測試三統計案例全章練習

一、選擇題

1.分析身高與體重有關系，可以用()

(A)誤差分析(B)回歸分析(C)獨立性分析(D)上述都不對

2.X是修，X2,...?Xi?的平均數，。是X|,乃，…，勒0的平均數，，是X”X2,....知的

平均數，則下列各式中正確的是()

40。+60b60a+40ba+b

(A)x=(B)x=(C)x-a+h(D)x

100100~T~

3.設有一個線性回歸方程為9=2-2.5x,則變量x增加一個單位時，貝1」()

(A)y平均增加2.5個單位(B)y平均增加2個單位

(C)y平均減少2.5個單位(D)y平均減少2個單位

4.為了研究變量x與y的線性相關性，甲乙兩人分別做了研究，并利用線性回歸方法得到

回歸方程人和小非常巧合的是，兩人計算的工相同，工也相同，下列說法正確的是()

(A)/,和6相同(B)/,和/2一定平行

(CM和6相交于點丘，y)(D)無法判斷A和/2是否相交

5.某班主任對全班50名學生進行了作業量多少的調查，數據如下表：

認為作業多認為作業不多合計

喜歡玩電腦游戲18927

不喜歡玩電腦游戲81523

合計262450

則認為喜歡玩電腦游戲與認為作業量的多少有關系的把握大約為()

(A)99%(B)95%(C)90%(D)無充分依據

二、填空題

6.下面是2X2列聯表：

yi合計

修a2835

X2113445

合計/)62SO

則表中a—,b—.

7.r|<l且田越接近1,線性相關程度越,，|越接近0,線性相關程度越.

8.在一項打鼾與患心臟病的關系的調查中，共調查了2000人，經計算得^=20.87,根據

這一數據分析，我們有的把握認為打鼾與患心臟病是的.

9.某工廠的設備使用年限武年)與維修費用M萬元)之間的回歸直線方程為下=0-8X+1.5,

那么設備使用前3年的維修費用約為萬元.

10.在一次實驗中,測得(x,y)的4組數值分別是(0,1),(1,2),(3,4),(4,5),那么y

與x之間的回歸直線方程是.

三、解答題

11.生物學習小組在研究性別與色盲關系時，得到如下列聯表：

色盲非色盲合計

男12788800

女59951000

合計1717831800

試判斷性別與色盲是否有關系？

12.為了研究高中女生身高與體重的關系，從某高中隨機選取8名女生，測量其身高與體重

的數據，具體如下表：

編號12345678

身高/cm155157165165165170170175

體重/kg4350485761545964

(1)請根據上表提供的數據，求出體重J關于身高x的線性回歸方程;

(2)試根據(1)的回歸方程，預計一名身高160cm的女高中生的體重.

13.在一次實驗中，測得(x,y)的5組數值，如下表：

1]_

X

To8642

y36028520513864

試判斷y與1是否具有線性相關關系？如有，求出線性回歸方程.

X

第二章推理與證明

測試四合情推理與演繹推理

I學習目標

1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理.

2.掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理.

3.了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異.

II基礎訓練題

一、選擇題

1.數列2,5,10,17,x,37,…中的x等于()

(A)25(B)26(C)27(D)28

2.已知扇形的弧長為/,半徑為r.類比三角形的面積公式：S=工底X高，可推知扇形的

2

面積公式S用彩等于()

r2I2lr

(A)—(B)-(Q-(D)/r

222

3.在公差為d的等差數列｛為｝中，我們可以得到%=即+(〃一〃?)的〃，〃eN*).通過類比推

理，在公比為q的等比數列｛兒｝中，我們可得()

(A)b產b",+q"”(B)6“=狐十(C)b產"?q"'F(D)6“=%?廠

4.將正奇數數列1,3,5,7,9,…進行如下分組：第一組含一個數｛1｝；第二組含兩個數

｛3,5｝；第三組含3個數｛7,9,11)；第四組含4個數｛13,15,17,19｝；….記第〃

組內各數之和為S,”則S,與"的關系為()

(A)S“=〃2(B)S尸〃③(C)S“=2"T(D)S,=3'7

5.數列｛“”｝中,。|=3,。2=6,且。”+2=a”+i—a”,則。33等于()

(A)3(B)-3(C)6(D)-6

二、填空題

6.已知圓具有性質：圓的切線垂直于經過切點的圓半徑.類比這條性質，可得球的一條相

關性質為.

