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文檔簡介
信號與系統信號與系統——多媒體教學課件長沙理工大學電氣學院電子信息工程系X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統第2章
連續信號與系統的時域分析q
2.3
信號的相關分析2.3.1
相關系數q
2.1
連續時間基本信號2.1.1
奇異信號2.1.2
正弦信號2.3.2
相關函數2.1.3
指數信號2.3.3
相關定理q
2.4
連續時間系統的零輸入2.1.4
抽樣信號2.1.5
單位門信號2.1.6
三角形信號2.1.7
符號信號響應2.4.1
系統的初始條件2.4.2
零輸入響應的求解q
2.5
連續時間系統的零狀態2.1.8
單位斜坡信號q
2.2卷積積分響應2.2.1
卷積的定義2.5.1
連續信號f(t)的
(t)分解2.5.2
(t)激勵下的零狀態響應2.5.3
f(t)激勵下的零狀態響應2.5.4
連續系統的階躍響應2.2.2
卷積的圖解機理2.2.3
卷積的性質2.2.4
常用信號的卷積公式X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統第2章
連續信號與系統的時域分析2.1
連續時間基本信號2.1.1
奇異信號ì
1,
t
3
0e(t)
=u單位階躍信號í0,
t
<
0?ì
0
t
1
0￥òd
(t)
=且d
(t)dt
=
1u單位沖激信號u單位沖激偶í￥
t
=
0?-￥d￠d
(t)
=
d
(t)dtde(t)tò￠u它們的關系
d
(t)
==
e
(t)
或
e(t)
=
d
(t
)dtdt-￥它們的性質詳見1.4節。X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.1連續時間基本信號2.1.2
正弦信號一般形式：f
(t)
=
Acos(wt
+j)振
幅：A2p
1w
fT
=
=周
期：f
(t)Tw
=
2p
f角頻率：Aj初相位：O2πwt頻
率：
fjw意義：連續時間正弦信號是物理學中簡諧振動的數學描述。作用：正弦信號或虛指數信號作為一種基本信號常用于連續信號與系統的頻域分析中。X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.1連續時間基本信號2.1.3
指數信號f
(t)
=
Aest，
A與s取不同值有不同形式。一般形式：1.
實指數信號若A=a
和s=
均為實數，則
f(t)為實指數信號，即f
(t)
ae=s
tf
(t
)s
<
0s
>
0s
=
0s
=
0s
<
0??，直流(常數)；，指數衰減；as
>?
0
，指數增長。tO重要特性：其對時間
t
的微分和積分仍然是指數形式。X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.1連續時間基本信號2.
虛指數信號f
(t)
e=
jwt若A=1
和
s=jw，則
f(t)為虛指數信號，即根據歐拉公式，虛指數信號可以表示為說明jwt
=
w
+e
cos(
t)
jsin(
t)wjwte上式表明：
的實部和虛部都是角頻率為w
的正弦振蕩。jwtep
w。顯然，
是周期信號，其周期為211由上式易知：
w
=jwt--
jwtw
=(e
e
),
cos(
t)
(e
e
)jwt+-
jwtsin(
t)2
j2Aw
+j
=Acos(
t
)
[ej(wt+j
)
+
-
j(wt+j
)e]如正弦信號可寫成：2注意：實際系統中虛指數信號及負(角)頻率是不存在的，這僅僅是一種數學表示而已，是為了理論分析的需要而引入。X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.1連續時間基本信號3.
復指數信號若A和
s
都是復數，則
f(t)為復指數信號。=
s
+
w=jjj設
A
Ae
,s通常稱
為復頻率=st
=jj(s
+
jw
)t則
f
(t)
Ae
A
e
×
e=A
e
[cos(
t
)
j
sin(
t
)]s
tw
+j
+w
+
j討論(實部和虛部)：s
=
0,
w
=
0直流s
wì
=
0,
1
0
等幅üì???s
>
0,
w
=
0
增長指數信號s
<
0,
w
=
0
衰減指數信號sw>
0,
1
0
增幅
正弦振蕩í?í?y?0,s
<
w
1
衰減0??t復指數信號是連續信號與系統復頻域分析中經常使用的一種基本信號。X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.1連續時間基本信號2.1.4
抽樣信號sint(
)Sa
t1Sa(t)
=(-￥
<
t
<
￥
)t2πt-
ππ3πO性質：(1)
lim
Sa(t)
=
1(2)
lim
Sa(t)
=
0t?
