摘要對百分數統計意義的感悟與理解是學生數據意識發展的表現之一。扇形統計圖的教學要基于百分數統計意義的理解，以具有統計意義的現實數據為基點，以引發數據需求的現實情境為起點，以意義表征中理解圖表結構為支點，以指向問題解決的數據分析為重點，以對于不確定性的統計感悟為拐點，培養、發展學生數據意識，并促進其向數據觀念進階。關鍵詞數據意識；百分數；統計意義；隨機性；扇形統計圖；大數據與《義務教育數學課程標準（2011年版）》相比，《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年課標》）將原有的“數據分析觀念”發展為指向小學的“數據意識”和指向初中的“數據觀念”，這一改變體現了《2022年課標》在“統計與概率”領域核心素養培養目標上的一致性、層次性和階段性。《2022年課標》中另一變化就是將百分數從“數與代數”領域調整到“統計與概率”領域，建議通過現實問題中的隨機數據引入百分數學習，幫助學生了解百分數的統計意義，了解利用百分數可以認識現實世界中的隨機現象，作出判斷、制訂標準，同時引導學生了解扇形統計圖可以更好地表達和理解百分數。這一改變意味著在“百分數”和“扇形統計圖”這兩個單元的教學中，需要一以貫之、循序漸進地促進學生對百分數統計意義的感悟和理解。在“扇形統計圖”教學中，如何結合“百分數”單元共同促進學生對百分數統計意義的理解？如何在統計圖特征理解的基礎上發展數據意識？如何落實小學與初中在“統計與概率”領域核心素養培養目標上的一致性、層次性和階段性？筆者在“扇形統計圖”第一課時的教學中進行了一些思考與探索。一、具有統計意義的現實數據是培育數據意識的基點數據材料的選擇是統計教學的難點。這些數據材料首先要貼近學生生活現實，這有助于減輕學生的認知負荷，有利于學生更有效地參與學習活動；其次要源自真實的統計問題，體現統計學的特點，以激發學生學習的情感認同[1]。扇形統計圖作為小學階段學習的最后一種統計圖，其數據是百分數而非具體數量。《2022年課標》指出了百分數的兩種意義：一種是描述兩個確定數據之間的倍數關系，即百分數的數學意義，如酒精含量、利率、稅率等；另一種是描述兩個隨機數據之間的倍數關系，即百分數的統計意義，如射擊命中率、植物成活率等。只有用百分數描述隨機數據的倍數關系時其才具有統計意義[2]。“扇形統計圖”的教學，數據材料的選擇上應選用隨機性數據，表達出百分數的統計意義，這是進行統計推斷的保障，也是培育統計意識的基點。在“扇形統計圖”第一課時的教學中，筆者以“對比沿海城市和內陸城市空氣質量”為主題，以描述空氣質量情況的百分數數據實施教學。環保主題，市民關注度高，貼近學生生活現實；空氣質量，有一定的規律性，又具有隨機性，計算出的百分數具有統計意義。空氣質量的對比屬于“質”的對比，需要通過“量”進行刻畫，又可轉化為“率”實施對比，有助于深化學生對百分數統計意義的理解，催生數據意識。兩類城市的數據對比，需要通過抽樣、大數據等技術手段進行分析，同時又蘊涵著大量的、可從不同維度進行分析的信息，有助于學生開展統計推斷、演繹推理、批判質疑等活動，發展、提升他們的數據意識。二、引發數據需求的現實情境是培養數據意識的起點數據意識，其實質就是每當遇到問題的時候，會想到通過事實來分析，用數據來說話，只有這樣，才有可能客觀地反映實際情況，進而解決問題[3]。數據意識的形成不是表現為對統計指令的機械執行和對統計方法的被動接受，而是表現為對數據意義、價值及其隨機性的感悟與理解，以及統計數據需求、統計方法需求的自覺萌發，并逐步形成知、情、意的統一。教師應營造包含隨機性數據、具有數據沖突的現實情境，讓學生沉浸情境、萌發內需、主動思辨、體驗感悟、反思內省，這是培養數據意識的起點。隨機性數據從哪里來？我國著名統計學家陳希孺將隨機數據分為：重復測量同一對象數據、抽樣數據、試驗設計所得數據三類[4]。分析抽樣數據的性質或特征可以推斷總體的情況。“抽樣與數據分析”是初中階段學習的主題內容之一，小學階段未作要求，但在小學階段教學中適時結合具體問題情境，引導學生初步萌發抽樣的需求，了解簡單的抽樣方法，不僅有助于數據意識的形成，更能與初中教學內容相銜接，體現不同學段在“統計與概率”領域核心素養培養目標上的一致性、層次性和階段性。數據的沖突性又該如何體現？