10.2事件的相互獨立性考法一獨立事件的判斷【例1-1】（2023陜西）籃球比賽中，張英皓同學投球三次，設事件A為“三次投球全不是三分球”，事件B為“三次全是三分球”，事件C為“三次投球不全是三分球”，則下列結論正確的是（）A．A與C對立 B．B與C對立 C．任兩個均對立 D．任兩個均不對立【例1-2】（2023北京）連續(xù)拋擲一枚質地均勻的硬幣2次，設“第1次正面朝上”為事件，“第2次反面朝上”為事件，“2次朝上結果相同”為事件，有下列三個命題：①事件與事件相互獨立；②事件與事件相互獨立；③事件與事件相互獨立．以上命題中，正確的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【一隅三反】1．（2023·山東）（多選）下列事件A，B不是獨立事件的是（）A．一枚硬幣擲兩次，A=“第一次為正面向上”，B=“第二次為反面向上”B．袋中有兩個白球和兩個黑球，不放回地摸兩球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”C．擲一枚骰子，A=“出現(xiàn)點數為奇數”，B=“出現(xiàn)點數為偶數”D．A=“人能活到20歲”，B=“人能活到50歲”2．（2023江西吉安）（多選）某人連續(xù)擲兩次骰子，表示事件“第一次擲出的點數是2”，表示事件“第二次擲出的點數是3”．表示事件“兩次擲出的點數之和為5”，表示事件“兩次擲出的點數之和為9”．則（

）A．與相互獨立 B．與相互獨立C．與不相互獨立 D．與不相互獨立3．（2024遼寧大連）（多選）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙不相互獨立 D．丙與丁不相互獨立考法二獨立事件的乘法公式【例2-1】（2023江西·開學考試）2023年10月26日神舟十七號載人飛船成功發(fā)射，某校舉辦航天知識競賽，競賽設置了，，三道必答題目.已知某同學能正確回答，，題目的概率分別為0.8，0.7，0.5，且回答各題是否正確相互獨立，則該同學最多有兩道題目回答正確的概率為（

）A．0.56 B．0.72 C．0.89 D．0.92【例2-2】（2023河南）甲、乙兩個籃球隊進行比賽，獲勝隊將代表所在區(qū)參加市級比賽，他們約定，先贏四場比賽的隊伍獲勝．假設每場甲、乙兩隊獲勝的概率均為，每場比賽不存在平局且比賽結果相互獨立，若在前三場比賽中，甲隊贏了兩場，乙隊贏了一場，則最終甲隊獲勝的概率為．【一隅三反】1．（2023河南駐馬店）如圖，用三個不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當元件正常工作且元件至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．已知元件正常工作的概率依次為，則系統(tǒng)能正常工作的概率為．2．（2023全國·課時練習）如圖，已知電路中有4個開關，每個開關獨立工作，且閉合的概率為，則燈亮的概率為．

3．（2023安徽亳州·期末）“秋風起．月漸圓，桂樹落葉，兔兒下凡間”．中秋節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，為了讓更多的小朋友參與到中秋節(jié)的歡樂氛圍中來，秦皇島市青少年宮特別推出了“團圓中秋喜迎國慶”——中秋猜燈謎活動，歡迎小朋友們前來，感受傳統(tǒng)文化的熏陶，品味傳統(tǒng)習俗的趣味．現(xiàn)有甲，乙兩位小朋友組成“快樂寶貝隊”參加猜燈謎活動，每輪活動由甲，乙各猜一個燈謎，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪精對的概率為．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響，則“快樂寶貝隊”在兩輪活動中猜對2個燈謎的概率為．4．（2024黑龍江）2023年10月26日神舟十七號載人飛船發(fā)射任務取得圓滿成功，開啟了我國空間站應用發(fā)展的新階段.太空站內甲，乙?丙三名航天員分別出倉進行同一試驗，已知甲?乙?丙試驗成功的概率分別為，若三人能否試驗成功相互獨立，且三人中恰有2人試驗成功的概率為，則三人中只有甲?乙兩人試驗成功的概率的最大值為.考法三獨立事件與互斥事件【例3-1】（2023江蘇宿遷·期末）下列關于互斥事件、對立事件、獨立事件（上述事件的概率都大于零）的說法中正確的是（