0t?
±￥(
)
(
)(3)
Sa
-t
=
Sa
t
，偶函數(4)
Sa(t)
=
0,
t
=
±kp
(k
=
1,
2,
3L)sintsintp￥￥￥òòò0(5)
Sa(t)dt
=dt
=
p
,dt
=tt2-￥-￥X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.1連續時間基本信號2.1.5
單位門信號gt
(t)ìt?
1,
|
t
|￡1=定義：
g
(t)
í2t?0,
其它?ttg
(t)
(t
)
(t
)=e
+
-
e
-t-t2Ot
2顯然t222.1.6
三角形信號ì
t1+
,
-t
￡
t
￡
0L(t)?2tt?1?
tL
(t)
=
1-
,
0
￡
t
￡
t定義：í2tt0,??-tt其它tO??X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.1連續時間基本信號2.1.7
符號信號sgn(t)ì
1,
t
>
0?==定義：
sgn(t)
í
0,
t
0?-1,
t
<
0?=
e
-e
-
=
e
-顯然
sgn(t)
(t)
(
t)
2
(t)
12.1.8
單位斜坡信號r(t)ì
t,
t
>
0定義：r(t)
=
í=
te(t)0,
t
<
0?td
(t),e(t)與r(t)之間的關系O2ddtttò
òò-￥[r(t)]
=
[e(t)]
=
d
(t)(
)d
d
(
)d
r(t)d
t
t
t
=
e
t
t
=2dtdt-￥
-￥X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.2
卷積積分2.2.1
卷積積分的定義設
f
(t)和
f
(t)是定義在區間(–∞,∞)上的兩個連續時間信號，12則定義積分￥òf
(t
)
f
(t
-
t
)dtf
(t)*
f
(t)
=1212-
￥為
f
(t)與
f
(t)的卷積積分，簡稱卷積；記為
f
(t)*f
(t)1212注意：積分是在虛設的變量t
下進行的，t
為積分變量，t為參變量。結果仍為
t的函數。￥f(2t)*
f
(5-
2t)=
f(2t)f
[(5-
2(t
-
t)]dtò例如：1212-￥關于積分上下限的問題：t￥t(1)
f(t)f
(t
-
t)dt
(2)
f
(
)f
(t
-
)d
(3)
f
(
)f
(t
-
)dòò
tt
t
ò
tt
t121212-￥00=
f
(t)*[
f
(t)e(t)]=[
f
(t)e(t)]*
f
(t)
=[
f
(t)e(t)]*
[
f
(t)e(t)]121212X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.2
卷積積分2.2.2
卷積的圖解機理￥(
)
(
)
ò
(t
)
(
t
)
tf
t
*
f
t
=
f
f
t
-
d1212-
￥卷積過程可分解為以下幾步：對
t
時
移
t-
(t
-
t
)
=
t
-
tStep1:換元?
tf
(t)
f
(
),
f
(t)
f
(
)?
t1122Step2
:
翻轉平移
f2
(t
)
????
f2
(-t
)
????
f2
(t
-
t
)翻轉平移Step3:相乘
f
(t
)*
f
(t
-
t
)12￥Step4
:積分
f
(t
)*
f
(t-
t
)dtò12-
￥Step5:
f1(t
)的圖形不動，令參變量t在(-￥
,￥
)內變化，重復Step2～
Step4，最終得到卷積
f
(t)*
f
(t)12用圖解法求卷積，直觀明了，但計算過程繁瑣。關鍵是確定積分上下限。X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.2
卷積積分例：
f
(t),f
(t)如圖所示，試用圖解法求卷積
y(t)=f
(t)*f
(t)。1212ì<t
1?
