計數原理（一）——由一般到特殊解決計數問題目錄

目錄一計數原理1目錄二排列與排列數2目錄三組合與組合數3一、計數原理1．分類加法計數原理2．分步乘法計數原理計數問題在日常生活，生產中普遍存在的.當數量較少時，一個一個的數（羅列法）.當數量較多時，需要借助計數原理.如何完成一件事？

基本思想是：分解問題，化簡問題分類計數原理與分步計數原理的區別分類要做到不重不漏，分步要做到步驟完整.

例題1（1）5名旅客投宿到一個旅店的3個房間，（假設每個房間都有多個床位）問共有多少種不同的住店方法？（2）5名學生爭奪3項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能情況種數有多少？分析與解：在例題1中完成一件事是指什么事？在（1）中是指：將5名旅客投宿到旅店；在（2）中是指：通過比賽確定3項比賽的冠軍.完成這件事的不同的方法數應該如何計數？在（1）中，由分步計數原理，共有

種方法;在（2）中，由分步計數原理，共有

種方法.抽象地，將元素放入位置的方法數.在實際情境中元素與位置是相對的，為了計數方便，通常要求元素只能放入一個位置，因此在（1）中旅客是元素，房間是位置，在（2）中冠軍是元素，學生是位置.例題2由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字且1、3都不與5相鄰的六位偶數的個數是A．72

B．96

C．108

D．144分析與解：完成一件事是什么事？把數字看成元素還是位置？特殊位置與特殊元素對計數的影響？依題意可知個位的選擇有2,4,6三種選法，第一種情況，5在十位上，此時有

種排法;第二種情況，5在百位上，此時有種排法;第三種情況，5在千位上，此時有種排法；第四種情況，5在萬位上，此時有種排法；第五種情況，5在十萬位上，此時有種排法；所以由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字且1、3都不與5相鄰的六位偶數的個數是36+12+12+12+36=108個．二、排列與排列數1.排列

從n個不同元素中取出m個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．從不同元素中取出按照一定順序排列在位置上2.排列數

，規定

，

特別地，當

時，全排列.排列數是一類特殊計數問題的公式，可以方便地解決一類計數問題.例題3一生產過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有A．24種

B．36種

C．48種

D．72種分析與解：對于題目中的問題難度主要是來自分類，按“特殊元素”優先考慮的原則，對甲進行分類：甲照看第一道工序（甲1丙4）、甲照看第四道工序（甲4乙1）、甲“休息”（乙1丙4）三種.一共有

種方案，故選B.例題4有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數．（1）全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；（2）全體排成一排，女生必須站在一起；（3）全體排成一排，男生互不相鄰；分析與解：（1）法一：(特殊元素優先法)先排甲，有5種方法，其余6人有

種排列方法，共有

(種).法二：(特殊位置優先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有

種排法，其他有種排法，共有

(種).（2）(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有

種方法，再將女生全排列，有

種方法，共有

(種).（3）(插空法)先排女生，有

種方法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生，有

種方法，共

(種).三、組合與組合數1.組合

從n個不同元素中取出m個元素放在一起，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．從不同元素中取出放在一起，不管順序2.組合數

規定3.性質：（1）

（2）組合數是一類特殊計數問題的公式，可以方便地解決一類計數問題.例題5從10個不同的非零的數中任取2個數，求其和、差、積、商這四個問題中，屬于組合的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個分析與解：因為減法和除法運算中交換兩個數的位置對計算結果有影響，而加法和乘法運算滿足交換律，交換兩個數的位置對計算結果沒有影響.所以屬于組合的有加法和乘法，共2個.故選B.例題6某單位需派人同時參加甲、乙、丙三個會議，甲需2人參加，乙、丙各需1人參加，從10人中選派4人參加這三個會議，不同的安排方法共有______種（用數字作答）．