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文檔簡介
二項式定理歸類
目錄
【題型一】通項公式1:基礎......................................................................1
【題型二】通項公式2:因式相乘型求某項..........................................................2
【題型三】二項式給通項求n值....................................................................3
【題型四】給通項求參數..........................................................................5
【題型五】因式相乘型給通項求參數................................................................6
【題型六】賦值法................................................................................8
【題型七】換元型................................................................................9
【題型八】三項展開式...........................................................................10
真題再現.......................................................................................12
模擬檢測.......................................................................................14
【題型一】通項公式1:基礎
【典例分析】
將二項式的展開式中所有項重新排成一列,有理式不相鄰的排法種數為()
A.A;B.A武C.A㈤D.A;A;
【答案】c
【分析】先利用二項式定理判斷其展開式中有理式的項數,再利用插空法進行排列即可.
【詳解】根據題意,得4M=C:6”[擊]=晨拆消=][《爐,
因為0V左W8且左eN*,
3產=4,即工為有理式;
當左=0時,
當左=4時,=1,即n為有理式;
4
當左=8時,吐生=-2,即7;為有理式;
4
當無?{1,2,3,5,6,7}時,笥迎EZ,即《為無理式;
所以[4+」產]展開式一共有9個項,有3個有理式,
6個無理式,
先對6個無理式進行排列,共有A:種方法;
再將3個有理式利用“插空法”插入這6個無理式中,共有A;種方法;
利用分步乘法計數原理可得,一共有A:A;種方法.
故選:C.
【提分秘籍】
基本規律
二項展開式的通項公式4+1=。,"一'少.可以求解某一項,也可求解某一項的系數)
【變式演練】
l.(x-2)"的展開式中,的系數為()
A.-128C;。B.128c1C.-8/D.8CZ
【答案】C
【分析】利用二項式定理的通項公式即可得出.
【詳解】(x-2廠的展開式中,通項公式:&]=4儲。1—2丫,
令10-尸7,解得r=3.
.,.X7的系數為C;o(―2)3=—8cl,
故選:C
2..的展開式中的系數為.
【答案】-20
分析:首先利用二項展開式的通項公式寫出該二項展開式的通項,之后令相應的幕指數與題中所給的項的
基指數相等,從而求得廠的值,再代入通項公式,求得對應的項的系數,得出結果.
詳解:由二項式定理可知,展開式的通項為
要求解—2了1的展開式中含必;/的項,則廠=3,
所求系數為(—2)3=—20.
3.二項式的展開式的常數項為第()項
I
A.17B.18C.19D.20
【答案】C
試題分析:由二項式定理可知丁_」而二c氯-3)'。一廠,展開式的常數項是使
Ifo
竺二生=電:的項,解得T=18為第19項,答案選C.
金
【題型二】通項公式2:因式相乘型求某項
【典例分析】
11-的展開式中的系數為()
A.6B.-9C.-6D.9
【答案】D
【分析】根據二項式定理可分別求得+和?(x+y)6展開式中//的系數,由此可得結果.
【詳解】[1-J(x+y)6=(x+y)6-1~(x+yJ;
:+展開式中xV的系數為=15;*(x+j)6展開式中//的系數為爆=6;
RE(x+城展開式中xV的系數為15-6=9.
故選:D.
【提分秘籍】
基本規律
因式相乘型,可以采取乘法分配律,變為兩式相加型再轉而求對應通項系數
【變式演練】
L1-;|(x+y)8的展開式中的系數為()
A.-56B.-28C.28D.56
【答案】B
【分析】將多項式按第一項展開,再將各項通過二項式定理拼成一了6的形式,計算出結果
【詳解】由題知=(x+4」。+以
(x+?展開式的通項公式為,
將含fj/項記為〃,則M=Clx2y6--Clx3y5=28x2/-56x2/=-28x2/,
X
故含項的系數為—28,
故選:B
2.在(Y+x+l)[:-1)的展開式中常數項為()
A.14B.-14C.6D.-6
【答案】D
【分析】根據二項式定理及多項式乘法法則求解.
1
【詳解】由二項式定理得C■一I)5=(-I+L)5=-I+C!LC;4C]=C;*),
XXXXXXX
所以所求常數項為-1+C-C;=T+5TO=-6.
