第十章概率章末測試(提升)

一、單選題(每題只有一個選項為正確答案，每題5分，8題共40分)

1.(2021?甘肅?張掖市第二中學)一個學習小組有5名同學，其中2名男生，3名女生.從這個小組中任

意選出2名同學，則選出的同學中既有男生又有女生的概率為()

1234

A.—B.—C.-D.一

5555

【答案】C

【解析】5人小組中，設2男生分別為a,6,3名女生分別為A,B,C,

則任意選出2名同學，共有：(a,6),(a,A),(a,3),(a,C),(6,A),(6,8),(6,C),(A,8),(A,C),(氏C)10個基本事件，

其中選出的同學中既有男生又有女生共有(a,A),(“,B),(a,C),(b,A),(6,B),(b,06個基本事件,

所以P=*=g,故選：C

2.(2021?福建三明?高一期末)袋子中有大小、形狀、質地完全相同的4個小球，分別寫有“風”、“展”、

“紅”、“旗”四個字，若有放回地從袋子中任意摸出一個小球，直到寫有“紅”、“旗”的兩個球都摸到就

停止摸球.利用電腦隨機產生1到4之間取整數值的隨機數，用1,2,3,4分別代表“風”、“展”、“紅”、

“旗”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示摸球三次的結果，經隨機模擬產生了以下20組隨機數：

411231324412112443213144331123

114142111344312334223122113133

由此可以估計，恰好在第三次就停止摸球的概率為()

131￡

AA.—B.—C.一D.

102054

【答案】B

【解析】由題得恰好在第三次就停止摸球的隨機數有：324,443,334,共有3個.

由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率為2=土3.

故選:B

3.(2021?云南昆明?高一期末)已知一個古典概型的樣本空間。和事件A和3,其中〃(。)=12,〃(A)=6,

“(8)=4,“(AB)=8,那么下列事件概率錯誤的是()

A.P(A8)=!B.P(AB)=-

63

_1一2

C.P(AB)=-D.P(AB)=-

63

【答案】D

【解析】對于選項A：〃(四)=〃(A)+〃(或一”(AB)=6+4-8=2,所以尸(AB)=嚶=J,故A正

n(L2)126

確；

對于選項B：P(A=故B正確；

n(L2)123

對于選項C：n(AB)=n(B)-n(AB)=4-2=2f所以P(A8)="當===’,故C正確；

〃g)126

____u(4i

對于選項D：n(AB)=n(Q)-n(A5)=12—8=4,所以尸(A5)=-故D錯誤.

n(￡2)123

故選：D.

4.(2021?湖南?長沙一中高一月考)下列說法正確的個數有()

⑴擲一枚質地均勻的的骰子一次，事件游”出現偶數點”，游“出現3點或6點”.貝IJ"和N相互獨

立；

(2)袋中有大小質地相同的3個白球和1個紅球.依次不放回取出2個球，則“兩球同色”的概率是

(3)甲乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶率為0.8,乙的中標率為0.9,則“至少一人中靶”的概

率為0.98；

、4

⑷柜子里有三雙不同的鞋，如果從中隨機地取出2只，那么“取出地鞋不成雙”的概率是y;

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】對于(1)：擲一枚質地均勻的的骰子一次，尸(加)=2=5，尸(N)=d=］，

尸(MN)=；xg=g,即尸(肱V)=P(M)尸(N),故事件M和N相互獨立；⑴正確；

對于(2)：袋中有大小質地相同的3個白球和1個紅球.依次不放回取出2個球，若“兩球同色”則都是

白球，則''兩球同色”的概率是4x-=-,(2)錯誤；

432

對于(3)：“至少一人中靶”的概率為1—(l-0.9)x(l—0.8)=0.98,⑶正確；

對于(4)：柜子里有三雙不同的鞋，如果從中隨機地取出2只，共有或=15種,

124

取出的鞋成雙的只有3種，那么“取出的鞋不成雙”有15-3=12種，所以“取出的鞋不成雙”的概率是百=二，

（4）正確綜上可知正確的有（1）（3）（4）故選:C

5.（2021?江蘇?高一單元測試）下列命題中正確的是（）

A.事件A發生的概率尸（4）等于事件A發生的頻率力（㈤

B.一個質地均勻的骰子擲一次得到3點的概率是說明這個骰子擲6次一定會出現一次3點

0

C.擲兩枚質地均勻的硬幣，事件A為“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件8為“兩枚都是正面朝上”，

