初中數學（北師大版）中考數學幾何模型【模型08】費馬點最值模型主講人：王建林【模型介紹】問題：平面內如何找一點

P，使得它到△ABC三個頂點的距離之和最小?費馬點是這樣確定的：(1)如果三角形有一個內角大于或等于120°，這個內角的頂點就是費馬點；(2)如果3個內角均小于120°，則在三角形內部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點．費馬點的性質：(1)費馬點到三角形三個頂點距離之和最小．(2)費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120°．數學家費馬最早解決了這個問題，故而把這類問題稱為“費馬點”問題．定義：數學上稱，到三角形三個頂點距離之和最小的點為費馬點．【結論證明】已知△ABC，平面內找一點

P

使

PA+PB+PC

最小?并指出點

P

的位置．快速方法：以△ABC任意一邊為邊，向外作等邊三角形，這條邊所對兩頂點的距離即為所求的最小值．解決費馬點問題的核心方法是旋轉法【模型介紹】加權費馬點最值問題在前面的問題中，如果我們在其前面加一下系數，又如何解決呢？(1)已知△ABC，平面內找一點

P，使

最小?【思路】由系數1:1:，可以聯想到等腰直角三角形，所以想辦法如何

構造出

PC

邊的根號2倍來，而其他兩邊保持不變．【模型介紹】加權費馬點最值問題在前面的問題中，如果我們在其前面加一下系數，又如何解決呢？(2)已知△ABC，平面內找一點

P，使

最小?【思路】由系數1:1:，可以聯想120°

的等腰三角形，可以構造出

PC

邊的根號3倍．但是此時∠ACB在出題時就必須限制小于60°．【模型介紹】加權費馬點最值問題在前面的問題中，如果我們在其前面加一下系數，又如何解決呢？(3)已知△ABC，平面內找一點

P，使3PA+4PB+5PC最小?【思路】把系數處理成：

，再利用旋轉放

縮構造出

PB

的五分之四和

PA

的五分之三即可，需要用到旋轉雙相似的

原理．出題時數據要造好，不能太難算，初中階段不要人為加大難度．【典型例題】【例1】(1)如圖，在△ABC

中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC

內一點，則

PA+PB+PC

的最小值為

．(2)若

P

為銳角△ABC

的費馬點，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，則PB=

．(3)如圖，P

是邊長為1的等邊△ABC

內的任意一點，求

t=PA+PB+PC

的取值范圍.【例2】已知，在△ABC中，∠ACB＝30°．(1)如圖1，當

AB＝AC＝2時，求

BC的值；(2)如圖2，當

AB＝AC，點

P是△ABC內一點，且PA＝2，PB＝

，PC＝3，

求∠APC的度數；(3)如圖3，當

AC＝4，AB＝(CB＞CA)，點

P是△ABC內一動點，

求

PA+PB+PC的最小值．【典型例題】【典型例題】【例3】如圖1，在△ABC

中，∠ACB＝90°，點

P

為△ABC

內一點．(1)連接

PB、PC，將△BCP

沿射線

CA

方向平移，得到△DAE，點

B、C、P

的對

應點分別為點D、A、E，連接CE．①依題意，請在圖2中補全圖形；②如果

BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求

CE

的長．(2)如圖3，以點A

為旋轉中心，將△ABP

順時針旋轉60°得到△AMN，連接

PA、

PB、PC，當

AC＝3，AB＝6時，根據此圖求

PA+PB+PC

的最小值．【典型例題】【例4】(1)如圖，四邊形

ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對角

線

BD(不含

B點)上任意一點，將△ABG繞點

B逆時針旋轉60°得到△EBF，當

AG+BG+CG取最小值時，則

EF的長為________．(2)如圖，四邊形

ABCD

是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M是菱形內任一點，連

接

AM，BM，CM，則

AM+BM+CM

的最小值為________．(3)如圖，正方形

ABCD內一動點

E到

A、B、C三點距離之和的最小值為

，

則正方形的邊長為________．(4)如圖，P為正方形

ABCD對角線

BD上一動點，若AB=2，則

AP+BP+CP的最小

值為________．【典型例題】【例5】如圖，四邊形ABCD

是正方形，△ABE

是等邊三角形，M為對角線BD上任

意一點

(不含

B點)，將

BM

繞點B

逆時針旋轉60°得到

BN，連接EN、AM、CM.(1)求證：△AMB≌△ENB；(2)①當M點在何處時，AM+CM的值最小；②當M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；(3)當AM+BM+CM

的最小值為時，求正方形的邊長.【典型例題】【例6】(1)如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點

M

為矩形內一點，點

E

為BC

邊上任意一點，則

MA+MD+ME

的最小值為______．(2)如圖，四個村莊坐落在矩形

ABCD

的四個頂點上，AB=10公里，BC=15公里，現