扇形統計圖的特征在于能直觀、清楚地反映各分量與總量之間的百分率關系，扇形統計圖的教學在情境創設中要體現生活數據與百分數間的轉換需求，體現百分數形成的必要性[5]。因此，雖然扇形統計圖的價值在于描述一個總量內各分量與總量的“縱向”比較關系，但要引發百分數形成的必要性內需，需要借助幾個不同總量中分量與分量的“橫向”比較關系展開，在“橫向”比較中引發認知沖突并引出百分數，這是學生對扇形統計圖用百分數進行數據表達，進而形成價值認可的前提。在本課教學中，筆者創設了引發數據需求、抽樣需求、百分數形成需求三個現實情境。1.基于經驗猜測，引發數據需求課始通過關于假期旅游的簡短談話，引導學生猜測沿海城市的空氣質量好，還是內陸城市的空氣質量好？學生基于海風、降水、綠化等經驗，均猜測是沿海城市空氣質量好。筆者追問：同學們結合經驗對兩類城市的空氣質量作出判斷，但經驗一定可靠嗎？怎樣進行準確比較？學生認為可以通過調查，收集沿海城市和內陸城市的空氣質量數據進行對比。學生在真實情境中現實問題的引導下，感受到許多問題的解決要先做調查研究、收集數據，只要有足夠的數據就能從中發現規律，自覺產生收集數據、用數據說話的內需。2.呈現現實困境，引發抽樣需求之后，筆者展示中國地圖并提出問題：中國的沿海城市有五六十個，內陸城市有五百多個，數量這么多，怎么比呢？有學生認為可以分別挑選一些有特點的城市，收集它們的空氣質量數據進行對比；也有學生認為如果要公平地比較，就應該在兩類城市中任意挑選一些，收集數據進行對比。筆者介紹，這樣的方法都叫“抽樣”，后一種方法屬于“隨機抽樣”。學生感受到，在面對現實問題時不必得到所有城市的相關數據，只需分析一部分數據（樣本）的性質或特征就可以推斷總體的情況。這樣，學生的抽樣意識自主萌發，為初中階段具體抽樣方法的學習積累經驗。3.設計對比障礙，引發百分數形成需求隨后，筆者呈現隨機抽樣的40個沿海城市和50個內陸城市的空氣質量等級信息，再將信息分類整理成復式統計表（見表1），引導學生仔細觀察并比較哪類城市空氣質量好。學生均認為因抽樣的沿海城市和內陸城市總數不相等，不好直接比較。還有學生提出建議：在這些數據的基礎上，可以分別算出兩類城市中空氣質量為優的城市占百分之幾、良的城市占百分之幾、污染的城市占百分之幾，通過百分數就可以比較。建議得到大家認可后，筆者呈現百分數統計表（見表2）。學生面對情境中的數據沖突，自覺產生將“量”轉化為“率”的需求，數據意識得以發展。三、意義表征中理解圖表結構是形成數據意識的支點在大數據背景下進行數據深度分析，是以理解統計圖表結構、掌握相關統計術語和符號為前提的。因扇形統計圖結構相對復雜，小學階段未對其制作提出教學要求，但學生在百分數學習過程中，已經積累了對百分數意義進行多元表征的經驗，因此，教學中可引導學生對同一單位“1”中的幾個簡單百分數進行多元表征，一方面能發展數感和幾何直觀，另一方面能深化對扇形統計圖中百分數意義的理解，還能通過學生差異化表征的展示、交流，讓學生理解扇形統計圖的結構，感悟扇形統計圖的特征，為后續進行數據分析提供支撐，為數據意識的形成和發展提供支點。呈現表2后，筆者組織三次活動，引導學生逐步理解數據意義、圖表結構，以及圖表內數據間的邏輯關系。1.多元表征，分層展示作品筆者以表2中沿海城市數據為例，組織學生寫一寫或用示意圖畫一畫，表示出對各個百分數意義的理解。之后筆者請學生上臺展示、介紹幾種典型作品（如圖1、圖2、圖3）。2.對比評價，理解作品共性展示、介紹后，組織學生對三位同學的作品進行點評，概括它們的異同。筆者首先肯定三位同學表示得都對，然后一邊用板貼逐步呈現完整的扇形統計圖（如圖４），一邊說明：數學統計時，通常用一個圓表示單位“1”的量，將圓平均分成100份，用不同大小的扇形表示各個部分量所占的百分率，再加上標題、制圖日期，就形成我們用數據說話的一種重要方式——扇形統計圖。3.圖表初析，理解內部邏輯接著筆者引導學生觀察完整的沿海城市空氣質量情況扇形統計圖，交流從中了解到的信息。期間筆者提問：如何計算各空氣質量等級的沿海城市的個數？之后筆者再呈現內陸城市空氣質量情況扇形統計圖（如圖5），學生交流圖表中信息時提問：已知空氣質量為優的城市有15個，怎樣計算內陸城市的總數？通過兩次提問，引導學生遷移運用百分數實際問題中的數量關系，促進他們對扇形統計圖中數據間邏輯關系的理解，發展學生應用意識。