2023九年級數(shù)學下冊第2章圓2.5直線與圓的位置關系2.5.2圓的切線第2課時切線的性質教案（新版）湘教版授課內容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教學內容分析本節(jié)課的主要教學內容為九年級數(shù)學下冊第2章圓2.5節(jié)中直線與圓的位置關系2.5.2小節(jié)——圓的切線第2課時：切線的性質。本節(jié)將深入探討圓的切線定義，切線與半徑的關系，以及圓的切線方程。教學內容與學生已有知識緊密聯(lián)系，學生在之前的學習中掌握了圓的基本概念、圓的方程、直線與圓的交點以及圓的半徑、直徑等基礎知識。在此基礎上，本節(jié)課將引導學生理解切線的幾何性質，掌握切線與半徑的垂直關系，并學會推導出圓的切線方程，深化對圓的性質的理解，為后續(xù)學習圓的相關問題打下堅實基礎。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標旨在通過切線性質的學習，培養(yǎng)學生的幾何直觀、邏輯推理和數(shù)學建模能力。學生將通過探索圓的切線性質，發(fā)展空間想象力和幾何直覺，提高對幾何圖形的分析和解決問題的能力。在邏輯推理方面，學生將運用已知的圓的性質和幾何定理，合理解釋切線與半徑的垂直關系，并能夠邏輯清晰地推導出圓的切線方程，強化演繹推理和邏輯思維。此外，通過數(shù)學建模，學生將能把實際問題抽象為數(shù)學模型，將切線性質應用于解決實際問題，提升運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，增強數(shù)學在實際生活中的應用意識。重點難點及解決辦法重點：圓的切線性質的理解與應用，圓的切線方程的推導。

難點：切線與半徑垂直關系的證明，切線方程在實際問題中的應用。

解決辦法：針對重點，通過直觀的幾何畫板演示和實際操作，幫助學生形象理解切線的性質，結合實例強化記憶。對于難點的突破，采用以下策略：

1.分步驟引導：先引導學生復習圓的半徑、直徑性質，再過渡到切線與半徑的垂直關系，逐步推進，降低理解難度。

2.小組合作：組織學生小組討論，共同探討切線垂直關系的證明方法，激發(fā)學生的合作探究意識。

3.實例講解：通過具體例題，展示切線方程的推導過程，并引導學生將實際問題轉化為數(shù)學模型，提高解題能力。

4.變式訓練：設計不同難度的練習題，讓學生在解決問題的過程中鞏固知識，提升應用能力。教學資源1.軟件資源：幾何畫板軟件，數(shù)學公式編輯器。

2.硬件資源：多媒體教學設備，投影儀，學生用平板電腦。

3.課程平臺：學校網(wǎng)絡教學平臺，用于發(fā)布預習資料、課件、課后作業(yè)等。

4.信息化資源：電子教材，教學視頻，動態(tài)數(shù)學圖形演示。

5.教學手段：PPT課件，實物模型，小組合作學習，課堂提問，課后在線答疑。教學流程（一）課前準備（預計用時：5分鐘）

學生預習：

發(fā)放預習材料，引導學生提前了解圓的切線性質的學習內容，標記出有疑問或不懂的地方。設計預習問題，激發(fā)學生思考，為課堂學習切線性質內容做好準備。

教師備課：

深入研究教材，明確教學目標和重難點。準備教學用具和多媒體資源，確保教學過程的順利進行。設計課堂互動環(huán)節(jié)，提高學生學習切線性質的積極性。

（二）課堂導入（預計用時：3分鐘）

激發(fā)興趣：

回顧舊知：

簡要回顧上節(jié)課學習的直線與圓的位置關系，幫助學生建立知識之間的聯(lián)系。提出問題，檢查學生對舊知的掌握情況，為學習新課打下基礎。

（三）新課呈現(xiàn)（預計用時：25分鐘）

知識講解：

清晰、準確地講解圓的切線性質，結合實例幫助學生理解。突出切線與半徑的垂直關系，強調切線方程的推導，通過對比、歸納等方法幫助學生加深記憶。

互動探究：

設計小組討論環(huán)節(jié)，讓學生圍繞切線性質問題展開討論，培養(yǎng)學生的合作精神和溝通能力。鼓勵學生提出自己的觀點和疑問，引導學生深入思考，拓展思維。