）A．互斥事件一定是對立事件 B．對立事件一定是互斥事件C．互斥事件一定是獨立事件 D．獨立事件一定是互斥事件【例3-2】（2023陜西咸陽）（多選）國家于2021年8月20日表決通過了關于修改人口與計劃生育法的決定，修改后的人口計生法規(guī)定，國家提倡適齡婚育、優(yōu)生優(yōu)育，一對夫妻可以生育三個子女，該政策被稱為三孩政策．某個家庭積極響應該政策，一共生育了三個小孩．假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個男孩；事件：該家庭最多有一個女孩．通過判斷或計算可知，下列說法正確的是（

）A．事件與事件互斥且對立 B．事件與事件互斥且對立C．事件與事件相互獨立 D．事件與事件相互獨立【一隅三反】1．（2023河南焦作）（多選）一個不透明袋子中裝有大小和質地完全相同的2個紅球和3個白球，從袋中一次性隨機摸出2個球，則（

）A．“摸到2個紅球”與“摸到2個白球”是互斥事件B．“至少摸到1個紅球”與“摸到2個白球”是對立事件C．“摸出的球顏色相同”的概率為D．“摸出的球中有紅球”與“摸出的球中有白球”相互獨立2（2023北京）分別擲兩枚質地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件A，“第二枚為正面”記為事件B，“兩枚結果相同”記為事件C，那么事件A與B，A與C間的關系是（

）A．A與B，A與C均相互獨立B．A與B相互獨立，A與C互斥C．A與B，A與C均互斥D．A與B互斥，A與C相互獨立3．（2024湖南岳陽）（多選）將一枚質地均勻且標有數字1，2，3，4，5，6的骰子隨機擲兩次，記錄每次正面朝上的數字，甲表示事件“第一次擲出的數字是1”，乙表示事件“第二次擲出的數字是2”，丙表示事件“兩次擲出的數字之和是8”，丁表示事件“兩次擲出的數字之和是7”.則（

）A．事件甲與事件丙是互斥事件B．事件甲與事件丁是相互獨立事件C．事件乙包含于事件丙D．事件丙與事件丁是對立事件4．（2023高一·全國·隨堂練習）已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，分別在A，B互斥和獨立的條件下，求出下列事件的概率并填入表中：A，B互斥A，B獨立A，B都發(fā)生A，B都不發(fā)生A，B恰有一個發(fā)生A，B至少有一個發(fā)生A，B至多有一個發(fā)生考法四獨立事件的實際應用【例4】（2023高一上·安徽）與國家安全有關的問題越來越受到社會的關注和重視.為了普及國家安全教育，某校組織了一次國家安全知識競賽，已知甲、乙、丙三位同學答對某道題目的概率分別為，，，且三人答題互不影響.(1)求甲、乙兩位同學恰有一個人答對的概率；(2)若甲、乙、丙三個人中至少有一個人答對的概率為，求的值.【一隅三反】1．（2023湖南長沙·期末）某校舉行圍棋比賽，甲?乙?丙三人通過初賽，進入決賽.決賽比賽規(guī)則如下：首先通過抽簽的形式確定甲?乙兩人進行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結束后，勝利者和丙進行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進行下一局比賽，直到一人累計獲勝三局，則此人獲得比賽勝利，比賽結束.假設每局比賽雙方獲勝的概率均為，且每局比賽相互獨立.(1)求丙每局都獲勝的概率(2)求甲獲得比賽勝利的概率.2．（2024湖南）為迎接第二屆湖南旅發(fā)大會，郴州某校舉辦“走遍五大洲，最美有郴州”知識能力測評，共有1000名學生參加，隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成4組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)根據直方圖，估計這次知識能力測評的平均數；(2)用分層隨機抽樣的方法從，兩個區(qū)間共抽取出4名學生，再從這4名學生中隨機抽取2名依次進行交流分享，求第二個交流分享的學生成績在區(qū)間的概率；(3)學校決定從知識能力測評中抽出成績最好的兩個同學甲乙進行現(xiàn)場知識搶答賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得1分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的人獲得冠軍．已知甲在三個項目中獲勝的概率分別為，各項目的比賽結果相互獨立，甲至少得1分的概率是，甲乙兩人誰獲得最終勝利的可能性大？并說明理由．單選題1．（2023廣東順德）某工廠有甲、乙、丙三名工人進行零件安裝比賽，甲每個零件的安裝完成時間少于丙的概率為.乙每個零件的安裝完成時間少于丙的概率為，比賽要求甲、乙、丙各安裝一個零件，且他們安裝每個零件相互獨立，則甲和乙中至少有一人安裝完成時間少于丙的概率為（）A． B． C． D．2．（2024江西萍鄉(xiāng)）甲、乙兩選手進行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，若采用三局二勝制，則乙最終獲勝的概率為（

