1.3復數(shù)【題型解讀】【知識儲備】1．復數(shù)的有關概念(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中a叫做復數(shù)z的實部，b叫做復數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位)．(2)分類：滿足條件(a，b為實數(shù))復數(shù)的分類a＋bi為實數(shù)?b＝0a＋bi為虛數(shù)?b≠0a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0(3)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．復數(shù)的幾何意義復數(shù)z＝a＋bi與復平面內(nèi)的點Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系．3．復數(shù)的運算(1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)幾何意義：復數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行．如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).4．復數(shù)的三角形式如圖的復平面中，r＝eq\r(a2＋b2)，cosθ＝eq\f(a,r)，sinθ＝eq\f(b,r)，tanθ＝eq\f(b,a)(a≠0)．任何一個復數(shù)z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cosθ＋isinθ)的形式．我們把r(cosθ＋isinθ)叫做復數(shù)的三角形式．對應于復數(shù)的三角形式，把z＝a＋bi叫做復數(shù)的代數(shù)形式．復數(shù)乘、除運算的三角表示：已知復數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，則z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．【題型精講】【題型一復數(shù)的有關概念】必備技巧解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．例1(2023·安徽淮北·一模）若復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結論正確的是（

）A．的虛部為 B．在復平面內(nèi)對應的點在第四象限C． D．的共軛復數(shù)為例2(2023·安徽黃山·二模）已知復數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B．C． D．例3(2023·遼寧·二模）設（i為虛數(shù)單位），若為實數(shù)，則a的值為（

）A．2 B． C．1 D．【題型精練】1.(2023·浙江省義烏中學模擬預測）已知復數(shù)，其中是虛數(shù)單位，，下列選項中正確的是（

）A．若是純虛數(shù)，則這個純虛數(shù)為B．若為實數(shù)，則C．若在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，則D．當時，2．(2023·廣東茂名·二模）（多選）已知復數(shù)，，若為實數(shù)，則下列說法中正確的有（

）A． B．C．為純虛數(shù) D．對應的點位于第三象限3．(2023·江西鷹潭·一模）已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則復數(shù)的虛部為（

）A．1 B． C．2 D．4.(2023·內(nèi)蒙古赤峰·三模）若復數(shù)滿足，則（

）A．B．是純虛數(shù)C．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限D．若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在角的終邊上，則【題型二復數(shù)的四則運算】必備技巧復數(shù)的四則運算(1)復數(shù)的乘法：復數(shù)乘法類似于多項式的乘法運算．(2)復數(shù)的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)．例4(2023·陜西·西安中學二模）若復數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．例5(2023·河北·高三階段練習）已知復數(shù)，則（

）A． B． C． D．例6(2023·江蘇連云港·模擬預測）已知復數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【題型精練】1．(2023·上海民辦南模中學高三階段練習）在復數(shù)范圍內(nèi)，下列命題中為真命題的序號是______．①；

②若，則；③若，則；

④；⑤，則；

⑥；⑦兩個共軛復數(shù)的差是純虛數(shù)；⑧若，則z必為實數(shù)．2.（2023·北京·高考真題）在復平面內(nèi)，復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3.(2023·江蘇·新沂市第一中學模擬預測）復數(shù)（

）A． B． C．1 D．4.(2023·全國·高三專題練習）已知a，，i是虛數(shù)單位.若，則（）A． B． C． D．【題型三復數(shù)的幾何意義】必備技巧復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up7(→))；(2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結合的方法，使問題的解決更加直觀．例7(2023·河南·洛寧縣第一高級中學高三階段練習）復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例8(2023江西省景德鎮(zhèn)一中月考）在復平面內(nèi)，平行四邊形的三個頂點，A，B，C對應的復數(shù)分別為，，(為虛數(shù)單位)，則點D對應的復數(shù)為（）A. B. C. D.例9(2023·貴州畢節(jié)·三模）已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點與復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點關于虛軸對稱，則復數(shù)的共軛復數(shù)（

）A． B． C． D．【題型精練】1．(2023·全國·江西科技學院附屬中學高三階段練習）如圖所示，在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點為，則（

