二項(xiàng)式定理歸類

目錄

【題型一】通項(xiàng)公式1：基礎(chǔ)......................................................................1

【題型二】通項(xiàng)公式2：因式相乘型求某項(xiàng)..........................................................2

【題型三】二項(xiàng)式給通項(xiàng)求n值....................................................................3

【題型四】給通項(xiàng)求參數(shù)..........................................................................5

【題型五】因式相乘型給通項(xiàng)求參數(shù)................................................................6

【題型六】賦值法................................................................................8

【題型七】換元型................................................................................9

【題型八】三項(xiàng)展開式...........................................................................10

真題再現(xiàn).......................................................................................12

模擬檢測.......................................................................................14

【題型一】通項(xiàng)公式1：基礎(chǔ)

【典例分析】

將二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)重新排成一列，有理式不相鄰的排法種數(shù)為（)

A.A；B.A武C.A㈤D.A；A；

【答案】c

【分析】先利用二項(xiàng)式定理判斷其展開式中有理式的項(xiàng)數(shù)，再利用插空法進(jìn)行排列即可.

【詳解】根據(jù)題意，得4M=C：6”［擊］=晨拆消=］［《爐，

因?yàn)?V左W8且左eN*,

3產(chǎn)=4,即工為有理式;

當(dāng)左=0時(shí),

當(dāng)左=4時(shí)，=1,即n為有理式；

4

當(dāng)左=8時(shí)，吐生=-2,即7；為有理式；

4

當(dāng)無?{1,2,3,5,6,7}時(shí)，笥迎EZ,即《為無理式；

所以［4+」產(chǎn)］展開式一共有9個(gè)項(xiàng)，有3個(gè)有理式,

6個(gè)無理式,

先對(duì)6個(gè)無理式進(jìn)行排列，共有A：種方法；

再將3個(gè)有理式利用“插空法”插入這6個(gè)無理式中，共有A；種方法;

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，一共有A：A；種方法.

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式4+1=。，"一'少.可以求解某一項(xiàng)，也可求解某一項(xiàng)的系數(shù)）

【變式演練】

l.(x-2)"的展開式中，的系數(shù)為()

A.-128C；。B.128c1C.-8/D.8CZ

【答案】C

【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出.

【詳解】(x-2廠的展開式中，通項(xiàng)公式:&]=4儲(chǔ)。1—2丫,

令10-尸7,解得r=3.

.,.X7的系數(shù)為C；o(―2)3=—8cl,

故選：C

2..的展開式中的系數(shù)為.

【答案】-20

分析：首先利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式寫出該二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，之后令相應(yīng)的幕指數(shù)與題中所給的項(xiàng)的

基指數(shù)相等，從而求得廠的值，再代入通項(xiàng)公式，求得對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的系數(shù)，得出結(jié)果.

詳解：由二項(xiàng)式定理可知，展開式的通項(xiàng)為

要求解—2了1的展開式中含必；/的項(xiàng)，則廠=3,

所求系數(shù)為(—2)3=—20.

3.二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為第()項(xiàng)

I

A.17B.18C.19D.20

【答案】C

試題分析：由二項(xiàng)式定理可知丁_」而二c氯-3)'。一廠,展開式的常數(shù)項(xiàng)是使

Ifo

竺二生=電：的項(xiàng)，解得T=18為第19項(xiàng),答案選C.

金

【題型二】通項(xiàng)公式2：因式相乘型求某項(xiàng)

【典例分析】

11-的展開式中的系數(shù)為()

A.6B.-9C.-6D.9

【答案】D

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可分別求得+和?(x+y)6展開式中//的系數(shù)，由此可得結(jié)果.

【詳解】[1-J(x+y)6=(x+y)6-1~(x+yJ；

：+展開式中xV的系數(shù)為=15；*(x+j)6展開式中//的系數(shù)為爆=6；

RE（x+城展開式中xV的系數(shù)為15-6=9.