故選:D.
3.(x-2y)(2x-y)5的展開式中的系數為()
A.-200B.-120C.120D.200
【答案】A
【分析】由題意首先確定(2x-y)5展開式的通項公式,再采用分類討論法即可確定/貫的系數.
【詳解】(2x-y)5展開式的通項公式為=仁(2》產(-q=25一仁產,.(_4,
當廠=3時,7;=25-3Cy-3(-j;)3=-40xy,此時只需乘以第一個因式(x-2y)中的x即可,得到-40//;
當廠=2時,7;=25-2C^5-2(-j)2=80xy,此時只需乘以第一個因式(x-2y)中的-2y即可,得到-160//;
據此可得://的系數為_4()_160=-200.故選:A.
【題型三】二項式給通項求n值
【典例分析】
若展開式中含1項的系數與含!項的系數之比為-5,貝等于()
IX)XX
A.4B.6C.8D.10
【答案】C
【分析】利用二項展開式的通項公式求出第『+1項,令X的指數分別為-2,-4求出展開式含4項的系數和
X
含4項的系數,列出方程求出〃.
【詳解】解:(2'-3"展開式的通項為=C:(2x)…=(-1)'2…C:x"2,令2r=—2得r=與
xx2
1n+2n-2n+2〃+41n+4n-4n+4
故含薪的系數為(_i)〒2丁C7令〃-2r=-4得r=故含,項的系數為㈠)亍fTQT
n+2n-2n+2
-----?+4?_4—%=-5將〃=4,6,8,10代入檢驗得〃=6故選:C.
(-1)-
【提分秘籍】
基本規律
利用二項展開式通信公式,待定系數法可求得。注意n值為正整數,可能存在分類討論的情況。
【變式演練】
1.若py-x的展開式中第r+1項為常數項,則二=
n
2
【答案】-
3
【分析】由題意利用二項展開式的通項公式,求得力-2〃=0,從而得到二的值.
n
【詳解】解:(上-x]的展開式中第r+1項為
(-ly/T”,再根據它為常數項,
r22
可得3r—2〃=0,求得一=—,故答案為:一.
n33
2.若(l+2x)”展開式中含/項的系數等于含x項的系數的8倍,貝卜7等于()
A.5B.7C.9D.11
[答案]A
【彳析】由二項展開式通項公式得丁和x的系數,由其比值為8求得"值.
【詳解】卻尸C:(2xY=CCK,
23c3
所以寶=8,解得"=5(負值舍去).故選:A.
3.若,3+5]的展開式中存在常數項,則〃可能的取值為()
A.2B.3C.5D.7
【答案】A
【分析】利用通項公式,令x的指數為0,可得〃與左的關系,即可求解
【詳解】卜+《J”展開式的第k+1項加=C:『『=Ch”"
令3〃-6左=0貝!j〃=2左(左£Z)
所以〃為偶數。故選:A
【題型四】給通項求參數
【典例分析】
已知(公+/]的展開式中/項的系數為160,則當。>0,6>0時,a+6的最小值為()
A.4B.20C.2D.V2
【答案】B
【分析】利用二項式定理的展開式的通項公式,通過/塞指數為160,求出而關系式,然后利用基本不等
式求解表達式的最小值.
【詳解】+的展開式中1項的系數為160,
所以=&(辦廠]子]=/0C"6年,
33
令6—-廠=—,解得廠=3
22
所以a363c=160,所以ab=2,
-a>0,b>0,a+6W2而=2收,當且僅當°=b=正時等號成立,
a+b的最小值為20,
故選:B.
【變式演練】
1.若(x--)9的展開式中x3的系數是-84,則a=.
x
【答案】1
【分析】
a
先求出二項式(x—-)9的展開式的通項公式,令龍的指數等于4,求出廠的值,即可求得展開式中V的項的
x
系數,再根據V的系數是-84列方程求解即可.
【詳解】
(X-/展開式的的通項為乙=&9一(一力
令9-2r=3nr=3,
(X--)9的展開式中X3的系數為C;(—a)3=—84na=1,
X
故答案為1.
