2016.2017學年上海市松江區高一第二學期期末數學試卷

一、填空題：本大題共12小題，共54分)

1.方程3-4?3"+3=0的解為.

2.已知一扇形的半徑為5,弧長為2m則該扇形的圓心角大小為.

3.若角a的終邊經過點尸(-2,1),則sin(a+^)=.

4.若tana、tan0分別是方程爐+x-2=0的兩個根，則tan(a+p)=.

5.三角形的三邊之比為3：5：7,則此三角形的最大內角是.

6.函數y=log0(x+2)+2的圖象過定點.

7.函數f(x)=siarcosx-V5cos2式的單調遞減區間為.

8.若數列｛〃〃｝的前〃項和為S"=/-3〃+l(〃WN*),則該數列的通項公式為〃，尸

9.函數/(x)=sinx-/gx的零點的個數是.

10.不等式cos2x-4sinx-4Vo有解，則實數。的取值范圍是.

11.設尸(x)為八x)=，inx,X曰一方寸的反函數，則y=/(x)tr(x)的值域為.

12.給出下列四個命題：

①在△ABC中，若O%則sinAVcosB；

②已知點A(0,3),則函數y=V5cosx-situ?的圖象上存在一點P,使得|PA|=1；

③函數y=cos2x+28cosx+c是周期函數，且周期與6有關，與c無關；

④設方程x+sinx=g的解是Xi，方程x+arcsiiw=5的解是X2,則Xi+X2=it.

其中真命題的序號是.(把你認為是真命題的序號都填上)

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

77

13.將函數y=cos2x的圖象向左平移工個單位，所得的函數為()

6

7T71

A.y=cos(2x4-)B.y=cos(2%+小)

TC7T

C.y=cos(2x—可)D.y=cos(2r—q)

14.若等差數列｛。〃｝和｛仇｝的公差均為d(d=0),則下列數列中不為等差數列的是()

A.｛M〃｝(人為常數)B.｛an+b?｝

C.(小2_兒2｝D.｛｛如也｝｝

7T7T

15.如圖，函數y=|tanx|cosx(x€[0,—)U(-,IT])的圖象是()

16.以圓形摩天輪的軸心。為原點，水平方向為x軸，在摩天輪所在的平面建立直角坐標

系，設摩天輪的半徑為20米，把摩天輪上的一個吊籃看作一個點Po,起始時點Po在-看

TT

的終邊上，OPo繞。按逆時針方向作勻速旋轉運動，其角速度為g(弧度/分)，經過t

分鐘后，OPo到達OP,記P點的橫坐標為加，則巾關于時間f的函數圖象為()

三、解答題：本大題共5題，共76分.解答寫出文字說明、證明過程或演算過程.

17.已知函數/(x)=log——.

%2+2

(1)求函數/(X)的定義域；

(2)當x為何值時，等式/(x)+log2(x-4)=1成立？

18.已知函數/（外=2sin（工一1）.

（1）用五點法作出函數y=/（x）在區間聲，石］上的大致圖象（列表、描點、連線）；

33

■JT

（2）若sina=打，a￡（一，冗）求f（a+可）+sec2a-tana的

32

值

乙

2-

1

IIi??.

0nn35-

-1--yn2nyn

-2-

19.如圖，某廣場中間有一塊綠地OAB,扇形OAB所在圓的圓心為0,半徑為r,ZAOB=今，

廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路；在AB上選一點C,過C修建與。8平行的小路

CD,與0A平行的小路CE,設所修建的小路CD與CE的總長為s,ZCOD=G.

（1）試將s表示成。的函數s=/（。）；

（2）當0取何值時，s取最大值？求出s的最大值.

E二

20.（16分）數列｛如｝中，a吊…笛1（吒N）,數列⑻滿足*表.

（1）求數列｛d｝中前四項；

（2）求證:數列｛瓦｝是等差數列;

in

（3）若5=（嬴+2）堂"’試判斷數列?｝是否有最小值，若有最小項，求出最小項?

21.（18分）若函數/（x）滿足f（x）=/（x+孚）且/（工+x）=f（三一x）（xeR）,則

，44

稱函數/（x）為“M函數”.

4

（1）試判斷f（幻=siqx是否為“M函數”,并說明理由；

71

（2）函數/（%）為函數”，且當工［一，TT］時，f（x）=siiu,求（x）的解析式,

4

并寫出在［0,上的單調遞增區間；

2

（3）在（2）條件下，當X€［—冬—+TT］（依N）時，關于x的方程八外=〃Q為常數）

有解，記該方程所有解的和為S（女），求S（*）.

2016-2017學年上海市松江區高一第二學期期末數學試

卷

參考答案

一、填空題：本大題共12小題，共54分)

1.方程9'-4?3'+3=0的解為x=l,x=0.

【分析】設￥=，，則原方程為戶-4/+3=0,解得f,然后還原，求出x值.