故選：D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

因式相乘型，可以采取乘法分配律，變?yōu)閮墒较嗉有驮俎D(zhuǎn)而求對(duì)應(yīng)通項(xiàng)系數(shù)

【變式演練】

L1-；|（x+y）8的展開式中的系數(shù)為（）

A.-56B.-28C.28D.56

【答案】B

【分析】將多項(xiàng)式按第一項(xiàng)展開，再將各項(xiàng)通過二項(xiàng)式定理拼成一了6的形式，計(jì)算出結(jié)果

【詳解】由題知=（x+4」。+以

（x+?展開式的通項(xiàng)公式為,

將含fj/項(xiàng)記為〃,則M=Clx2y6--Clx3y5=28x2/-56x2/=-28x2/,

X

故含項(xiàng)的系數(shù)為—28,

故選：B

2.在（Y+x+l）[：-1）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

A.14B.-14C.6D.-6

【答案】D

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理及多項(xiàng)式乘法法則求解.

1

【詳解】由二項(xiàng)式定理得C■一I）5=（-I+L）5=-I+C!LC；4C]=C；*），

XXXXXXX

所以所求常數(shù)項(xiàng)為-1+C-C；=T+5TO=-6.

故選：D.

3.（x-2y）（2x-y）5的展開式中的系數(shù)為（）

A.-200B.-120C.120D.200

【答案】A

【分析】由題意首先確定（2x-y）5展開式的通項(xiàng)公式，再采用分類討論法即可確定/貫的系數(shù).

【詳解】（2x-y）5展開式的通項(xiàng)公式為=仁（2》產(chǎn)（-q=25一仁產(chǎn),.（_4，

當(dāng)廠=3時(shí)，7；=25-3Cy-3（-j；）3=-40xy,此時(shí)只需乘以第一個(gè)因式（x-2y）中的x即可，得到-40//；

當(dāng)廠=2時(shí)，7；=25-2C^5-2（-j）2=80xy,此時(shí)只需乘以第一個(gè)因式（x-2y）中的-2y即可，得到-160//；

據(jù)此可得：//的系數(shù)為_4（）_160=-200.故選：A.

【題型三】二項(xiàng)式給通項(xiàng)求n值

【典例分析】

若展開式中含1項(xiàng)的系數(shù)與含!項(xiàng)的系數(shù)之比為-5,貝等于（）

IX）XX

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第『+1項(xiàng)，令X的指數(shù)分別為-2,-4求出展開式含4項(xiàng)的系數(shù)和

X

含4項(xiàng)的系數(shù)，列出方程求出〃.

【詳解】解：（2'-3"展開式的通項(xiàng)為=C：（2x）…=（-1）'2…C：x"2,令2r=—2得r=與

xx2

1n+2n-2n+2〃+41n+4n-4n+4

故含薪的系數(shù)為（_i）〒2丁C7令〃-2r=-4得r=故含,項(xiàng)的系數(shù)為㈠）亍fTQT

n+2n-2n+2

-----?+4?_4—%=-5將〃=4,6,8,10代入檢驗(yàn)得〃=6故選：C.

（-1）-

【提分秘籍】

基本規(guī)律

利用二項(xiàng)展開式通信公式，待定系數(shù)法可求得。注意n值為正整數(shù)，可能存在分類討論的情況。

【變式演練】

1.若py-x的展開式中第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則二=

n

2

【答案】-

3

【分析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得力-2〃=0,從而得到二的值.

n

【詳解】解：（上-x］的展開式中第r+1項(xiàng)為

（-ly/T”，再根據(jù)它為常數(shù)項(xiàng)，

r22

可得3r—2〃=0,求得一=—,故答案為：一.

n33

2.若（l+2x）”展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)等于含x項(xiàng)的系數(shù)的8倍，貝卜7等于（）

A.5B.7C.9D.11

［答案］A

【彳析】由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式得丁和x的系數(shù)，由其比值為8求得"值.

【詳解】卻尸C：（2xY=CCK，

23c3

所以寶=8,解得"=5（負(fù)值舍去）.故選：A.