）A． B． C． D．2.(2023·全國·模擬預測）已知點，，，復數(shù)，在復平面內(nèi)對應的向量分別是，，則復數(shù)（

）A． B． C． D．3.(2023·寧夏·石嘴山市第一中學三模）設復數(shù)，若復數(shù)對應的點在直線上，則的最小值為___________【題型四復數(shù)的模】必備技巧復數(shù)的模1.復數(shù)的模：設eq\o(OZ,\s\up6(→))對應的復數(shù)為z＝a＋bi，則向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的長度叫做復數(shù)z＝a＋bi的模，|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2.兩個復數(shù)的差的模的幾何意義兩個復數(shù)的差的模的幾何意義是∶復平面內(nèi)與這兩復數(shù)對應的兩點之間的距離.即設復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點分別是，則=例10(2023·北京市十一學校高三階段練習）若復數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．2 C． D．例11(2023·河南開封·高三階段練習）已知為虛數(shù)單位，且，復數(shù)滿足，則復數(shù)對應點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．例12(2023·全國·高三專題練習）若復數(shù)z滿足，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．5 D．6【題型精練】1．(2023·陜西西安·三模）已知復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2.(2023·廣東·金山中學高三階段練習）已知復數(shù)z滿足，若z在復平面內(nèi)對應的點為，則（

）A． B．C． D．3.(2023·全國·高三專題練習）若z是復數(shù)，|z+2-2i|＝2，則|z+1-i|+|z|的最大值是（）A． B． C． D．1.3復數(shù)【題型解讀】【知識儲備】1．復數(shù)的有關概念(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中a叫做復數(shù)z的實部，b叫做復數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位)．(2)分類：滿足條件(a，b為實數(shù))復數(shù)的分類a＋bi為實數(shù)?b＝0a＋bi為虛數(shù)?b≠0a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0(3)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．復數(shù)的幾何意義復數(shù)z＝a＋bi與復平面內(nèi)的點Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系．3．復數(shù)的運算(1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)幾何意義：復數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行．如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).4．復數(shù)的三角形式如圖的復平面中，r＝eq\r(a2＋b2)，cosθ＝eq\f(a,r)，sinθ＝eq\f(b,r)，tanθ＝eq\f(b,a)(a≠0)．任何一個復數(shù)z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cosθ＋isinθ)的形式．我們把r(cosθ＋isinθ)叫做復數(shù)的三角形式．對應于復數(shù)的三角形式，把z＝a＋bi叫做復數(shù)的代數(shù)形式．復數(shù)乘、除運算的三角表示：已知復數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，則z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．【題型精講】【題型一復數(shù)的有關概念】必備技巧解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．例1(2023·安徽淮北·一模）若復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結論正確的是（

）A．的虛部為 B．在復平面內(nèi)對應的點在第四象限C． D．的共軛復數(shù)為答案：D【解析】.的虛部為，故A錯誤；在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，故B錯誤；，故C錯誤；的共軛復數(shù)為，故D正確.故選：D.例2(2023·安徽黃山·二模）已知復數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B．C． D．答案：A【解析】，，，故復數(shù)的虛部為.故選：A例3(2023·遼寧·二模）設（i為虛數(shù)單位），若為實數(shù)，則a的值為（

）A．2 B． C．1 D．答案：A【解析】，因為為實數(shù)，所以，解得.故選：A.【題型精練】1.(2023·浙江省義烏中學模擬預測）已知復數(shù)，其中是虛數(shù)單位，，下列選項中正確的是（

）A．若是純虛數(shù)，則這個純虛數(shù)為B．若為實數(shù)，則C．若在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，則D．當時，答案：D【解析】，對于A：當是純虛數(shù)時，則且，解得，此時這個純虛數(shù)為，故A不正確；對于B：當為實數(shù)時，則，解得，故B不正確；對于C：當在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，則，解得，故C不正確；對于D：當時，，所以，故D正確，故選：D.2．(2023·廣東茂名·二模）（多選）已知復數(shù)，，若為實數(shù)，則下列說法中正確的有（