技能訓練：

總結歸納：

在新課呈現(xiàn)結束后，對切線性質知識點進行梳理和總結。強調重點和難點，幫助學生形成完整的知識體系。

（四）鞏固練習（預計用時：5分鐘）

隨堂練習：

設計隨堂練習題，讓學生在課堂上完成，檢查學生對切線性質知識的掌握情況。鼓勵學生相互討論、互相幫助，共同解決問題。

錯題訂正：

針對學生在隨堂練習中出現(xiàn)的錯誤，進行及時訂正和講解。引導學生分析錯誤原因，避免類似錯誤再次發(fā)生。

（五）拓展延伸（預計用時：3分鐘）

知識拓展：

介紹與切線性質相關的拓展知識，拓寬學生的知識視野。引導學生關注學科前沿動態(tài)，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和探索精神。

情感升華：

結合切線性質內容，引導學生思考學科與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的社會責任感。鼓勵學生分享學習心得和體會，增進師生之間的情感交流。

（六）課堂小結（預計用時：2分鐘）

簡要回顧本節(jié)課學習的切線性質內容，強調重點和難點。肯定學生的表現(xiàn)，鼓勵他們繼續(xù)努力。

布置作業(yè)：

根據(jù)本節(jié)課學習的內容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學習效果。提醒學生注意作業(yè)要求和時間安排，確保作業(yè)質量。知識點梳理1.圓的切線定義：圓的切線是與圓只有一個公共點的直線，且該點為切點。

2.圓的切線性質：

a.切線垂直于過切點的半徑。

b.過圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等。

3.圓的切線方程：

a.點斜式：已知切點坐標和切線斜率，切線方程可以表示為y-y0=k(x-x0)。

b.一般式：Ax+By+C=0，其中A、B、C為常數(shù)，且A、B不同時為0。

4.圓的切線判定：

a.若直線與圓有且僅有一個公共點，則該直線為圓的切線。

b.若直線與圓有兩個公共點，則該直線不是圓的切線。

5.圓的切線與半徑的關系：

a.切線與半徑垂直。

b.過切點的半徑是切線的中垂線。

6.圓的切線在實際問題中的應用：

a.求解與圓相關的位置關系問題。

b.求解與圓相關的長度、面積等問題。

7.圓的切線方程的推導：

a.利用點斜式求解切線方程。

b.利用一般式求解切線方程。

8.圓的切線在實際問題中的求解步驟：

a.確定切點和切線斜率。

b.根據(jù)切點和切線斜率，寫出切線方程。

c.利用切線方程解決實際問題。

9.圓的切線與其他幾何知識的聯(lián)系：

a.與圓的性質的聯(lián)系：半徑、直徑、周長、面積等。

b.與直線的性質的聯(lián)系：點斜式、一般式、斜率等。

c.與三角函數(shù)的聯(lián)系：在求解切線斜率時，可能涉及到三角函數(shù)的計算。

10.常見題型及解題方法：

a.求切線方程。

b.判斷直線是否為圓的切線。

c.求解與切線相關的長度、面積等問題。

d.利用切線性質解決實際問題。作業(yè)布置與反饋作業(yè)布置：

1.根據(jù)本節(jié)課學習的圓的切線性質和切線方程，完成以下練習題：

（1）已知圓C的方程為(x-2)2+(y+3)2=25，求過點P(4,-6)的圓C的切線方程。

（2）判斷以下直線是否為圓x2+y2=1的切線，并說明理由：

a.x+y-1=0

b.2x-3y+1=0

（3）已知圓O的半徑為r，直線l與圓O相切，切點為A，且OA垂直于直線l。求證：直線l的斜率為±√3。

2.結合圓的切線性質，解決以下實際問題：

（1）一塊圓形的草坪，直徑為10米，現(xiàn)要修建一條寬2米的環(huán)形小路，求小路的面積。

（2）在一張坐標紙上，有一個半徑為5的圓，其圓心坐標為(3,2)?，F(xiàn)要畫一條通過點P(8,7)的切線，求切線的方程。

作業(yè)反饋：

1.批改作業(yè)時，注意以下事項：

（1）檢查學生對圓的切線性質和切線方程的掌握情況。

（2）關注學生在解決問題時是否運用了合適的解題方法。

（3）觀察學生的計算過程，找出可能出現(xiàn)的錯誤。

2.針對作業(yè)中存在的問題，給出以下反饋：

（1）若學生在切線方程的推導過程中出現(xiàn)問題，應指導他們回顧教材中關于切線方程推導的步驟，加強訓練。

（2）若學生在解決實際問題時出現(xiàn)問題，應引導學生將實際問題轉化為數(shù)學模型，培養(yǎng)他們運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。

