第四章數列

等比數列的前n項和公式第2課時等比數列前n項和的性質及應用人教A版

數學選擇性必修第二冊課程標準1.掌握等比數列前n項和的性質及其應用.2.能夠運用學過的數列知識解決等差與等比數列的綜合問題.3.能夠運用等比數列的知識解決有關實際問題.基礎落實·必備知識一遍過關知識點等比數列前n項和的性質

公比為q的等比數列{an}的前n項和為Sn,關于Sn的性質常考的有以下四類:(1)當Sn≠0時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍組成等比數列,該數列的公比是qn;(4)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm.思考辨析為什么“當Sn≠0時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍組成等比數列,該數列的公比是qn”?提示

從前n項和的定義出發易知,Sn=a1+a2+a3+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+an+3+…+a2n=(a1+a2+a3+…+an)qn,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n=(an+1+an+2+an+3+…+a2n)qn,…,以此類推,所以當Sn≠0時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…組成公比是qn的等比數列.自主診斷1.[2024浙江高二期末]已知一個等比數列的項數是偶數,其奇數項之和為1011,偶數項之和為2022,則這個數列的公比為(

)

A.8 B.-2 C.4

D.2D2.已知等比數列{an}的前3項和為1,前6項和為9,則它的公比q等于(

)C解析

∵S3=1,S6=9,∴S6-S3=8=a4+a5+a6=S3q3=q3,即q3=8,∴q=2.重難探究·能力素養速提升重難探究·能力素養速提升探究點一

等比數列前n項和的性質

【例1】

(1)在等比數列{an}中,若S2=7,S6=91,則S4=

.

28解析

∵數列{an}是等比數列,且易知公比q≠-1,∴S2,S4-S2,S6-S4也構成等比數列,即7,S4-7,91-S4構成等比數列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28.(2)已知等比數列{an}共有2n項,其和為-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,則公比q=

.

2規律方法

等比數列前n項和的性質若等比數列{an}的前n項和為Sn,則(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特別地,如果公比q≠-1或雖q=-1但n為奇數時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構成等比數列.B(2)已知等比數列{an}共有32項,其公比q=3,且奇數項之和比偶數項之和少60,則數列{an}的所有項之和是(

)A.30 B.60

C.90 D.120D解析

設等比數列{an}的奇數項之和為S奇,偶數項之和為S偶,則S奇=a1+a3+a5+…+a31,S偶=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S奇.又S奇+60=S偶,則S奇+60=3S奇,解得S奇=30,S偶=90,故數列{an}的所有項之和是30+90=120.探究點二等差數列與等比數列的綜合問題的等差中項,6是2S2和3S3的等比中項.(1)求S2和S3;(2)求數列{an}的前n項和;(3)求數列{Sn}的前n項和.規律方法

數列綜合問題的關注點(1)等差數列與等比數列相結合的綜合問題是高考考查的重點,特別是等差與等比數列的通項公式、前n項和公式,以及等差中項、等比中項問題是歷年命題的熱點.(2)利用等比數列前n項和公式時應注意公比q的取值,熟悉兩種數列的性質,知道它們的推導過程,利用好性質,可降低題目的難度,解題時有時還需利用條件聯立方程組求解.變式訓練2已知各項均為正數的等差數列{an}的首項a1=1,a2,a4,a6+2成等比數列.(1)求數列{an}的通項公式;解

(1)設等差數列{an}的公差為d(d>0),∵a2,a4,a6+2成等比數列,∴

=a2(a6+2),即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+5d+2),整理得2d2-d-a1=0,又a1=1,∴2d2-d-1=0,則an=a1+(n-1)d=n,∴數列{an}的通項公式為an=n.探究點三數列在實際中的應用【例3】

某企業進行技術改造,有兩種方案.甲方案:一次性貸款10萬元,第一年便可獲利1萬元,以后每年比前一年增加30%的利潤;乙方案:每年貸款1萬元,第一年可獲利1萬元,以后每年比前一年增加5千元.兩種方案的使用期都是10年,到期一次性歸還本息.若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復利計息,試比較兩種方案,哪種方案凈獲利更多?(1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665)解甲方案:十年獲利中,每年獲利數構成等比數列,首項為1,公比為1+30%,前10項和為S10=1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9.32.50-13.21=19.29(萬元).比較兩方案可得甲方案凈獲利更多.規律方法

銀行存款中的單利是等差數列模型,利息按單利計算,本金為P元,每期利率為r,存期為n,則本利和公式為S=P(1+nr);復利是等比數列模型,按復利計算的一種儲蓄,本金為P元,每期利率為r,存期為n,則本利和公式為S=P(1+r)n.變式訓練3[北師大版教材例題]一個熱氣球在第1min上升了25m的高度,在以后的每1min里,它上升的高度都是它在前1min上升高度的80%.這個熱氣球上升的高度能達到125m嗎?本節要點歸納1.知識清單:(1)等比數列前n項和性質的應用.(2)等比數列前n項和的實際應用.2.方法歸納:公式法、分類討論法.3.常見誤區:(1)應用等比數列的性質時易忽略其成立的條件;(2)公比q不確定時易忽視對q的討論.重難探究·能力素養速提升學以致用·隨堂檢測促達標12341.已知等比數列{an}的前n項和Sn=54,前2n項和S2n=60,則前3n項和S3n=(

)C解析

易知公比q≠-1,由等比數列前n項和的性質,可得Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構成等比數列,即54,60-54,S3n-60成等比數列,可得(60-54)2=54×(S3n-60),解得12342.[2024江蘇高二期末]已知一個等比數列首項為1,項數是偶數,其奇數項之和為85,偶數項之和為170,則這個數列的項數為(

)A.2 B.4

C.8

D.16C解析

設這個等比數列{an}共有n項(n∈N*,n為偶數),公比為q,則奇數項之和為S奇=85,偶數項之和為S偶=170,12343.有一種細菌和一種病毒,每個細菌在每秒鐘殺死一個病毒的同時將自身分裂為2個,現在有1個這種細菌和200個這種病毒,問細菌將病毒全部殺死至少需要(

)A.6秒