模塊檢測(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(每小題5分，共50分)1．一臺X型號的自動機床在一小時內需要工人照看的概率為0.8000，有四臺這種型號的自動機床各自獨立工作，則一小時內至多有2臺機床需要工人照看的概率是 ()．A．0.1536 B．0.1808C．0.5632 D．0.9728解析設四臺機床中需照看的臺數為X，則X～B(4,0.8)，故P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)·0.8k·0.24－k(k＝0,1,2,3,4)故所求概率為P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(0,4)×0.24＋Ceq\o\al(1,4)×0.8×0.23＋Ceq\o\al(2,4)×0.82×0.22＝0.0016＋0.0256＋0.1536＝0.1808.答案B2．設二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(3,x)))n的展開式各項系數的和為a，所有的二項式系數的和為b，若a＋2b＝80，則n的值為 ()．A．8 B．4C．3 D．2解析由題意得，a＝4n，b＝2n，又a＋2b＝80，所以4n＋2×2n－80＝0，即(2n)2＋2×2n－80＝0，(2n＋10)(2n－8)＝0，所以2n－8＝0或2n＋10＝0(不合題意，舍去)，所以，n＝3，選C.答案C3．下面是一個2×2列聯表：y1y2總計x1a2173x222527總計b46100則表中a，b的值分別為 ()．A．94,96 B．52,50C．52,54 D．54,52解析∵a＋21＝73，∴a＝73－21＝52.又∵a＋2＝b，∴b＝52＋2＝54.答案C4．如圖所示，用五種不同的顏色分別給A、B、C、D四個區域涂色，相鄰區域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有 ()．A．180種 B．120種C．96種 D．60種解析按區域分四步：第一步A區域有5種顏色可選；第二步B區域有4種顏色可選；第三步C區域有3種顏色可選；第四步由于D區域可以重復使用區域A中已有過的顏色，故也有3種顏色可選用．由分步乘法計數原理，共有5×4×3×3＝180種涂色方法．答案A5．若隨機變量ξ服從正態分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，則P(|ξ|<1.96)＝ ()．A．0.025 B．0.050C．0.950 D．0.975解析由隨機變量ξ服從正態分布N(0,1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)．所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故選C.答案C6．某中學在高二開設了數學史等4門不同的選修課，每個學生必須選修，且只能從中選一門．該校高二的3名學生甲、乙、丙對這4門不同的選修課的興趣相同．設X為甲、乙、丙這3個學生中選修數學史的人數，則EX等于 ()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,4) D．2解析由題意知，X的所有取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(33,43)＝eq\f(27,64)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·32,43)＝eq\f(27,64)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·3,43)＝eq\f(9,64)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),43)＝eq\f(1,64).∴X的分布列為X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)∴EX＝0×eq\f(27,64)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(9,64)＋3×eq\f(1,64)＝eq\f(3,4).答案C7．在如圖所示的電路圖中，開關a，b，c閉合與斷開的概率都是eq\f(1,2)，且是相互獨立的，則燈亮的概率是()．A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(7,8)解析設開關a，b，c閉合的事件分別為A，B，C，則燈亮這一事件E＝ABC∪ABeq\x\to(C)∪Aeq\x\to(B)C，且A，B，C相互獨立，ABC，ABeq\x\to(C)，Aeq\x\to(B)C互斥，所以P(E)＝P(ABC∪ABeq\x\to(C)∪Aeq\x\to(B)C)＝P(ABC)＋P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))＋P(A)P(eq\x\to(B))P(C)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).答案B8．在1,2,3,4的排列a1，a2，a3，a4中，滿足a2>a3的排列種數為 )．A．10 B．12C．24 D．26解析分3類完成：第1類，a2＝2，此時a3只有一種選擇(a3＝1)，其余2個數(3,4)在a1，a4兩個位置全排列，共有Aeq\o\al(1,1)Aeq\o\al(2,2)種排列方法；第2類，a2＝3，此時a3有Aeq\o\al(1,2)種選擇(a3＝1或a3＝2)，其余兩個位置(a1，a4)無約束條件，共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種排列方法．第3類，a2＝4，此時a1，a3，a4三個位置無約束條件，共有Aeq\o\al(3,3)種排列方法．由分類加法計數原理，共有Aeq\o\al(1,1)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＝12種排列方法．答案B9．一離散型隨機變量X的概率分布列為：X0123P0.1ab0.1且EX＝1.5，則a－b等于 ()．A．0.8 B．0.4C．0.2 D．0解析a＋b＝0.8,0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.5，∴a＋2b＝1.2.解之得a＝b＝0.4，∴a－b＝0.答案D10．假設有兩個變量X與Y的2×2列聯表如下表YXy1y2x1abx2cd對于以下數據，對同一樣本能說明X與Y有關系的可能性最大的一組為 ()．A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4解析運用獨立性檢驗，分別計算χ2的值，χ2的值越大，說明X與Y有關系的可能性越大．因為D項的χ2值最大，故選D.答案D二、填空題(每小題5分，共25分)11．若血色素化驗的準確率是p，則在10次化驗中，最多一次不準的概率是________．解析由題意知，血色素化驗的準確率為p，則不準確的概率為1－p，由獨立重復試驗發生的概率知，最多一次不準確包括一次不準確和全部準確，所以所求概率為Ceq\o\al(10,10)·p10＋Ceq\o\al(1,10)·(1－p)·p9.答案10p9－9p1012．已知兩個變量x和y之間線性相關，5次試驗的觀測數據如下：x100120140160180y4554627592那么變量y關于x的回歸直線方程是______________________________．解析由公式可求出b＝0.575，a＝－14.9，所以回歸直線方程為y＝0.575x－14.9.答案y＝0.575x－14.913．設X～B(2，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，則P＝________.解析∵X～B(2，p)，∴P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,2)pk(1－p)2－k，k＝0,1,2.∴P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X＝0)＝1－Ceq\o\al(0,2)P0(1－p)2＝1－(1－p)2.∴1－(1－p)2＝eq\f(5,9)，結合0≤p≤1，解之得p＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)14．已知離散型隨機變量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，則a＝________，b＝________.X－1012Pabceq\f(1,12)解析由題意，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝\f(11,12)，,－a＋c＋\f(1,6)＝0，,12×a＋12×c＋22×\f(1,12)＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝\f(11,12)，,－a＋c＝－\f(1,6),a＋c＝\f(2,3)，))，解得a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4).答案eq\f(5,12)eq\f(1,14)15．設隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))k(k＝1,2，…，n)，則實數a的值為________．