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文檔簡介
2016.2017學年上海市松江區高一第二學期期末數學試卷
一、填空題:本大題共12小題,共54分)
1.方程3-4?3"+3=0的解為.
2.已知一扇形的半徑為5,弧長為2m則該扇形的圓心角大小為.
3.若角a的終邊經過點尸(-2,1),則sin(a+^)=.
4.若tana、tan0分別是方程爐+x-2=0的兩個根,則tan(a+p)=.
5.三角形的三邊之比為3:5:7,則此三角形的最大內角是.
6.函數y=log0(x+2)+2的圖象過定點.
7.函數f(x)=siarcosx-V5cos2式的單調遞減區間為.
8.若數列{〃〃}的前〃項和為S"=/-3〃+l(〃WN*),則該數列的通項公式為〃,尸
9.函數/(x)=sinx-/gx的零點的個數是.
10.不等式cos2x-4sinx-4Vo有解,則實數。的取值范圍是.
11.設尸(x)為八x)=,inx,X曰一方寸的反函數,則y=/(x)tr(x)的值域為.
12.給出下列四個命題:
①在△ABC中,若O%則sinAVcosB;
②已知點A(0,3),則函數y=V5cosx-situ?的圖象上存在一點P,使得|PA|=1;
③函數y=cos2x+28cosx+c是周期函數,且周期與6有關,與c無關;
④設方程x+sinx=g的解是Xi,方程x+arcsiiw=5的解是X2,則Xi+X2=it.
其中真命題的序號是.(把你認為是真命題的序號都填上)
二、選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
77
13.將函數y=cos2x的圖象向左平移工個單位,所得的函數為()
6
7T71
A.y=cos(2x4-)B.y=cos(2%+小)
TC7T
C.y=cos(2x—可)D.y=cos(2r—q)
14.若等差數列{。〃}和{仇}的公差均為d(d=0),則下列數列中不為等差數列的是()
A.{M〃}(人為常數)B.{an+b?}
C.(小2_兒2}D.{{如也}}
7T7T
15.如圖,函數y=|tanx|cosx(x€[0,—)U(-,IT])的圖象是()
16.以圓形摩天輪的軸心。為原點,水平方向為x軸,在摩天輪所在的平面建立直角坐標
系,設摩天輪的半徑為20米,把摩天輪上的一個吊籃看作一個點Po,起始時點Po在-看
TT
的終邊上,OPo繞。按逆時針方向作勻速旋轉運動,其角速度為g(弧度/分),經過t
分鐘后,OPo到達OP,記P點的橫坐標為加,則巾關于時間f的函數圖象為()
三、解答題:本大題共5題,共76分.解答寫出文字說明、證明過程或演算過程.
17.已知函數/(x)=log——.
%2+2
(1)求函數/(X)的定義域;
(2)當x為何值時,等式/(x)+log2(x-4)=1成立?
18.已知函數/(外=2sin(工一1).
(1)用五點法作出函數y=/(x)在區間聲,石]上的大致圖象(列表、描點、連線);
33
■JT
(2)若sina=打,a£(一,冗)求f(a+可)+sec2a-tana的
32
值
乙
2-
1
IIi??.
0nn35-
-1--yn2nyn
-2-
19.如圖,某廣場中間有一塊綠地OAB,扇形OAB所在圓的圓心為0,半徑為r,ZAOB=今,
廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路;在AB上選一點C,過C修建與。8平行的小路
CD,與0A平行的小路CE,設所修建的小路CD與CE的總長為s,ZCOD=G.
(1)試將s表示成。的函數s=/(。);
(2)當0取何值時,s取最大值?求出s的最大值.
E二
20.(16分)數列{如}中,a吊…笛1(吒N),數列⑻滿足*表.
(1)求數列{d}中前四項;
(2)求證:數列{瓦}是等差數列;
in
(3)若5=(嬴+2)堂"’試判斷數列?}是否有最小值,若有最小項,求出最小項?
21.(18分)若函數/(x)滿足f(x)=/(x+孚)且/(工+x)=f(三一x)(xeR),則
,44
稱函數/(x)為“M函數”.