則尸（A）=2尸（3）

D.對于兩個事件A、B,若尸（AB）=P（A）+P（B）,則事件A與事件B互斥

【答案】C

【解析】對于A選項，頻率與實驗次數有關，且在概率附近擺動，故A選項錯誤；

對于B選項，根據概率的意義，一個質地均勻的骰子擲一次得到3點的概率是3，表示一次實驗發生的可能

0

性是：，故骰子擲6次出現3點的次數也不確定，故B選項錯誤；

0

對于C選項，根據概率的計算公式得尸（A）=：X：X2=J,P（B）=1X1=1故尸（A）=2P（B）,故C選項

正確；

對于D選項，設工4-3,3］,A事件表示從卜3,3］中任取一個數x,使得3］的事件，則尸（A）=（,B事

件表示從［-3,3］中任取一個數x,使得xe［-2,l］的事件，貝"（A）=g,顯然

P（A8）=2=：+==尸（A）+P（B）,此時A事件與B事件不互斥，故D選項錯誤.

6.（2021?江蘇南通?高一期末）已知。e{0,l,2},6e{-l,L3,5},則函數/（x）=+-2法在區間（1,+s）上為

增函數的概率是

A.—B.-C.-D.-

12346

【答案】A

【解析】ae{0,1,2},6e{-U,3,5},.?.基本事件總數“=3x4=12.用（“㈤表示。力的取值.

若函數/（尤）=ax?_2"在區間（L內）上為增函數,則

①當。=0時，/。）=-2"，符合條件的只有（0,-1）,即。=0"=—1；

b

②當時，則由題意a>0,只需滿足士,J符合條件的有（-1）,（1,1）,（2,-1）,（2,1）,共4種.

a

???函數/（x）=加-2廄在區間（1,+8）上為增函數的概率尸='.

故選：A

7.（2021?江蘇?高一單元測試）一個電路如圖所示，A,B,C,D,E,F為6個開關，其閉合的概率為3，

且是相互獨立的，則燈亮的概率是（）

【答案】B

【解析】設A與3中至少有一個不閉合的事件為T,E與尸至少有一個不閉合的事件為R,則

11QOQ11CC

P（T）=P（Z?）=l--x-=-,所以燈亮的概率為尸=1一尸（T）?尸（RjP（C）.P（r>）=l--x-x-x-=—,故

乙乙III乙乙V/I

選B.

8.（2021?全國?高一課時練習）連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數分別為祖，〃，記/=m+〃，則

下列說法正確的是

A.事件一=12”的概率為gB.事件“，是奇數"與“加="”互為對立事件

C.事件“t=2”與",43”互為互斥事件D.事件"/>8且相〃<32”的概率為!

4

【答案】D

【解析】對于A,好12=6+6,則概率為上工,，選項錯誤；

6636

對于B,是奇數”即向上的點數為奇數與偶數之和，其對立事件為都是奇數或都是偶數，選項錯誤；

對于C,事件“t=2”包含在“徐3”中，不為互斥事件，選項錯誤；

對于D,事件"f>8且mn<32”的點數有:（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,4b（5,5）,（5,6）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,共9種，

91

故概率為：=大選項正確；

6x64

綜上可得,選D.

二、多選題（每題至少有2個選項為正確答案，每題5分，4題共20分）

9.（2021?遼寧?建平縣實驗中學高一月考）某社團開展“建黨100周年主題活動一一學黨史知識競賽”，

甲、乙兩人能得滿分的概率分別為（3，9兩人能否獲得滿分相互獨立，則下列說法錯誤的是：（）

A.兩人均獲得滿分的概率為gB.兩人至少一人獲得滿分的概率為:

C.兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為=D.兩人至多一人獲得滿分的概率為百

412

【答案】BCD

【解析】???甲、乙兩人能得滿分的概率分別為：3，§2，兩人能否獲得滿分相互獨立，

分別記甲、乙得滿分的事件為MN,則“M）=王2（"）=],機"獨立.

兩人均獲得滿分的概率為：

321

P（MN）=P（M）P（N）==故A正確；

兩人至少一人獲得滿分的概率為：

兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為：

尸（MN）=P（M）（l_p（N））=；x[_gJ=；,故C錯誤；

兩人至多一人獲得滿分的概率為：

l-P（W）=1-^=1，故D錯誤.

故選：BCD.

