第四章線性系統的動態時域分析4.1控制系統時域響應的性能指標4.2一階系統的動態響應4.3

二階系統的動態響應CONTENTS目錄4.4高階系統的動態響應4.5基于MATLAB的線性控制系統動

態時域分析4.1控制系統時域響應的性能指標01時域響應：控制系統在單位階躍輸入信號下，輸出隨時間t的變化函數。

上升時間tr

峰值時間tp

調整時間ts

最大超調量Mp

誤差帶4.2一階系統的動態響應一階系統的結構圖系統的傳遞函數為系統的輸出響應為１．單位階躍響應一階系統的單位階躍響應是一條指數曲線.２．單位斜坡響應輸出與輸入的誤差為當時，越小，系統跟蹤斜坡輸入信號的穩態誤差也越小。３．單位脈沖響應也可直接由單位階躍響應的求導得出上式結果一階系統的特征可用一個參量—時間常數來表示．由一階系統的單位脈沖響應，單位階躍響應、單位加速度性能和單位斜坡響應可以看出，系統對某信號導數的響應，等于對該輸入信號響應的導數．反之，系統對某信號積分的響應，等于系統對該信號響應的積分。這是線性定常系統不同于線性時變系統和非線性系統的重要特性。4.3

二階系統的動態響應二階系統的結構圖系統的傳遞函數為系統的極點為二階系統的動態時域響應分三種情況討論．１．過阻尼的情況閉環極點為單位階躍響應２．欠阻尼（）的情況閉環極點為單位階躍響應３.臨界阻尼的情況閉環極點為單位階躍響應二階系統的單位階躍響應曲線欠阻尼二階系統的動態性能指標分析欠阻尼二階系統極點與參數的關系圖欠阻尼二階系統的單位階躍響應1.上升時間

在暫態過程中，第一次達到穩態值的時間

因為上升時間是第一次達到穩態值的時間，故取n=1,于是2.峰值時間輸出響應由零上升到第一個峰值所需的時間欠阻尼二階系統的單位階躍響應對上式求一階導數，并令其為零，得其中移項并約去公因子后得到達第一個峰值時，從而得欠阻尼二階系統的單位階躍響應3.最大超調量

最大超調量發生在，以百分比表示超調量.將代入上式，便得例4.1已知二階系統的單位階躍響應如下圖，其中最大超調量、調整時間，試求取系統的閉環傳遞函數。4.4高階系統的動態響應凡是用高階微分方程描述的系統，稱為高階系統。高階系統的閉環傳函分母中s的最高幕次n>2.高階系統閉環傳函的一般形式為或系統的單位階躍響應為從上式可見，高階系統的單位階躍響應由穩態分量和暫態分量兩個部分組成。而暫態分量又是由一階慣性環節和二階振蕩環節的響應分量的合成．１.高階系統暫態響應各分量的衰減快慢由指數衰減系數決定。系統極點在s左半平面離虛軸越遠，響應的分量衰減得越快。２.各暫態分量的系數還和零點的位置有關。若一對零、極點很靠近，則該極點對暫態響應的影響很小（此時對應的系數很小）。若某個極點pi附近沒有零點，且距離原點較近，則就大，對暫態分量的影響就大。

如果找到一對共軛復數主導極點，高階系統就可近似地作為二階系統分析。３.如果高階系統中距虛軸最近的極點，其實部比其他極點實部的五分之一還要小，并且附近不存在零點．可以認為系統的響應主要由該極點決定。這些對系統響應起主導作用的閉環極點，稱為系統的主導極點。4.5基于MATLAB的線性控制系統動態時域分析MATLAB提供了求取線性定常系統的各種時間響應函數和各種動態性能分析函數，自動控制原理實驗主要涉及的函數如下：本章思考題：線性系統時域響應的性能指標有哪些？二階系統阻尼比與特征根的分布關系？高階系統在什么條件下可以降階為二階系統？第五章線性系統的頻域分析5.1頻率特性的基本概念5.2典型環節的頻率特性5.3系統開環頻率特性圖5.4頻率域穩定性判據CONTENTS目錄5.5穩定裕度5.6*閉環系統頻率特性5.7基于MATLAB的線性控制

系統頻域分析頻率特性法——工程實用方法在正弦輸入信號的作用下，系統輸出的穩態分量稱為頻率響應。系統的頻率響應與正弦輸入信號之間的關系稱為頻率特性。5.1頻率特性的基本概念設輸入其拉氏變換為則輸出的拉氏變換為求拉氏反變換，得動態分量穩態分量其中02RC電路的頻率響應為幅頻特性相頻特性（１）幅頻特性反映系統對不同頻率正弦信號的穩態衰減（或放大）特性．（２）相頻特性表示系統在不同頻率正弦信號下輸出的相位移．（３）已知系統的傳遞函數，令，可得系統的頻率特性.(４）頻率特性包含了系統的全部動態結構參數，反映了系統的內在性質．