4
(1)試判斷f(幻=siqx是否為“M函數”,并說明理由;
71
(2)函數/(%)為函數”,且當工[一,TT]時,f(x)=siiu,求(x)的解析式,
4
并寫出在[0,上的單調遞增區間;
2
(3)在(2)條件下,當X€[—冬—+TT](依N)時,關于x的方程八外=〃Q為常數)
有解,記該方程所有解的和為S(女),求S(*).
2016-2017學年上海市松江區高一第二學期期末數學試
卷
參考答案
一、填空題:本大題共12小題,共54分)
1.方程9'-4?3'+3=0的解為x=l,x=0.
【分析】設¥=,,則原方程為戶-4/+3=0,解得f,然后還原,求出x值.
解:設3,=f,則原方程為祥-4f+3=0,解得f=3或f=l,
所以3*=3或3*=1;
解得x=l或x=0;
故答案為:x—1,x=0.
27r
2.已知一扇形的半徑為5,弧長為211,則該扇形的圓心角大小為—?
-5—
【分析】設扇形的圓心角為a,運用扇形的弧長公式/=ar,計算即可得到所求值.
解:扇形的半徑為5,弧長為2n,
設扇形的圓心角為a,
可得2n=5a,
解得a=手
故答案為:—-
5
3.若角a的終邊經過點P(-2,1),則sin(a+3)=一攣.
2—5-
【分析】由題意利用任意角的三角函數的定義,求得sin(a+J)的值.
解:?.?角a的終邊經過點尸(-2,1),-2,y=l,r=|OP|=遍,
則sin(a+*)=cosa=
故答案為:一竽.
4.若tana、tanR分別是方程N+x-2=0的兩個根,則tan(a+0)=_.
【分析】利用查韋達定理求得tana+tan0和lana?tan0的值,再利用I兩角和的正切公式求得
tan(a+p)的值.
解:,ana、tan0分別是方程/+九-2=0的兩個根,
/.tana+tanp=-1,tana,tan0=-2,
tana+tanS__1
則tan(a+P)
l-tana-tanp-3'
故答案為:J
5.三角形的三邊之比為3:5:7,則此三角形的最大內角是120°.
【分析】根據三角形三邊設出三邊分別為3x,5x,7x,且設出最大邊7x對的角為a,利用
余弦定理表示出cosa,將三邊長代入求出cosa的值,即可確定出a的度數.
解:根據題意設三角形三邊分別為3x,5x,lx,且7x所對的角為a,
...c°sa=(3%)2+(5x)2—(7x)2="
2-3x-5x2
為三角形內角,
...三角形最大內角a=120。.
故答案為:120。
6.函數y=log“(x+2)+2的圖象過定點(-1,的.
【分析】根據對數函數的性質,求出定點的坐標即可.
解:令x+2=l,解得:X--1,
此時y—2,
故函數過(-1,2),
故答案為:(-1,2).
7.函數/(x)=sinxcosx-V^cos2x的單調遞減區間為1五+八1)~*~后"("口)
【分析】首先,借助于輔助角公式化簡所給函數的解析式,然后,結合三角函數的基本性質,
確定單調遞減區間.
2
解:>?=siavcosx-V3cosx=^sin2x-竽(1+cos2x)
=sin(2x-5)——
32
,71TC371,
由一+2kn<2%——<—+2/CTT,依Z,
232
得且[_|_kn<x<+kn,kcZ.
1212
.??該函數的減區間為:I—+kn,—+kn],(kez),
1212
故答案為:[二47r+加,上1l/匕r+加],(依Z),
1212
8.若數列{z}的前n項和為S,=〃2-3〃+1(aeN*),則該數列的通項公式為a?=
f-1/n=1
(2n—4,n>2一
【分析】首先根據S尸"2-3〃+I求出g的值,然后利用%=%-斗一1求出當")2時,斯的
表達式,然后驗證0的值,最后寫出所的通項公式.
2
解:':Sn=n-3n+l,
當”=1時,“1=51=1-3+1=-1,
2
.'.an=Sn-Sn-\=n-3〃+1-[(〃-1)2-3(〃-1)+l]=2/z-4(〃22),
?..當〃=1時,a\=-1^2,
.(-1,n=1
..a=s,
n(2n—4,n>2
,.“(—1fH—1
故答案2fcs為:]
(2n—4,n>2
9.函數f(x)=sinx-Igx的零點的個數是3.