3.若，3+5］的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則〃可能的取值為（）

A.2B.3C.5D.7

【答案】A

【分析】利用通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為0,可得〃與左的關(guān)系，即可求解

【詳解】卜+《J”展開式的第k+1項(xiàng)加=C：『『=Ch”"

令3〃-6左=0貝!j〃=2左（左￡Z）

所以〃為偶數(shù)。故選：A

【題型四】給通項(xiàng)求參數(shù)

【典例分析】

已知（公+/］的展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為160,則當(dāng)。>0,6>0時(shí)，a+6的最小值為（）

A.4B.20C.2D.V2

【答案】B

【分析】利用二項(xiàng)式定理的展開式的通項(xiàng)公式，通過/塞指數(shù)為160,求出而關(guān)系式，然后利用基本不等

式求解表達(dá)式的最小值.

【詳解】+的展開式中1項(xiàng)的系數(shù)為160,

所以=&（辦廠］子］=/0C"6年，

33

令6—-廠=—,解得廠=3

22

所以a363c=160,所以ab=2,

-a>0,b>0,a+6W2而=2收，當(dāng)且僅當(dāng)°=b=正時(shí)等號(hào)成立，

a+b的最小值為20，

故選：B.

【變式演練】

1.若（x--）9的展開式中x3的系數(shù)是-84,則a=.

x

【答案】1

【分析】

a

先求出二項(xiàng)式（x—-）9的展開式的通項(xiàng)公式，令龍的指數(shù)等于4,求出廠的值，即可求得展開式中V的項(xiàng)的

x

系數(shù),再根據(jù)V的系數(shù)是-84列方程求解即可.

【詳解】

（X-/展開式的的通項(xiàng)為乙=&9一（一力

令9-2r=3nr=3,

（X--）9的展開式中X3的系數(shù)為C；（—a）3=—84na=1,

X

故答案為1.

2.設(shè)常數(shù)a>0,若［x+巴］的二項(xiàng)展開式中犬的系數(shù)為144,則a=_.

【答案】2

【分析】

利用公式&i=C；產(chǎn)［qj=。卬/2，&=0,］,2,…,9)，令9—2尸=5即可求值.

【詳解】

令9—2r=5,解得r=2,

則C；/=i44,。>0,解得a=2.故答案為：2.

3.若關(guān)于x的二項(xiàng)式］2x+qJ的展開式中一次項(xiàng)的系數(shù)是-70,貝!|。=

【答案】二

2

【分析】

利用二項(xiàng)式定理的展開式的通項(xiàng)公式，通過幕指數(shù)為1,即可得到實(shí)數(shù)。的值。

【詳解】

展開式的通項(xiàng)公式為1用=C；?優(yōu)?27一?1口，由7—2r=l,得r=3,

所以一次項(xiàng)的系數(shù)為。；"./=一70,得。=-

故答案為：—.

2

【題型五】因式相乘型給通項(xiàng)求參數(shù)

【典例分析】

已知a>0,二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)為,且3+￡|卜+￡|的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)和為192,

貝”口3+￡)(—+￡|6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為()

A.66B.36C.30D.6

【答案】B

每析】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式求某一項(xiàng).

【詳解】設(shè)二項(xiàng)式卜2-￡|展開式中的第左+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，貝1］幾1=以［2廣］_￡|’,

<716,所以％=4,b=±-

2(6-k)-k=02

令x=l,則(l±2)(l+a)6=192,所以3(1+4)6=192或一(1+4)6=192舍去，

所以l+a=±2,b=-,又因?yàn)閍>0,所以a=l,

2

所以dr)=(/+2)kT的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，由1x2+jj展開式中的常數(shù)項(xiàng)和g的項(xiàng)

構(gòu)亦則&］=瑪(巧6-［工)=晨鐘-，)-，，

當(dāng)空討為常數(shù)項(xiàng)時(shí)，〃=4,T4+l=C^=^=15；

2x1

33

當(dāng)為含二的項(xiàng)時(shí)，2（6-r）-r=-3,r=5,T5+i=C1x~=6x~；

x

所以（丁+2）62+的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為2x15+6=36.

故選：B

【變式演練】

1.若（1-?+力的展開式中一的系數(shù)為75,貝小=（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】A

【分析】結(jié)合二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式以及多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算可得C：+（-a）C：=15-20。，進(jìn)而可求出結(jié)

果.