解析依題意，P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)a，P(ξ＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2a…，P(ξ＝n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))na，由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋…＋P(ξ＝n)＝1，知aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,32)＋…＋\f(1,3n)))＝1，a·eq\f(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))),1－\f(1,3))＝1，∴a＝eq\f(2×3n,3n－1).答案eq\f(2×3n,3n－1)三、解答題(本題共6小題，共75分)16．(12分)設S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數m，n∈S，(1)設“使得m＋n＝0成立的有序數組(m，n)”為事件A，試列舉A包含的基本事件；(2)設ξ＝m2，求ξ的分布列及數學期望Eξ.解(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}，由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件為(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由m的所有不同取值為－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值為0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝9)＝eq\f(1,6).故ξ的分布列為ξ0149Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)所以，Eξ＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,3)＋9×eq\f(1,6)＝eq\f(19,6).17．(12分)已知：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展開式中偶數項的二項式系數的和比(a＋b)2n展開式中奇數項的二項式系數的和小120.求第一個展開式的第三項．解(a＋b)2n展開式中奇數項的二項式系數之和為22n－1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n展開式中偶數項的二項式系數的和為2n－1，依題意，有2n－1＝22n－1－120，即(2n)2－2n－240＝0，解得2n＝16或2n＝－15(舍去)，∴n＝4，于是，第一個展開式中第三項為T3＝Ceq\o\al(2,4)(eq\r(x))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))2＝6eq\r(3,x).18．(12分)為調查某地區老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣的方法從該地區調查了500位老年人，結果如下：性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270附：k＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(1)估計該地區老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；(2)在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下是否可認為該地區的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？(3)根據(2)的結論，能否提出更好的調查方法來估計該地區的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由．解(1)調查的500位老人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為eq\f(70,500)＝14%.(2)k＝eq\f(500×40×270－30×1602,70×430×200×300)≈9.967，由于9.967>6.635，因此，在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為該地區的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關．(3)由(2)的結論知，該地區的老年人是否需要幫助與性別有關，并且從樣本數據中能看出該地區男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調查時，先確定該地區老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機抽樣的方法更好．19．(12分)經有關部門調查，得到部門國家13歲學生的數學測試平均分數y(分)與授課天數x(天)的數據如下：中國韓國瑞士俄羅斯法國以色列加拿大英國美國約旦授課天數251222207210174215188192180191平均分數80737170646362615546試作出該數據的散點圖，并根據散點圖來判斷兩者是否線性相關，若線性相關，則求出回歸直線方程．解畫出散點圖如圖所示．由散點圖可得，授課天數x與平均分數y線性相關．由題表中數據，得eq\x\to(x)＝203，eq\x\to(y)＝64.5，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝416824，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝132418.所以b＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10x]y],eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)－10eq\x\to(x)2)＝eq\f(132418－10×203×64.5,416824－10×2032)≈0.3133，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈64.5－0.3133×203＝0.9001.所以所求的回歸直線方程是y＝0.3133x＋0.9001.20．(13分)一個袋中裝有大小相同的球，其中紅球5個，黑球3個．現從中隨機摸出3個球．(1)求至少摸到一個紅球的概率；(2)求摸到黑球的個數X的分布列、均值和方差.解(1)至少摸到1個紅球的概率為1－eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝1－eq\f(1,56)＝eq\f(55,56).(2)由題意知，X服從參數N＝8，M＝3，n＝3的超幾何分布，X的可能取值為0,1,2,3，則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,5),C\o\al(3,8))(k＝0,1,2,3)．∴P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(5,28)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56).∴X的分布列為X0123Peq\f(5,28)eq\f(15,28)eq\f(15,56)eq\f(1,56)∴EX＝0×eq\f(5,28)＋1×eq\f(15,28)＋2×eq\f(15,56)＋3×eq\f(1,56)＝eq\f(9,8).DX＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(9,8)))2×eq\f(5,28)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,8)))2×eq\f(15,28)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(9,8)))2×eq\f(15,56)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(9,8)))2×eq\f(1,56)≈0.502.21．(14分)在某校組織的一次籃球定點投籃訓練中，規定每人最多投3次；在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學在A處的命中率q1為0.25，在B處的命中率為q2，該同學選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用ξ表示該同學投籃訓練結束后所得的總分，其分布列為ξ02345P0.03P1P2P3P4(1)求q2的值；(2)求隨機變量ξ的數學期望Eξ；(3)試比較該同學選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小．解(1)設該同學在A處投中為事件A，在B處投中為事件B，則事件A，B相互獨立，且P(A)＝0.25，P(eq\x\to(A))＝0.75，P(B)＝q2，P(eq\x\to(B))