7.在數列｛&,,｝中，0=1,2,3,…)，則此數列的通項公式可歸納為

1+%

8.半徑為r的圓的面積S(r)="，周長C(r)=2*若將廠看作(0,+s)上的變量，則(兀/)，

=2兀您，①式用語言可以敘述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數.對于半徑為

R的球，若將R看作(0,+8)上的變量，請寫出類比①的等式：;上

式用語言可以敘述為.

9.將“菱形的對角線互相平分”寫成三段論的形式為.

10.在平面幾何中，我們有如下結論：三邊相等的三角形內任意?點到三邊的距離之和為定

值.拓展到空間，類比平面幾何的上述結論，我們可得：4個面均為等邊三角形的四面

體內任意一點?

三、解答題

11.類比實數的加法和向量的加法，從相加的結果是否為實數(向量)，以及運算律、逆運算、

0與0(零向量)幾個方面考慮，列出他們相似的運算性質.

12.下列推理的兩個步驟分別遵循哪種推理原則？

因為直線_平面a,直線b_L平面a,所以。〃b.

又因為b〃c,所以。〃c.

13.設｛R｝是山正數組成的等比數列，S”是其前〃項的和.證明：S?-S?+2<.

14.在等差數列｛“”｝中，若0o=O,則有等式⑶+幻+…+。”=。1+。2+…+。19-”成立，其

中1W〃V19,〃eN*.類比上述性質，相應的：在等比數列｛6“｝中，若b9=l,試寫出

相應的一個等式.

測試五直接證明與間接證明

I學習目標

1.了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法，能利用它們解決簡單問題.

2.了解間接證明的一種基本方法——反證法，能利用反證法解決簡單問題.

II基礎訓練題

一、用分析法或綜合法證明下列問題

1.證明：百+2收<2+77.

2.已知。>6>0,求證：4a-4b<\/a-b.

3.設4,b￡(0,+oo),且4Wb,證明：a3a2h~\~ab2.

兀

4.已知銳角力，8滿足力+8>—,證明：sim4>cos6.

2

5.已知數列｛4｝是等差數列，,=幺+"+二口(〃=1,2,3,...).

n

證明：數列協〃｝是等差數列.

6.在△48C中，3個內角/,B,C的對邊分別是a,b,c,且/,B,C成等差數列，a,b,

c成等比數列.求證：△/8C為等邊三角形.

二、用反證法證明下列問題

7.設4,人是平面內的兩條直線，證明：這兩條直線最多只有一個交點.

8.證明：若函數外)在區間［a,b］上是增函數，那么方程｛x)=0在區間［a,④上至多只有一

個實數根.

9.設p,qGR,且/+『=2,求證：p+qW2.

10.求證：一元二次方程辦2+/>x+c=0(qW0)至多有兩個不相等的實數根.

11.求證：1,、歷，石不能成為同一等差數列中的3項.

12.證明：對于函數y(x)=lgx,找不到這樣的正數使得對于7(x)定義域內任意的x有9x)|

CM成立.

測試六推理與證明全章練習

一、選擇題

1.觀察數列｛%｝：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的特點，則由00是()

(A)14(B)13(C)12(D)ll

2.不等式。與同時成立的充要條件是()

ah

(A)a>b>0(B)0>Q>6(C)a>O>b(D)->->0

ab

3.已知｛4｝為等比數列,死=2,那么有等式田?“9=29成立.類比上述性質，相

應的：若協,｝為等差數列，。5=2,則有()

+/>2+…+d=29(B)6|,Z>2,*69=2。

(C)仇+岳+…+69=2x9(D)由?b2?...?69=2x9

4.對于任意正整數〃，下列結論正確的是()

(A)當〃=2時，2"=/；當時，2">〃2

(B)當”=2或〃=4時-，2"=/；當〃W2且〃W4時，2">n2

(C)當〃=3時,2"<?2；當〃片3時，2">n

(D)當"=3時,2"<?2；當"￥3時,2"2/

5.設。>0,6>0,則以下不等式中不但感目的是()

(A)(a+6)(-+-)>4(B)ai+b3^2ab2

ah

?)/+/+2》24+26(D)yl\a-b\>/a-y[b

6.若用反證法證明命題：三角形的內角中至少有一個大于60°,則與命題結論相矛盾的假

設為()

(A)假設三角形的3個內角都大于60°

(B)假設三角形的3個內角都不大于60°

(C)假設三角形的3個內角中至多有一個大于60°

(D)假設三角形的3個內角中至多有兩個大于60。

二、填空題

7.設正實數a,b,c滿足。+6+c=l,則a,6,c三者中至少有一個數不小于.