【詳解】卜+口的展開式的通項(xiàng)公式為M=C產(chǎn)"所以1-/卜+的展開式中1的系數(shù)為

C：+（—Q）C：=15—20〃，由題知，15—20a=75,解得a=—3.

故選：A.

2.關(guān)于二項(xiàng)式（1+辦+/）（1一x）8,若展開式中含/的項(xiàng)的系數(shù)為21,則。=（）

A.3B.2C.ID.-1

【答案】C

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式可求得含尤2的項(xiàng)的系數(shù)，即得方程，求得答案.

【詳解】由題意得尤2的系數(shù)為lx系x（-1）2+axC；x（_l）+lxC；=21,解得。=1,

故選：C.

3.已知[1+%jJ（2x-y）的展開式中Yj/的系數(shù)為40,則m的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】首先變形得（J+叼）（2x-y）5=：（2x-y）5+.my（2x-y）5,然后利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式

求出的系數(shù)即可.

【詳解】由題意可得（J+叼12x-y）5=B（2x-y）5+.my[2x-y）5,

55rr

在：（2x-y）的展開式中，由—C；（2x）-（-y）=（-1）r54rr

-2-C'5x-y,

[4—r=21,.--

令,=4無解，即1（2x-A5的展開式?jīng)]有x2/項(xiàng)；

在叼（2x—y）5的展開式中，由沖q（2x）5”（-y）r=（一1.廣25一，仁產(chǎn)，尸，

令1+1_4解得〃=3，my（2x-y）5的展開式中x2y1的項(xiàng)的系數(shù)為（-1）3?25-3_40m,又f/的系數(shù)

為40,所以-40冽=40,解得旭=-1.

故選：B

【題型六】賦值法

【典例分析】

.已知（x+2）（2x-l）5=%+%x++…+。6]6.則。0+%+。4=（）

A.123B.91C.-152D.-120

【答案】c

【分析】

由二項(xiàng)式定理及利用賦值法即令X=1和=-1,兩式相加可得為+%+。4+。6，結(jié)合最高次系數(shù)％,的值即

可得結(jié)果.

【詳解】

523456

（x+2）（2x-l）=a0+aAx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x中，

取X=1,得％+Q]+&+。3+%+。5+。6=3,

取X=—1,得/%%%+。4—%+。6=—243,

所以2（4+g+。4+&）=—240,即4+生+%+“6=—120,又6二32,

貝1」。0+。2+。4=-152,故選C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

常見的通法是通過賦值使得多項(xiàng)式中的1「變?yōu)椋┖?,在本題中要使了：-！=0即給等式中的.、：賦

值1,求出展開式的常數(shù)項(xiàng)①；

【變式演練】

l.^(x-2)5=a5X5+a4X4+?3X3+a2X2+?ix+ao,貝！Iai+as+as—().

A.1B.-1

C.121D.106

【答案】C

【分析】

利用特殊值法構(gòu)造方程組求解.

【詳解】

55432

解：,/(x-2)=a5x+tz4x+a3x+a2x++%

令X=1得％+&+/+%+。］+/=—1①

令X=—1得+%—〃3+。2——35②

①減②得2(%+%+%)=—1+3，

/.%+。3+。1=121

故選：C

2.若(-l+2x)〃(〃￡N*)的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為-121,則“.

【答案】5

【分析】

令X=1和X=-1,作和即可得到奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和，從而構(gòu)造出方程解得結(jié)果.

【詳解】

2

(-1+2以=(—1)"(2x)°+"1)1(24+C：(-If(2x)2+…+C；(-1)。(2x)”

令x=1得:C°(-1)"+C：(-1)""2、C：(-廣22+…+C；(-1)°2"=1

令x=-1得：C；㈠)"+C：(-1)-1(-2)+C；(-1廣2(_2『+…+C；(-2)"=(-3)"

二奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為：1+(-3)=_121，解得："=5

2

本題正確結(jié)果：5

201822018

3.-^(1-ax)=o0+aAx+a2x+?■?+tz^^x,若％+2a2+3%+…+2018。2()18=2018a(awO),則

實(shí)數(shù).

【答案】2

【分析】

將左右兩邊的函數(shù)分別求導(dǎo)，取x=l代入導(dǎo)函數(shù)得到答案.

