)三人水平接近，任意兩人的對決獲勝的概率都是且不受體力影響，已知三人共比賽了3局，那么這3局中三人各勝一局的概率為.15．（23-24·山東·開學(xué)考試）從2，3，4，5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)，事件為“取到的兩個數(shù)的和為偶數(shù)”，事件為“取到的兩個數(shù)均為偶數(shù)”，則．16．（2024·江蘇·專題練習(xí)）小張的公司年會有一小游戲：箱子中有材質(zhì)和大小完全相同的六個小球，其中三個球標(biāo)有號碼1，兩個球標(biāo)有號碼2，一個球標(biāo)有號碼3，有放回的從箱子中取兩次球，每次取一個，設(shè)第一個球的號碼是，第二個球的號碼是，記，若公司規(guī)定時，分別為一二三等獎，獎金分別為1000元，500元，200元，其余無獎．則小張玩游戲一次獲得獎金的期望為元．解答題17．（23-24高二下·云南紅河）某校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4，三個年級的學(xué)生都報名參加公益志愿活動，經(jīng)過選拔，高一年級有的學(xué)生成為公益活動志愿者，高二、高三年級各有的學(xué)生成為公益活動志愿者．(1)設(shè)事件“在三個年級中隨機抽取的1名學(xué)生是志愿者”；事件“在三個年級中隨機抽取1名學(xué)生，該生來自高年級”（）．請完成下表中不同事件的概率并寫出演算步驟：事件概率概率值(2)若在三個年級中隨機抽取1名學(xué)生是志愿者，根據(jù)以上表中所得數(shù)據(jù)，求該學(xué)生來自于高一年級的概率．18．（2024·安徽安慶）樹人高中擬組織學(xué)生到某航天基地開展天宮模擬飛行器體驗活動，該項活動對學(xué)生身體體能指標(biāo)和航天知識素養(yǎng)有明確要求．學(xué)校所有3000名學(xué)生參加了遴選活動，遴選活動分以下兩個環(huán)節(jié)，當(dāng)兩個環(huán)節(jié)均測試合格可以參加體驗活動．第一環(huán)節(jié)：對學(xué)生身體體能指標(biāo)進(jìn)行測試，當(dāng)測試值時體能指標(biāo)合格；第二環(huán)節(jié)：對身體體能指標(biāo)符合要求的學(xué)生進(jìn)行航天知識素養(yǎng)測試，測試方案為對A，B兩類試題依次作答，均測試合格才能符合遴選要求．每類試題均在題庫中隨機產(chǎn)生，有兩次測試機會，在任一類試題測試中，若第一次測試合格，不再進(jìn)行第二次測試．若第一次測試不合格，則進(jìn)行第二次測試，若第二次測試合格，則該類試題測試合格，若第二次測試不合格，則該類試題測試不合格，測試結(jié)束．經(jīng)過統(tǒng)計，該校學(xué)生身體體能指標(biāo)服從正態(tài)分布．參考數(shù)值：，，．(1)請估計樹人高中遴選學(xué)生符合身體體能指標(biāo)的人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）；(2)學(xué)生小華通過身體體能指標(biāo)遴選，進(jìn)入航天知識素養(yǎng)測試，作答A類試題，每次測試合格的概率為，作答B(yǎng)類試題，每次測試合格的概率為，且每次測試相互獨立．①在解答A類試題第一次測試合格的條件下，求測試共進(jìn)行3次的概率．②若解答A、B兩類試題測試合格的類數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（2024黑龍江大興安嶺地）碳排放是引起全球氣候變暖問題的主要原因．2009年世界氣候大會，中國做出了減少碳排放的承諾，2010年被譽為了中國低碳創(chuàng)業(yè)元年．2020年中國政府在聯(lián)合國大會發(fā)言提出：中國二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和．碳中和是指主體在一定時間內(nèi)產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放量，實現(xiàn)正負(fù)抵消，達(dá)到相對“零排放”．如圖為本世紀(jì)來，某省的碳排放總量的年度數(shù)據(jù)散點圖．該數(shù)據(jù)分為兩段，2010年前該省致力于經(jīng)濟(jì)發(fā)展，沒有有效控制碳排放；從2010年開始，該省通過各種舉措有效控制了碳排放．用x表示年份代號，記2010年為．用h表示2010年前的的年度碳排放量，y表示2010年開始的年度碳排放量．表一：2011~2017年某省碳排放總量年度統(tǒng)計表（單位：億噸）年份2011201220132014201520162017年份代號x1234567年度碳排放量y（單位：億噸）2.542.6352.722.802.8853.003.09(1)若關(guān)于x的線性回歸方程為，根據(jù)回歸方程估計若未采取措施，2017年的碳排放量；并結(jié)合表一數(shù)據(jù)，說明該省在控制碳排放舉措下，減少排碳多少億噸？(2)根據(jù)，設(shè)2011~2017年間各年碳排放減少量為，建立z關(guān)于x的回歸方程．①根據(jù)，求表一中y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.001）；②根據(jù)①所求的回歸方程確定該省大約在哪年實現(xiàn)碳達(dá)峰？參考數(shù)據(jù)：．參考公式：．20．（2024·內(nèi)蒙古包頭）為了比較兩種治療高血壓的藥（分別稱為甲藥，乙藥）的療效，隨機選取20位患者服用甲藥，20位患者服用乙藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄档偷难獕簲?shù)值（單位：mmhg）．根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)繪制了如下莖葉圖：

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種藥的療效更好？并給出兩種理由進(jìn)行說明；(2)求40位患者在服用一段時間后