§1.1變化率與導數

1.1.1變化率問題

自學引導

1.通過實例分析，了解平均變化率的實際意義.

2.會求給定函數在某個區間上的平均變化率.

課前熱身

1.函數f(x)在區間［%，蒞］上的平均變化率為乎=

2.平均變化率另一種表示形式：設/戶x—知則手=,表示函

數y=F(x)從X。到x的平均變化率.

?-』

案TO。+/x)—A-O)

4Ax

名師講解

1.如何理解的含義

表示自變量x的改變量，即』x=X2—豆；/y表示函數值的改變量，即

/y=fix4—AAJ).

2.求平均變化率的步驟

求函數y=F(x)在［豆，x2］內的平均變化率.

⑴先計算函數的增量/尸/UD-/U).

(2)計算自變量的增量/X=E—M

八一/pfX-fXi

(3)得平均變化率丁=---:-2----------.

力XX2-Xx

對平均變化率的認識

函數的平均變化率可以表現出函數在某段區間上的變化趨勢，且區間長度越

小，表現得越精確.如函數y=sinx在區間［0,口］上的平均變化率為0,而在

JI

sin——sinO一

［0,不］上的平均變化率為----------=-

在平均變化率的意義中，F(X2)—丹豆)的值可正、可負，也可以為零.但/X

x?X\0.

1

典例剖析

題型一求函數的平均變化率

例1一物體做直線運動，其路程與時間大的關系是S=3大一/.

(1)求此物體的初速度；

⑵求t=0至U1=1的平均速度.

分析方=0時的速度即為初速度，求平均速度先求路程的改變量4S=S(1)

-5(0),再求時間改變量/t=l—0=1.求商弟就可以得到平均速度.

S3t~t2

解(1)由于『=^=3-

.?.當2=0時，％=3,即為初速度.

(2)/S=S⑴一S(0)=3X1—12—0=2

4-1—0=1

—/S2

■=T7=T=2-

??.從t=0至Ut=l的平均速度為2.

誤區警示本題1不要認為方=0時，S=0.所以初速度是零.

變式訓練1已知函數F(x)=—f+x的圖像上一點(一1,—2)及鄰近一點

(一1+」X,—2+Ay),則()

/X

A.3B.3Ax—(A)2

C.3—{Ax)2D.3—x

解析/y=F(—1+/x)—A—1)

=—(-1+Ax)2-\-(—1+Ax)—(—2)

=—(4才)2+3Ax.

Ay—Ax2+3Ax.

/.~~"=—/x~\~3

Ax/x

答案D

題型二平均變化率的快慢比較

例2求正弦函數y=sinx在0到之間及可到丁之間的平均變化率.并比

O32

較大小.

分析用平均變化率的定義求出兩個區間上的平均變化率，再比較大小.

JI

解設y=sinx在0到三■之間的變化率為左，則

0

2

JI

sin——sinO八

b3

JIJI

L

JIJI

尸sinx在不到另之間的平均變化率為k,

O乙2

JIJI

sin——sin-1

32—

則k=~=-

2JIJIJI

236

32—3—1

?k\左一>0,

JIJIJI

:.k，k%

JI3JIJI

答：函數"=51般在°到至之間的平均變化率為互,在勺到了之間的平均變

32f332-^/3

化率為,日./

JIJIJI

JIJIJI

變式訓練2試比較余弦函數p=cosx在0到《■之間和不■到丁之間的平均變

o。乙

化率的大小.

兀八

――71..COS3-COSO

解設函數y=cosx在0至叼之間的平均變化率是ki,則ki=~

3-0

3

2n,

7T7T

函數y=cosx在1到/之間的平均變化率是k2,

JIJI

COS——cos-

3

則k=~-

2JIJIJI

~2~~3

,：k「k產一六3

印，

?\左>42,

JIJIJI

函數y=cosx在0到？之間的平均變化率大于在R到3之間的平均變化

O。乙

率.

題型三平均變化率的應用

例3已知一物體的運動方程為s(%)=/+21+3,求物體在亡=1到亡=1

十4力這段時間內的平均速度.