【詳解】

(1—ax)-”'=tzo+ciyx+u^x~+—F/018丁°18

兩邊分別求導(dǎo)：

2017

—2018(7(1—=。]+2。2》+—F2O18tz9O1gX

取x=l

—2018a(l—=%+2%+,?,+2018tz2oi8=2018a

a=2

故答案為2

【題型七】換元型

【典例分析】

,已知X(X—2)7=%+%(X—1)+出(％—+...+。8a_1)8，則。5+“6=

A.-14B.0C.14D.-28

【答案】B

【解析】由題可知，將x(x-2)7轉(zhuǎn)化為+再根據(jù)二項(xiàng)式展開式的性質(zhì)，即可求出出和

。6，便可得出氏+&.

728

【詳解】解：由題知，x(x—2)=a0+(x—1)+a2(x—I)+...+a8(x—I),

且X(X_2)7=[(X_1)+1][(X_1)_1T，則％=T4,

2

a6=Cf-(-iy+l-Cf-(-l)=14,所以。5+&=T4+14=0.故選：B.

【變式演練】

1.若J=a。+Q](x_1)+%(X—1)+,—Fa6(X—1)，則知二()

A.1B.6C.15D.20

【答案】C

【分析】令x-1=心利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)可確定為.

【詳解】令X—1=方，則(￡+1)=/+%￡+出/+…+。6”6，

又("if展開式通項(xiàng)為：;.%=仁=15.

故選：C.

2.對(duì)任意實(shí)數(shù)X,有（2x-3）9=%+〃］（x—1）+出（工-1）2+%（XT）3+…+”9（xT）9?則下列結(jié)論成立的是（）

A.旬=1B.。2=-144

C.%+%+出+…+=1D.%—%+出—。3+?,?一〃9=-3。

【答案】BCD

【分析】由二項(xiàng)式定理，采用賦值法判斷選項(xiàng)ACD,轉(zhuǎn)化法求指定項(xiàng)的系數(shù)判斷選項(xiàng)B.

［解】由（2x—3）9—UQ+/（X—1）+〃2（%—1）2+。3（、—1）^+??,+Cig（X—1）"

9

當(dāng)x=l時(shí)，（2-3）=aQ,旬=-1，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)％=2時(shí)，（4—3）9="0+%+出---F“9，即。0+%+。2-----F〃9=1，C選項(xiàng)正確；

當(dāng)％=0時(shí)，（—3）9=。0—%+。2—。3------“9,即4—〃［+。2—。3-------“9=，D選項(xiàng)正確；

（2X-3）9=［-1+2（X-1）］9,由二項(xiàng)式定理，出=《（-1產(chǎn)2?=—144,B選項(xiàng)正確.

故選：BCD

3.若多項(xiàng)式x+x=Qo+Q］（x+l）+，?,+a9（x+l）+a［。（X+1），則為=（）

A.9B.10C.-9D.-10

【答案】D

10

（X+1）"=c：+c\x+...C^xn49（x+球=。9?+C；x+..G］，al0（x+=

910

+C'x+...+C>+O）-oin

10101010，根據(jù)已知條件得/的系數(shù)為0,儲(chǔ)。的系數(shù)為

%，+40,Go—0eta=—10

?故選D.

=1。10=1

【題型八】三項(xiàng)展開式

【典例分析】

在（l+x+強(qiáng)嚴(yán)的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】B

【解析】把X+$看做一個(gè)整體，即可得到（i+x+&y。的通項(xiàng)公式為：0+/=c"（x+/r］'，再求出

XxIX）

［+擊）的通項(xiàng)公式7上/=C?X〃02%,再結(jié)合條件列式即可得解.

【詳解】在（l+X+，y°的展開式中，通項(xiàng)公式為"+/=『.Q+*J.

對(duì)于（x+z'o］，通項(xiàng)公式為7左+/=叫:，任廠，八kGN,心10.

令”20214=2,可得，=2+2021%,故左=0,廠=2,

故N項(xiàng)的系數(shù)為CQC；=45,故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

三項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式:

n!