2.設常數a>0,若[x+巴]的二項展開式中犬的系數為144,則a=_.
【答案】2
【分析】
利用公式&i=C;產[qj=。卬/2,&=0,],2,…,9),令9—2尸=5即可求值.
【詳解】
令9—2r=5,解得r=2,
則C;/=i44,。>0,解得a=2.故答案為:2.
3.若關于x的二項式]2x+qJ的展開式中一次項的系數是-70,貝!|。=
【答案】二
2
【分析】
利用二項式定理的展開式的通項公式,通過幕指數為1,即可得到實數。的值。
【詳解】
展開式的通項公式為1用=C;?優?27一?1口,由7—2r=l,得r=3,
所以一次項的系數為。;"./=一70,得。=-
故答案為:—.
2
【題型五】因式相乘型給通項求參數
【典例分析】
已知a>0,二項式展開式中常數項為,且3+£|卜+£|的展開式中所有項系數和為192,
貝”口3+£)(—+£|6的展開式中常數項為()
A.66B.36C.30D.6
【答案】B
每析】利用二項式的通項公式求某一項.
【詳解】設二項式卜2-£|展開式中的第左+1項為常數項,貝1]幾1=以[2廣]_£|’,
<716,所以%=4,b=±-
2(6-k)-k=02
令x=l,則(l±2)(l+a)6=192,所以3(1+4)6=192或一(1+4)6=192舍去,
所以l+a=±2,b=-,又因為a>0,所以a=l,
2
所以dr)=(/+2)kT的展開式中的常數項,由1x2+jj展開式中的常數項和g的項
構亦則&]=瑪(巧6-[工)=晨鐘-,)-,,
當空討為常數項時,〃=4,T4+l=C^=^=15;
2x1
33
當為含二的項時,2(6-r)-r=-3,r=5,T5+i=C1x~=6x~;
x
所以(丁+2)62+的展開式中的常數項為2x15+6=36.
故選:B
【變式演練】
1.若(1-?+力的展開式中一的系數為75,貝小=()
A.-3B.-2C.2D.3
【答案】A
【分析】結合二項式的展開式的通項公式以及多項式的乘法運算可得C:+(-a)C:=15-20。,進而可求出結
果.
【詳解】卜+口的展開式的通項公式為M=C產"所以1-/卜+的展開式中1的系數為
C:+(—Q)C:=15—20〃,由題知,15—20a=75,解得a=—3.
故選:A.
2.關于二項式(1+辦+/)(1一x)8,若展開式中含/的項的系數為21,則。=()
A.3B.2C.ID.-1
【答案】C
【分析】根據二項式展開式可求得含尤2的項的系數,即得方程,求得答案.
【詳解】由題意得尤2的系數為lx系x(-1)2+axC;x(_l)+lxC;=21,解得。=1,
故選:C.
3.已知[1+%jJ(2x-y)的展開式中Yj/的系數為40,則m的值為()
A.-2B.-1C.1D.2
【答案】B
【分析】首先變形得(J+叼)(2x-y)5=:(2x-y)5+.my(2x-y)5,然后利用二項式展開式的通項公式
求出的系數即可.
【詳解】由題意可得(J+叼12x-y)5=B(2x-y)5+.my[2x-y)5,
55rr
在:(2x-y)的展開式中,由—C;(2x)-(-y)=(-1)r54rr
-2-C'5x-y,
[4—r=21,.--
令,=4無解,即1(2x-A5的展開式沒有x2/項;
在叼(2x—y)5的展開式中,由沖q(2x)5”(-y)r=(一1.廣25一,仁產,尸,
令1+1_4解得〃=3,my(2x-y)5的展開式中x2y1的項的系數為(-1)3?25-3_40m,又f/的系數
為40,所以-40冽=40,解得旭=-1.
故選:B
【題型六】賦值法
【典例分析】
.已知(x+2)(2x-l)5=%+%x++…+。6]6.則。0+%+。4=()
A.123B.91C.-152D.-120
【答案】c
【分析】
由二項式定理及利用賦值法即令X=1和=-1,兩式相加可得為+%+。4+。6,結合最高次系數%,的值即
可得結果.
