第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年吉林省長春市朝陽區七年級（下）期末數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列各式中，屬于一元一次方程的是(

)A.3+x≤4 B.3x=1 C.3x+1=4x 2.解二元一次方程組2x+y=4①2x?3y=5②時，由①?②可得(

)A.?2y=1 B.?2y=?1 C.?4y=?1 D.4y=?13.2024年4月26日“吉林省第六屆STEM教育發展大會”在長春召開.STEM是科學(Science).技術(Tec?nology)、工程(Engineering)、數學(Mat?ematics)四門學科英文首字母的縮寫.這四個英文字母中，可以看成是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.4.三角形結構在生活中有著廣泛的應用，如圖所示，利用三角形支架固定手機，其蘊含的數學道理是(A.兩點之間，線段最短

B.三角形的穩定性

C.三角形的內角和等于180°

D.三角形的任意兩邊之和大于第三邊5.下列正多邊形的組合中，能夠鋪滿地面的是(

)A.正方形和正八邊形 B.正五邊形和正六邊形

C.正方形和正五邊形 D.正三角形和正八邊形6.某商品標價為x元，若打八折后再降價12元，售價為108元，則可列方程為(

)A.x?0.8x?12=108 B.0.08x?12=108

C.0.8x?12=108 D.108?0.8x=127.若a<1，則下列不等式一定成立的是(

)A.?a<?1 B.a<2 C.1?a<0 D.?a<18.如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△ADE，點E落在AB上，延長DE交BC于點F.給出下面四個結論：①△ABC≌△ADE；②DF<BC+EF；③∠DFB=∠DAB；④若BC=2，AB=4，連結BD，則△ADB的面積是4.上述結論中，所有正確結論的序號是(

)A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。9.已知三角形兩邊長分別為1和4，則第三邊長可以是______.(寫出一個即可)10.等邊三角形繞著它的中心旋轉一定角度后能與自身重合，則這個旋轉角度的大小至少為______°.11.若△ABC中，∠A+∠B=∠C，則此三角形是______三角形．12.甲、乙兩人檢修一條長180米的管道，甲每小時檢修15米，乙每小時檢修10米，若甲先檢修2小時后，再由甲、乙兩人合作完成整條管道檢修，則甲共檢修管道____小時．13.將長方形直尺與正五邊形紙板按照如圖位置擺放.若∠1=45°，則∠2的大小為______．14.如圖，在△ABC中，點D是BC邊的中點，AE：EC=3：2.若△ABC的面積為10，則△ADE的面積為______．三、解答題：本題共10小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題6分)

解方程：x+23?x=1．16.(本小題6分)

解不等式組：5x+3>2x1?3x≥0．17.(本小題6分)

已知一個多邊形的內角和等于1620°，求這個多邊形的邊數．18.(本小題7分)

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF.已知AB=8，CF=3，DH=2，且DE交AC于點H．

(1)求線段HE的長．

(2)圖中陰影部分的面積為______．19.(本小題7分)

小華從A地步行到B地，然后從B地騎自行車返回A地，共用了2小時.已知小華騎自行車的速度為15km/?，步行的速度為5km/?，求A、B兩地之間的距離．20.(本小題7分)

如圖，D是△ABC的BC邊上一點，∠B=∠BAD，∠ADC=70°，∠BAC=80°．

求：(1)∠B的度數；

(2)∠C的度數．21.(本小題8分)

如圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，圖中給定的各點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求作圖，保留作圖痕跡．

(1)在圖①中，畫出線段O′A′，使O′A′與OA關于直線l成軸對稱．

(2)在圖②中，畫出△BCD的對稱軸．

(3)在圖③中，在線段EF上確定一點P，連結MP、NP，使∠MPF=∠NPF．

22.(本小題9分)

【背景呈現】數學興趣小組發現以下圖形折疊方式：如圖①，在△ABC中，點D是邊AB上任意一點，作射線DC，點M、N分別在線段AC、BC上.將△ABC折疊，使點A落在點E處，點B落在點F處，點E、F均在射線DC上，折痕分別為DM和DN.設∠CME=α，∠CNF=β．

【問題探究】當點E、F均在線段DC上時，α、β與∠ACB之間的數量關系.(不必作答)

【問題解決】1.經過討論.小組問學想利用“從特殊到一般”的思想方法解決問題，某問學做如下嘗試：如圖②，令∠ADC=∠BDC=90°，若點E恰好與點C重合，此時∠A=______°，若點F在線段DC上，當∠B=65°時，β=______°.

2.合作交流后，該小組同學認為可以利用三角形和軸對稱圖形的知識解決該問圖，如圖①.當點E，F均在線段DC上時，可以沿出α，β與∠ACB之間的數量關系為：α+β=180°?2∠ACB.下而是證明過程：

證明：∵∠ACB+∠A+∠B=______，

∴∠A+∠B=180°?∠ACB．

∵∠MED是△CEM的外角，

∴∠MED=∠ACD+α，

∴α=∠MED?∠ACD．

又由折疊可知，∠MED=______，

∴α=∠A?∠ACD．

同理：β=______．

∴α+β=∠A+∠B?∠ACD?∠BCD．

=180°?∠ACB?∠ACB，

即α+β=180°?2∠ACB．

【遷移應用】在背景呈現的條件下，解答下列問題：

(1)如圖③，當點E、F均在線段DC的延長線上時，α、β與∠ACB之間的數量關系為：______；

(2)若∠ADC=∠BDC=90°，點E，F在射線DC上，且位于點C異側，當a=β時，∠ACB=______．

23.(本小題10分)