）A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.6483．（2024山東日照）中國夢蘊含航天夢，航天夢助力中國夢.2023年10月25日，神舟十七號載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功點火發(fā)射．在太空站內有甲，乙，丙三名航天員依次出倉進行同一試驗，每次只派一人，每人最多出倉一次．若前一人試驗不成功，返倉后派下一人重復進行該試驗；若試驗成功，終止試驗．已知甲，乙，丙各自出倉試驗成功的概率分別為，，，每人出倉試驗能否成功相互獨立，則該項試驗最終成功的概率為（

）A． B． C． D．4．（2024上海楊浦）已知，，，則事件與的關系是（

）A．與互斥不對立 B．與對立C．與相互獨立 D．與既互斥又獨立5．（2024四川涼山）一個盒子中裝有標號為1，2，3，4的4張?zhí)柡灒瑥闹须S機地選取兩張?zhí)柡灒录叭〉綐颂枮?和3的號簽”，事件“兩張?zhí)柡灅颂栔蜑?”，則下列說法正確的是（

）A．與互斥 B．與獨立 C．與對立 D．6．（2024江西撫州）從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結論錯誤的是（

）A．2個球都是紅球的概率為B．2個球中恰有1個紅球的概率為C．至少有1個紅球的概率為D．2個球不都是紅球的概率為7．（2024江西·開學考試）現(xiàn)有張完全相同的卡片，分別寫有字母、、、、，從中任取一張，看后再放回，再任取一張.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母為”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母為”，丙表示事件“兩次抽取卡片的字母相鄰”，丁表示事件“兩次抽取卡片的字母不相鄰”，則（

）A．乙與丁相互獨立 B．甲與丙相互獨立C．丙與丁相互獨立 D．甲與乙相互獨立8．（2023·廣西）已知甲袋中有標號分別為的四個小球，乙袋中有標號分別為的四個小球，這些球除標號外完全相同，第一次從甲袋中取出一個小球，第二次從乙袋中取出一個小球，事件表示“第一次取出的小球標號為3”，事件表示“第二次取出的小球標號為偶數”，事件表示“兩次取出的小球標號之和為7”，事件表示“兩次取出的小球標號之和為偶數”，則（

）A．與相互獨立 B．與是對立事件C．與是對立事件 D．與相互獨立多選題9．（2023·河南安陽·期末）在12張卡片上分別寫上數字1~12，從中隨機抽出一張，記抽出的卡片上的數字為，甲表示事件“為偶數”，乙表示事件“為質數”，丙表示事件“能被3整除”，丁表示事件“”，則（

