高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市浙里特色聯盟2023-2024學年高二下學期4月期中聯考數學試題選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，且，則.故選：D2.在等差數列中，，，則的值是（）A.13 B.14 C.16 D.17【答案】B【解析】因為是等差數列，，，所以，即，解得.故選：B.3.已知空間向量，，則下列結論正確的是（）A. B.與夾角的余弦值為C. D.【答案】C【解析】對于A：，因為，所以與不平行，故A錯誤；對于B：與夾角余弦值為，故B錯誤；對于C：，，則，即，故C正確；對于D：，，故D錯誤；故選：C4.若函數，則（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】，所以.故選：A.5.若點是角終邊上一點，且，則y的值為（）A. B. C.－2 D.2【答案】D【解析】，又由三角函數的定義得，所以，又，解得.故選:D.6.已知圓與圓關于直線對稱，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圓，圓心，半徑，，圓心，半徑，由題意知，是圓和圓圓心連線的垂直平分線，，，的中點，圓心連線的斜率為，則直線的斜率為，故的方程：，即,故C正確．故選：C．7.我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來研究函數圖象的特征.我們從這個商標中抽象出一個圖象如圖，其對應的函數可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為函數的定義域為，函數的定義域為，函數與的定義域均為.由圖知的定義域為，排除選項B、D，又因為當時，，不符合圖象，所以排除選項C.故選：A.8.已知拋物線的焦點到準線的距離為4，過點的直線與拋物線交于兩點，為線段的中點，若，則點到軸的距離為（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設易知，從而準線方程為.設點點點坐標為，由拋物線的定義知，，所以有，所以到軸距離，故B正確；故選:B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數，則下列說法正確的是（）A.z的實部為1 B.z在復平面內對應的點位于第四象限C.z的虛部為﹣i D.z的共軛復數為【答案】ABD【解析】因為，所以z實部為1，虛部為-1，在復平面內對應的點為(1，-1)，在第四象限，共軛復數為，故C錯誤，ABD正確.故選：ABD10.袋子中共有大小和質地相同的4個球，其中2個白球和2個黑球，從袋中有放回地依次隨機摸出2個球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“兩次都摸到白球”，則（）A.甲與乙互斥 B.乙與丙互斥 C.甲與乙獨立 D.甲與乙對立【答案】BC【解析】首先抽取方法是有放回，每次摸出個球，共抽取次.基本事件為：白白，白黑，黑白，黑黑，共種情況.事件甲和事件乙可能同時發生：白黑，所以甲與乙不是互斥事件，A錯誤.事件乙和事件丙不可能同時發生，所以乙與丙互斥，B正確.事件甲和事件乙是否發生沒有關系，用表示事件甲，用表示事件乙，，則，所以甲與乙獨立，C正確.由于事件甲和事件乙是否發生沒有關系，所以不是對立事件.故選：BC11.如圖所示，“嫦娥五號”月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在P點處變軌進入以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點處變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設圓形軌道Ⅰ的半徑為R，圓形軌道Ⅲ的半徑為r，則（）A.軌道Ⅱ的長軸長為B.軌道Ⅱ的焦距為C.若不變，越小，軌道Ⅱ的短軸長越大D.若不變，越大，軌道Ⅱ離心率越小【答案】AB【解析】設橢圓長軸，短軸，焦距，對于A選項，由橢圓的性質可知，軌道Ⅱ的長軸長為，故選項A正確；對于B選項，由橢圓的性質知，，又因為，所以，故選項B正確；對于C選項，由前面選項知，若R不變，越小，越小，軌道Ⅱ的短軸長越小，故選項C錯誤；對于D選項，因為，若r不變，R越大，則越小，所以越大，軌道Ⅱ的離心率越大，故選項D錯誤.故選：AB.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，，則__________.【答案】【解析】因為向量，，，所以，解得，故答案為：13.已知直線：.若點在直線上，則數列的前n項和__________.【答案】【解析】直線過點,可得,,是等差數列，所以.故答案為：.14.古希臘數學家阿波羅尼斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數學的重要成果，其中有這樣一個結論：平面內與兩點距離的比為常數的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓,已知點,,動點滿足,則點的軌跡與圓的公切線的條數為______.【答案】2【解析】由題意設，易知，即可得，整理得點的軌跡方程為，其軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，而圓的圓心坐標為，半徑為1，可得兩圓的圓心距為2，大于，小于，則動點的軌跡與圓的位置關系是相交.