【分析】在同一坐標系內畫出函數)=5]似與丫=四》的圖象,利用圖象得結論.
解:因為函數的零點個數就是找對應兩個函數的圖象的交點個數.
在同一坐標系內畫出函數),=sior與y=lgx的圖象,
由圖得交點3個
故函數f(x)=sior-/gx的零點的個數是3.
故答案為3.
VA
y=?x
10.不等式cos2A,-4siar-a<0有解,則實數a的取值范圍是(-5,+8).
【分析】問題等價于〃大于cos2x-4sin%的最小值,由三角函數和二次函數區間的最值可得.
解:不等式cos2x-4sinx-a<0有解,等價于存在實數x,使得關于x的不等式“>cos2x-
4siar成立,
故只需a大于cos2x-4sinx的最小值即可,
令y=cos2x-4siru=-2sin2x-4siru+l=-2(sinx+1)2+3,
由二次函數可知當siax=l時,y取最小值-5,
二〃的取值范圍為:(-5,+8),
故答案為:(-5,+8).
11.設廣(x)為/(x)=》inx,xe[-5,三]的反函數,則y=/(x)4/1(x)的值域為_
S—,
【分析】求出原函數的值域可得其反函數的定義域,取交集可得函數y=f(x)"I(x)的
定義域,再由單調性求得y=/(x)V(x)的值域.
解:?.丁(x)=[sinx在[一.,芻上為增函數,
:.f(%)的值域為[一看,白,則其反函數的定義域為[-1,芻,
:.y=f(x)+f1(x)的定義域為[-?1],
又y=/r(x)的單調性相同,
可得y=/(x)+f1(x)在[―看,自上為增函數.
.?.當x=Y時函數有最小值為(二)一巴=一衛;
66k27212
當x=覆寸函數有最大值為一X-+—=—.
662212
???>=/⑴V1U)的值域為[_需,笥.
故答案為:[—居,碧].
12.給出下列四個命題:
①在△ABC中,若O%則sinACcosB;
②已知點A(0,3),則函數y=V5cosx-sinx的圖象上存在一點P,使得|尸4|=1;
③函數、=(:。$2戶2氏0$苫+。是周期函數,且周期與6有關,與c無關;
④設方程x+sinx=夕的解是xi,方程x+arcsinx=%的解是尤2,則x\+x2—n.
其中真命題的序號是①③.(把你認為是真命題的序號都填上)
【分析】①利用三角形的內角和定理以及正弦函數的單調性判斷;
②根據余弦函數的有界性解答;
③利用周期函數的定義,結合余弦函數的周期性判斷;
④根據互為反函數圖象的對稱性解答.
解:①在△A8C中,若。>夕貝IJA+8V夕即AV58V*,所以sinAVsin(1—8,)sin4
<cosB;故①正確;
②已知點A(0,3),則函數y=V5cosx-sior=2cos(%+卷)曰-2,2],所以它的圖象上
不存在一點P,使得|%|=1;故②錯誤;
③函數>=852工+2旅001+。是周期函數,且周期與6有關,與C無關;正確
④設方程x+sinx=冬的解是xi,方程x+arcsinx=?的解是必設arcsinA2=r,則sinf=i2,則
jy兀
x+arcsinv=2變形為sint+t=于
觀察得到xi+siiLvi=r+sinr=*則"xi是方程x+sinx=今的兩根,
又因為,Sim=X2,故XI,X2是方程的兩根,故Xl+X2=*.故④錯誤;
故答案為:①③
二、選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
7T
13.將函數y=cos2x的圖象向左平移三個單位,所得的函數為()
6
7T71
A.y=cos(2x+@)B.y=cos(2x+^)
7T71
C.y=cos(2x-D.y=cos(2x—)
【分析】根據三角函數的圖象的平移變換得到所求.
解:由已知將函數y=cos2x的圖象向左平移,個單位,所得的函數為尸cos2(x+看)=cos
(ix+百);
故選:A.
14.若等差數列{〃”)和{5}的公差均為4(dWO),則下列數列中不為等差數列的是()
A.{人”“}(人為常數)B.[an+bn]
C.{“J-62}D.{{a?>hn}]
【分析】運用等差數列的定義和通項公式,對選項一一判斷差是否為常數,即與〃無關,即
可判斷.