、%+%+,.?+《”r的通項(xiàng)4;球a；..。/

X]!!…%

【變式演練】

1.下列各式中，不是(。2+20-6)的展開式中的項(xiàng)是()

A.8/B.6a4￡>2C.-32a%D.—24a3b2

【答案】D

【分析】根據(jù)題意多項(xiàng)式展開式中，有一個(gè)因式選2a,有2個(gè)因式選-6,其余的2個(gè)因式選片,有I個(gè)因

式選-6,剩下的3個(gè)因式選2a,分別計(jì)算所得項(xiàng)，即可得到結(jié)果.

【詳解】(/+2°-6)4表示4個(gè)因式的乘積，在這4個(gè)因式中，有一個(gè)因式選2a,其余的3個(gè)因

式選所得的項(xiàng)為?；*2次：卜(/)3=8〃7,所以8/是(/+2。一方『的展開式中的項(xiàng)，在這4個(gè)因式中，

22

有2個(gè)因式選-6,其余的2個(gè)因式選/，所得的項(xiàng)為C；x(-Z))xC；x(a丫=6aV,所以6a芍是(/+2a-b^

的展開式中的項(xiàng)，在這4個(gè)因式中，有1個(gè)因式選-6,剩下的3個(gè)因式選2a,所得的項(xiàng)為

C；x(_6)xC；(2a)3=_32/6,所以一32/6是(/+2”6丫的展開式中的項(xiàng)，在這4個(gè)因式中，有2個(gè)因式

選-從其余的2個(gè)因式中有一個(gè)選力，剩下的一個(gè)因式選2°,所得的項(xiàng)為

C；xxC；x/xC：x(2a)=24a3Z>2,所以一24a%2不是+2。一方了的展開式中的項(xiàng).

故選:D.

2..^+1-^的展開式中，5的系數(shù)為()

A.60B.-60C.120D.-120

【答案】A

【分析】設(shè)G+1-2］的通項(xiàng)為*=c'6(x-2尸，設(shè)(無二廠的通項(xiàng)為如=(_2y％尸-5-*,即得解.

Iy)yy

【詳解】解：設(shè)，+1-，的通項(xiàng)為&I=尸，

設(shè)(、—-嚴(yán)的通項(xiàng)為%=C_/6i(—y=(-2)y3―勺k,

yy

令左=2,6—r—左=4,.,.左=2/=0.

所以《的系數(shù)為C：(-2)2或=60.

y

故選：A

3.(2。-36+cP展開式中026c$的系數(shù)是.

【答案】-2016

【分析】結(jié)合乘法運(yùn)算以及組合數(shù)的計(jì)算求得正確答案.

【詳解】(2a-3b+c)8的展開式中，含有"慶5的項(xiàng)為：

C；(2a)2?(-3b)i?*=-2016a2bc5,

所以(2。-36+c)8展開式中/兒5的系數(shù)是-2016.

故答案為：-2016

真題再現(xiàn)

1.（江蘇?高考真題）設(shè)左=1,2,3,4,5,則（x+2）5的展開式中/的系數(shù)不可能是（）

A.10B.40C.50D.80

【答案】C

【分析】得到展開式的通項(xiàng)公式，求出左=1,2,3,4,5時(shí)的系數(shù)，選出答案.

5

【詳解】（x+2）展開式的通項(xiàng)公式為Tr+l=C"5T,才，

5

當(dāng)r=0時(shí)，Tx=C°X-2°=X\系數(shù)為1,

當(dāng)廠=1時(shí)，7；=C；X4-2=10X4,系數(shù)為10,

當(dāng)r=2時(shí)，7；=C*3.4=40X3,系數(shù)為40,

當(dāng)廠=3時(shí)，7；=C^2-8=80X2,系數(shù)為80,

當(dāng)廠=4時(shí)，q=C；x-16=80x,系數(shù)為80,

故系數(shù)不可能是50.

故選：C

32322

2.（全國,高考真題）（2x+V3）=aQ+a1x+a2x+a3x,貝!］（4+g）-（%+%）的值為（）

A.-1B.1C.0D.2

【答案】A

【分析】分別令x=l和x=-l,然后所得兩式相乘可得.