故公切線的條數為2.故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，．再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并解決下面的問題：（1）求角的大??；（2）求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，不給分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）依題意，，由正弦定理得.選①，，則，三角形不存在，不符合題意.選②，，則，，則為銳角，且.且由得，三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合題意.選③，，由正弦定理得，由于，所以，則，則為銳角，且.由余弦定理得，即，得，所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合題意.（2）由（1）得三角形是等腰直角三角形，所以.16.已知在處取得極小值．（1）求的解析式；（2）求在處的切線方程；（3）若方程有且只有一個實數根，求的取值范圍.解：（1）由題意知，因為在處取得極小值則，解得：經檢驗，滿足題意，所以，所以（2）由題意知，，所以所以切點坐標為，斜率所以切線方程為：，即.（3）令，解得或，則，，的關系如下表：+00+單調遞增單調遞減單調遞增則，，方程有且只有一個實數根等價于有且只有一個實數根，等價于函數與有且只有一個交點，即或，解得：或，所以.17.已知數列中，，點在直線上.（1）求數列的通項公式及其前項的和；（2）設，證明：.解：（1）因為點在直線上，所以，又，故數列{}是以3為公比，3為首項的等比數列，所以，.（2）由題可知，記，所以①①，得②①②，得，故，又，故，即證18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，是等邊三角形，，點，分別為和的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求與平面所成角的正弦值.解：（1）取中點，連接，由為中點，為中點，得，又，則，因此四邊形為平行四邊形，于是，而平面平面，所以平面.（2）過作于點，連接，由，得≌，則，即，而，因此，又平面，則平面，平面，所以平面平面.（3）由（2）知，直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設平面的一個法向量，則，令，得，設與平面所成角為，，所以與平面所成角的正弦值是.19.已知橢圓的左?右焦點分別為，左?右頂點分別為，若以為圓心，1為半徑的圓與以為圓心，3為半徑的圓相交于兩點，若橢圓經過兩點，且直線的斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）點是直線上一動點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為.①求證直線恒過定點，并求出此定點；②求面積的最小值.解：（1）若以為圓心，1為半徑的圓與以為圓心，3為半徑的圓相交于兩點，若橢圓經過兩點，可得，可得，設，且，則，因為，可得，所以，所以橢圓的方程為.（2）①由（1）知，橢圓的焦點，設，則切線的方程為，即，點在直線上，所以，即，因為，所以，因為，所以，代入上式，可得所以，同理，所以直線恒過定點.②由（1）知直線恒過定點，令直線，代入橢圓方程，聯立方程組，可得，則，且，（i）當時，點到直線的距離為，因為，所以，所以，所以，所以，又由弦長公式，可得，所以，令，所以，則，因為在上單調遞減，所以在上單調遞增，所以；（ii）當時，，綜上可得，的最小值為.浙江省杭州市浙里特色聯盟2023-2024學年高二下學期4月期中聯考數學試題選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，且，則.故選：D2.在等差數列中，，，則的值是（）A.13 B.14 C.16 D.17【答案】B【解析】因為是等差數列，，，所以，即，解得.故選：B.3.已知空間向量，，則下列結論正確的是（）A. B.與夾角的余弦值為C. D.【答案】C【解析】對于A：，因為，所以與不平行，故A錯誤；對于B：與夾角余弦值為，故B錯誤；對于C：，，則，即，故C正確；對于D：，，故D錯誤；故選：C4.若函數，則（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】，所以.故選：A.5.若點是角終邊上一點，且，則y的值為（）A. B. C.－2 D.2【答案】D【解析】，又由三角函數的定義得，所以，又，解得.故選:D.6.已知圓與圓關于直線對稱，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圓，圓心，半徑，，圓心，半徑，由題意知，是圓和圓圓心連線的垂直平分線，，，的中點，圓心連線的斜率為，則直線的斜率為，故的方程：，即,故C正確．故選：C．7.我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來研究函數圖象的特征.我們從這個商標中抽象出一個圖象如圖，其對應的函數可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為函數的定義域為，函數的定義域為，函數與的定義域均為.