解:等差數列{如}和{5}的公差均為d(dWO),
對于A,由于,+i-初“=入(a”+i-a.)="為常數,則該數列為等差數列;
=
對于B,由afi+\+bn+\~an-bn=(a〃+i-斯)+(bn+\~bn)2d為常數,則該數列為等差數列;
對于C,由-為+/-(4廣-bn~)=(Cln+1-Un)(如+1+。〃)-(仇+1-bn)(瓦+1+為)
=d(2m+(2H-1)d)-d(2/71+(2/7-1)d)=2d(a】-6)為常數,則該數列為等差數
列;
1
對于。,由知+也+i-4伍=(a〃+d)(b〃+d)-anbn=d+d(即+/?“)不為常數,則該數列不
為等差數列.
故選:D.
Jl71
15.如圖,函數y=|tanx|cosx(xe[O,")U(-,n])的圖象是()
【分析】根據x的取值情況分類討論,去掉Itairtl中的絕對值符號,轉化為分段函數,利用正
弦函數的圖象即可得解.
解:當x€[0,])時,y=tanxcosx=siax,
n
當(-,n]時',y=-tanxcosx=-sinx,
故選:B.
16.以圓形摩天輪的軸心。為原點,水平方向為x軸,在摩天輪所在的平面建立直角坐標
系,設摩天輪的半徑為20米,把摩天輪上的一個吊籃看作一個點Po,起始時點Po在-看
71
的終邊上,。局繞。按逆時針方向作勻速旋轉運動,其角速度為g(弧度/分),經過t
分鐘后,OPo到達。尸,記P點的橫坐標為加,則相關于時間f的函數圖象為()
【分析】根據題意,點P的橫坐標,〃=20cos(VJ),由此通過特殊點的坐標,判斷所給
的圖象是否滿足條件,從而得出結論.
解:根據題意可得,振幅A=20,角速度3=I,初相<p=.%點、P的橫坐標帆=20cos令一看),
故當f=0時,機=10k,當f/時,機=20,為機的最大值,
結合所給的選項,
故選:B.
三、解答題:本大題共5題,共76分.解答寫出文字說明、證明過程或演算過程.
x—3
17.已知函數/'(X)=log2一工.
(1)求函數/(X)的定義域;
(2)當x為何值時,等式/(x)+log2(x-4)=1成立?
【分析】(1)根據對數函數的性質,得到關于X的不等式,解出即可;
(2)根據對數的運算得到關于x的方程組,解出即可.
解:(1)由題意得:—>0,
%+2
即(x-3)(x+2)>0,
解得:x>3或x<-2,
故函數的定義域是(-8,-2)U(3,+8);
(2)f(x)+log2(x-4)=1,
x—3
B|jlog2-j-^+log2(x-4)=1,
e^x—>30
x+2
即<x-4>0,
Q—3)(1)一
Ix+2一乙
解得:x=8.
18.已知函數/(x)=2sin(x-1).
(1)用五點法作出函數y=/(x)在區間盧,衛J上的大致圖象(列表、描點、連線);
33
(2)若sina=1,aG(-,IT),求/(a+?)+sec2a-tana的
J2J
值.
【分析】(1)將彳一亨的取值,X的取值及/(X)的取值情況列表,利用五點法畫圖;
(2)由已知求出cosa,根據三角函數公式求值.
解:⑴將x一與的取值,
x的取值及f(x)的取值情況列表如下:
71
0IT37r2n
22
71
x~3
7157r471117T77r
X———
36363
y020-20
作圖如下:
在I、I/,/i\i24.c,1129y/2.43+6>/^
所以/(a+5)+sec2a-tana=2sina+——H——^=3+G+>=~—?
scos乙a2V23o424
19.如圖,某廣場中間有一塊綠地OAB,扇形OAB所在圓的圓心為0,半徑為r,NAOB=不
廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路;在A8上選一點C,過C修建與。8平行的小路
CD,與0A平行的小路CE,設所修建的小路CD與CE的總長為s,ZCOD=Q.
(1)試將s表示成6的函數s=f(0);
(2)當0取何值時,s取最大值?求出s的最大值.
