PAGE|初一·數學·基礎-提高-精英·學生版|第1講第頁雞兔同籠的變形問題例題精講例題精講【例題1】有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對(蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀)，求蜻蜓有多少只？【解析】這是在雞兔同籠基礎上發展變化的問題.觀察數字特點，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿.因此，可先從腿數入手，求出蜘蛛的只數.我們假設三種動物都是6條腿，則總腿數為6×18=108(條)，所差118-108=10(條)，必然是由于少算了蜘蛛的腿數而造成的.所以，應有(118-108)÷(8-6)=5(只)蜘蛛.這樣剩下的18-5=13(只)便是蜻蜓和蟬的只數.再從翅膀數入手，假設13只都是蟬，則總翅膀數1×13=13(對)，比實際數少20-13=7(對)，這是由于蜻蜓有兩對翅膀，而我們只按一對翅膀計算所差，這樣蜻蜓只數可求7÷(2-1)=7(只).【鞏固1】食品店上午賣出每千克為20元、25元、30元的3種糖果共100千克，共收入2570元．已知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？【解析】每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，則每千克20元的收入：2570-1970=600元，所以賣出：600÷20=30千克，所以賣出每千克25元和每千克30克的糖果共100-30=70千克，相當于將題目轉換成：賣出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，問：每千克25元的糖果售出了多少千克？轉換成了最基本的雞兔同籠問題．

關鍵：將三種以及更多的動物/東西，轉化為兩種最基本模型。即：抓住轉化后的“頭”與“腳”。【例題2】在一次考試中有選擇題、填空題和解答題三類題共道．選擇題和填空題每題分，解答題每題分．這次考試總分是分，其中選擇題和解答題的分值比填空題多分，這次考試有多少道選擇題？多少道填空題？多少道解答題？【解析】選擇題和填空題的分值一樣，可以歸為一類。如果這次考試的22道題全是解答題，則總分應是：22×10=220(分)，但實際總分是100分，所以選擇題和填空題共有：（220-100）÷（10-4）=20(道)，解答題有：22-20=2(道)．選擇題比填空題少：2×10-4=16(分)，選擇題有：（100-2×10-16）÷2÷4=8(道)，填空題有：20-8=12(道)．【鞏固2】犀牛、羚羊、孔雀三種動物共有頭26個，腳80只，犄角20只．已知犀牛有4只腳、1只犄角，羚羊有4只腳，2只犄角，孔雀有2只腳，沒有犄角．那么，犀牛、羚羊、孔雀各有幾只呢？【解析】假設26只都是孔雀，那么就有腳：26×2=52（只），比實際的少：80-52=28（只），這說明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊．每增加一只犀牛或羚羊，減少一只孔雀，就會增加腳數：4-2=2（只）．所以，孔雀有26-28÷2=12（只），犀牛和羚羊總共有26-12=14（只）．假設14只都是犀牛，那么就有犄角：14×1=14（只），比實際的少：20-14=6（只），這說明犀牛多了羚羊少了，需要減少犀牛增加羚羊．每增加一只羚羊，減少一只犀牛，犄角數就會增加：2-1=1（只），所以，羚羊的只數：6÷1=6（只），犀牛的只數：14-6=8（只）．【例題3】某次數學考試考五道題,全班52人參加,共做對181道題,已知每人至少做對1道題,做對1道的有7人,5道全對的有6人,做對2道和3道的人數一樣多,那么做對4道的人數有多少人？【解析】對2道,3道,4道題的人共有52-7-6=39(人).他們共做對181-1×7-5×6=144(道).由于對2道和3道題的人數一樣多,我們就可以把他們看作是對2.5道題的人((2+3)÷2=2.5).這樣兔腳數=4,雞腳數=2.5,總腳數=144,總頭數=39.對4道題的有(144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人).【鞏固3】有紅、黃、綠種顏色的卡片共有張，其中紅色卡片的兩面上分別寫有和，黃色卡片的兩面上分別寫著和，綠色卡片的兩面上分別寫著和．現在把這些卡片放在桌子上，讓每張卡片寫有較大數字的那面朝上，經計算，各卡片上所顯示的數字之和為．若把所有卡片正反面翻轉一下，各卡片所顯示的數字之和則變成．問黃色卡片有多少張？開始的時候，黃色和綠色的卡片上都是3，紅色卡片上是2．如果全部是紅色卡片，那么數字之和為：2×100=200，比實際的少：234-200=34．每增加一張黃色或綠色卡片，那么數字就會增加：3-2=1．那么，黃色和綠色卡片之和：34÷1=34（張），紅色卡片有：100-34=66（張）．翻轉過來后，紅色和黃色卡片上都是1，綠色卡片上是2．紅色卡片有66張，剩下的綠色和黃色卡片上的數字之和為：123-1×66=57．如果34張卡片都是黃色的，那么這34張卡片上的數字之和為：1×34=34，比實際的少：57-34=23．每增加一張綠色卡片，數字之和就會增加：2-1=1，所以，綠色卡片有：23÷1=23（張），黃色卡片有：34-23=11（張）．【例題4】箱子里紅、白兩種玻璃球，紅球數是白球數的倍多只，每次從箱子里取出只白球、只紅球．如果經過若干次以后，箱子里剩下只白球、只紅球．那么箱子里原有紅球多少只？【解析】假設每次一起取7只白球和21只紅球，由于每次拿得紅球都是白球的2倍，所以最后剩下的紅球數應該剛好是白球數的3倍多2．由于每次取的白球和原定的一樣多，所以最后剩下的白球應該不變，仍然是3個．按照我們的假設，剩下的紅球應該是白球的3倍多2，即3×3+2=11(只)．但是實際上最后剩了53只紅球，比假設多剩42只，因為每一次實際取得與假設相比少6只，所以可以知道一共取了42÷6=7(次)．所以可以知道原來有紅球7×15+53=158(只)．【鞏固4】商店出售大,中,小氣球,大球每個3元,中球每個1.5元,小球每個1元.張老師用120元共買了55個球,其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多.問每種球各買幾個？因為總錢數是整數,大,小球的價錢也都是整數,所以買中球的錢數是整數,而且還是3的整數倍.我們設想買中球,小球錢中各出3元.就可買2個中球,3個小球.因此,可以把這兩種球看作一種,每個價錢是(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元).從公式可算出,大球個數是(120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(個).買中,小球錢數各是(120-30×3)÷2=15(元).可買10個中球,15個小球.【例題5】從甲地至乙地全長45千米,有上坡路,平路,下坡路.李強上坡速度是每小時3千米,平路上速度是每小時5千米,下坡速度是每小時6千米.從甲地到乙地,李強行走了10小時;從乙地到甲地,李強行走了11小時.問從甲地到乙地,各種路段分別是多少千米把來回路程45×2=90(千米)算作全程.去時上坡,回來是下坡;去時下坡回來時上坡.把上坡和下坡合并成"一種"路程,根據例15,平均速度是每小時4千米.現在形成一個非常簡單的"雞兔同籠"問題.頭數10+11=21,總腳數90,雞,兔腳數分別是4和5.因此平路所用時間是(90-4×21)÷(5-4)=6(小時).單程平路行走時間是6÷2=3(小時).從甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小時)行走路程是45-5×3=30(千米).又是一個"雞兔同籠"問題.從甲地至乙地,上坡行走的時間是(6×7-30)÷(6-3)=4(小時).行走路程是3×4=12(千米).下坡行走的時間是7-4=3(小時).行走路程是6×3=18(千米).【鞏固5】某商場為招攬顧客舉辦購物抽獎.獎金有三種:一等獎1000元,二等獎250元,三等獎50元.共有100人中獎,獎金總額為9500元.問二等獎有多少名？假設全是三等獎，共有：9500/50=190（人）中獎，比實際多：190-100=90（人）1000/50=20，也就是說：把20個三等獎換成一個一等獎，獎金總額不變，而人數減少了：20-1=19（人）250/50=5，也就是說：把5個三等獎換成一個二等獎，獎金總額不變，而人數減少了：5-1=4（人）。因為多出的是90人，而：90=19*2+4*13.即：要使總人數為100，只需要把20*2=40個三等獎換成2個一等獎，把5*13=65個三等獎換成13個二等獎就可以了。所以，二等獎有13個人。【例題6】有50位同學前往參觀,乘電車前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下鐵路前往每人6元.這些同學共用了車費110元,問其中乘小巴的同學有多少位？由于總錢數110元是整數,小巴和地鐵票也都是整數,因此乘電車前往的人數一定是5的整數倍.如果有30人乘電車,110-1.2×30=74(元).