四、指向問題解決的數據分析是發展數據意識的重點讓數據說話，意味著尊重客觀事實。通過分析數據中蘊涵的信息，不僅可以讓學生感受統計應用的多樣性，滲透培養實事求是的科學精神，還能拓寬學生的知識面[6]。通過指向問題解決的問題設計，引發學生對數據的深度分析，有助于提升他們的數據感悟能力，體驗統計價值，這是發展學生數據意識的重點。1.對比選擇，理解統計圖表特征統計圖表是為了直觀地表達數據，因所要研究的問題不同，表達方式和特征也有所不同。扇形統計圖是為了直觀地表示各分量與總量間的百分率關系。這一特征，需要教師引導學生通過對比分析、選擇判斷等活動，體驗扇形統計圖與其他統計圖表的不同之處，感悟并認可其價值。在引導學生依次分析圖4、圖5兩幅扇形統計圖后，筆者引導學生回顧前一階段的學習，課件一一呈現抽樣城市的空氣質量情況記錄表、復式數量統計表、復式百分率統計表、兩幅扇形統計圖，提出問題：要比較兩類城市的空氣質量情況，你會選擇哪種方式比較？說說理由。交流中，學生均選擇扇形統計圖，理由是前兩種方式中的數據都只能看出具體數量，總數量不同時不好直接比較哪類城市空氣質量好，后兩種統計方式中的數據都是百分率，能直接比較空氣質量情況。扇形統計圖是在圓中用大小不同的扇形表示出各部分數量占總量的百分率，更清楚、直觀。學生通過整體回顧，梳理對同一組數據所用的不同表達方式，在現實問題的引導下、在多維對比中體驗扇形統計圖的鮮明特征，為今后結合問題背景靈活選擇合適的統計方式提供可能。2.比較判斷，感悟數據蘊涵的信息數據分析是統計教學的核心內容和重要目標，通過呈現一定量的真實數據，引導學生在“混亂”的數據中開展比較、判斷、預測、推斷等活動，能讓學生對數據的分析從局部走向整體，對問題的理解也會更具整體性、客觀性和深刻性。學生都認為扇形統計圖更便于比較時，筆者再整體呈現兩類城市空氣質量情況統計圖，引導學生比一比：12月9日哪類城市空氣質量好些呢？說說你的想法。有學生認為是內陸城市空氣質量好，因為空氣質量為“優”的內陸城市所占的百分率更大；有的學生認為是沿海城市空氣質量好，這些同學有的通過空氣質量為“污染”的城市所占百分率進行比較，有的綜合考慮空氣質量為“污染”“良”的城市所占百分率，同時兼顧空氣質量為“優”的城市所占百分率進行比較。在最后的交流辨析中，學生達成共識：整體看來，12月9日沿海城市空氣質量好一些。3.結論推斷，培育大數據意識在以往，隨機采樣能最大限度保證采樣分析的精確性，但隨機采樣可能存在信息遺漏，而大數據能夠為研究者提供數據的全部細節，彌補隨機采樣分析的劣勢。因此，大數據時代樣本統計在某些特定情境下仍具應用價值，但不再是數據分析的主要方式[7]。小學數學統計教學中，難以讓學生經歷真正意義的大數據統計，但適時引導學生感受大數據的特點，感悟大數據的價值，培育學生大數據意識，不僅體現數據意識培養的時代性，也體現統計與概率領域核心素養培養目標的上的一致性、層次性和階段性。對12月9日兩類城市空氣質量對比分析后，筆者提問：通過這一天數據的對比分析，我們能說沿海城市的空氣質量一定比內陸城市好嗎？學生均認為不能，因為這里只統計了一天的數據，其他時段的空氣質量情況不一定也是如此。同時學生進一步提出，要比較兩類城市的空氣質量情況，還要收集更多的數據。于是筆者呈現兩類城市2023年整個12月空氣質量情況的扇形統計圖，再次引導學生對比空氣質量情況。學生通過分析、交流，均認為沿海城市空氣質量好。筆者追問：從一天的數據分析到一個月的數據分析可知，沿海城市的空氣質量比內陸城市好。現在可以下定論了嗎？學生還是認為不能下定論，有的認為一個月的數據雖然比一天的數據有說服力，但還是不夠；有的認為這里只是40個沿海城市和50個內陸城市的數據，數據也不夠。筆者再追問：時間還不夠長，城市數量還不夠多，那該怎么辦呢？學生均認為要收集更多城市，最好是所有城市、更長時間的數據，制作成扇形統計圖再對比分析。最后，筆者說明：看來要得出最終結論，需要更多量的數據，我們可以稱之為“大數據”。學生在問題引導下，體驗到數據既有差異性又有規律性，數據越多則規律越明顯，所得到的規律也越可靠，感受到只要有足夠的數據，就可以從中發現規律。五、對于不確定性的統計感悟是提升數據意識的拐點自然界是混亂的、不可預測的，自然界的定律不過是對平均效應所進行的方便的、暫時