【分析】⑴由扇形的半徑為八在△OOC中,ZAOB=貝!|/。0=等利用正弦定
rCD
理--------=---------,可求得CQ與CE,從而可得函數s=f(8);
sin乙CD0sinZ.COD
(2)利用三角恒等變換,可求得s=^rsine+孥與in彳一。)=^-rsind+rcosd=
竽rsinG+。),9G(0,,利用正弦函數的單調性與最值即可求得s的最大值.
解:(1)由扇形的半徑為r,在△OOC中,ZAOB=則/CQO=號
rCD
由正弦定理得一--=,
sin乙CD0sin乙COD
???CD=孥rsin。,同理CE=竽rs譏弓-。),
:.s=f(0)=越小山0+紐”訪(--6),06(0,-);
3333
為
/1察
7T出
nXI---X
33S02SI
x/3.Q2門.x7T.zjxAufn—)
=-^-rsinaO+rcosG=-^-rsinf^4-up&匕<u,;,
n
V6G(0,-),
3
n112Ti、
4-06(一,—),
333
???當g+e=*,即e=看時,s〃g=/仁)=當?廠.
20.(16分)數列{〃〃}中,a\=L加=型二i(nGN*),數列{瓦}滿足歷尸Jp
3即即一1
(1)求數列{兒}中前四項;
(2)求證:數列仍“}是等差數列;
10
(3)若Cn=3+2)(―)〃,試判斷數列{Cn}是否有最小值,若有最小項,求出最小項.
9
【分析】(1)由代入法,分別求出。2,。3,04,即可得到從,bl,fe,Z?4;
1
(2)當〃22,〃WN*,將〃換為〃-1,可得,由等差數列的定義,
即可得證;
⑶求得瓦=〃[即有昨矩I,?=鼎?(B)”?計算葭T,討論〃的取值,
即可得到所求最小值.
解:(1)。用=竺二1(”eN*),
Qn
b?=Qp
Qn-1
113
m=5,可得⑦=匚7=一方
J3
42=2-3=-1,
11
bi=礪彳二一下
。3=2-(-1)=3,
,11
丘時=2,
04-2—i
1二3
Z?4=^4—12,
(2)證明:出+|=也二1(“€N*),
Qn
當〃22,
=1-11
b
~即一1-2-^--1味1一1
an-l
]
=1+=l+bn-
味1一1
則數列{九}是首項為一去公差為1的等差數列;
⑶由⑵可得"尸表=一5+〃7="標
即有如=1+萬白=2九一3
2nz5,
10
Cn=(a+2)(—)〃=
n9(襄>苧“=弁?苧”
^±l-l_6n-7.(10)?+l.2n-5.(_9_),一
Cn2n-396n-1310
12n2—44n—1
9(2九一3)(6注-13)'
當〃=1時,—<1,而Cl>0,則C2〈C1,
Cl
當〃=2時,--1>0,由C2>0,則C3>C2,
C2
當〃=3時,--K0,由。3>0,則C4<C3,
C3
當〃=4時,--1>0,由C4>0,則C4<C5,
C4
Cy74t.i
當〃25時,——-1>0,即有CnVa+i.
cn
則Cl>C2<C3>C4<C5<C6<***<Cn<Cn+l.
由C2-C4=苧T?與y。,
即有C2<C4.
則數列{/}有最小值,且為02=鈣.
o±
21.(18分)若函數/(x)滿足f(x)=f(x+孚)且/(二+x)=f(--X)(xER),則
乙44
稱函數/(x)為“M函數”.
4
(1)試判斷/(x)=sinr是否為函數”,并說明理由;
3
jr
(2)函數/(x)為函數”,且當3日一,n]時,f(x)=sirLv,求y=/(x)的解析式,
4
37r
并寫出在[0,上的單調遞增區間;
2
(3)在(2)條件下,當在[一3,科+n](依N)時,關于x的方程/CO=。(”為常數)
42
有解,記該方程所有解的和為S(k),求S(k).
717r4
【分析】(1)由不滿足了(一+/)壬/'(一-X)(XER),得/(x)=sin-x不是“M函數”,
443
(2)可得函數/(x)的周期7=擎,/(%)=/(--x)(xeR),
Z2
①當花[|/(:兀+今,|左加+兀]時,f(x)=f(X-|/CTT)=sin(x-|fc/r)
,37T3TC,71q7
②當彳國一而一一,一攵兀+-]時,f(x)=j[--(X-女7T)]=COS
2
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