第23講空間中的垂直關系學校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α相交于一點A，且對平面α內(nèi)任意一條過點A的直線m，都有l(wèi)⊥m，則稱直線l與平面α垂直(或l是平面α的一條垂線，α是直線l的一個垂面)，記作l⊥α，其中A為垂足.(2)直線與平面垂直的充要條件：直線l與平面α內(nèi)的任意直線都垂直.符號表示為：l⊥α??m?α，l⊥m.(3)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直m?α，n?α，m∩n≠?，l⊥m，l⊥n，則l⊥α性質(zhì)定理兩直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,m⊥α))?l∥m2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角稱為這條斜線與平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個平面稱為二面角的面；(2)二面角的平面角：在二面角αlβ的棱上任取一點O，以O為垂足分別在半平面α和β內(nèi)作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角.(3)二面角的范圍：[0，π].4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地，如果兩個平面α與β所成角的大小為90°，則稱這兩個平面互相垂直，記作α⊥β.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?α,l⊥β))?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面如果α⊥β，α∩β＝m，AO?α，AO⊥m，則AO⊥β.考點和典型例題1、直線、平面垂直的判定與性質(zhì)【典例1-1】（2022·全國·高二）設m、n是兩條不同的直線，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】D【詳解】A選項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可能平行，相交，異面，故A錯誤；B選項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則可能SKIPIF1<0，故B錯誤；C選項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則可能SKIPIF1<0，也可能SKIPIF1<0，故C錯誤；D選項，根據(jù)兩條平行線中的一條直線垂直一個平面，則另一條也垂直該平面，故D正確.故選：D.【典例1-2】（2022·山東煙臺·三模）若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為空間中的直線和平面，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0內(nèi)無數(shù)條直線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0內(nèi)所有直線，因此，命題“若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0內(nèi)無數(shù)條直線”正確，SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0內(nèi)無數(shù)條直線，若這無數(shù)條直線中無任何兩條直線相交，此時直線SKIPIF1<0可以在平面SKIPIF1<0內(nèi)，即不能推出SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0內(nèi)無數(shù)條直線”的充分不必要條件.故選：A【典例1-3】（2019·山西·東康一中高二階段練習）設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若m⊥n，n∥α，則m⊥αB．若m∥β，β⊥α，則m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α【答案】C【詳解】對于A，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m⊥α，故A錯誤；對于B，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，故B錯誤；對于C，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故C正確；對于D，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，故D錯誤.故選：C.【典例1-4】（2022·全國·高二課時練習）直三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中點，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，連接SKIPIF1<0，由題知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點是棱SKIPIF1<0上的中點，根據(jù)勾股定理，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C.【典例1-5】（2022·湖南岳陽·模擬預測）如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有（）A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面【答案】A【詳解】解析：原圖中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，F(xiàn)H∩EH＝H，又FHSKIPIF1<0平面EFH，EHSKIPIF1<0平面EFH，所以AH⊥△EFH所在平面．故A正確，B錯誤；由上知，SKIPIF1<0，故D錯誤；由原圖知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，故C錯誤.2、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【典例2-1】（2022·寧夏·石嘴山市第三中學模擬預測（文））設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩個平面，則SKIPIF1<0的充要條件是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平行于同一個平面 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直于同一個平面C．SKIPIF1<0內(nèi)一條直線垂直于SKIPIF1<0內(nèi)一條直線 D．SKIPIF1<0內(nèi)存在一條直線垂直于SKIPIF1<0【答案】D【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平行于同一個平面時，則SKIPIF1<0，A錯誤；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直于同一個平面時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，B錯誤；SKIPIF1<0內(nèi)一條直線垂直于SKIPIF1<0內(nèi)一條直線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，C錯誤；SKIPIF1<0內(nèi)一條直線垂直于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，反之也成立，D正確.故選：D．【典例2-2】（2022·安徽·南陵中學模擬預測（理））設m，n，l是三條不同的直線，SKIPIF1<0是兩個不同的平面，則下列命題為真命題的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】C【詳解】A選項，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可能異面，所以A選項錯誤.B選項，若SKIPIF1<0，則可能SKIPIF1<0，所以B選項錯誤.C選項，若SKIPIF1<0，根據(jù)面面垂直的判定定理可知SKIPIF1<0，所以C選項正確.D選項，若SKIPIF1<0，則可能SKIPIF1<0，所以D選項錯誤.故選：C【典例2-3】（2022·貴州·模擬預測（理））如圖，在四面體ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中點，則下列結論正確的是（

