習題6-11.指出下列各微分方程的階數:(1)；一階 (2)；二階(3)；三階 (4).一階2.指出下列各題中的函數是否為所給微分方程的解:;解：由得代入方程得故是方程的解.;解：代入方程得.故是方程的解.;解：代入方程得.故不是方程的解.解：代入方程得故是方程的解.3.在下列各題中，驗證所給函數（隱函數）為所給微分方程的解:證：方程兩端對x求導：得代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.證：方程兩端對x求導：(*)得.(*)式兩端對x再求導得將代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.習題6-21.從下列各題中的曲線族里，找出滿足所給的初始條件的曲線:(1)；解：當時，y=5.故C=-25故所求曲線為：(2)(為常數)，.解：當x=0時，y=0故有.又當x=0時，.故有.故所求曲線為：.2.求下列各微分方程的通解:;解：分離變量,得積分得得.解：分離變量，得積分得得通解：;解：分離變量，得積分得得通解為.;解：分離變量，得積分得得通解為;解：分離變量，得積分得得通解為;解：積分得得通解為.;解：分離變量，得積分得即為通解..解：分離變量，得積分得得通解為：.3.求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解:;解：分離變量，得積分得.以代入上式得故方程特解為..解：分離變量，得積分得將代入上式得故所求特解為.4.求下列齊次方程的通解:;解：令原方程變為兩端積分得即通解為：;解：令，則原方程變為積分得即方程通解為解：令，則原方程變為即積分得故方程通解為;解：令,則原方程變為即積分得以代替u，并整理得方程通解為.;解：令，則原方程變為分離變量,得積分得以代替u，并整理得方程通解為到解：即令，則,原方程可變為即分離變量，得積分得.即以代入上式，得即方程通解為.5.求下列各齊次方程滿足所給初始條件的特解:;解：令，則得分離變量，得積分得即得方程通解為以x=0，y=1代入上式得c=1.故所求特解為..解：設，則原方程可變為積分得.得方程通解為以x=1，y=2代入上式得c=e2.故所求特解為.6.利用適當的變換化下列方程為齊次方程，并求出通解:利用適當的變換化下列方程為齊次方程，并求出通解：解：設，則原方程化為令代回并整理得.解：作變量替換，令原方程化為令,則得分離變量，得積分得即代回并整理得;解：作變量替換則原方程化為代回并整理得.解：令則原方程可化為分離變量，得積分得故原方程通解為7.求下列線性微分方程的通解:;解：由通解公式；解：方程可化為由通解公式得解：;解：.;解：方程可化為解：方程可化為8.求下列線性微分方程滿足所給初始條件的特解:;解：以代入上式得，故所求特解為..解：以x=1,y=0代入上式，得.故所求特解為.9.求下列伯努利方程的通解:解：令，則有即為原方程通解..解：令.即為原方程通解.習題6-31.求下列各微分方程的通解:;解：方程兩邊連續積分兩次得;解：積分得;解：令,則原方程變為故.;解：設，則原方程可化為即由p=0知y=c，這是原方程的一個解.當時，解：;解：;解：令,則得得故..解：令，則.原方程可化為2.求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解:;解：令，則,原方程可化為由知，，從而有由,得故或.;解：令，則.原方程可化為則以代入上式得則當x=1時，y=0代入得故所求特解為.;解：當，得以x=0,y=0代入上式得故所求特解為.;解：令，則.原方程可化為以代入上式得.以x=0,y=1代入上式得故所求特解為;解：令，則.原方程可化為即積分得以代入上式得,則以x=0,y=0代入得，故所求特解為即.即..解：令原方程可化為以代入得故由于.故，即積分得以x=0,y=1代入得故所求特解為.習題6-41.驗證及都是方程的解，并寫出該方程的通解.2.已知函數都是某二階線性非齊方程的解，求該方程的通解.*3.用觀察法求下列方程的一個非零特解，用劉維爾公式求第二個特解，然后寫出通解.（1） （2）4.求方程的通解.習題6-51.求下列微分方程的通解:;解：特征方程為解得故原方程通解為;解：特征方程為解得故原方程通解為;解：特征方程為解得故原方程通解為.;解：特征方程為解得故原方程通解為.;解：特征方程為解得故原方程通解為.解：特征方程為解得故原方程通解為.2.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解:;解：特征方程為解得通解為由初始條件得故方程所求特解為.解：特征方程為解得通解為由初始條件得故方程所求特解為.解：特征方程為解得通解為由初始條件得故方程所求特解為..解：特征方程為解得通解為由初始條件得故方程所求特解為.3.求下列各微分方程的通解:;解：得相應齊次方程的通解為令特解為,代入原方程得,解得,故,故原方程通解為.;解：對應齊次方程通解為令,代入原方程得比較等式兩邊系數得則故方程所求通解為.;解：,對應齊次方程通解為令代入原方程得解得則故所求通解為.;解：相應齊次方程的通解為令，代入原方程并整理得得則故所求通解為.;解：相應齊次方程通解為令代入原方程得得則故所求通解為.解：對應齊次方程通解為令代入原方程得故原方程通解為.習題6-61.求下列微分方程的通解：（1） （2）（3）（4）2.求下列微分方程的通解：（1） （2）（3） （4）習題6-7*求下列歐拉方程的通解:(1)；(2).（3）；（4）.（5）；（6）.解：（1）作變換，即t=lnx,原方程變為即特征方程為故.（2）設，則原方程化為①特征方程為故①所對應齊次方程的通解為又設為①的特解，代入①化簡得,故(3)(4)(5)(6)習題六1.填空題（1）微分方程滿足的特解為.（2）設為連續函數，且滿足方程，則的表達式為.（3）已知是某二階常系數非齊線性微分方程的3個解，則該方程的通解.（4）微分方程滿足的解為.(5)二階常系數非齊次線性微分方程的通解為y=.2.選擇題（1）設曲線的方程為，在上任一點處的切線與點到原點的連線垂直，若為任意正數，則的方程為（）.A. B.C. D.（2）設微分方程，則（其中為任意常數）（）.A.是這個方程的通解 B.是這個方程的特解C.不是這個方程的解 D.是這個方程的解，但既非它的通解也非它的特解（3）設線性無關的函數都是二階非齊次線性方程的解，是任意常數則該非齊方程的通解是（）.A. B.C.D.微分方程的一個特解形式是（A）.A.B.C.D.（5）在下列微分方程中，以（為任意常數）為通解的是（）.A.B.C.D.3.求解初值問題4.設是微分方程的一個特解，且當時，是與等價的無窮小量，求此特解.5.求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）（5）（6）.解：（5）由方程的特征方程解得特征根所以方程的通解為設的特解為，則，.代入原方程，解得，故特解為，所以原方程的通解為.6.在研究某種傳染病在一孤立環境條件下傳播時，把人群分成未感染者（健康人）和已感染者（病人）兩類.當健康人與病人有效接觸后受感染變成病人；病人治愈成為健康人后，健康人可再次被感染.設該環境下人群總人數為常數，假設：（=1\*ROMANI）在時刻健康人和病人數占總人數的比例分別為和；（=2\*ROMANII）在單位時間內，健康人受感染成為病人的人數為；（=3\*ROMANIII）在單位時間內，被治愈的病人數占病人總數的比例為常數.稱為接觸率，為治愈率，，.已知.（1）試建立函數的微分方程（將視為的連續可微函數）；（2）當時，求解該方程，計算，并說明此極限結果的實際意義.解：（1）有題意，在時刻