1t(t
)f1由圖易知f
(t)
í=f2
(t)=￡
￡(0
t
3)1t
1>?
0?21解:(1)
f
(t)換元為
f
(t)
；
f
(t)換元為
f
(t)
。tt1122-
1O1(2)
f
(t)
翻轉→f
(-t)t
f
(t-t)平移
→222(-t
)f2(3)
相乘求積分32f
(t
)×f2
(t
-
t
)=
0,故
y(t)
=
0①
t
<-1時
，1tO123②
-1≤t
≤1時，
f2(t
-t)
向右移-
3
-
2-11t2t
1ty(t)
=
ò
(t
-
t
)dt
=
+
+f1
(t
)24
2
41-
1f2(t-t)③
1≤t
≤2
時，tt
-3-
3
-
2
-
1
Ot123411ò(t
-
t
)dt
=
ty(t)
=y(t)2-
1④
2≤t
≤4
時，21t2t1y(t)
=
ò
(t
-
t
)dt
=
-
+
+
224
2t-
3⑤
4≤t
時，
y(t)
=
0-
2
-
1
O124tX長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統卷積的圖解機理X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.2
卷積積分2.2.3
卷積的性質卷積積分是一種數學運算，它有許多重要的性質（或運算規則），靈活地運用它們能簡化卷積運算。以下討論均設卷積積分是收斂的（或存在的）。利用該定律可將復雜信號放前面，簡單信號放后面以簡化計算性質1
卷積代數(1)
交換律：
f
(t)*f
(t)=f
(t)*f
(t)1221(2)
分配律：
f
(t)*[f
(t)+f
(t)]=f
(t)*f
(t)+f
(t)*f
(t)1231213(3)
結合律：
[f
(t)*f
(t)]*f
(t)=f
(t)*[f
(t)*f
(t)]123123性質2
f(t)與奇異信號的卷積+￥(1)
f
(t)*d
(t)
=
d
(t)*
f
(t)
=
f
(t)k
*
f
(t)
=
kò
f
(t
)dt特例：-
￥(2)
f
(t)*d
￠(t)
=
f
￠(t)d(n)(n)推論：f
(t)*
(t)
=
f
(t)t(3)
f
(t)*
(t)
f
(t)e
=
(-
1)
=
ò
t
tf
(
)de
e如：
(t)*
(t)
=
t
(t)e-
￥X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.2
卷積積分性質3
卷積的微分和積分y(t)
=
f
(t)*
f
(t)，則有以下結論設12￠￠y￠(t)
=
f
(t)*
f
(t)
=
f
(t)*
f
(t)(1)微分性質(2)積分性質(3)微積分性質1212(-
1)(-
1)(-
1)y
(t)
=
f
(t)*
f
(t)
=
f
(t)*
f
(t)1212￠￠(-
1)(-
1)y(t)
=
f
(t)*
f
(t)
=
f
(t)*
f
(t)1212說明：微積分性質成立的條件是f
(-
￥
)
=
0
或
f
(-
￥
)
=
0例題12(k)(k)1(k)2y
(t)
=
f
(t)*
f
(t)
=
f
(t)*
f
(t)推廣：21(-
k
)(-
k
)1(-
k
)2y
(t)
=
f
(t)*
f
(t)
=
f
(t)*
f
(t)21(k
)1(-
k
)2(-
k
)1(k
)2y(t)
=
f
(t)*
f
(t)
=
f
(t)*
f
(t)X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.2
卷積積分性質4
卷積時移f
(t)*
f
(t)
=
y(t)例題，則若12f
(t)*
f
(t
-
t
)
=
y(t
-
t
)
=
f
(t
-
t
)*
f
(t)1200102f
(t
-
t
)*
f
(t
-
t
)
=
y(t
-
t
-
t
)
=
f
(t
-
t
)*
f
(t
-
t
)1122121221f
(t)*d
(t)
=
f
(t)
和卷積的時移性質得f
(t)*d
(t
-
t
)
=
f
(t
-
t
)常用信號的卷積公式見教材51頁由00上式具有“復制”和“平移”信號功能的作用。￥?d