3

分析由物體運動方程一寫出位移變化量/s—w

解物體在/=1至U這段時間內的位移增量

Js=s(l+^)-s(l)

=[(l+Jr)2+2(l+Jz)+3]-(l2+2X1+3)

=(4)2+4//.

物體在t=l到7=1+//這段時間內的平均速度為

/s⑷2+4/1,

獷At=4+4.

變式訓練3—質點作勻速直線運動，其位移s與時間大的關系為s(t)=/+l,

該質點在[2,2+/打(/。0)上的平均速度不大于5,求/力的取值范圍.

解質點在[2,2+/6上的平均速度為

—s2+/t—s2

v=-------------------

/t

[2+zlt2+1]-22+1

/t

44t+zlt2

Z7=4+21力

又yW5,.*.4+4tW5.

/t<l,又/分0,

/大的取值范圍為（0,1].

§1.1函數的單調性與極值

1.1.2導數的概念

自學引導

1.經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念建立的一些

實際背景.

2.了解瞬時變化率的含義，知道瞬時變化率就是導數.

3.掌握函數/Xx)在某一點兩處的導數定義，并且會用導數的定義求一些簡

單函數在某一點荀處的導數.

4

課前熱身

1.瞬時速度.

設物體的運動方程為S=S(t),如果一個物體在時刻力。時位于S"°),在時

刻io+/力這段時間內，物體的位置增量是/S=S(io+/?—S(t°).那么位置

增量/S與時間增量/力的比，就是這段時間內物體的,即；=

S左)+zlt-St0

當這段時間很短，即/%很小時，這個平均速度就接近時刻大。的速度.」

力越小，y就越接近于時刻功的速度，當［L*O時，這個平均速度的極限r=lim

聾=lim$力。+/；.—5a就是物體在時刻布的速度即為

2.導數的概念.

設函數y=F(x)在區間(a,加上有定義，(a,6),當/x無限趨近0時,

比值手='吊+'：二’";無限趨近于一個常數4這個常數/就是函數

AX/X

/1(X)在點X=a處的導數，記作F(X。)或/|x=Xo.用符號語言表達為「(司)

L平均速度瞬時速度

Ao+/□)一尺0)

2.lim

名師講解

1.求瞬時速度的步驟

(1)求位移增量/S=S(t+S(t)；

——4S

(2)求平均速度r=—；

5

(4)若極限存在，則瞬時速度r=lim—

2.導數還可以如下定義

fAb+—fXQ

一般地,函數y=F(x)在x=x0處的瞬時變化率是lim

0

=lim丁.我們稱它為函數尸/1(x)在x=x。處的導數.記作/(芯)或/|x=

〃X

dx—0

兩，即f'(無)=lim--=lim--------------------.

AxAx

dx—0dx—O

3.對導數概念的理解

(1)“導數”是從現實生活中大量類似問題里，撇開一些量的具體意義，單

純地抓住它們數量上的共性而提取出來的一個概念，所以我們應很自然的理解這

個概念的提出與其實際意義.

(2)某點導數即為函數在這點的變化率.某點導數概念包含著兩層含義：

①lim弓上存在，則稱/'(x)在x=xo處可導并且導數即為極限值；②limq)

Ax4x

不存在，則稱F(x)在x=X。處不可導.

(3)/x稱為自變量x的增量，zlx可取正值也可取負值，但不可以為0.

(4)令得zlx=X—Ao，于是

fX—fXQ

f'（吊）=lim-與定義中的/U)=lim

X—Xo

x一畫4L0

f兩+Ax一fXQ

?意義相同.

4.求函數y=F(x)在點X。處的導數的步驟

⑴求函數的增量：/y=F(x()+4x)—F(面)；

Ay_f苞+Ax—fx

⑵求平均變化率:0

4二/x

⑶取極限,得導數：￡(吊)=加生

0

典例剖析

題型一物體運動的瞬時速度

例1以初速度%(口。)豎直上拋的物體，t秒時高度為S1)=%t-^gt2,

求物體在時刻大。處的瞬時速度.

分析先求出/s,再用定義求弟，當/方一0時的極限值.

