天津市和平區2018屆高三二模試題數學（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、選擇題：本大題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，則集合等于（）A．B．C.D．2.設變量滿足約束條件則目標函數的最大值為（）A．1B．2C.3D．43.閱讀如圖的程序框圖，運行相應的程序，若輸出的，則判斷框內可填入（）A．B．C.D．4.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知拋物線的準線與雙曲線的左、右支分別交于兩點，為雙曲線的右頂點，為坐標原點，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A．B．C.D．6.已知是定義在上的函數，它的圖象上任意一點處的切線方程為，那么函數的單調遞減區間為（）A．B．C.D．7.如圖，在平行四邊形中，已知，為線段上的點，且，則的值為（）A．B．C.D．8.已知定義在上的奇函數，當時，則關于的方程的實根的個數為（）A．6B．7C.8D．9第Ⅱ卷（共110分）二、填空題（每題5分，滿分30分，將答案填在答題紙上）9.設是虛數單位，則復數的虛部為．10.在中，，的面積，則邊長為．11.在極坐標系中，直線，為圓上的任意一點，設點到直線的距離為，則的最大值為．12.如圖，已知正四面體的梭長為6，則它的內切球的體積為．13.已知，則的最小值為．14.從0,1,2,3,4，5,6,7這八個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數,則可組成的四位數中奇數的個數為(用數字作答).三、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知函數.（1）求函數的最小正周期及單調遞減區間；（2）將函數的圖象向左平移個單位后，再將所得圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若，且，求的值.16.甲、乙、丙均兩次參加英語高考，取兩次成績中較高的為最終成績，三人第一次成績不低于130分的概率依次為.甲若第一次成績不低于130分,則第二次成績不低于130分的概率為，若第一次成績在130分以下，則第二次成績不低于130分的概率為；乙若第一次成績不低于130分，則第二次成績不低于]30分的概率為，若第一次成績在130分以下，則第二次成績不低于130分的概率為；丙第二次成績不受第一次成績的影響，不低于130分的概率為.（1）設為事件“甲的英語高考最終成績不低于130分”，為事件“乙的英語高最終成績不低于130分”，為事件“丙的英語高考最終成績不低于130分”，分別求出事件、事件、事件發生的概率；（2）設甲、乙、丙中英語高考最終成績不低于130分的人數為，求的分布列與數學期望.17.如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，為的中點，平面，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值；（3）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值.18.已知數列滿足條件，且.（1）求數列的通項公式；（2）設為數列的前項和，求證：.19.已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成三角形的面積為，過橢圓的右焦點的動直線與橢圓交于兩點.（1）求橢圓的方程；（2）若線段的垂直平分線與軸相交于點，與直線交于，當時，求直線的斜率的取值范圍；（3）在橢圓上是否存在定點，使得對任意斜率等于且與橢圓交于兩點的直線(兩點均不在軸上)，都滿足(其中為直線的斜率，為直線的斜率)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.20.已知函數，其中且.（1）求的單調區間；（2）若恒成立，求的取值范圍；（3）若存在，使得，求證：.試卷答案一、選擇題15:BABCD68:CBD二、填空題9.10.511.12.13.14.7三、解答題15.解：∵，且，∴.∴.（2）解：在中，由正弦定理，得，即.∴.在中，，由余弦定理，得.∴.的面積.16.依題意，10件產品中有7件優質品，3件非優質品.設抽取的3件產品均為優質品的概率為，則.（2）解：隨機變量的所有可能取值為0,1,2,3.，，，.所以，隨機變量的分布列為數學期望.17.（1）證明：取的中點,連接,則,平面.如圖，以為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，依題意可得：,.\o"CurrentDocument"∵,∴，即.∵， ∴平面.（2）解：由（1）可知平面的一個法向量，設直線與平面所成角為，∵，∴.（3）解:設平面的法向量為，∵，∴即令，則，即.由（1）可知平面的一個法向量，設二面角的平面角為，易知，∴.18.解：在中，當時，，即解得或（舍去）.當時，① ②由①②可得，即.∵，∴所以.∴是首項為3，公差為2的等差數列.故.設數列的首項為，公差為，依題意解得∴.（2）由（1）可知，則.∴.19.解：（1）∵，∴.由，得.故，.若，則，若，則.∴在上單調遞增，在上單調遞減.∴的最大值為.（2）解：假設存在實數,使有最大值，.①時，在上單調遞増，，（舍去）.所以，此時無最大值. ②當時，在上單調遞増，在上單調遞減，，則，滿足條件.綜上所述，存在實數，使得當時，有最大值.（3）證明：∵的極大值為，即在上最大值為.∴.由，得，∵當時，，∴在區間上單調遞增.∴.∵，∴在（1）的條件下，.20.（1）解：設半焦距為，由題意，可得，則，即.