(
)d
(t
-
mT
)例如，設周期為T
的單位沖激信號
t
=Tm=-
￥￥?f
(t)*dT
(t)=f
(t
-
mT
)=
fT
(t)則m=-
￥dT
(t)fT(t)f
(t)-tt-2T-ttO2T-2TO2T-TT-TTX長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統第2章
連續信號與系統的時域分析2.3
信號的相關分析相關分析在工程中應用比較多，是鑒別信號的有力工具，廣泛應用于雷達回波的識別、通信同步信號識別等領域，如：發送端發出的信號波形是已知的，在接收端信號中，我們必須判斷是否存在由發送端發出的信號，困難在于接收端信號中即使包含了發送端發出的信號，也往往由于各種干擾產生了畸變。因此需要將兩個波形相比較，利用它們的相似或相依性作出判斷。2.3.1
相關系數設實信號
x(t)和
y(t)為能量信號，則稱￥òx(t)y(t)dtr
=-
￥xy￥￥ò
òx2
(t)dty2
(t)dt-
￥-
￥為信號
x(t)和
y(t)的相關系數。r相關系數
可以用來描述兩個信號波形的相似或相依程度。xyX長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.3
信號的相關分析由相關系數的定義，根據積分的施瓦茲(Schwartz)不等式2￥￥￥òò
ò-￥
-￥￡x
(t)dt
y
(t)dt22x(t)y(t)dt-￥rxy
￡
1易知u
當x(t)=ky(t)時，即兩信號線性相關，則rxy
=
1ìk
>
0,
r
=
1表明x(t)與
y(t)的波形相同，僅幅度上放大或縮小；表明x(t)與
y(t)極性相反，波形相同，幅度有縮放。?xyík
<
0,
rxy
=-
1??rxy
=
0u
x(t)與y(t)在
(-∞,+∞)上正交，即兩信號線性無關，則￥此時兩信號波形毫無相似之處，
x(t)y(t)dt
=
0ò-
￥<
rxy
<也不相互正交，只能用一個信號近似地表示另一個信號。1
既不能用一個信號精確地表示另一個信號，u
一般，0r越接近1，表示近似程度越高，越接近0，表示近似誤差越大。xyxy教材54頁
例
2.5rX長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.3
信號的相關分析2.3.2
相關函數用相關系數定量描述x(t)與y(t)的相似或相依關系有很大的局限性。一個典型的例子如下圖所示。rxy
=
0易計算r它們的波形是完全一致的，因此用來描述兩個信號的相似性，會有xy其局限性或不合理性，為此引入互相關函數：￥￥R
(t
)
=
x(t)y(t
+t
)dt
=
x(t
-
t
)y(t)dtòòxy-
￥-
￥￥￥R
(t
)
=
y(t)x(t
+t
)dt
=
y(t
-
t
)x(t)dtòòyx-
￥-
￥可見，互相關函數是兩信號之間時間差t
的函數。下標
x,y的先后秩序表示了一個信號相對另一個信號的平移方向。X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.3
信號的相關分析需要注意，一般
R
(t
)≠R
(t
)。不難證明，它們之間的關系是xyyxR
(t
)
=
R
(-t
)
或
R
(t
)
=
R
(-t
)xyyxyxxy如果
x(t)和
y(t)是同一信號，即
x(t)=
y(t)
時，稱為自相關函數。即：￥￥R
(t
)
=
x(t)x(t
+t
)dt
=
x(t
-
t
)x(t)dtòòxx-
￥-
￥R
(t
)
=
R
(-t
)容易看出，對自相關函數有：xxxx可見，實函數
x(t)的自相關函數是時移
的偶函數。2.3.3
相關定理￥x(t)*
y(t)
=
x(t
)y(t
-
t
)dtò函數x(t)和
y(t)卷積的表達式為：-
￥為了便于與互相關函數進行比較，我們將互相關函數定義式中的變量
t
和進行互換，可將實函數
x(t)和
y(t)的互相關函數寫為：￥R
(t)
=
x(t)y(t
-
t)dtòxy-
￥比較以上兩式可見，卷積積分和相關函數的運算方法有許多相似之處。兩種運算的不同之處僅在于，卷積運算開始時需要將y(