【詳解】令x=1得4+%+電+%=（2+仆丫，

令x=-1彳導(dǎo)%-%+a,-%=（-2+>J-3了，

-

以（。0+。2）”一（%+。3）~=（。0+%+。2+4）（。。—%+。2—。3）=（2~^/―3）3（—2-h/3）3=（3—4）、=—,

故選：A.

3.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）若（2x-l）4=4/+//+出/+。逮+旬，貝！］%+/+%=（）

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【分析】利用賦值法可求/+%+。4的值.

【詳解】令x=l,則。4+。3+。2+%+。0=1，

令"x=一］,貝！J%一2+%-％+4=（—3）—81?

山1+81”，

RX%+。2+。0=~=41,

故選：B.

4.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）3+：0+城的展開式中/好的系數(shù)為（）

X

A.5B.10

C.15D.20

【答案】C

【分析】求得（x+y）5展開式的通項(xiàng)公式為（reN且rW5）,即可求得，+戶］與（x+yp展開

式的乘積為Gfry或形式，對(duì)「分別賦值為3,1即可求得//的系數(shù)，問題得解.

【詳解】（X+4展開式的通項(xiàng)公式為（「?雙且『45）

所以“+的各項(xiàng)與（x+爐展開式的通項(xiàng)的乘積可表示為：

22

5rr+2

xTr+l=xc5x-y=Gfry和匕j=匕=q^-y

XX

*3*3

在x&j=C"6-，y中，令廠=3,可得：xT4=Clxy,該項(xiàng)中丁;？的系數(shù)為10,

22

在二（+l=Gx4ry+2中，令r=1,可得：乙乙二。％3y3,該項(xiàng)中//的系數(shù)為5

XX

所以尤3y3的系數(shù)為10+5=15

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬

于中檔題.

5.（浙江,高考真題）若多項(xiàng)式X?+/=/+%（芯+1）+...+°9（x+l）9+%0（x+l）;則%=（）

A.9B.10C.-9D.-10

【答案】D

【解析】利用二項(xiàng)式定理的系數(shù)，先求”的系數(shù)，再由。g?2+%（,C=可求/的系數(shù)，即可得答案.

【詳解】多項(xiàng)式X?+*1°=00+0]（X+1）+...+09（x+1）9+°10（x+l）'°>

等號(hào)右側(cè)只有最后一項(xiàng)陽（X+1）10的展開式中含有”，并且一的系數(shù)為可。，等號(hào)左側(cè)小。的系數(shù)是1,

1

?10=；

又x9的系數(shù)在右側(cè)后兩項(xiàng)中，x9的系數(shù)為%?C；+%廣C>左側(cè)一的系數(shù)是0,

tz9+10=0,a9=—10.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，搞清各項(xiàng)系數(shù)是解決本題關(guān)鍵，屬于中檔題.

Cx，丫

6.（?遼寧?高考真題）依-2x”的展開式中常數(shù)項(xiàng)是.

\7

【答案】-160

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征即可求解.

/1_1>6*8（di_y

【詳解】Ix2-2x^I的展開式通項(xiàng)為L=C；卜2）&",其中reN,V6,

令3f=0=>3=廠，故常數(shù)項(xiàng)為C；（-2）'=C：（-2）3=-160,

故答案為：-160

7.（湖北?高考真題）已知Q+X。的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128,則展開式中十的系數(shù)是

\7

.（以數(shù)字作答）

【答案】35

63-1U人63—11人「

【分析】令X=1得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和2"，求得〃=7,整理展開式中的通項(xiàng)為c.xk，令6=5

得太=3,從而求得/的系數(shù)C]

（3XV

【詳解】令X=1得q+xF的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和2"=128,所以〃=7；

Jk

（l\~（_1V63—11左人63—11左一/口，-?…口什…,〈入/叱口17x6x5_

由％=C；/：X3=廠令""=5得左=3,所以展開式中/的系數(shù)是C；=H^=35

故答案為：35

8.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）的展開式中V/的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【答案】-28

【分析】11-口（》+田8可化為仁+了丫心門+姆，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】因?yàn)?爐=(x+姆一2(x+y;,

2

所以1l-￡|(x+y)8的展開式中含一y6的項(xiàng)為cW-/c；xV=_28x/,

(l-?](x+y)8的展開式中/「的系數(shù)為一28

故答案為：-28

4234

1.(1+x)=a0+QjX+a2x+a3x+a4x,貝Ija。-q+&-%+%=()

A.1B.3C.0D.-3

【答案】C

【分析】根據(jù)展開式，利用賦值法取x=-l即得.