）A．甲與丙為互斥事件 B．乙與丁相互獨立C．丙與丁相互獨立 D．甲乙乙丙）10．（2023高一下·湖南常德·期末）下列四個命題中錯誤的是（

）A．若事件A，B相互獨立，則滿足B．若事件A，B，C兩兩獨立，則C．若事件A，B，C彼此互斥，則D．若事件A，B滿足，則A，B是對立事件11．（2023浙江·期中）先后兩次鄭一枚質地均勻的骰子，表示事件“兩次鄭出的點數之和是6”，表示事件“第二次鄭出的點數是偶數”，表示事件“兩次鄭出的點數相同”，表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數點”，則（

）A．事件，為互斥事件 B．事件，為對立事件C． D．事件，為相互獨立事件12．（2024河南商丘·期中）設A，B為兩個隨機事件，若，則下列結論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則A，B相互獨立C．若A與B相互獨立，則 D．若A與B相互獨立，則填空題13．（2023山東淄博·期中）我市男子乒乓球隊為備戰(zhàn)下屆市運會，在某訓練基地進行封閉時訓練，甲、乙兩隊隊員進行對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏兩個球者獲勝．通過分析甲、乙過去對抗賽的數據知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結果互不影響．已知某局甲先發(fā)球，該局打四個球，甲贏的概率是14．（2024山東濟寧·期中）如圖所示，由到的電路中有4個元件，分別為，，，．若，，，能正常工作的概率都是，記事件“到的電路是通路”，則．

15．（2024·安徽蕪湖）設樣本空間含有等可能的樣本點，且事件，事件，事件，使得，且滿足兩兩不獨立，則.16．（2023·云南保山·期末）弘揚中學有一支籃球隊，甲、乙為該球隊隊員，已知甲、乙兩名隊員投籃命中的概率分別為和.現(xiàn)兩人各進行一次投籃比賽，假定兩人是否投中互不影響，則甲、乙兩人至少有一人投中的概率為.解答題17．（2023高一上·北京石景山·期末）已知甲投籃命中的概率為0.6，乙投籃不中的概率為0.3，乙、丙兩人都投籃命中的概率為0.35，假設甲、乙、丙三人投籃命中與否是相互獨立的.(1)求丙投籃命中的概率；(2)甲、乙、丙各投籃一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；(3)甲、乙、丙各投籃一次，求恰有一人命中的概率.18．（2024河南）某項考試按科目、科目依次進行，只有當科目成績合格時，才可繼續(xù)參加科目的考試．已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書．現(xiàn)某人參加這項考試，科目每次考試成績合格的概率均為，科目每次考試成績合格的概率均為．假設各次考試成績合格與否均互不影響．(1)求他在科目考試第一次合格的概率；(2)在這項考試過程中，假設他不放棄所有的考試機會，求他可獲得證書的概率．19．（2024湖北）甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，每輪比賽甲、乙各射擊一次，已知甲中靶的概率為，乙中靶的概率為，每輪比賽中甲、乙兩人射擊的結果互不影響，求下列事件的概率：(1)第一輪射擊中恰好有一人中靶；(2)經過兩輪射擊，兩人共中靶3次20（2023浙江紹興·期末）某班學生分A，，，四組參加數學知識競答，規(guī)則如下：四組之間進行單循環(huán)（每組均與另外三組進行一場比賽）；每場比賽勝者積3分，負者0分；若出現(xiàn)平局，則比賽雙方各積1分.現(xiàn)假設四個組戰(zhàn)勝或者負于對手的概率均為，出現(xiàn)平局的概率為，每場比賽相互獨立.(1)求A組在參加兩場比賽后得分為3分的概率；(2)一輪單循環(huán)結束后，求四組總積分一樣的情況種數，并計算四組總積分一樣的概率.21．（23-24高一上·江西撫州·期末）2023年9月23日，中國農歷象征收獲的秋分時節(jié)，第19屆亞洲運動會在浙江杭州隆重開幕．杭州基礎設施全面升級、城市面貌煥然一新、民生服務格局大變．為了解杭州老百姓對城市基礎設施升級工作滿意度，從該地的A，B兩