【詳解】
523456
(x+2)(2x-l)=a0+aAx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x中,
取X=1,得%+Q]+&+。3+%+。5+。6=3,
取X=—1,得/%%%+。4—%+。6=—243,
所以2(4+g+。4+&)=—240,即4+生+%+“6=—120,又6二32,
貝1」。0+。2+。4=-152,故選C.
【提分秘籍】
基本規律
常見的通法是通過賦值使得多項式中的1「變為)和1,在本題中要使了:-!=0即給等式中的.、:賦
值1,求出展開式的常數項①;
【變式演練】
l.^(x-2)5=a5X5+a4X4+?3X3+a2X2+?ix+ao,貝!Iai+as+as—().
A.1B.-1
C.121D.106
【答案】C
【分析】
利用特殊值法構造方程組求解.
【詳解】
55432
解:,/(x-2)=a5x+tz4x+a3x+a2x++%
令X=1得%+&+/+%+。]+/=—1①
令X=—1得+%—〃3+。2——35②
①減②得2(%+%+%)=—1+3,
/.%+。3+。1=121
故選:C
2.若(-l+2x)〃(〃£N*)的展開式中,奇數項的系數之和為-121,則“.
【答案】5
【分析】
令X=1和X=-1,作和即可得到奇數項的系數和,從而構造出方程解得結果.
【詳解】
2
(-1+2以=(—1)"(2x)°+"1)1(24+C:(-If(2x)2+…+C;(-1)。(2x)”
令x=1得:C°(-1)"+C:(-1)""2、C:(-廣22+…+C;(-1)°2"=1
令x=-1得:C;㈠)"+C:(-1)-1(-2)+C;(-1廣2(_2『+…+C;(-2)"=(-3)"
二奇數項的系數和為:1+(-3)=_121,解得:"=5
2
本題正確結果:5
201822018
3.-^(1-ax)=o0+aAx+a2x+?■?+tz^^x,若%+2a2+3%+…+2018。2()18=2018a(awO),則
實數.
【答案】2
【分析】
將左右兩邊的函數分別求導,取x=l代入導函數得到答案.
【詳解】
(1—ax)-”'=tzo+ciyx+u^x~+—F/018丁°18
兩邊分別求導:
2017
—2018(7(1—=。]+2。2》+—F2O18tz9O1gX
取x=l
—2018a(l—=%+2%+,?,+2018tz2oi8=2018a
a=2
故答案為2
【題型七】換元型
【典例分析】
,已知X(X—2)7=%+%(X—1)+出(%—+...+。8a_1)8,則。5+“6=
A.-14B.0C.14D.-28
【答案】B
【解析】由題可知,將x(x-2)7轉化為+再根據二項式展開式的性質,即可求出出和
。6,便可得出氏+&.
728
【詳解】解:由題知,x(x—2)=a0+(x—1)+a2(x—I)+...+a8(x—I),
且X(X_2)7=[(X_1)+1][(X_1)_1T,則%=T4,
2
a6=Cf-(-iy+l-Cf-(-l)=14,所以。5+&=T4+14=0.故選:B.
【變式演練】
1.若J=a。+Q](x_1)+%(X—1)+,—Fa6(X—1),則知二()
A.1B.6C.15D.20
【答案】C
【分析】令x-1=心利用二項式展開式通項可確定為.
【詳解】令X—1=方,則(£+1)=/+%£+出/+…+。6”6,
又("if展開式通項為:;.%=仁=15.
故選:C.
2.對任意實數X,有(2x-3)9=%+〃](x—1)+出(工-1)2+%(XT)3+…+”9(xT)9?則下列結論成立的是()
A.旬=1B.。2=-144
C.%+%+出+…+=1D.%—%+出—。3+?,?一〃9=-3。
【答案】BCD
【分析】由二項式定理,采用賦值法判斷選項ACD,轉化法求指定項的系數判斷選項B.