4234

【詳解】因?yàn)?1+x)=a0+axx+a2x+a3x+a4x,

令X=—],可得,—Q]+&—/+。4=(1—1)=0.

故選：C.

2.設(shè)。為實(shí)數(shù)，甲：“=1；乙：(X+〃)4二項(xiàng)展開式常數(shù)項(xiàng)為1.則甲是乙成立的()條件

A.充分但不必要B.充要

C.必要但不充分D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】求出(尤+。)4展開式的常數(shù)項(xiàng)，即可得出結(jié)論.

【詳解】(X+4展開式中的第％+1項(xiàng)為C/x"*左=0,1,2,3,4.

當(dāng)左=4時(shí)，該項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為C：?/=/.

顯然，當(dāng)a=l時(shí)，(z4=1；當(dāng)/=i時(shí)，a=±l.

所以，甲是乙成立的充分但不必要條件.

故選：A.

3.已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和是1024,則它的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是(

A.252B.-252C.210D.-210

【答案】B

【分析】求解先求出n,在利用通項(xiàng)公式求解

【詳解】由的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和是1024,故2"=1024,所以”=10.

由二項(xiàng)式定理得展開通項(xiàng)為=C；(-)I0-r(-x)r,

0X

當(dāng)r=5時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，76=-。=-252

故選：B

4.1l+￡|(l+x)4的展開式中含Y項(xiàng)的系數(shù)為()

A.10B.12C.4D.5

【答案】A

【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式進(jìn)行分類討論即可求解.

【詳解】(1+娉的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為C；，，

當(dāng)廠=2時(shí)，(1+-)(1+x)4的展開式中含/項(xiàng)為1.C；/；

當(dāng);?=3時(shí)，(1+-)(1+x)4的展開式中含/項(xiàng)為d).c>3.

XX

所以(l+3(l+x)4的展開式中含V項(xiàng)的系數(shù)為C；+C：=1O.

X

故選：A.

5.(2/+了+1丫的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為()

A.120B.160C.180D.210

【答案】A

42

【分析】將(2/+y+1看作5個(gè)因式2/+/+1相乘，根據(jù)xy的指數(shù)可認(rèn)為5個(gè)因式中有兩個(gè)選2/項(xiàng)，

其余兩個(gè)選外最后一個(gè)因式選1,進(jìn)行相乘，可得答案.

【詳解】由題意(2/+y+l7的展開式中尤V項(xiàng)的系數(shù)為C；X22XC；=120,

故選：A

6.若二項(xiàng)式+(a>0)的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()

A.10B.15C.25D.30

【答案】B

【分析】根據(jù)賦值法可得系數(shù)和，進(jìn)而求解。=1,由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求解常數(shù)項(xiàng).

【詳解】令x=l,則所有的項(xiàng)的系數(shù)和為(。+1)6=64,由于。>0,所以。=1,

口+5)展開式的通項(xiàng)為卻=C"ix."=C"6f,故當(dāng)6-3廠=0時(shí)，即廠=2,此時(shí)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

晨=15,

故選：B

7.(1+2X-Y)"展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為64,則該展開式中的尤3項(xiàng)的系數(shù)為()

A.-60B.-30C.100D.160

【答案】C

【分析】先用賦值法求得項(xiàng)數(shù)小由于原式為三項(xiàng)式，需將l+2x作為整體進(jìn)行二項(xiàng)式展開，從原式展開式

中取出前兩項(xiàng)再進(jìn)行展開，分別求出包含V項(xiàng)和x項(xiàng)的系數(shù)，最后代回原式求和即可.

【詳解】取x=l代入，得(1+2-1)"=64,解得〃=6

則原式=(1+2X-x2)6=C；(1+2以+c