2

解：/S=詼(ta+/t)—gg(to+/t)—(Voto-jg玲=(vo—gto)/1

6

As1

???丁)=及—gG>—5g./力

r,As

當/t->0時，乙己—Vo—gto.

故物體在時刻io處的瞬時速度為V-gtQ.

規律技巧瞬時速度V是平均速度U在/1一0時的極限.因此，y=limy=lim

A—0At-0

/S

At,

變式訓練1一作直線運動的物體，其位移s與時間大的關系是S=51—

求此物體在t=2時的瞬時速度。

解；/s=5（2+/1）一（2+/2產一（5X2—2?）

=At-{Ae,

As.、

r=lim-r-=lim(1—At)=1.

At

A—0A—

???物體在t=2時的瞬時速度為1.

題型二求函數在某點處的導數

例2求函數y=5在x=l處的導數.

分析根據導數的定義求導數是求函數的導數的基本方法.

解法1/尸?1+/x—1,

./yAx-1Ax

??/x/及/xy]l+Ax+1

1

[1+/x+1

Ay11

lim——=lim/:----

Jl+7^+12

1

-2-

??yX=1

解法2（先求導數，再求導數值）

\Ay=y]x+Ax—^x,

./yNx+/x—也

**AxAx

7

1

y/x+/x+#'

??yy]x+Ax+y[x24

??y\x=i-

規律技巧求函數尸Fx在x=x0處的導數有兩種方法：一是應用導數定

義；二是先求導數再求導數值.

變式訓練2利用定義求函數尸x+'的導數，并據此求函數在k1處的導數.解

X

.../y=(x+/x)+^^—(x+!)

生二L—i―,

Axxx+Ax

,Ay

/.y'=lim——

/x

=lim[l-----------------]

xx-rx

4矛一k0

,I1

??yIx=\=1—P=O.

=Ax——

xx+/x

題型三導數的應用

例3某物體按照s(t)=3/+2t+4的規律作直線運動，求自運動開始到

4s時，物體運動的平均速度和4s時的瞬時速度.

分析解答本題，可先求自運動開始到作時的平均速度Mt)及函數值的增

量自變量的增量/得再利用公式求解即可.

_st4

解自運動開始到ts時，物體運動的平均速度V(t)=――=3t+2+~,

_4

故前4秒物體的平均速度為r(t)=3X4+2+-=15.

由于/s=3(t~\~/t)2+2(t~\~/力)+4—(3方?+2方+4)

=(2+61)/1+3(/t)29

As

.??下~^=2+6匕+3/t.

8

./s

/.limN^=2+6%.

ALO

/.4s時物體的瞬時速度為2+6X4=26.

規律技巧導數的物理意義：

1若已知位移S與時間力的函數關系s=st,則在右時刻的瞬時

速度V=s'to;

2若已知速度y與時間力的函數關系r=rt,則在花時刻的瞬時

加速度a=v't0.

變式訓練3豎直上拋一小球，其位移與時間的關系為力1)=1002—巴

試求小球何時瞬時速度為0(產9.8).

解小球的運動方程為h{t}=100L

/./h=[100(1+/1)一]g(t+At)2}—(100力

Ah

=lim--=100—

At^O

/口100100,、

令A100—g亡=0,得t=---=丁^?10.2(s).

g9.8

因此，小球被上拋10.2s時速度變為0.

L：g(/力2.

100At—gtA

例4已知質點〃按規律s=a/+3(單位：cm)做直線運動，且質點〃在大

=2s時的瞬時速度為8cm/s,求a的值.

分析這是一道逆向思維的題目，知導數s'|厘=8,求系數a,先對s求

導，可得含a的方程.解出a即可.

解zls=a(2+/0*+3—(a?22+3)

=4a?At+a(zlt)2

As

lim2^=1im(4a+a?At)=4a.

A-A—0

依題意有4a=8,.\a=2.

變式訓練4已知_f(x)=ax+4且尸(1)=2,求實數a的值.

解zly=Al+^x)—AD

=a(l+Ax)+b-(a+Z?)

=aAx.