10.（2021?湖南張家界?高一期末）分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件"第一枚硬幣正面朝上”,

事件N="第二枚硬幣反面朝上”，則下列說法中正確的是（）

A.河與N是互斥事件B.M與N是對立事件

C.P（M）=P（N）D.M與N是相互獨立事件

【答案】CD

【解析】由事件河="第一枚硬幣正面朝上"，事件N="第二枚硬幣反面朝上”，

可知兩事件互不影響，即〃與“相互獨立，

易得P（M）=；,所以P（MuN）=P（M）+P（N）=l，且尸（M）=P（N）,

綜上，選項。和選項，正確.

故選：CD.

11.（2021?江蘇省天一中學高一期末）下列說法正確的是（）

A.甲乙兩人獨立地解題，已知各人能解出的概率分別是0.5,0.25,則題被解出的概率是0.125

B.若A,B是互斥事件,則P（AB）=P（A）+P（B）,P（AB）=O

C.某校200名教師的職稱分布情況如下：高級占比20%,中級占比50%,初級占比30%,現從中抽取50名

教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則高級教師應抽取10人

2

D.一位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生相鄰的概率是］

【答案】BCD

【解析】對于A,\?他們各自解出的概率分別是;，則此題不能解出的概率為

24

=則此題能解出的概率為故A錯；

對于B,若A,8是互斥事件，則尸（A8）=P（A）+P（B）,P（AB）=O,故B正確；

對于C,高級教師應抽取50x20%=10人，故C正確；

2

對于D,由列舉法可知，兩位女生相鄰的概率是］,故D正確.

故選：BCD.

12.（2021?山東煙臺?高一期末）算盤是我國古代一項偉大的發明，是一類重要的計算工具.下圖是一把算

盤的初始狀態，自右向左，分別表示個位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5,下面一

粒珠子（簡稱下珠）代表h五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個位撥動一粒上珠、十位撥動一

粒下珠至梁上，表示數字15.現將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，設事件A="表

示的四位數能被3整除"，8="表示的四位數能被5整除"，則（）

檔7?上珠

梁）HAMH”“j

mJ州愕博出下珠

31113

A.P（A）=-B.P（B）=-C.P（AoB）=—D.P（AB）=—

831616

【答案】ACD

【解析】只撥動一粒珠子至梁上，因此數字只表示1或5,四位數的個數是24=16,能被3整除的數字1

和5各出現2個，因此滿足條件的四位數和個數是C；=6,所以P（A）=$=］,

168

Q1

能被5帶除的四位數個數為23=8,/8)=白=彳，能被15帶除的是能被3整除的四位數的個數是5,因

162

此滿足這個條件的四位數的個數是c；=3,概率為P(AB)=3，

16

31311

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=-+

o2lolo

故選：ACD.

三、填空題(每題5分，4題共20分)

13.(2021?全國?高一專題練習)將一顆質地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點

的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現向上的點數之和小于10的概率是.

【答案】j

6

【解析】基本事件總數為36,點數之和小于10的基本事件共有30種，所以所求概率為普=攝

14.(2021?安徽舒城?高一期末)天氣預報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%.現采用隨

機模擬試驗的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率：先利用計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，

用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨；再以每三個隨機數作為一組，代表這三天的

下雨情況.經隨機模擬試驗產生了如下20組隨機數：

488932812458989431257390024556

734113537569683907966191925271

據此估計，這三天中恰有兩天下雨的概率近似為.

【答案】0.3

【解析】由題意知模擬三天的下雨情況，經隨機模擬產生了20組隨機數，

在20組隨機數中表示三天中恰有兩天下雨的有：932、812、024、734、191、271,共6組隨機數，

二所求概率為尸=0.3.故答案為：0.3

15.(2021唾國?高一課時練習)一次擲兩枚骰子,得到的點數為0和〃,則關于x的方程尤2+(7〃+〃)X+4=0

有實數根的概率是.

【答案咤

【解析】由題意知：基本事件共有6x6=36個

方程有實根A=+M)2—16>0/.m+n>4

其對立事件為：m+n<4,包含：(1,1),(1,2),(2,1)共3個基本事件

311

二.所求概率為尸=1-0二百

3612

本題正確結果：工

12

16.（2021?山東萊西?高一期末）一個數字不重復的三位數的百位、十位、個位上的數字依次記為。，b,

c,當且僅當“，b,。中有兩個不同數字的和等于剩下的一個數字時，稱這個三位數為“有緣數”（如213,

341等）.現從1,2,3,4這四個數字中任取三個數組成一個數字不重復的三位數，則這個三位數為“有緣

數”的概率是.