解：設3，=f,則原方程為祥-4f+3=0,解得f=3或f=l,

所以3*=3或3*=1；

解得x=l或x=0；

故答案為：x—1,x=0.

27r

2.已知一扇形的半徑為5,弧長為211,則該扇形的圓心角大小為—?

-5—

【分析】設扇形的圓心角為a,運用扇形的弧長公式/=ar,計算即可得到所求值.

解：扇形的半徑為5,弧長為2n,

設扇形的圓心角為a,

可得2n=5a,

解得a=手

故答案為：—-

5

3.若角a的終邊經過點P(-2,1),則sin(a+3)=一攣.

2—5-

【分析】由題意利用任意角的三角函數的定義，求得sin(a+J)的值.

解：?.?角a的終邊經過點尸(-2,1),-2,y=l,r=|OP|=遍，

則sin(a+*)=cosa=

故答案為：一竽.

4.若tana、tanR分別是方程N+x-2=0的兩個根，則tan(a+0)=_.

【分析】利用查韋達定理求得tana+tan0和lana?tan0的值，再利用I兩角和的正切公式求得

tan(a+p)的值.

解：,ana、tan0分別是方程/+九-2=0的兩個根,

/.tana+tanp=-1,tana,tan0=-2,

tana+tanS__1

則tan(a+P)

l-tana-tanp-3'

故答案為：J

5.三角形的三邊之比為3：5：7,則此三角形的最大內角是120°.

【分析】根據三角形三邊設出三邊分別為3x,5x,7x,且設出最大邊7x對的角為a,利用

余弦定理表示出cosa,將三邊長代入求出cosa的值，即可確定出a的度數.

解：根據題意設三角形三邊分別為3x,5x,lx,且7x所對的角為a,

...c°sa=(3%)2+(5x)2—(7x)2="

2-3x-5x2

為三角形內角，

...三角形最大內角a=120。.

故答案為：120。

6.函數y=log“(x+2)+2的圖象過定點(-1,的.

【分析】根據對數函數的性質，求出定點的坐標即可.

解：令x+2=l,解得：X--1,

此時y—2,

故函數過(-1,2),

故答案為：(-1,2).

7.函數/(x)=sinxcosx-V^cos2x的單調遞減區間為1五+八1)~*~后"("口)

【分析】首先，借助于輔助角公式化簡所給函數的解析式，然后，結合三角函數的基本性質,

確定單調遞減區間.

2

解：>?=siavcosx-V3cosx=^sin2x-竽(1+cos2x)

=sin(2x-5)——

32

,71TC371,

由一+2kn<2%——<—+2/CTT，依Z,

232

得且［_|_kn<x<+kn,kcZ.

1212

.??該函數的減區間為：I—+kn,—+kn］,(kez),

1212

故答案為：［二47r+加，上1l/匕r+加］,(依Z),

1212

8.若數列｛z｝的前n項和為S,=〃2-3〃+1(aeN*),則該數列的通項公式為a?=

f-1/n=1

(2n—4,n>2一

【分析】首先根據S尸"2-3〃+I求出g的值，然后利用%=%-斗一1求出當")2時，斯的

表達式，然后驗證0的值，最后寫出所的通項公式.

2

解：'：Sn=n-3n+l,

當”=1時，“1=51=1-3+1=-1,

2

.'.an=Sn-Sn-\=n-3〃+1-[(〃-1)2-3(〃-1)+l]=2/z-4(〃22),

?..當〃=1時，a\=-1^2,

.(-1,n=1

..a=s,

n(2n—4,n>2

,.“(—1fH—1

故答案2fcs為：]

(2n—4,n>2

9.函數f(x)=sinx-Igx的零點的個數是3.

【分析】在同一坐標系內畫出函數)=5]似與丫=四》的圖象，利用圖象得結論.

解：因為函數的零點個數就是找對應兩個函數的圖象的交點個數.

在同一坐標系內畫出函數)，=sior與y=lgx的圖象，

由圖得交點3個

故函數f(x)=sior-/gx的零點的個數是3.

故答案為3.

VA

y=?x

10.不等式cos2A,-4siar-a<0有解，則實數a的取值范圍是(-5,+8).

【分析】問題等價于〃大于cos2x-4sin%的最小值，由三角函數和二次函數區間的最值可得.

解：不等式cos2x-4sinx-a<0有解，等價于存在實數x,使得關于x的不等式“>cos2x-

4siar成立,

故只需a大于cos2x-4sinx的最小值即可，

令y=cos2x-4siru=-2sin2x-4siru+l=-2(sinx+1)2+3,

由二次函數可知當siax=l時，y取最小值-5,

二〃的取值范圍為：(-5,+8),

故答案為：(-5,+8).