9

Ay

/LO4LO

又f（1）=2,a=2.

§1.1函數的單調性與極值

1.1.3導數的幾何意義

自學引導

1.通過函數的圖像直觀地理解導數的幾何意義.

2.會求函數在點（xo,刈）處的切線方程.

課前熱身

1.幾何意義：F（x）在X=Xo處的導數/（X。）即為/1（X）所表示的曲線在x=

Xo處的切線的斜率，即A=F（Xo）—1im

f吊+Ax-fXQ

??過點a,a為））的切線方程為

Ax

2.物理意義：如果把函數看作是物體的運動方程（或叫位移公式），

那么導數/（m）表示運動物體在時刻6的速度，即在吊的.即vx.=f'

Ay

（吊）=lim——.

/x

3.如果/"（x）在開區間（a,加內每一點x的導數都存在，那么稱f（x）在區間

（a,加內可導.這樣對開區間（a,6）內每一個值x,都對應一個確定的導數/

（x）,于是在區間（a,而內/（x）構成一個新的函數，我們把這個函數稱為函數

y=F（x）的,記為,簡稱為,今后，如不特別指明某

一點的導數，求導數就是指求導函數.

1.y—AAo）=f'（Ao）（X-Xo）

較

2.瞬時速度

13.導函數f'（x）（或/八/）導數

10

名師講解

1.“函數/1（十）在點X。處的導數”、“導函數”、“導數”三者之間的區別與聯

系：

“函數f（x）在點而處的導數”是一個數值；“導函數”簡稱“導數”，是一

個函數.所以求函數在某點處的導數時，一般是先求出函數的導函數，再計算這

點的導函數值.

2.可以利用導數求曲線的切線方程.由于函數丁=/5）在十=位處的導數,

表示曲線在點月（孫/U））處的切線的斜率.因此，曲線y=f（x）在點PU;/U））

處的切線方程可如下求得：

⑴求出FU）,則/（就就是點夕（如FG））處的切線的斜率.

（2）代入直線的點斜式方程可得切線方程為

y—AAo）=f'（Ao）（X-Ao）.

如果曲線y=F（x）在點PU,H荀））處的切線平行于y軸時（此時導數不存

在），切線方程為X=X0.

典例剖析

題型一求曲線上某點處的切線方程

例1已知曲線C-.y=x.

（1）求曲線。上橫坐標為1的點處的切線方程；

（2）第⑴小題中的切線與曲線。是否還有其他的公共點.

分析先求出函數在x=l處的導數，即切線的斜率，然后寫出切線

方程，最后列方程看交點個數.

解（1）將x=1代入曲線。的方程得y=L

...切點尸（1,1）.

,Ay

??丁=lim――

0

x+Ax3-x

=lim------:-------

/x

3xAx~\-3xAx2+Ax3

=lim------------;-------------

/x

=lim[3y+3x/x+（4x）1=3x,

O

=

y'IA'=l3.

??.過夕點的切線方程為y—1=3（X—1）,

即3x—y—2=0.

尸3X~1+1

⑵由＜可得

尸_X3

11

(^―1)(/+x—2)=0,

解得苞=1,涇=—2,

從而求得公共點為/（1,1）或/（一2,-8）.

說明切線與曲線。的公共點除了切點外，還有另外的公共點.

規律技巧先求出函數y=Fx在萬=質處的導數，即曲線在該點處的切線

斜率，再由直線方程的點斜式便可求出切線方程.

變式訓練1求雙曲線y=:在點（；，2）處的切線的斜率，并寫出切線方程.

…1

解

y=~X,

11

Ayx+AxX

/.k=lim—-=lim------;------

—11

=1im2?4-=一—2.

x-rxAxx

dx—0

.?.當x=；時，A=—4,...切線斜率為N=-4.

切線方程為y—2=—4（x—；）,

即4^+y—4=0.

題型二求過某點的切線方程

例2求拋物線過點（,6）的切線方程.

分析點份，6）不在拋物線上，先設出切點坐標，求出切線的斜率，利用等

量關系，求出切點坐標，最后寫出切線方程.