,1.

8.已知數列｛%｝的通項公式為為=---y,記次〃)=(1—a。。一念)…(1—%)，其中.那

5+1)

么/(1)=_______；/(2)=_______;/(3)=_______;推測/(〃)=________.

9.若三角形的內切圓半徑是「，三邊長分別是a,b,c,則三角形的面積是g?a+/>+c).類

比此結論，若四面體的內切球半徑是R,4個面的面積分別是S1,%，S3,$4,則四面體

的體積V=.

71

10.已知數列缶〃｝的前〃項和為S〃，4=-彳，S〃_]+q-=—25N2),通過計算s，§2,S3,

3S〃

*$4?可歸納出Sn=.

三、解答題

11.已知b,c是正數，且ab+bc+ca=l,求證：o+6+c2JJ.

12.設｛的｝是公比為夕的等比數列,S〃是它的前〃項和.證明:數列｛S1不是等比數列.

13.設函數段）=|1"|,若0<a<b,且求證：ab<\.

第三章數系的擴充與復數的引入

測試七數系的擴充與復數的引入

I學習目標

1.了解數系的擴充過程.

2.理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件.

3.了解復數的代數表示法及其幾何意義.

II基礎訓練題

一、選擇題

1.下列結論中正確的是()

(A)ZcNcQcRcC(B)NcZcQcCcR

(C)NcZcQcRcC(D)RcNcZcQcC

2.復數l—i的虛部是()

(A)l(B)-l(C)i(D)—i

3.若復數Z=/W(“7—1)+(“?-l)i是純虛數，則實數“7的值為()

(A)0(B)l(C)-l(D)0或1

4.設x,yGR,且滿足x+y+(x—2y)i=2r—5+(3x+y)i,則中等于()

(A)-2(B)2(C)6(D)-6

5.設zGC,則滿足lW|z|W3的復數在復平面上的對應點構成圖形的面積是()

(A)n(B)4n(C)87r(D)9兀

二、填空題

6.若x是實數，y是純虛數，且3x+l—2i=y,則x=；y—.

2

7.當一V〃?V1時，復數Z=3m—2+(加一l)i在復平面上的對應點位于第象限.

3

8.設x,ydR,復數z=x—2+yi,z=3x—i,貝Ux=；y—.

9.已知復數z=(l+i)m2-(4+iM-6i所對應的點位于復平面的第二象限，則實數機的取值

范圍是.

10.設集合"={0,1,3,5,7,9},a,b&M,則形如a+bi的不同虛數共有個.

三、解答題

11.已知2r—l+(y+l)i=x—y—(x+y)i,求實數x,y的值.

12.實數機取何值時，復數z=(〃，-5機+6)+(機是

⑴零;(2)虛數；(3)純虛數.

13.設xdR,若復數z=log|(f-3)+i?log2(x+3)在復平面內的對應點在第三象限，求x

2

的取值范圍.

14.設2￡￡\若|z|=z+2—4i,求復數z.

測試八復數的運算

I學習目標

能進行復數代數形式的四則運算，了解復數代數形式的加減運算的幾何意義.

II基礎訓練題

一、選擇題

1.已知復數z滿足z+i-3=3-i,則[等于()

(A)2i(B)-2i(C)6+2i(D)6-2i

2.若復數zi=3+i,Z2=11-i,則z=zi?Z2在復平面內的對應點位于()

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

3.復數M的值是(

)

3-41

21.21.21.21.