）A． B．C．為純虛數(shù) D．對應的點位于第三象限答案：AC【解析】因為為實數(shù)，所以，解得，所以，，所以，故A正確，，故B錯誤，因為，所以，故C正確，因為，所以，其對應的點在第四象限，故D錯誤．故選:AC．3．(2023·江西鷹潭·一模）已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則復數(shù)的虛部為（

）A．1 B． C．2 D．答案：C【解析】依題意，，所以的虛部為.故選：C4.(2023·內(nèi)蒙古赤峰·三模）若復數(shù)滿足，則（

）A．B．是純虛數(shù)C．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限D．若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在角的終邊上，則答案：D【解析】由題設，且對應點在第一象限，A、C錯誤；不是純虛數(shù)，B錯誤；由在復平面內(nèi)對應的點為，所以，D正確.故選：D【題型二復數(shù)的四則運算】必備技巧復數(shù)的四則運算(1)復數(shù)的乘法：復數(shù)乘法類似于多項式的乘法運算．(2)復數(shù)的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)．例4(2023·陜西·西安中學二模）若復數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為.所以，故的虛部為.故選：A例5(2023·河北·高三階段練習）已知復數(shù)，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，故選：C．例6(2023·江蘇連云港·模擬預測）已知復數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意，，，；故選：D.【題型精練】1．(2023·上海民辦南模中學高三階段練習）在復數(shù)范圍內(nèi)，下列命題中為真命題的序號是______．①；

②若，則；③若，則；

④；⑤，則；

⑥；⑦兩個共軛復數(shù)的差是純虛數(shù)；⑧若，則z必為實數(shù)．答案：①⑤⑧【解析】①設，則，所以①正確②設，，但與不能比較大小所以②不正確③設，，則所以③不正確④設，則，所以④不正確⑤設，則，⑥當，時，，所以⑥不正確⑦如果兩個復數(shù)是實數(shù)，差值也是實數(shù)，所以⑦不正確⑧設（，），則，所以⑧正確故答案為：①⑤⑧2.（2023·北京·高考真題）在復平面內(nèi)，復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意可得：.故選：D.3.(2023·江蘇·新沂市第一中學模擬預測）復數(shù)（

）A． B． C．1 D．答案：D【解析】因為，所以故選：D4.(2023·全國·高三專題練習）已知a，，i是虛數(shù)單位.若，則（）A． B． C． D．答案：B【解析】因，a，，則有，所以.故選：B【題型三復數(shù)的幾何意義】必備技巧復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up7(→))；(2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結合的方法，使問題的解決更加直觀．例7(2023·河南·洛寧縣第一高級中學高三階段練習）復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：D【解析】，，，，則對應的點為，位于第四象限.故選：D.例8(2023江西省景德鎮(zhèn)一中月考）在復平面內(nèi)，平行四邊形的三個頂點，A，B，C對應的復數(shù)分別為，，(為虛數(shù)單位)，則點D對應的復數(shù)為（）A. B. C. D.答案：A【解析】由題知，，，，設.則，.因為為平行四邊形，所以.由，解得，所以點對應的復數(shù)為.故選：A.例9(2023·貴州畢節(jié)·三模）已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點與復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點關于虛軸對稱，則復數(shù)的共軛復數(shù)（

）A． B． C． D．答案：D【解析】復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，關于虛軸對稱的點為，所以，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，即，所以，.故選：D【題型精練】1．(2023·全國·江西科技學院附屬中學高三階段練習）如圖所示，在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點為，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】依題意，得，則.故選：A.2.(2023·全國·模擬預測）已知點，，，復數(shù)，在復平面內(nèi)對應的向量分別是，，則復數(shù)（

）A． B． C． D．答案：C【解析】依題意知，，于是，故選：C.3.(2023·寧夏·石嘴山市第一中學三模）設復數(shù)，若復數(shù)對應的點在直線上，則的最小值為___________答案：9【解析】故復數(shù)對應的點的坐標為，又因為點在直線，整理得：當且僅當時，即時等號成立，即的最小值為9故答案為：9【題型四復數(shù)的模】必備技巧復數(shù)的模1.復數(shù)的模：設eq\o(OZ,\s\up6(→))對應的復數(shù)為z＝a＋bi，則向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的