解設此切線在拋物線上的切點為（兩，言），則

,,兩+Ax2一岔/,、

y|x=Xo=lim---------------------=lim（2茍+/3）=2荀,

〃x

ZLO

￡一6

―^=2荀，即芯一5苞+6=0,解得

5

XL]

吊=2,或吊=3.

12

即切線經過拋物線尸系上的點(2,4),(3,9).

故切線方程分別為

y—4=4(^—2),y—9=6(jr—3),

即4x—或6x—y—'9=0為所求的切線方程.

規律技巧求切線方程時，注意兩種說法：一是在某點處的切線方程，此時點

在曲線上，且以此點為切點；二是過某點的切線方程，如本例，此時求解時，首

先要設出切點坐標，然后求解.

17

變式訓練2求拋物線/=不^過點(4,/的切線方程.

解設切線在拋物線上的切點為(苞，；點，

1,212

%茍+/x-

??|x^~XQ—1imT

〃x

,11.1

=lim(-Ao+-/x)=-Ao.

dx—0

12_z

.F。4]

,,Xo-4=2X°,

即岔一8不)+7=0,

解得荀=7,或苞=1,

即切線過拋物線上的點(7,￥)，(1,；),

故切線方程分別為

497,、-11,、

y-T=](x—7),或y—i=](x—1),

化簡得14x—4y—'49=0,或2x—4y—1=0,

此即所求的切線方程.

題型三導數幾何意義的綜合應用

例3求曲線尸X?在點⑶9)處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積.

分析由題設知切線與兩坐標軸圍成的三角形為直角三角形，故需求出切線

方程及其在兩坐標軸上的截距，代入三角形面積公式計算.

解zly=(3+zlx)2-32

=64x+{Ax)11,

Ay

:.f⑶=lim2一=lim(6+Ax)=6.

/x

/L04L0

13

???點⑶9)處的切線方程為y—9=6(x—3),

即尸6X一9.

切線與兩坐標軸的交點分別為(5,0),(0,-9).

??.切線與兩坐標軸圍成的三角形面積為

1327

5=2X2X9="

變式訓練3在曲線y=系上求一點P，使過點尸的切線與直線y=4x—5平行.

解設以孫就，

則f'U)=lim

Ax

x-\-AX2-XQ/,、

=lim----Q----------=lim(2吊+Ax)=2x.

/xQ

4L0

由題意可得

2為=4,.\x0=2.

故點尸的坐標為(2,4).

§1.2導數的計算

1.2.1幾種常用函數的導數及導數的運算法則

自學引導

1.能根據導數的定義，會求函數/=小尸X,y=x,y=x,y=~,/=胃的

X

導數.

2.能利用給出的基本初等函數的導數公式及導數的運算法則求簡單函數的

導數.

課前熱身

1.基本初等函數的導數公式.

原函數導函數

(1)F(x)=cf'(x)=________

(2)F(x)=x"(〃GQ)f'(x)=________

(3)f{x}=sinxf'(x)=________

(4)f{x)=cosxf'(x)=________

(5)f(x)=af'(x)=________

14

原函數導函數

(6)f(x)=e"f'(x)=________

(7)F(x)=logaxf'(x)=________

(8)f(x)=lnxf'(x)=________

2.導數的運算法則.

(1)[/(A)±g(x)]'=

(2)[F(X)?g(x)]'=

l.(l)O

(2)nxnl

⑶cos%

(4)-siiix

答

(5)/lna(a>0)

案

⑹e"

1-

⑺加產①且。ND

齪

2.(1)/(x)±g'(x)

答(2)/(x)g(x)+?g,(x)

案(x)g(x)—7(x)g'(x)

(g(x)WO)

[ga)]2

15

名師講解

(3)公式中〃GQ,但對于公式也成立.

(4)特別注意〃為負數或分數時，求導不要搞錯.如

2.兩函數和差的求導法則的推廣

(1)"(X)土g(x)r-f(X)±g'co

此法則可以推廣到有限個可導函數的情形.[f；(x)土石(X)±…±￡(x)r=

(x)土五'(X)±",±￡/(x).