(A)-+-1(B)-------1(D)----------1

555555

4.復數i+i3+i5+...+i33的值是()

(A)i(B)-i(C)l(D)-l

5.對于任意兩個復數zi=xi+yi,z2=x2+y2i(xi,y,必，為為實數)，定義運算“。”為：

2|。22=*附+為外設非零復數0,初在復平面內對應的點分別為P”22,點。為坐標

原點.如果劭。32=0,則△丹。尸2中/尸。尸2的大小為()

71，兀?兀,一兀

(A)—(B)—(C)—(D)—

6432

二、填空題

6.復數z=—匚的共筑復數是

1-i------------

7.若z6C,且(3+z)i=l,則復數z=.

8.已知復數2=二±二，則z'=

l+2i------------

9.復平面上平行四邊形"BCD的4個頂點中，Z,B,C所對應的復數依次為2+3i,3+2i,

-2-3i,則D點對應的復數為.

zi，Z2，1，Zi

10.對于"個復數…，z〃如果存在勿個不全為零的實數4后，…，kn,使得自

+/2+…+左后=0,就稱Z],Z2，…，z〃線性相關.若3個復數z1=l+2i,Z2=l—i,

Z3——2線性相關，那么可取｛左1，42，氣｝=?

三、解答題

11.設復數0=—,+gi,求證：

22

(1)/=石；(2)1+<0+蘇=0；(3)加=1.

12.求復數3+4i的平方根.

13.已知z是虛數,=z+-,求證：的充要條件是2|=L

Z

j3

14.已知復數z=—若復數。=z(z+i)的虛部減去其實部的差等于士，求復數①

112

測試九數系的擴充與復數的引入全章練習

一、選擇題

1.復數Z與其共粗復數在復平面內的對應點()

(A)關于實軸對稱(B)關于虛軸對稱

(C)關于原點對稱(D)關于直線y=x對稱

2.復數4+上3上i的實部是()

1+21

(A)-2(B)2(C)-4(D)4

3.若復數z=(f-6x+5)+(x—2)i在復平面內的對應點位于第三象限，則實數x的取值范

圍是()

(A)(—8,2)(B)(l,5)(C)(l,2)(D)(2,5)

4.設a,6GR,則復數(a+bi)(a—bi)(一。+歷)(一a一歷)的值是()

(A)(/+/)2(B)((72-/>2)2(C)a4+h4(D)tz4—/>4

5.如果復數z滿足匕一2i|=l,那么團的最大值是()

(A)l(B)2(C)3(D)4

6.若復數z=cosO+i?sin。，則使/=—1的。值可能為(

7T7t7t

(B)-(C)-(D)-

432

二、填空題

7.若zeC,且i?z=l—i,則復數z=.

8.i+2i2+3i3+...+8i8=.

9.設bCR,復數(l+bi)(2+i)是純虛數，則6=.

10.如果1+i是方程f+bx+c=0S，cCR)的一個根，那么6+c=

三、解答題

5

11.設x,yGR,求x,y的值.

且W+l+2iT+3i

12.在復平面內，△NBC的3個頂點依次對應復數1,2i,5+2i,判斷△/8C的形狀.

13.是否存在虛數z,使得z+』eR,且z+3的實部與虛部互為相反數，證明你的結論.

Z

14.設復數z滿足團=1,且z?+2z+z是負實數，求復數z.

第四章框圖

測試十框圖

I學習目標

1.了解程序框圖.

2.了解工序流程圖（即統籌圖）和結構圖.

3.能繪制簡單實際問題的流程圖，了解流程圖在解決實際問題中的作用；會運用結構

圖梳理已學過的知識、整理收集到的資料信息.

II基礎訓練題

一、選擇題

1.某人帶著包裹進入超市購物的流程圖如下圖所示，則在空白處應填（）

|進入超市|一艮放包安|在貨架上選擇物品］一|付款|1離開病

（A）退換物品（B）歸還貨車（C）取回包裹（D）參加抽獎

2.復數分類的框圖如下，下列空白處應填（）

（A）虛數（B）非純虛數

（C）非實數（D）非純虛數的虛數（“WO,6W0）

3.右圖是集合的知識結構圖，如果要加入“子集”，則應該放在（）

（A）“集合的概念”的下位

（B）“集合的表示”的下位

（C）“基本關系”的下位

（D）“基本運算”的下位

4.卜列結構圖中要素之間表示從屬關系的是（)