【答案】y-

【解析】從1,2,3,4這四個數字中任取三個數組成一個數字不重復的三位數的個數為閻=24,

1,2,3,4這四個數字中兩個的和等于第三個的有123,134,因此“有緣數”個數為團+闋=12,

所示概率為P=￡故答案為：

2422

四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）

17.（2021?全國?高一課時練習）在某地區，某項職業的從業者共約8.5萬人，其中約3.4萬人患有某種

職業病：為了解這種職業病與某項身體指標（檢測值為不超過6的正整數）間的關系，依據是否患有職業病，

使用分層抽樣的方法隨機抽取了100名從業者，記錄他們該項身體指標的檢測值，整理得到如下統計圖：

口未患病者,患病者

（1）求樣本中患病者的人數和圖中a,6的值；

（2）試估計此地區該項身體指標檢測值不低于5的從業者的人數；

（3）某研究機構提出，可以選取常數X°=4.5,若一名從業者該項身體指標檢測值大于X。，則判定其患有這

種職業病；若檢測值小于X。，則判定其未患有這種職業病.從樣本中隨機選擇一名從業者，按照這種方式判

斷其是否患病，求判斷錯誤的概率.

21

【答案】（1）患病者的人數為40,4=0.05,6=0.40；（2）31450；（3）—.

【解析】(1)根據分層抽樣原則，容量為100的樣本中，患病者的人數為100X黃=40.

0.5

a=l-0.10-0.35-0.25-0.15-0.10=0.05,Z>=1-0.10-0.20-0.30=0.40.

(2)由(1)可知，患病者的人數為40,未患病的人數為60,該項身體指標檢測值不低于5的樣本中，有患病

者40x(0.30+0.40)=28(人)，未患病者60x(0.10+0.05)=9(人)，共37人.

故估計此地區該項身體指標檢測值不低于5的從業者的人數為^x85000=31450.

⑶當X0=4.5時,在100個樣本數據中，有40x(0.10+0.20)=12(名)患病者被誤判為未患病，有

60x(0.10+0.05)=9(名)未患病者被誤判為患病，

因此判斷錯誤的概率為益21.

18.(2021?安徽?定遠縣育才學校高一期末)如圖，從參加環保知識競賽的學生中抽出40名，將其成績(即

為整契)整理后畫出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問題：

⑴80~90這一組的頻數、頻率分別是多少？

(2)估計這次環保知識競賽成績的平均數、眾數、中位數.

(3)從成績是80分以上(包括80分)的學生中選兩人，求他們在同一分數段的概率.

7

【答案】⑴4,0.1；(2)68.5,75,70；⑶石.

【解析】(1)根據題意,40~50的這一組的頻率為001x10=0」，

50~60的這一組的頻率為。015乂10=0.15,

60~70的這一組的頻率為0.025x10=0.25,

70~80的這一組的頻率為0.035x10=0.35,

90~100的這一組的頻率為0.005x10=0.05,

貝U80~90這一■組的頻率為1—(0.1+0.15+0.25+0.35+0.05)=0.1,

其頻數為40x0.1=4；

(2)這次競賽的平均數為45x0.1+55x0.15+65x0.25+75x0.35+85x0.1+95x0.05=68.5,

70~80一組的頻率最大，人數最多，則眾數為75,

70分左右兩側的頻率均為0.5,則中位數為70；

(3)記“取出的2人在同一分數段”為事件E,

因為80~90之間的人數為40x0.1=4,設為a、b、c、d,

90~100之間有40x0.05=2人，設為A、8,

從這6人中選出2人，有

(a,b)、(a,c)、(a,d)、(b,c),(b,d)、

(仇4)、(b,B)、(c,d)、(c,A)、(c,3)、(d,A)、(d,B)、

(AB),共15個基本事件,

其中事件￡包括(a,6)、S，c)、(a,d)、(瓦c)、(瓦d)、(c,d)、(A3),共7個基本事件,

7

則尸(功=行.