(2)[af(x)±6g(x)「=af'(x)±bg'(x)(a,6為常數).

3.兩函數商的求導法則

fX1f'XgX-fXg'

(g(x)WO),

|_gX」gX

1g'x

當f(x)=1時，則有------'=---2-----(g(x)wo).

|_gx」gx

這是一個函數倒數的求導法則.

4.求導運算的技巧

在求導數中，有些函數表示形式很復雜，直接求導比較困難，但經過化簡整

理，有可能很簡單，這時再求導可能很簡便，也就是說，先把復雜式子化簡后再

求導，減少運算量.

題型一求導函數

例1求下列函數的導數.

(l)y=x12；

(2)y=A;

X

(3)y=工.

分析這三個小題都可歸為/類，用公式8”=〃x"T完成.

典例剖析

解(1)/=(x“”=12/T=12X”.

⑵/=(5=(尸”-L

16

變式訓練1求下列函數的導數.

⑴/1(￡)=10：

(2)F(x)=log2x；

⑶g(t)=e1

解⑴F(x)=(10?=10vlnl0.

(2)f'(x)=(log4)'=—

xln2

(3)g,(t)=(e'),=e1

題型二求函數在某點處的導數

例2⑴求函數尸a，,在點尸(3,f(3))處的導數;

(2)求函數y=lnx在點0(5,ln5)處的導數.

分析先按求導公式求出導函數，再求導函數在相應點的函數值.

解⑴?.?尸a",

/.y'=(/)f=alna,

則L=3=a3lna.

(2)Vy=In^-,/.y'—(Injv)'=-.

x

則_/L=5=1.

o

規律技巧求函數在某定點點在函數曲線上的導數，一般過程是：①先求導

函數；②把定點的橫坐標代入導函數求出導數值.

變式訓練2求下列函數在某點處的導數.

(l)y=logax,x=2；

JI

(2)y=cosx,jr=—；

(3)y=2x+^/x,x=l；

JI

(4)p=sinx,A-=—

解(1)Vy=loga^,：.y'=^—.

xLna

則y'=

I^=29zl-|na.

⑵?.?_/=cosx,y'=—sinx

,,JIJI\2

則/I_sinY=-2,

17

(3)*/y-2%3+&,y-+—x

119

則/L=I=6+o-=—o

(4)?.?y=sinx,/.y'=cosx

JIJI1

則y'I=cos—=-

題型三利用運算法則求導數

例3求下列函數的導數.

(1)y=x?sinx+cosx；

/、Inx

(2)y=-7；

x十1

(3)f(x)=(/+1)(2T+8^—5)；

分析對于（1）、（2）可以利用公式直接求導，（3）、（4）先化簡再求導.

解(l)yz=(*sinx+cos^)'

=(*sinx)'+(COSA)F

=2xsinx+/cosx—sinx

=(2^-1)sin^+^cosx

/、，/Inx、,

⑵「R

~x+1-Inx1—lnjr+-「

xxx—xlnx+1

=x+12-=Hi2=*x+12

⑶??"(x)=(T+1)(2X+8T-5)

=2x+8y—5^~\-2x+8x—5

f(x)=(2f+8/—5f+2系+8x—5)，

=10y+32系-15/+4x+8.

1+^/^2+221+x_____

1一xxx1一x

44'x—4x

"5)==—2)，

規律技巧運用求導法則和導數公式求可導函數的導數，一定要先分析函數P

=Hx）的結構特征，對于直接求導很繁瑣的，一定要先化簡，再求導.

18

變式訓練3求下列函數的導數.

（1）尸tanx；

,、1,1

⑵尸F中；

XX

（3）y=l+sin-cos-；

x

(4)y-----2X

x+1

—/、sinx

解⑴尸tanx=其嬴,

sinx)/sinxcosx一sinxcosx

??y2

cosxCOSX

cos2x+sin/1

22?

COSXCOSX

2

(2)Vj

x

2-21-x2

??y2?

Xx2X

XX1

(3)Vy=1+sin-cos-=1+-sin^,

(l+；sinx)’1

??y-COST.