（A）機事件ITf網一麗

（B）|平面向面|-d空間向量IT

5.下面的程序框圖的作用是按大小順序輸出兩數，則括號處的處理可以是（）

I開始I——八人結束］

(A)4—8,B-A(B)7-8,B—A,A-T

(C)T-B,A-T,B-A(D)/T,T-A,B—T

6.某成品的組裝工序圖如右，箭頭上的數字表示組裝過程中所需要的時間（小時），不同

車間可同時工作，同一車間不能同時做兩種或兩種以上的工作，則組裝該產品所需要的

最短時間是（）

（A）12小時（B）ll小時（C）8小時（D）6小時

二、填空題

7.按照程序框圖（如下圖）執行，第3個輸出的數是.

8.下面的流程圖是交換兩個變量的值并輸出，則圖中空白處應為.

第7題圖第8題圖

9.讀下面的流程圖，若輸入的值為一5時，輸出的結果是

10.某工程的工序流程如圖所示（工時單位：天），現已知工程總時數為10天，則工序c所

需工時為天.

測試十一數學選修1—2自我測試題

一、選擇題

1.復數Z=l+i+i?+i3的值是()

(A)-l(B)0(C)l(D)i

2.i+i?在復平面內表示的點在()

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

3.復數3—4i的虛部是()

(A)4(B)-4(C)4i(D)-4i

4.獨立性檢驗中的統計假設就是假設相關事件48()

(A)互斥(B)不互斥(C)相互獨立(D)不獨立

5.從某大學隨機選取8名女大學生，其身高x(cm)和體重y(kg)的回歸方程為J=0.849x一

85.712,則身高172cm的女大學生，由回歸方程可以預報其體重()

(A)為60.316kg(B)約為60.316kg

(C)大于60.316kg(D)小于60.316kg

6.實數b、c不全為0的條件是(

(A)a、b、c均不為0(B)a、b、c中至少有—個為0

(C)a、b、c至多有一個為0(D)”、b、c至少有一個不為0

7.某個與正整數有關的命題，能由”=%(A6N*)時命題成立推得〃=左+1時命題成立，若已

知〃=5時命題不成立，則以下推理結論正確的是()

(A)〃=4時，此命題成立(B)〃=4時，此命題不成立

(C)〃=6時，此命題成立(D)〃=6忖，此命題不成立

8.上一個"層臺階，若每次可上一層或兩層，設所有不同的上法的總數為人〃)，則下列猜

想中正確的是()

(A?(〃)=〃(B求〃)=/5-1)+/(〃_2)

n(〃=1,2)

?/(〃)=加一1次〃-2)(D)/(?)=<

/(?-1)+/(?-2)(〃23)

二、填空題

9.若回歸直線方程中的回歸系數6=0時，則相關系數r=.

10.設zEC,且滿足條件z的實部大于零，1W0W2,復數z在復平面內對應點Z.則點Z

的集合所對應圖形的面積為.

11.設義z)=z,zi=3+4i,Z2=—2—i,則z2)=.

12.為研究變量x和y的線性相關性，甲、乙二人分別做了研究，利用線性回歸方法得到回

歸直線方程乙和￡兩人計算知最相同，亍也相同，給出下列說法：

①/|與，2重合②/|與，2一定平行

③。與6相交于點正，y)④無法判斷和/2是否相交

其中正確的是.

13.已知右表是在一次調查中的統計數據：

在性別與吃零食這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是.

①若X2=5.059,我們有95%的把握認為吃零食與性別有關系，那么在100個吃零食的

人中必有95人是女性;

吃零食不吃零食合計

男性91827

女性15823

總數24265()

②從獨立性檢驗可知有95%的把握認為吃零食與性別有關系時，我們說某人吃零食，

那么此人是女性的可能性為95%；

③若從統計量中求出有95%的把握認為吃零食與性別有關系，是指有5%的可能性使得

出的判斷出現錯誤.

14.如果；(4+b)=/(0/(b)且寅1)=2,則△^+△^+△^2+…+”2006)=

/(I)八3)/⑸/(2005)

三、解答題

15.在對人們的休閑方式的一次調查中，共調查了124人，其中女性70人，男性54人。女

性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運動；男性中有

21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運動。

(1)根據以上數據建立一個2X2的列聯表；

(2)判斷性別與休閑方式是否有關系.