)進行翻轉，而相關運算則不需翻轉。其他的移位、相乘和積分的運算方法相同。X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統第2章
連續信號與系統的時域分析2.4
連續系統的零輸入響應2.4.1
系統的初始條件設系統初始觀察時刻
t=0，考慮到系統在激勵作用下，響應y(t)及其各階導數在
t=0時刻可能發生跳變或出現沖激信號，因此，應分別考察y(t)及其各階導數在初始觀察時刻前一瞬間t=0-和后一瞬間t=0+的情況。LTI系統的全響應y(t)可分解為零輸入響應和零狀態響應之和
，即
y(t)=y
(t)+y
(t)。xf注意：對
t=0時輸入激勵
f(t)的n階系統，初始狀態
y
(j)(0+),
y
(j)(0+)
(j=0,1,2,…,n-1)的計算：xfy(j)(0-)=y
(j)(0-)+
y
(j)(0-)，y(j)(0+)=y
(j)(0+)+y
(j)(0+)xfxf對于零輸入響應，由于激勵f(t)為零，故有y
(j)(0+)=y
(j)(0-)=
y(j)(0-)xx對于零狀態響應，在
t=0-時刻激勵尚未接入，故應有yf(j)(0-)=0X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.4連續系統的零輸入響應由上討論可知：
y(j)(0+)=
y(j)(0-)+
yf
(j)(0+)(2.4.7)在系統的微分方程經典解法中，通常采用
0+初始條件。式(2.4.7)給出了系統
0-和0+
初始條件之間的相互關系，即系統的0+
初始條件可以通過
0-
初始條件和零狀態響應及其各階導數的初始值
yf(j)(0+)共同來確定。關于0-和0+初始狀態若輸入
f(t)是在
t=0
時接入系統，此時
y(j)(0+)包含了輸入信號的作用，不便于描述系統的歷史信息。在
t=0-
時，激勵
f(t)尚未接入，該時刻的全響應
y(j)(0-)反映了系統的歷史情況而與激勵無關。稱為
0-初始狀態(條件)。通常，對于具體的系統，
0-初始狀態一般容易求得。于是為了求解微分方程，就需要從已知的初始狀態
y(j)(0-)設法求得y(j)(0+)。下列舉例說明。X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統例：描述某系統的微分方程為y”(t)+
3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)2.4連續系統的零輸入響應已知
y(0
)=2，y’(0-)=
0，f(t)=e(t)，求y(0+)和y’(0+)。解：將輸入
f(t)=e(t)代入上述微分方程得y”(t)+3y’(t)
+2y(t)=2d
(t)+6e(t)（1）利用(沖激函數)系數匹配法分析：上式對于
t=0-
也成立，在區間
0-<t<0+
等號兩端d
(t)項的系數應相等。由于等號右端為2d
(t)，故
y”(t)應包含沖激函數，從而
y’(t)在t=0處將發生跳變，即
y’(0+)≠y’(0-)。但
y’(t)不含沖激函數，否則
y”(t)將含有d
’(t)項。由于y’(t)中不含d
(t)，故
y(t)在
t=0處是連續的。故y(0+)=y(0-)=2X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.4連續系統的零輸入響應對式(1)兩端積分有0+0+0+0+0+òy''(t)dt
+
3
y'(t)dt
+
2
y(t)dt
=
2
d
(t)dt
+
6
e(t)dtò
ò
ò
ò0-
0-
0-
0-0-由于積分在無窮小區間[0-,0+]進行的，且
y(t)在
t=0
連續，0+0+òy(t)dt
=
0,
另外
e(t)dt
=
0ò0-故0-于是由上式得[y’(0+)–y’(0-)]
+3[y(0+)–y(0-)]
=2考慮到
y(0+)=y(0-)=2，所以y’(0+)–
y’(0-)=2
，
即
y’(0+)=y’(0-)+2=2結論：當微分方程等號右端含有沖激函數d
(t)及其各階導數時，響應
y(t)及其各階導數中，有些在
t=0處將發生跳變。但如果右端不含時，則不會跳變。X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.4連續系統的零輸入響應2.4.2