19.(2021?天津市薊州區擂鼓臺中學高一月考)乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙

各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為：，乙每輪猜對的概率為|■?在每輪活動中，甲和乙猜對與否互

不影響，各輪結果也互不影響，求

(1)“星隊”在兩輪活動中猜對2個成語的概率；

(2)“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率；

(3)“星隊”在兩輪活動至少中猜對1個成語的概率；

37511

【答案】⑴前⑵透⑶這

【解析】設46分別表示甲乙每輪猜對成語的事件，隨，川，胭表示第一輪甲乙猜對0個、1個、2個成語

的事件，瓜,N、,“表示第二輪甲乙猜對0個、1個、2個成語的事件，仄,樂儀,〃表示兩輪猜對0

個、1個、2個、3個、4個成語的事件.

VPU)=pP(A)=l-^=pPl吟,=

111

???根據獨立性的假定得：戶(腐)=戶(加=戶(口方)=?(為P(B)=---,

____31125

PU)=/?(Ai)=/?(AB+AB)=AAB)+AAB)=-X5+4X3=12)

3261

戶（曲=戶（朋=產（明=?（/）戶（6）=-x-=—=-,

T-J//乙

⑴戶（。）=/COS+W4+助閱=?（弱匐+?（陽&）+戶（必0=4.—1+5—.—5+—1.^-=一37.

2121212122144

（2）尸（〃）=尸（血附腸V）=?（⑷0+戶（倒）=—.1+1.

⑶/⑷+0+〃+"）=1-尸（加=12=二.

1212

20.（2021?陜西王益?高一期中）已知函數/（x）=內2+2fer-l.

⑴若。，》都是從集合口,2,3｝中任取的一個數，求函數〃x）在（—,-1）上單調遞減的概率；

⑵若a是從集合｛1,2,3｝中任取的一個數，b是從集合｛1,2,3,4）中任取的一個數，求方程/（%）=0在區間

（-q-3）上有實數根的概率.

【答案】⑴不⑵本

【解析】（1）記函數"X）在區間（Y,T）上單調遞減為事件4

由于a,6都是從集合｛1,2,3｝中任取的一個數，基本事件有

（1,1）,。,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,共9種.

因為a的取值為正數，所以函數/（x）圖象開口向上，

若函數/*）在區間（-8,-1）上單調遞減，則有-->-1,即b<a,

2aa

滿足條件的有。,1），（2,1）,（2,2）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,

所以事件/包含其中的6個基本事件.

所以所求的概率為P（A）=|=|.

⑵記方程/（尤）=。在區間（力,-3）上有實數根為事件B.

由于a是從集合｛1,2,3｝上任取的一個數，6是從集合｛123,4｝上任取的一個數，

基本事件有（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,共12種.

由題意知a>0,/（0）=-1,

所以方程fM=0在區間（-巴-3）上有實數根，

則有了（一3）<0,即9a—6—0,

滿足條件的有（L2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,

所以事件6包含其中的5個基本事件，

所以所求的概率為尸(2)='.

21.(2021?廣東江門?高一期末)已知關于左的二次函數/。)=7潑-依-1,令集合M={1,2,3,4},

N={-1,2,4,6,8},若分別從集合“、N中隨機抽取一個數機和"，構成數對(加,").

(1)列舉數對(根,〃)的樣本空間；

(2)記事件A為“二次函數八刈的單調遞增區間為［1,+8)”，求事件A的概率；

⑶記事件及為“關于x的一元二次方程|/(刈=2有4個零點”，求事件B的概率.

【答案】⑴。={(1,-1),(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,-1),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,-1),

(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,—1),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)}；(2)|；(3)金.

【解析】⑴由題意可得，加e{l,2,3,4},”e{T2,4,6,8},

數對(m,國的樣本空間為C={(-1),(1,2),(L4),(1,6),(1,8),(2,-1),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,-1),

(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,-1),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)}；

(2)若二次函數AM的單調遞增區間為,

則二次函數"X)的對稱軸X=—=1,即〃=2m,

2m

由(1)可得，總的基本事件個數為20個，

符合〃=2加的基本事件為：(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)共4個，

41

所以尸(田=玉=三

⑶因為m>0,二次函數的圖象開口向上，

方程|/(何=2有4個零點，即方程/(x)=2和/(%)=-2各有2個零點,

等價于二次函數/(X)=一如_1的最小值小于_2,

所以一4"7T廠<_2,即〃2>4加，

4m

樣本空間中符合“2>4%的基本事件有：(1,4),(1,6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),

(4,6),(4,8),共11個，

所以尸⑻吟?

22.（2021?廣東東莞?高一期末）4月23日是世界讀書日，樹人中學為了解本校學生課外閱讀情況，按性

別進行分層，用分層隨機抽樣的方法從全校學生中抽出