16.如圖，在復平面上，平行四邊形OABC的3個頂點O,A,C對應的復數分別為0,4

-3i,l+2i.求頂點8對應的復數.

21

17.已知數列｛%｝的刖〃項和為—----F2=4〃(〃22),計算SI，S?,S3,S4,

3

并猜想S〃的表達式.

18.用適當方法證明：已知I：。>0,6>0,求證:與+326+后.

Nbyja

IT

19.△NBC的三邊a,b,c的倒數成等差數列，求證8<一.

2

20.按右圖所示的程序框圖操作：

(1)寫出輸出的數所組成的數集.若將輸出的數按照輸出的順序從前往后依次排列，則

得到數列｛為｝,請寫出數列｛a,,｝的通項公式；

(2)如何變更/框內的賦值語句，使得根據這個程序框圖所輸出的數恰好是數列｛2〃｝的

前7項？

(3)如何變更B框內的賦值語句，使得根據這個程序框圖所輸出的數恰好是數列｛3〃-2｝

的前7項？

是I

測試三統計案例全章練習

一、選擇題

1.B2.A3.C4.C5.B

二、填空題

6.7,187.強，弱8.99%,有關9.9.310.y=x+l

三、解答題

11.由列聯表中的數據，可得

/t4.751>3.841,

所以有95%的把握認為“性別與色盲有關系”.

12.(1)線性回歸方程為f=0.84%—85.712；

(2)對于身高160cm的女高中生，由回歸方程預測體重為50.128kg.

13.y與,是線性相關的；回歸方程為少=也空-11.3.

Xx

第二章推理與證明

測試四合情推理與演繹推理

一、選擇題

1.B2.C3.D4.B5.A

提示：

5.按遞推關系依次寫出前兒項為3,6,3,-3,-6,-3,3,6,觀察可知從第七個數開

始重復出現，故此數列是周期數列，周期為6,從而。33=%,6+3=。3=3.

二、填空題：

6.球的切面垂直于經過切點的球半徑；

4,,

8.(:兀火3)，=47tA2；球的體積函數的導數等于球的表面積函數；

9.平行四邊形對角線互相平分(大前提)，

菱形是平行四邊形(小前提)，

菱形對角線互相平分(結論)；

10.到4個面的距離之和為定值。

三、解答題

11.(1)兩實數相加后，結果是一個實數；兩向量相加后，結果仍是一個向量.

(2)從運算律的角度考慮，他們都滿足交換律和結合律，

即〃+6=Z>+a；a+》=b+a.(a+6)+c=a+(6+c)；(a+b)+c=a+(Z>+c).

(3)從逆運算的角度考慮，二者都有逆運算，即減法運算.

a+x=0與a+x=0都有唯一解x=—a,x=~a.

(4)在實數加法中，任意實數與0相加都不改變大小，即。+0=4.在向量加法中，任意

向量與零向量相加，既不改變該向量的大小，也不改變該向量的方向，即a+0=a.

12.第一步推理是省略大前提的三段論推理；第二步推理是傳遞性關系推理.

13.證明：設等比數列｛為｝的公比為q,依題意句>0,q>0.

2

當q=l時，Sn—na\,從而Sn?Sn+2—S.—na\?(〃+2)a1—(〃+1)a：=—q~<0；

當qWl時，.=

i-q

從而s".s”『s3=>(1；;；；尸)-水;u；。2=<0-

綜上，得S,-S“+2<S3?

14.解：等比數列也“｝中，若加0=1，類比等差數列，可得加仇?⑦?…?瓦9F.

而現在仇=1,說明6曲0=公=1,b7bli=b；=1,…,從而有

b\*bz,*bi=b\,bi'...,b7b8b<)bio①

b1,Z>2,?1?,b^—b\,Z>2,1?-*b6b7b8bgbiobii②

歸納①、②，可得仇?必?…?瓦,=仇?電?…?仇7”其中1W"V19,M￡N*.

測試五直接證明與間接證明

一、用分析法或綜合法證明下列問題

1.證法1：因為JJ+2^>0,2+J7>0,

所以欲證0+2痣<2+J7,

只需證明(石+2拒產<(2+6)2,即證明11+46<11+4近，

只需證明4“<46，即證明6V7,

上式顯然成立，所以6+2正<2+J7.