（3）對于計算錯誤，幫助學生分析錯誤原因，指導他們進行針對性的練習。

3.改進建議：

（1）鼓勵學生在學習過程中多與同學交流討論，共同解決問題，提高合作能力。

（2）建議學生多做類似的練習題，鞏固所學知識，提高解題能力。

（3）針對學生的薄弱環(huán)節(jié)，制定個性化的輔導計劃，幫助他們克服困難，提高學習效果。典型例題講解例題1：

已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=9，求過點P(4,-1)的圓C的切線方程。

解答：

由圓的切線性質，切線與半徑垂直，設切點為A，則AP為半徑，斜率為k的直線l通過點P，則直線l的斜率為-1/k。

由點斜式可得直線l的方程為y+1=-1/k(x-4)。

將圓C的方程代入直線l的方程中，得到：

(x-1)2+(-1/k(x-4)+2)2=9。

解得k=2/3或k=-3/2。

因此，切線方程為y+1=-3/2(x-4)或y+1=2/3(x-4)，

整理得3x+2y-11=0或2x-3y-5=0。

例題2：

判斷直線2x+3y-1=0是否為圓x2+y2=4的切線。

解答：

圓的半徑為r=2，圓心到直線的距離d=|2*0+3*0-1|/√(22+32)=1/√13。

因為d<r，所以直線2x+3y-1=0不是圓x2+y2=4的切線。

例題3：

已知圓O的半徑為3，直線l與圓O相切，切點為A，且OA垂直于直線l。求直線l的斜率。

解答：

由切線性質知，直線l的斜率k滿足k2+1=0。

解得k=±√3。

因為OA垂直于直線l，所以直線l的斜率為±√3。

例題4：

一塊圓形的草坪，直徑為10米，現(xiàn)要修建一條寬2米的環(huán)形小路，求小路的面積。

解答：

內圓半徑r=直徑/2=10/2=5米。

外圓半徑R=r+小路寬度=5+2=7米。

小路面積S=π(R2-r2)=π(72-52)=π(49-25)=π(24)≈75.4平方米。

例題5：

在一張坐標紙上，有一個半徑為5的圓，其圓心坐標為(3,2)?，F(xiàn)要畫一條通過點P(8,7)的切線，求切線的方程。

解答：

設切線方程為y-7=k(x-8)。

圓心到切線的距離d=|k*3-2-7|/√(k2+1)=5。

解得k=12/5或k=-3/4。

因此，切線方程為y-7=12/5(x-8)或y-7=-3/4(x-8)，

整理得12x-5y-17=0或3x+4y-44=0。內容邏輯關系①圓的切線定義：圓的切線是與圓只有一個公共點的直線，且該點為切點。

②圓的切線性質：

-切線垂直于過切點的半徑。

-過圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等。

③圓的切線方程：

-點斜式：已知切點坐標和切線斜率，切線方程可以表示為y-y0=k(x-x0)。

-一般式：Ax+By+C=0，其中A、B、C為常數(shù)，且A、B不同時為0。

④圓的切線判定：

-若直線與圓有且僅有一個公共點，則該直線為圓的切線。

-若直線與圓有兩個公共點，則該直線不是圓的切線。

⑤圓的切線與半徑的關系：

-切線與半徑垂直。

-過切點的半徑是切線的中垂線。

⑥圓的切線在實際問題中的應用：

-求解與圓相關的位置關系問題。

-求解與圓相關的長度、面積等問題。

⑦圓的切線方程的推導：

-利用點斜式求解切線方程。

-利用一般式求解切線方程。

⑧圓的切線在實際問題中的求解步驟：

-確定切點和切線斜率。

-根據(jù)切點和切線斜率，寫出切線方程。

-利用切線方程解決實際問題。

⑨圓的切線與其他幾何知識的聯(lián)系：

-與圓的性質的聯(lián)系：半徑、直徑、周長、面積等。

-與直線的性質的聯(lián)系：點斜式、一般式、斜率等。

-與三角函數(shù)的聯(lián)系：在求解切線斜率時，可能涉及到三角函數(shù)的計算。

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