連續系統的零輸入響應的求解通過下例簡單說明連續系統零輸入響應的時域求解方法。例：描述某系統的微分方程為y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f
’(t)+6f(t)已知
y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=e(t)。求該系統的零輸入響應。解：零輸入響應y
(t)對應的激勵
f(t)為0，故
y
(t)滿足xxy
”(t)+3y
’(t)+2y
(t)=0
(齊次微分方程)xxx又由于
y
(0+)=y
(0-)=y(0-)=2xx因此
y
’(0+)=y
’(0-)=y’(0-)=0xx該齊次方程的特征根為
l
=–1和
l
=–2，故12y
(t)=C
e–t
+C
e–2tx12代入初始值并解得系數為C
=4,C
=–2
，于是得12yx(t)=4e–t
–2e–2t
,
t
≥0長沙理工大學
電氣與信息工程學院X信號與系統2.4連續系統的零輸入響應時域法求解系統的零輸入響應比較繁瑣。本教材未作介紹，有興趣的同學可以參考高等數學常微分方程齊次解的內容。特別說明：連續系統零輸入響應的求解還有復頻域法，即
S
域（拉普拉斯變換）求解法，比時域法簡單方便，將在第4章重點介紹。通過第3章的學習大家還會知道，頻域法只能求解系統的零狀態響應，不能求解零輸入響應。同樣，對于離散系統完全響應（零輸入響應和零狀態響應）的求解，也將重點介紹復頻域即Z
域求解法。X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統第2章
連續信號與系統的時域分析2.5
連續系統的零狀態響應對LTI系統，由于其具有齊次性、疊加性、時不變性，故如能實現將任意信號在時域分解為簡單基本信號的線性組合，那么只要得到LTI系統對基本信號的響應，就可以利用系統的線性特性，將系統的輸出響應表示成基本信號的響應的線性組合。本節將分別以d(t)和e(t)作為基本信號，討論如何將一般連續信號
f(t)分解為d(t)或e(t)的線性組合；然后求解系統在基本信號激勵下的零狀態響應，并利用線性時不變性，導出
f(t)激勵下的零狀態響應的計算方法。2.5.1
連續信號f(t)的d(t)分解￥(
)
(
)
d
(
)
ò
(t
)d
(
t
)
t已知
f
t
=
f
t
*
t
=
ft
-
d-
￥演示￥?=
limf
(kDt
)dD(t
-
kDt
)×DtDt
?
0k=-
￥上式表明：任何連續時間信號
f(t)都可分解為眾多基本信號d(t
t)的線性組合。X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.5連續系統的零狀態響應2.5.2
基本信號d
(t)激勵下的零狀態響應u定義：當激勵為單位沖激函數
d(t)時，系統的零狀態響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，用
h(t)表示。h(t)d
(t)(1)h(t)d
(t)LTI系統tt0零狀態0u沖激響應的計算三種方法：時域法、頻域法和復頻域法。本課程將在第3章和第4章重點介紹求解沖激響應的頻域法和復頻域法。沖激響應其實只是零狀態響應的一種特例而已，即當初始狀態為0，且輸入激勵為
f(t)=d(t)時，零狀態響應為
yf(t)=h(t)。X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.5連續系統的零狀態響應2.5.3
一般信號
f(t)激勵下的零狀態響應單位沖激響應
h(t)
表示了連續系統的基本特征，對于不同的系統，其單位沖激響應
h(t)
是不同的。下面推導yf(t)的計算公式：(
)
(
)f
t
T
y
t簡化為：f(
)
(
)d
t
T
h
t[h(t)的定義](
)
(
)d
t
-t
T
h
t
-t[系統的時不變特性](
)
(
)(
)
(
)f
t
d
t
-t
dt
T
f
t
h
t
-t
dt[系統的齊次性][系統的疊加性][卷積定義及性質]￥￥ò
(
)
(
)
ò
(
)
(
)f
t
d
t-t
dt