）A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC【答案】C【詳解】因AB=CB，AD=CD，E是AC的中點，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面ABC⊥平面BDE，C正確；在平面SKIPIF1<0內(nèi)取點P，作SKIPIF1<0，垂足分別為M，N，如圖，因平面ABC⊥平面BDE，平面ABCSKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面BDE，則有SKIPIF1<0，若平面ABC⊥平面ABD，同理可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，顯然BD與平面SKIPIF1<0不一定垂直，A不正確；過A作SKIPIF1<0邊SKIPIF1<0上的高SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊SKIPIF1<0上的高，則SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，而SKIPIF1<0不一定是直角，即平面ABD與平面BDC不一定垂直，B不正確；因SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，SKIPIF1<0不一定是直角，平面ABC與平面ADC不一定垂直，D不正確.故選：C【典例2-4】（2022·江西南昌·一模（理））已知在邊長為6的菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0.將四邊形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，當折起后得到的幾何體SKIPIF1<0的體積最大時，下列說法：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；③平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；④平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】將四邊形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折,得到幾何體SKIPIF1<0在幾何體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又SKIPIF1<0,所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故②正確.過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0則四棱錐SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是全等的兩個四棱錐.由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，故①不正確三棱柱SKIPIF1<0為直三棱柱.幾何體SKIPIF1<0的體積與三棱柱SKIPIF1<0體積相同.三棱柱SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0在直角三角形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0當SKIPIF1<0面積最大值時，幾何體SKIPIF1<0的體積最大.當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0面積最大值.由SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;故③正確.若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0則過點SKIPIF1<0有兩條直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0垂直，這與過平面外一點有且只有一條直線與平面垂直相矛盾.所以④不正確.故選：B【典例2-5】（2022·全國·高三專題練習）如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列結論正確的是（

）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】C【詳解】因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因為AC在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選：C3、平行、垂直關系的綜合應用【典例3-1】（2022·安徽省舒城中學三模（理））設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不同的直線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不同的平面，則下面說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】C【詳解】A：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相交，錯誤；B：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相交，錯誤；C：由SKIPIF1<0，則存在直線SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，根據(jù)面面垂直的判定易知SKIPIF1<0，正確；D：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，錯誤.故選：C【典例3-2】（2022·北京·北大附中三模）已知平面SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則下列命題中正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】A【詳解】選項A正確，因為垂直于同一直線的兩個平面互相平行；選項B錯誤，平面SKIPIF1<0和SKIPIF1<0也可以相交；選項C錯誤，直線SKIPIF1<0可能在平面SKIPIF1<0內(nèi)；選項D錯誤，直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0還可能相交或者異面.故選：A.【典例3-3】（2021·黑龍江·大慶外國語學校高二期末）如圖，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為矩形，四邊形SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；(2)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【解析】(1)證明：因為四邊形ABEF為矩形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面BCE，SKIPIF1<0平面BCE，所以SKIPIF1<0平面BCE．(2)過C作SKIPIF1<0，垂足為M，因為SKIPIF1<0，所以四邊形ADCM為矩形．因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面BCE，SKIPIF1<0平面BCE，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面BCE，又SKIPIF1<0平面ACF，所以平面SKIPIF1<0平面BCE．【典例3-4】（2022·江西南昌·高二期中（理））兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，過M作SKIPIF1<0于H，求證：(1)平面SKIPIF1<0平面BCE；(2)SKIPIF1<0平面BCE.【解析】(1)在正方形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0