為了激發學生個人潛能和團隊精神，學校組織七年級師生共490人去長春凈月潭國家風景名勝區開展素質拓展活動.某租車公司有A、B兩種型號的客車可供選擇，A型客車每輛有25個座位，B型客車每輛有55個座位.下表是公司租車記錄單上的部分信息：租用A型客車數量(輛)租用B型客車數量(輛)租車的總費用(元)132900323100(1)根據公司租車記錄單上的信息，求A、B兩種型號客車每輛的租車費用分別是多少元？

(2)學校本次活動要租用該租車公司的客車，可以租用A、B兩種型號的客車，也可以單獨租用A型客車或B型客車．

①當每輛客車恰好都坐滿時，求所有滿足條件的租車方案．

②當滿足全體師生乘車均有座位時，租車的總費用最少為______元.24.(本小題12分)

如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=45°，邊BC在直線l上.以點C為旋轉中心，將直線l順時針旋轉到直線l′，交AB于點E，以CE為直角邊作直角△CEF，使∠CEF=90°，∠ECF=30°，點F和點A始終在直線l′的同側.設∠BCE=α(0°<α<90°)．

(1)當CE⊥AB時，α=______．

(2)當α=20°時，∠AEF=______°.

(3)當∠AEF=30°時，求α的大小．

(4)當△CEF與△ABC重疊部分為直角三角形時，直接寫出α的取值范圍．

參考答案1.C

2.D

3.A

4.B

5.A

6.C

7.B

8.C

9.4(答案不唯一)

10.120

11.直角

12.8

13.81°

14.3

15.解：x+23?x=1，

x+2?3x=3，

?2x=1，

x=?16.解：5x+3>2x,①1?3x≥0.②

解①：3x>?3，

得x>?1．

解②得：x≤13，

∴原不等式組的解集是17.解：設這個多邊形的邊數為n，

根據題意得(n?2)?180°=1620°，

解得n=11．

即這個多邊形的邊數為1118.解：(1)∵△ABC沿著BC的方向平移到△DEF，

∴△ABC≌△ADE，BE=CF=3，

∴DE=AB=8，

∴HE=DE?DH=8?2=6；

(2)21．

19.解：設A、B兩地之間的距離為x?km，

根據題意得x5+x15=2，

解得x=152，

答：20.解：(1)∵∠B=∠BAD，∠ADC=70°，且∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠BAD，

∴70°=∠B+∠B，

解得：∠B=35°；

(2)∵∠B=35°，∠BAC=80°，

∴∠C=180°?∠B?∠BAC=65°．

21.解：(1)如圖①，線段O′A′即為所求．

(2)如圖②，取CD的中點E，作直線BE，

則直線BE即為所求．

(3)如圖③，點P即為所求．

22.【問題解決】1.45，40．

2.180°，∠A，∠B?∠BCD．

【拓展應用】(1)α+β=2∠ACB?180°，

理由：

∵∠EMC=∠ACD?∠MEC，∠FNC=∠BCD?∠NFC，

∴∠EMC+∠FNC=∠ACD?∠MEC+∠BCD?∠NFC，

∴α+β=(∠ACD+∠BCD)?(∠MEC+∠NFC)，

即α+β=∠ACB?(∠A+∠B)，

∴α+β=∠ACB?(180°?∠ACB)，

∴α+β=2∠ACB?180°．

(2)如圖：

∵∠ACD=∠MED?∠CME，∠DCB=∠CNF+∠NFC，

∴∠ACD+∠DCB=∠MED?∠CME+∠CNF+∠NFC，

∵α=β，

∴∠ACD+∠DCB=∠A+∠B，

∠ACB=∠A+∠B，

又∠ACB+∠A+∠B=180°，

∴∠ACB=90°．

23.解：(1)設A型號客車每輛的租車費用是x元，B型號客車每輛的租車費用是y元，

根據題意得：x+3y=29003x+2y=3100，

解得：x=500y=800．

答：A型號客車每輛的租車費用是500元，B型號客車每輛的租車費用是800元；

(2)①設租用A型號客車a輛，B型號客車b輛，

根據題意得：25a+55b=490，

∴b=98?5a11．

又∵a，b都是非負整數，

∴a=2b=8或a=13b=3，

∴共有2種租車方案，

方案1：租用2輛A型號客車，8輛B型號客車；

方案2：租用13輛A型號客車，3輛B型號客車；

②選擇方案1租車的總費用為500×2+800×8=7400(元)；

選擇方案2租車的總費用為500×13+800×3=8900(元)．

∵490÷55=8(輛)……50(人)，8+1=9(輛)，

∴可以租用9輛B型號客車，此時租車的總費用為800×9=7200(元)；

∵490÷25=19(輛)……15(人)，19+1=20(輛)，

∴可以租用20輛A型號客車，此時租車的總費用為500×20=10000(元)．

∵7200<7400<8900<1000024.(1)45°；

(2)25°；

(3)當∠AEF=30°時，

∴∠AEC=∠CEF?∠AEF=90°?30°=60°，

∵∠AEC=∠B+∠BCE，

∴60°=45°+α，

∴α=15°；

(4)過點C作CH⊥AB，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=45°，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∴∠BCH=45°，

又∵∠CEF=90°

∴有以下三種情況討論如下：

①當點E在線段BH上時，點E在△ABC的外部，

因此當△CEF