還余下50-30=20(人)都乘小巴錢也不夠.說明假設的乘電車人數少了.

如果有40人乘電車110-1.2×40=62(元).

還余下50-40=10(人)都乘地下鐵路前往,錢還有多(62>6×10).說明假設的乘電車人數又多了.30至40之間,只有35是5的整數倍.

現在又可以轉化成"雞兔同籠"了:

總頭數50-35=15,總腳數110-1.2×35=68.

因此,乘小巴前往的人數是(6×15-68)÷(6-4)=11.【鞏固6】一些奇異的動物在草坪上聚會．有獨腳獸（1個頭、1只腳）、雙頭龍（2個頭、4只腳）、三腳貓（1個頭、3只腳）和四腳蛇（1個頭、4只腳）．如果草坪上的動物共有58個頭、160只腳，且四腳蛇的數量恰好是雙頭龍的2倍，那么其中獨腳獸有幾只？把2個四腳蛇和1個雙頭龍捆綁在一起，則是4頭12腳，即1頭3腳，同三腳貓是一樣的，所以可以假設都是1頭3腳，則有3×58=174只腳，但只有160只腳，差了174-160=14只腳，替換：14÷2=7只，故有7只獨角獸。【例題7】學校組織新年游藝晚會,用于獎品的鉛筆,圓珠筆和鋼筆共232支,共花了300元.其中鉛筆數量是圓珠筆的4倍.已知鉛筆每支0.60元,圓珠筆每支2.7元,鋼筆每支6.3元.問三種筆各