證法2：欲證JJ+2應<2+近，

只需證明2正—J7<2—JL

只需證明1廣<—^.

2y/2+<72+V3

v2V2>2,77>V3,/.2V2+V7>2+V3>0.

...」—成立,所以上+2收<2+".

2V2+<72+V3

2.欲證—yfb<y/a—b,

只需證明Va<y/b+y/a-b,

因為G〉0,4b+\la-b>0,

故只需證明。<(JK+F五二石)2,即證明2方?石N〉o,

上式顯然成立，所以右—〃<而二.

3.欲證。3+，>。7+出>2,

只需證明(。+6)(。2—4b+/)>46g+b),

由。+6>0,

只需證明a2—ab+b2>ab,即證明(a—b)?》。，

因為。K6,所以上式顯然成立，

所以/+

注：本題也可使用作差比較加以證明.

ITTT

4.證明：因為4+3>—，所以/>一一B,

22

所以0〈區一〈工.

22

7T

因為函數了=32在(0,1)內單調遞增，

所以sin(/-5)<sinA,

即sirt4>cos8.

5.證明:設｛4｝的公差為d,

m.i.q+%+…+%177(A7—1),,n~\.

則b”=~F------=—［r〃%+---d］=a+--t/?

"〃2x2

.,,/n.?-1d

??〃+i-〃=(?!+-t/)-(<7!+—=y>

根據等差數列的定義，得｛6“｝是等差數列.

6.證明：因為4B,C成等差數列，所以28=Z+C,

TT

又/+8+。=兀，所以8=一.

3

因為a,b,c成等比數列，所以/=qc,

根據余弦定理得h2=a2+c2—2accosB=a2+c2—ac,即a2-\-c2—ac=ac.

所以(。一c)2=0,a—c,從而/=C.

故△4BC為等邊三角形.

二、用反證法證明下列問題

7.證明：假設a,b至少有兩個不同的交點4和8,

則通過不同的兩點Z和8有兩條直線，

這與公理“經過兩點有且只有一條直線”相矛盾，

所以平面內的兩條直線最多只有一個交點.

8.證明：假設方程/(x)=0在區間［a,句上至少有兩個不同的實數根a,p,

即加)=%)=0?

不妨設a<(i,

由于函數Hx)在區間口，以上是增函數，故人a)V/W),

這與Xa)=/(/?)=0矛盾，

所以方程兀v)=0在區間［a,6］上至多只有?個實數根.

9.證明：假設p+q>2,即p>2—g,

因為函數在R上單調遞增，

所以p3>(2—4)3=8—IZq+Gg?一，.

因為p3+g3=2,所以6夕2—12夕+6VO,即6(4一1)2<0,

上式顯然不成立，故p+gW2.

10.證明：假設方程ax2+bx+c=0(aW0)至少有3個不相等的實數根修、必、冷，

辦；+如+c=0,(1)

貝I卜ax\+bx2+c=0,(2)

ax；++c=0,(3)

(1)—(2)得a(x]+x2)(x]—x2)+h(x]—x2)=0,

因為x[2必，所以a(x]+X2)+6=0.(4)

(1)一(3)同理化筒得。3+均)+b=0?(5)

(4)一⑸得a(x2-x3)=0.

因為aWO,所以血一悶=0，這與必力應相矛盾.

所以一元二次方程辦2+&+。=()(4#0)至多有兩個不相等的實數根.

11.證明：假設1,41，Q是某一等差數列中的3項，設此數列的公差為d,

五一\=md-生

則其中m,.

yj3—1=nd.

注意到今。，兩式相除得標貂=(>受+D之*一6一D.

n?

上式等號左端一是有理數，而等號右端是無理數，不可能相等.

n

所以1,V2,百不能成為同一等差數列中的3項.

12.證明：函數/(x)=lgr的定義域為(0,4-00).

假設存在正數“，使得當任意xe(O,+8)時成立，即[1眇|<"

取x=1()2,”代入上式，得即|2朋]<四，

由”>0,得2MVA/,即2V1,

這顯然矛盾，故命題得證.

測試六推理與證明全章練習

一、選擇題

1.A2.C3.C4.D5.B