強化提升1：解三角形中的三線問題一、中線1、中線長定理：在中，是邊上的中線，則推導過程：在中，，在中，聯立兩個方程可得：【點睛】靈活運用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中2、向量法：推導過程：由，則所以【點睛】適用于已知中線求面積（已知的值也適用）.二、角平分線如圖，在中，平分，角、，所對的邊分別問，，1、利用角度的倍數關系：2、內角平分線定理：為的內角的平分線，則.推導過程：在中，，在中，，，該結論也可以由兩三角形面積之比得證，即說明：三角形內角平分線性質定理將分對邊所成的線段比轉化為對應的兩邊之比，再結合爪型結構，就可以轉化為向量了，一般涉及到三角形中“定比”類問題，運用向量知識解決起來都較為簡捷。3、等面積法：因為，所以，所以；整理的：（角平分線長公式）三、垂線1、分別為邊上的高，則2、求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度高線兩個作用：（1）產生直角三角形；（2）與三角形的面積相關。例題分析例1．在QUOTE中，角QUOTEA,B,CA,B,C的對邊分別是QUOTEa,b,ca,b,c，且QUOTEccosA+3csinA=a+bccosA+3csinA=a+b.(1)求角QUOTECC；(2)若QUOTE的中線QUOTECDCD長為QUOTE2323，求QUOTE面積的最大值.解：（1）在QUOTE中，由正弦定理得：QUOTEsinCcosA+3sinCsinA=sinA+sinBsinCcosA+3sinCsinA=sinA+sinB，而化簡得QUOTE3sinCsinA=sinA+sinAcosC3sinCsinA=sinA+sinAcosC，因為QUOTE，所以QUOTE，QUOTE即QUOTE3sinC-cosC=13sinC-cosC=1，所以QUOTEsinC-?6=12sinC-?6=12，又因為QUOTE，所以QUOTE，即QUOTEC=?3（2）由QUOTECDCD是QUOTE的中線，QUOTE，所以QUOTE，即QUOTE12=14a2+b2+ab12=14a2+b2+ab，所以QUOTE，所以QUOTEab鈮?6ab鈮?6，當且僅當QUOTEa=b所以三角形面積QUOTE，即QUOTE的面積的最大值為QUOTE4343.例2．已知QUOTE的內角QUOTEAA，QUOTEBB，QUOTECC所對的邊分別為QUOTEaa，QUOTEbbQUOTEcc且滿足QUOTE2sin2A-2sin2B+2sinBsinC=1-cos2C2sin2A-2sin2B+2sinBsinC=1-cos2C.(1)求角QUOTEAA；(2)若QUOTE的面積為QUOTE6363，點QUOTEDD在邊QUOTEBCBC上，QUOTEADAD是QUOTE的角平分線，且QUOTEAD=4AD=4，求QUOTE的周長.解：（1）QUOTE，QUOTE，由正弦定理得QUOTEb2+c2-aQUOTE，又QUOTE，QUOTE.（2）QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭碽c=24鈭碽c=24，由題意知QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，故QUOTEa=6a=6.QUOTE的周長為QUOTEa+b+c=6+63a+b+c=6+63.例3．記QUOTE的內角QUOTEA,B,CA,B,C的對邊分別為QUOTEa,b,ca,b,c，已知QUOTE的面積為QUOTES=34(a2+b2-c2)S=34(a2+b2-c2)，QUOTEc=23(1)若QUOTEB=?4B=?4，求QUOTEaa；(2)QUOTEDD為QUOTEABAB上一點，從下列條件①、條件②中任選一個作為已知，求線段QUOTECDCD的最大值．條件①：為的角平分線；

條件②：為邊上的中線．解：（1）因為QUOTES=34a2+b由余弦定理可得：QUOTEa2+b2-c2=2abcosCa2+由三角形的面積公式可得QUOTES=12absinCS=12absinC，所以QUOTE所以QUOTEtanC=3tanC=3，又QUOTE，故QUOTEC=?3C=?3.由正弦定理得，QUOTEasinA=csinC且QUOTE，所以QUOTEa2+64=2332a2+6（2）選擇條件①：在QUOTE中，由余弦定理QUOTEa2+b2-c2=2abcosCa2+b2-c2即QUOTE，故QUOTEa+b鈮?3a+b鈮?3，當且僅當QUOTEa=b=23a=b=23時，等號成立，又因為QUOTE所以QUOTECD=3aba+b=3故QUOTECDCD的最大值為3.選擇條件②：由題QUOTE，平方得QUOTE，在QUOTE中，由余弦定理得QUOTEa2+b2-12=aba2+b2即QUOTE，所以QUOTE.當且僅當QUOTEa=b=23a=b=23時，等號成立，故有QUOTE，從而QUOTE，故QUOTECDCD的最大值為3.例4.在①，②，③三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答在中，角，，的對邊分別為，，且______，若，，邊上的中垂線交于點，求的長.解：選①，由，可得，即，所以，又，所以，所以，所以，則，所以，所以，如圖，設邊上的中垂線垂足為點，因為垂直平分，所以，又，所以，在中，，所以，即.選②，由，可得，即，所以，所以，又因，所以，則，所以，所以，如圖，設邊上的中垂線垂足為點，因為垂直平分，所以，又，所以，在中，，所以，即.選③，因為，所以，又，所以，則，所以，所以，如圖，設邊上的中垂線垂足為點，因為垂直平分，