V

⑷一E"3

x+1-X

2,ln2

x+12?

i+r^-2^2-

題型四求切線方程

例4求過點（1,—1）的曲線y=f—2x的切線方程.

分析點（1,—1）雖然在曲線上，但它不一定是切點，故應先求切點.

解設以孫先）為切點，則切線的斜率為/（為）=3/—2,故切線方程為

p-K=（3^—2）（X—XQ）,

即y~（五一2兩）=（3^0—2）（x—xo）,

又知切線過點（1,—1）代入上述方程，

得一］一（摩一2五）=（3岔一2）（1一茍）,

解得芯=1,或茍=一也

19

17

，切點為(1,—1)或(一J,?).

Zo

故所求的切線方程為y+1=x—1,

-75/,1、

或y—§=—，

即x—y—2=0,或5^+4y—1=0.

規律技巧1在求曲線的切線方程時，注意兩個“說法”：求曲線在點

產處的切線方程和求曲線過點刀的切線方程.在點尸處的切線，一定是以點P為

切點，過點夕的切線，不論點夕在不在曲線上，點刀不一定是切點.

2求過點尸的曲線的切線方程的步驟為：先設出切點坐標為孫先

,然后寫出切線方程y—%=/芯x—而，代入點夕的坐標，求出

Ao,y0,再寫出切線方程.

變式訓練4已知曲線3x,過點(0,16)作曲線的切線，求曲線的切線方

程.

解設切點為(X,%),則切線的斜率

k=y'lx=Xi=34—3,

???切線方程為尸(3/—3)x+16.

又切點在切線上，

.?.%=(3^—3)Xi+16.

A?—3AI=(3A?—3)XI+16,

解得Ai=-2.

切線方程為尸9x+16,

即9x—y+16=0

§1.2導數的計算

1.2.2復合函數的導數

自學引導

能利用出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單的復合

函數(僅限于形如Hax+加)的導數.

課前熱身

1.復合函數的概念.

一般地，對于兩個函數y=F(u)和u=g(x),如果通過變量u,y可以表示成

x的函數，那么稱這個函數為函數和的復合函數，記作

20

2.復合函數尸F(g(x))的導數和函數y=F(u),〃=g(x)的導數間的關系

為.即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.

答1.y=Au)u=g(x)y=f(g{x))

案2.y'*=/“-u',

名師講解

L求復合函數的導數的關鍵是處理好以下幾個環節

(1)中間變量的選擇應是基本函數結構；

(2)關鍵是正確分析出復合過程；

(3)一般從最外層開始，由外及里，一層層地求導；

(4)善于把一部分表達式作為一個整體；

(5)最后結果要把中間變量換成自變量的函數.

典例剖析

2.求復合函數導數的方法步驟

(1)分解復合函數為基本初等函數，適當選擇中間變量；

(2)求每一層基本初等函數的導數；

(3)每層函數求導后，需把中間變量轉化為自變量的函數.

題型一復合函數的求導方法

例1求下列函數的導數.

(1)y=(l-3x)4；

(2))/=cosx2；

兀

(3)尸sin(2L1)；

(4)y=dl+f.

分析注意中間變量的選取，分層求導.

21

解(1)令”=1—3x9則y=-匕

ti

1-

.".yu=4M5,u'x=—3.

f—512

--yx=yuUX=12M=(］一3兀)5.

(2)令M=%2,則丁=8$小

?*yfr=y'u'U1為=sinw>2x

=-2xsinx2.

?兀I

(3)令M=2X-則y=sinM,

??y1x=y'wit'x=cosw,2

71

=2cos(2x—2).

1

c2

(4)令"=l+f,則y=",

1

,,,1-2

??y.x=yu'Ux=~^u-lx

2x

規律技巧求復合函數的導數，要分清函數的復合關系，對于分式型的可化

為嘉的形式求導，關鍵選好中間變量.最后將中間變量代回到原自變量的函數.

變式訓練1求下列函數的導數.

,、1

⑴尸l+3x5；

c兀

(2)y=sin(Y——)；

0

(3)y=ln(lnx)；

2

⑷尸"

解⑴令u=l+3x,則y