由圖知的定義域為，排除選項B、D，又因為當時，，不符合圖象，所以排除選項C.故選：A.8.已知拋物線的焦點到準線的距離為4，過點的直線與拋物線交于兩點，為線段的中點，若，則點到軸的距離為（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設易知，從而準線方程為.設點點點坐標為，由拋物線的定義知，，所以有，所以到軸距離，故B正確；故選:B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數，則下列說法正確的是（）A.z的實部為1 B.z在復平面內對應的點位于第四象限C.z的虛部為﹣i D.z的共軛復數為【答案】ABD【解析】因為，所以z實部為1，虛部為-1，在復平面內對應的點為(1，-1)，在第四象限，共軛復數為，故C錯誤，ABD正確.故選：ABD10.袋子中共有大小和質地相同的4個球，其中2個白球和2個黑球，從袋中有放回地依次隨機摸出2個球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“兩次都摸到白球”，則（）A.甲與乙互斥 B.乙與丙互斥 C.甲與乙獨立 D.甲與乙對立【答案】BC【解析】首先抽取方法是有放回，每次摸出個球，共抽取次.基本事件為：白白，白黑，黑白，黑黑，共種情況.事件甲和事件乙可能同時發生：白黑，所以甲與乙不是互斥事件，A錯誤.事件乙和事件丙不可能同時發生，所以乙與丙互斥，B正確.事件甲和事件乙是否發生沒有關系，用表示事件甲，用表示事件乙，，則，所以甲與乙獨立，C正確.由于事件甲和事件乙是否發生沒有關系，所以不是對立事件.故選：BC11.如圖所示，“嫦娥五號”月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在P點處變軌進入以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點處變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設圓形軌道Ⅰ的半徑為R，圓形軌道Ⅲ的半徑為r，則（）A.軌道Ⅱ的長軸長為B.軌道Ⅱ的焦距為C.若不變，越小，軌道Ⅱ的短軸長越大D.若不變，越大，軌道Ⅱ離心率越小【答案】AB【解析】設橢圓長軸，短軸，焦距，對于A選項，由橢圓的性質可知，軌道Ⅱ的長軸長為，故選項A正確；對于B選項，由橢圓的性質知，，又因為，所以，故選項B正確；對于C選項，由前面選項知，若R不變，越小，越小，軌道Ⅱ的短軸長越小，故選項C錯誤；對于D選項，因為，若r不變，R越大，則越小，所以越大，軌道Ⅱ的離心率越大，故選項D錯誤.故選：AB.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，，則__________.【答案】【解析】因為向量，，，所以，解得，故答案為：13.已知直線：.若點在直線上，則數列的前n項和__________.【答案】【解析】直線過點,可得,,是等差數列，所以.故答案為：.14.古希臘數學家阿波羅尼斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數學的重要成果，其中有這樣一個結論：平面內與兩點距離的比為常數的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓,已知點,,動點滿足,則點的軌跡與圓的公切線的條數為______.【答案】2【解析】由題意設，易知，即可得，整理得點的軌跡方程為，其軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，而圓的圓心坐標為，半徑為1，可得兩圓的圓心距為2，大于，小于，則動點的軌跡與圓的位置關系是相交.故公切線的條數為2.故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，．再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并解決下面的問題：（1）求角的大??；（2）求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，不給分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）依題意，，由正弦定理得.選①，，則，三角形不存在，不符合題意.選②，，則，，則為銳角，且.且由得，三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合題意.選③，，由正弦定理得，由于，所以，則，則為銳角，且.由余弦定理得，即，得，所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合題意.（2）由（1）得三角形是等腰直角三角形，所以.16.已知在處取得極小值．（1）求的解析式；（2）求在處的切線方程；（3）若方程有且只有一個實數根，求的取值范圍.解：（1）由題意知，因為在處取得極小值則，解得：經檢驗，滿足題意，所以，所以（2）由題意知，，所以所以切點坐標為，斜率所以切線方程為：，即.（3）令，解得或，則，，的關系如下表：+00+單調遞增單調遞減單調遞增則，，方程有且只有一個實數根等價于有且只有一個實數根，等價于函數與有且只有一個交點，即或，解得：或，所以.17.已知數列中，，點在直線上.（1）求數列的通項公式及其前項的和；（2）設，證明：.解：（1）因為點在直線上，所以，又，故