[解】由(2x—3)9—UQ+/(X—1)+〃2(%—1)2+。3(、—1)^+??,+Cig(X—1)"
9
當x=l時,(2-3)=aQ,旬=-1,A選項錯誤;
當%=2時,(4—3)9="0+%+出---F“9,即。0+%+。2-----F〃9=1,C選項正確;
當%=0時,(—3)9=。0—%+。2—。3------“9,即4—〃[+。2—。3-------“9=,D選項正確;
(2X-3)9=[-1+2(X-1)]9,由二項式定理,出=《(-1產2?=—144,B選項正確.
故選:BCD
3.若多項式x+x=Qo+Q](x+l)+,?,+a9(x+l)+a[。(X+1),則為=()
A.9B.10C.-9D.-10
【答案】D
10
(X+1)"=c:+c\x+...C^xn49(x+球=。9?+C;x+..G],al0(x+=
910
+C'x+...+C>+O)-oin
10101010,根據已知條件得/的系數為0,儲。的系數為
%,+40,Go—0eta=—10
?故選D.
=1。10=1
【題型八】三項展開式
【典例分析】
在(l+x+強嚴的展開式中,/項的系數為()
A.30B.45C.60D.90
【答案】B
【解析】把X+$看做一個整體,即可得到(i+x+&y。的通項公式為:0+/=c"(x+/r]',再求出
XxIX)
[+擊)的通項公式7上/=C?X〃02%,再結合條件列式即可得解.
【詳解】在(l+X+,y°的展開式中,通項公式為"+/=『.Q+*J.
對于(x+z'o],通項公式為7左+/=叫:,任廠,八kGN,心10.
令”20214=2,可得,=2+2021%,故左=0,廠=2,
故N項的系數為CQC;=45,故選:B.
【提分秘籍】
基本規律
三項展開式的通項公式:
n!
、%+%+,.?+《”r的通項4;球a;..。/
X]!!…%
【變式演練】
1.下列各式中,不是(。2+20-6)的展開式中的項是()
A.8/B.6a4£>2C.-32a%D.—24a3b2
【答案】D
【分析】根據題意多項式展開式中,有一個因式選2a,有2個因式選-6,其余的2個因式選片,有I個因
式選-6,剩下的3個因式選2a,分別計算所得項,即可得到結果.
【詳解】(/+2°-6)4表示4個因式的乘積,在這4個因式中,有一個因式選2a,其余的3個因
式選所得的項為?;*2次:卜(/)3=8〃7,所以8/是(/+2。一方『的展開式中的項,在這4個因式中,
22
有2個因式選-6,其余的2個因式選/,所得的項為C;x(-Z))xC;x(a丫=6aV,所以6a芍是(/+2a-b^
的展開式中的項,在這4個因式中,有1個因式選-6,剩下的3個因式選2a,所得的項為
C;x(_6)xC;(2a)3=_32/6,所以一32/6是(/+2”6丫的展開式中的項,在這4個因式中,有2個因式
選-從其余的2個因式中有一個選力,剩下的一個因式選2°,所得的項為
C;xxC;x/xC:x(2a)=24a3Z>2,所以一24a%2不是+2。一方了的展開式中的項.
故選:D.
2..^+1-^的展開式中,5的系數為()
A.60B.-60C.120D.-120
【答案】A
【分析】設G+1-2]的通項為*=c'6(x-2尸,設(無二廠的通項為如=(_2y%尸-5-*,即得解.
Iy)yy
【詳解】解:設,+1-,的通項為&I=尸,
設(、—-嚴的通項為%=C_/6i(—y=(-2)y3―勺k,
yy
令左=2,6—r—左=4,.,.左=2/=0.
所以《的系數為C:(-2)2或=60.
y
故選:A
3.(2。-36+cP展開式中026c$的系數是.
【答案】-2016
【分析】結合乘法運算以及組合數的計算求得正確答案.
【詳解】(2a-3b+c)8的展開式中,含有"慶5的項為:
C;(2a)2?(-3b)i?*=-2016a2bc5,
所以(2。-36+c)8展開式中/兒5的系數是-2016.
故答案為:-2016
真題再現
1.(江蘇?高考真題)設左=1,2,3,4,5,則(x+2)5的展開式中/的系數不可能是()
A.10B.40C.50D.80
【答案】C
【分析】得到展開式的通項公式,求出左=1,2,3,4,5時的系數,選出答案.