Tf
t
h
t-t
dt-￥-￥(
)
(
)
(
)(
)(
)f
t
*d
t
＝f
t
T
y
t
=
f
(t)*
h
tfLTI連續系統在一般信號
f(t)激勵下產生的零狀態響應為：(
)(
)y
t
=
f
(t)*
h
t時域法
或卷積積分法fX長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.5連續系統的零狀態響應f
(t)
e
2te(t)=-例1：已知某線性時不變系統，設系統的輸入信號，12=e-t(
)
。利用卷積積分求系統的零狀態e
t單位沖激響應為
h(t)響應
yf(t)。12+￥òy
(t)
f
(t)*h(t)==-2t
e
t
×
-(t-t
)e
-t
te
(
)
e
(t
)d解：f-￥1211t>0ò=e
e
d-t
t
=-t×e
(
e
)
|-t--tt>00=-t-
e(e
e
)
(t)-2t2202.5.4
連續系統的階躍響應u定義：在基本信號e(t)
激勵下產生的零狀態響應稱為系統的單(
)
(
)e
Tt
g
t位階躍響應，常用
g(t)
表示。即tò=(-1)=t
th(
)dg(t)
h
(t)?
g(t)與
h(t)之間的關系：-￥￠h(t)
=
g
(t)￠==?
利用
g(t)求零狀態響應：
y
(t)
f
(t)*
h(t)
f
(t)*
g(t)fX長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.5連續系統的零狀態響應例2：某連續系統如圖(a)，其中兩子系統的單位沖激響應分別為h
(t)
=
d
(t
+1)-d
(t)和
h
(t)
=
d
(t
-
2)-d
(t)
，子系統
h
(t)的輸入132和輸出分別如圖(b)、
(c)所示。試求：(1)子系統的沖激響應
h2(t)；(2)系統的沖激響應
h(t)
，并畫波形；(3)系統的單位階躍響應
g(t)，并畫波形。f2
(t)y2
(t)f2
(t)h1(t)h2
(t)h3
(t)圖
(b)f
(t)y(t)tòy2
(t)-￥g(t)h(t)圖
(a)圖
(c)X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統2.5連續系統的零狀態響應例2.10
已知某LTI連續系統的沖激響應
h(t)=e(t)
e(t-1)，輸入：f(t)=e(t+2)-e(t-2)
。若以
t=0為初始觀察時刻，試求系統的零輸入響應
y
(t)和零狀態響應
y
(t)，并畫出波形。xf(a)單位階躍響應(b)
g(t+2)-g(t)的波形(c)yx(t)的波形(d)
yf(t)的波形X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統第2章
連續信號與系統的時域分析本章小結本章主要介紹了信號與系統中常用基本信號、卷積積分及主要性質、信號的相關性分析，以及連續時間系統的零輸入響應及零狀態響應的時域求解方法。重點掌握卷積的計算和系統零狀態響應的求解。作業：66頁習題二2.2、2.6、2.11、2.14、2.19第2章結束祝大家學業有成！X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統歐拉公式jq，與實軸夾角為q
時，此點復平面上的一個單位圓上的點
ecosq
+
jsinq可表示為j
Im1ejqsinqjqcos
j
sin=
q
+
qe{q-11
Rejq=e
1cosqDejq=
q-1e是自然對數的底，此式稱為歐拉(Euler)公式。e
可以用計算方法定義為n?
1
?e
=
lim
1+=
2.71828......?֏
n
?n?
￥X長沙理工大學
電氣與信息工程學院信號與系統卷積微積分性質例題例1：
f
(t)=1，
f
(t)=
e–t
(t)，求
f
(t)*f
(t)。1212解：套用微積分性質
f
(t)*f
(t)=f
’(t)*f
(–1)(t)=0*f
(–1)(t)=012122注意：該解法是錯誤的！因為
f1(
￥
)
≠0正確解法：由卷積定義得（通常復雜
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