極坐標圖需要在以橫軸為實軸，縱軸為虛軸的復數s平面上繪制。

伯德圖是繪制兩張圖，用來分別表示系統的對數幅頻特性、相頻特性。伯德圖將頻率特性表示在半對數坐標中。比例環節015.2典型環節的頻率特性積分環節02慣性環節03慣性環節——伯德圖03-20dB/dec慣性環節漸近線和精確曲線的最大誤差發生在轉折頻率處，即轉折點為。相頻特性可用描點方法繪制，其特點是曲線關于奇對稱。列表計算描點后可得慣性環節的極坐標圖04微分環節05振蕩環節高頻段漸進線是一條斜率為－40dB/dec的直線06延遲環節設開環系統由n個典型環節串聯組成可見，當開環系統由若干典型環節串聯組成時，其對數幅頻特性和相頻特性分列為各典型環節的對數幅頻特性和相頻特性之和．因此繪制系統開環對數頻率特性的方法之一，就是畫出各環節的對數幅率特性，和相頻特性，然后相加．5.3系統開環頻率特性圖伯德圖繪制要點例5-1解：依據已知條件，有根據上式畫出各環節的對數幅頻特性和相頻特性，然后相加，即得到對應的伯德圖。極坐標圖繪制要點：求A(0)、

(0)；A(∞)、

(∞)；補充必要的特征點(注意：與坐標軸的交點)；根據A(ω)、

(ω)的變化趨勢，畫出極坐標圖的

大致形狀。例5-2已知系統的開環傳遞函數為

，試繪制系統的極坐標圖。解：系統開環的頻率特性為列表計算例5-2極坐標的數據點

系統開環頻率特性通常是由多個環節串聯組成，涉及多個環節相頻特性的代數運算，有時會使用下式進行簡化分析與計算:

若一個系統的開環傳遞函數在復數s平面的右半部不具有極點和零點，并且不具有純時間延遲特性，則此系統就稱為最小相位系統。

非最小相位系統在復數s平面的右半部存在開環零點或極點。

易知，之前學習過的延遲環節是非最小相位系統。將延遲環節采用有理分式近似時會發現，其在復數s平面的右半部存在開環零極點，滿足非最小相位系統定義。最小相位系統20-20ωL(dB)10L(dB)50-20-40100ω例5-3已知最小相位系統的對數幅頻特性漸近線如下圖所示，試確定對應系統的傳遞函數。映射定理：設s平面上的封閉曲線包圍了復變函數的

個極點和個零點，并且此曲線不經過的任一零點和極點，則當復變量

沿封閉曲線順時針方向移動一周時，在平面上的映射曲線按逆時針方向包圍坐標原點周。

5.4頻率域穩定性判據基本概念02對應閉環傳遞函數的極點對應開環傳遞函數的極點閉環系統穩定的充分和必要條件是，特征方程的根，即的零點（即閉環極點），都位于s平面的左半部。

Nyquist穩定判據為了判斷閉環系統的穩定性，需要檢驗是否具有在s平面右半部的零點（Z=0?）。為此可以選擇一條包圍整個s平面右半部的按順時針方向運動的封閉曲線，通常稱為奈奎斯特回線，簡稱奈氏回線。

設復變函數在s平面的右半部有Z個零點和P個極點。

根據映射定理，當s沿著s平面上的奈奎斯特回線移動一周時，在平面上的映射曲線將按逆時針方向圍繞坐標原點旋轉周。

如果在s平面上，s沿著奈奎斯特回線順時針方向移動一周時，在平面上的映射曲線圍繞坐標原點按逆時針方向旋轉周，則系統為穩定的。

根據這意味著的映射曲線圍繞原點運動的情況，相當于的封閉曲線圍繞著點的運動情況。

已知某負反饋系統的開環傳遞函數為例5-4試繪制系統的奈奎斯特圖，并判斷閉環系統的穩定性。解：表明Ｐ＝０繪制系統的奈奎斯特圖如圖所示可見N＝０可以判斷出此控制系統閉環穩定。例5-5試繪制系統的奈奎斯特圖，并判斷閉環系統的穩定性。解：表明Ｐ＝０繪制系統的奈奎斯特圖如圖所示可見N＝０可以判斷出此控制系統閉環穩定。§５－４乃奎斯特穩定判據和系統的相對穩定性根據Bode圖判斷系統的穩定性Ngquist圖和Bode圖的對應的關系１．單位圓與０分貝線對應，單位圓外,２．ＧＨ平面上的負實軸與的－180°線對應．采用Bode圖的Ngquist判據：閉環系統穩定的充要條件是，當由０變到時，在的頻段內，曲線穿越線的次數（正穿越與負穿越次數之差）為，Ｐ為Ｓ右半平面的開環極點個數．

若開環系統穩定（即最小相位系統），Ｐ＝０，則閉環系統穩定的充要條件是曲線正、負穿越線的次數等于零．思考題：控制系統包含積分環節時，是否類似奈奎斯特曲線需要進行一些伯德圖曲線的修改？留心教材課后習題中的陷阱!!!若開環控制系統穩定，則閉環控制系統穩定的充分必要條件是：系統開環頻率特性靠近（-1，j0）的程度表征了系統的相對穩定性。相對穩定性穩定裕度相角裕度增益裕度5.5穩定裕度1.相角裕度2.增益裕度對于一個穩定的最小相位系統，其相角裕度應為正值，增益裕度Kg應大于1，或GM為正。

保持適當的穩定裕度，可以預防系統中元件性能變化可能帶來的不利影響。為了得到較滿意的暫態響應，一般相角裕度應當在之間，而增益裕度應大于6dB。例5-6求系統的相角裕度.解：首先繪制此系統的伯德圖，系統的兩個轉折頻率分別為然后求取剪切頻率低頻段對數幅頻特性與