5
【詳解】(x+2)展開式的通項公式為Tr+l=C"5T,才,
5
當r=0時,Tx=C°X-2°=X\系數為1,
當廠=1時,7;=C;X4-2=10X4,系數為10,
當r=2時,7;=C*3.4=40X3,系數為40,
當廠=3時,7;=C^2-8=80X2,系數為80,
當廠=4時,q=C;x-16=80x,系數為80,
故系數不可能是50.
故選:C
32322
2.(全國,高考真題)(2x+V3)=aQ+a1x+a2x+a3x,貝!](4+g)-(%+%)的值為()
A.-1B.1C.0D.2
【答案】A
【分析】分別令x=l和x=-l,然后所得兩式相乘可得.
【詳解】令x=1得4+%+電+%=(2+仆丫,
令x=-1彳導%-%+a,-%=(-2+>J-3了,
-
以(。0+。2)”一(%+。3)~=(。0+%+。2+4)(。。—%+。2—。3)=(2~^/―3)3(—2-h/3)3=(3—4)、=—,
故選:A.
3.(2022?北京?統考高考真題)若(2x-l)4=4/+//+出/+。逮+旬,貝!]%+/+%=()
A.40B.41C.-40D.-41
【答案】B
【分析】利用賦值法可求/+%+。4的值.
【詳解】令x=l,則。4+。3+。2+%+。0=1,
令"x=一],貝!J%一2+%-%+4=(—3)—81?
山1+81”,
RX%+。2+。0=~=41,
故選:B.
4.(2020?全國?統考高考真題)3+:0+城的展開式中/好的系數為()
X
A.5B.10
C.15D.20
【答案】C
【分析】求得(x+y)5展開式的通項公式為(reN且rW5),即可求得,+戶]與(x+yp展開
式的乘積為Gfry或形式,對「分別賦值為3,1即可求得//的系數,問題得解.
【詳解】(X+4展開式的通項公式為(「?雙且『45)
所以“+的各項與(x+爐展開式的通項的乘積可表示為:
22
5rr+2
xTr+l=xc5x-y=Gfry和匕j=匕=q^-y
XX
*3*3
在x&j=C"6-,y中,令廠=3,可得:xT4=Clxy,該項中丁;?的系數為10,
22
在二(+l=Gx4ry+2中,令r=1,可得:乙乙二。%3y3,該項中//的系數為5
XX
所以尤3y3的系數為10+5=15
故選:C
【點睛】本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式,還考查了賦值法、轉化能力及分析能力,屬
于中檔題.
5.(浙江,高考真題)若多項式X?+/=/+%(芯+1)+...+°9(x+l)9+%0(x+l);則%=()
A.9B.10C.-9D.-10
【答案】D
【解析】利用二項式定理的系數,先求”的系數,再由。g?2+%(,C=可求/的系數,即可得答案.
【詳解】多項式X?+*1°=00+0](X+1)+...+09(x+1)9+°10(x+l)'°>
等號右側只有最后一項陽(X+1)10的展開式中含有”,并且一的系數為可。,等號左側小。的系數是1,
1
?10=;
又x9的系數在右側后兩項中,x9的系數為%?C;+%廣C>左側一的系數是0,
tz9+10=0,a9=—10.
故選:D.
【點睛】本題主要考查二項式定理的運用,搞清各項系數是解決本題關鍵,屬于中檔題.
Cx,丫
6.(?遼寧?高考真題)依-2x”的展開式中常數項是.
\7
【答案】-160
【分析】根據二項式展開式的通項特征即可求解.
/1_1>6*8(di_y
【詳解】Ix2-2x^I的展開式通項為L=C;卜2)&",其中reN,V6,
令3f=0=>3=廠,故常數項為C;(-2)'=C:(-2)3=-160,
故答案為:-160
7.(湖北?高考真題)已知Q+X。的展開式中各項系數的和是128,則展開式中十的系數是
\7
.(以數字作答)
【答案】35
63-1U人63—11人「
【分析】令X=1得展開式中各項系數的和2",求得〃=7,整理展開式中的通項為c.xk,令6=5
得太=3,從而求得/的系數C]
(3XV
【詳解】令X=1得q+xF的展開式中各項系數的和2"=128,所以〃=7;
Jk
(l\~(_1V63—11左人63—11左一/口,-?…口什…,〈入/叱口17x6x5_
由%=C;/:X3=廠令""=5得左=3,所以展開式中/的系數是C;=H^=35
故答案為:35
8.(2022?全國?統考高考真題)的展開式中V/的系數為(用數字作答).
【答案】-28
【分析】11-口(》+田8可化為仁+了丫心門+姆,結合二項式展開式的通項公式求解.
【詳解】因為1爐=(x+姆一2(x+y;,
2
所以1l-£|(x+y)8的展開式中含一y6的項為cW-/c;xV=_28x/,
(l-?](x+y)8的展開式中/「的系數為一28
故答案為:-28
4234
1.(1+x)=a0+QjX+a2x+a3x+a4x,貝Ija。-q+&-%+%=()
A.1B.3C.0D.-3
【答案】C
【分析】根據展開式,利用賦值法取x=-l即得.
4234
【詳解】因為(1+x)=a0+axx+a2x+a3x+a4x,
令X=—],可得,—Q]+&—/+。4=(1—1)=0.
故選:C.
2.設。為實數,甲:“=1;乙:(X+〃)4二項展開式常數項為1.則甲是乙成立的()條件
A.充分但不必要B.充要
C.必要但不充分D.既不充分也不必要
【答案】A
【分析】求出(尤+。)4展開式的常數項,即可得出結論.
【詳解】(X+4展開式中的第%+1項為C/x"*左=0,1,2,3,4.
當左=4時,該項為常數項,常數項為C:?/=/.
顯然,當a=l時,(z4=1;當/=i時,a=±l.
所以,甲是乙成立的充分但不必要條件.
故選:A.
3.已知的展開式中二項式系數的和是1024,則它的展開式中的常數項是(
A.252B.-252C.210D.-210
【答案】B
【分析】求解先求出n,在利用通項公式求解
【詳解】由的展開式中二項式系數的和是1024,故2"=1024,所以”=10.
由二項式定理得展開通項為=C;(-)I0-r(-x)r,
0X
當r=5時為常數項,76=-。=-252
故選:B
4.1l+£|(l+x)4的展開式中含Y項的系數為()
A.10B.12C.4D.5
【答案】A
【分析】利用二項式定理的通項公式進行分類討論即可求解.
【詳解】(1+娉的二項展開式的通項為C;,,
當廠=2時,(1+-)(1+x)4的展開式中含/項為1.C;/;
當;?=3時,(1+-)(1+x)4的展開式中含/項為d).c>3.
XX
所以(l+3(l+x)4的展開式中含V項的系數為C;+C:=1O.
X
故選:A.
5.(2/+了+1丫的展開式中項的系數為()
A.120B.160C.180D.210
【答案】A
42
【分析】將(2/+y+1看作5個因式2/+/+1相乘,根據xy的指數可認為5個因式中有兩個選2/項,
其余兩個選外最后一個因式選1,進行相乘,可得答案.
【詳解】由題意(2/+y+l7的展開式中尤V項的系數為C;X22XC;=120,
故選:A
6.若二項式+(a>0)的展開式中所有項的系數和為64,則展開式中的常數項為()
A.10B.15C.25D.30
【答案】B
【分析】根據賦值法可得系數和,進而求解。=1,由二項式展開式的通項公式即可求解常數項.
【詳解】令x=l,則所有的項的系數和為(。+1)6=64,由于。>0,所以。=1,
口+5)展開式的通項為卻=C"ix."=C"6f,故當6-3廠=0時,即廠=2,此時展開式中的常數項為
晨=15,
故選:B
7.(1+2X-Y)"展開式中各項系數的和為64,則該展開式中的尤3項的系數為()
A.-60B.-30C.100D.160
【答案】C
【分析】先用賦值法求得項數小由于原式為三項式,需將l+2x作為整體進行二項式展開,從原式展開式
中取出前兩項再進行展開,分別求出包含V項和x項的系數,最后代回原式求和即可.
【詳解】取x=l代入,得(1+2-1)"=64,解得〃=6
則原式=(1+2X-x2)6=C;(1+2以+c
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