11.設廣(x)為/(x)=》inx,xe［-5,三］的反函數，則y=/(x)4/1(x)的值域為_

S—,

【分析】求出原函數的值域可得其反函數的定義域，取交集可得函數y=f(x)"I(x)的

定義域，再由單調性求得y=/(x)V(x)的值域.

解：?.丁(x)=［sinx在［一.,芻上為增函數，

：.f(%)的值域為［一看，白,則其反函數的定義域為［-1,芻,

：.y=f(x)+f1(x)的定義域為［-?1］,

又y=/r(x)的單調性相同，

可得y=/(x)+f1(x)在［―看，自上為增函數.

.?.當x=Y時函數有最小值為(二)一巴=一衛；

66k27212

當x=覆寸函數有最大值為一X-+—=—.

662212

???>=/⑴V1U)的值域為［_需，笥.

故答案為：［—居，碧］.

12.給出下列四個命題：

①在△ABC中，若O%則sinACcosB；

②已知點A(0,3),則函數y=V5cosx-sinx的圖象上存在一點P,使得|尸4|=1；

③函數、=(：。$2戶2氏0$苫+。是周期函數，且周期與6有關，與c無關；

④設方程x+sinx=夕的解是xi,方程x+arcsinx=%的解是尤2,則x\+x2—n.

其中真命題的序號是①③.(把你認為是真命題的序號都填上)

【分析】①利用三角形的內角和定理以及正弦函數的單調性判斷；

②根據余弦函數的有界性解答；

③利用周期函數的定義，結合余弦函數的周期性判斷;

④根據互為反函數圖象的對稱性解答.

解：①在△A8C中，若。>夕貝IJA+8V夕即AV58V*,所以sinAVsin(1—8,)sin4

<cosB；故①正確；

②已知點A(0,3),則函數y=V5cosx-sior=2cos(%+卷)曰-2,2],所以它的圖象上

不存在一點P,使得|%|=1；故②錯誤；

③函數>=852工+2旅001+。是周期函數，且周期與6有關，與C無關；正確

④設方程x+sinx=冬的解是xi,方程x+arcsinx=?的解是必設arcsinA2=r,則sinf=i2,則

jy兀

x+arcsinv=2變形為sint+t=于

觀察得到xi+siiLvi=r+sinr=*則"xi是方程x+sinx=今的兩根，

又因為，Sim=X2,故XI,X2是方程的兩根，故Xl+X2=*.故④錯誤；

故答案為：①③

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

7T

13.將函數y=cos2x的圖象向左平移三個單位，所得的函數為()

6

7T71

A.y=cos(2x+@)B.y=cos(2x+^)

7T71

C.y=cos(2x-D.y=cos(2x—)

【分析】根據三角函數的圖象的平移變換得到所求.

解：由已知將函數y=cos2x的圖象向左平移，個單位，所得的函數為尸cos2(x+看)=cos

(ix+百)；

故選：A.

14.若等差數列｛〃”)和｛5｝的公差均為4(dWO),則下列數列中不為等差數列的是()

A.｛人”“｝(人為常數)B.[an+bn]

C.｛“J-62｝D.｛｛a?>hn｝]

【分析】運用等差數列的定義和通項公式，對選項一一判斷差是否為常數，即與〃無關，即

可判斷.

解：等差數列｛如｝和｛5｝的公差均為d(dWO),

對于A,由于,+i-初“=入(a”+i-a.)="為常數,則該數列為等差數列；

=

對于B,由afi+\+bn+\~an-bn=(a〃+i-斯)+(bn+\~bn)2d為常數，則該數列為等差數列；

對于C,由-為+/-(4廣-bn~)=(Cln+1-Un)(如+1+。〃)-(仇+1-bn)(瓦+1+為)

=d(2m+(2H-1)d)-d(2/71+(2/7-1)d)=2d(a】-6)為常數，則該數列為等差數

列；

1

對于。，由知+也+i-4伍=(a〃+d)(b〃+d)-anbn=d+d(即+/?“)不為常數，則該數列不

為等差數列.

故選：D.

Jl71

15.如圖，函數y=|tanx|cosx(xe[O,")U(-,n])的圖象是()

【分析】根據x的取值情況分類討論，去掉Itairtl中的絕對值符號，轉化為分段函數，利用正

弦函數的圖象即可得解.

解：當x€[0,])時，y=tanxcosx=siax,

n

當(-,n]時'，y=-tanxcosx=-sinx,

故選：B.

16.以圓形摩天輪的軸心。為原點，水平方向為x軸，在摩天輪所在的平面建立直角坐標

系，設摩天輪的半徑為20米，把摩天輪上的一個吊籃看作一個點Po,起始時點Po在-看

71

的終邊上，。局繞。按逆時針方向作勻速旋轉運動，其角速度為g(弧度/分)，經過t

分鐘后，OPo到達。尸，記P點的橫坐標為加，則相關于時間f的函數圖象為()

【分析】根據題意，點P的橫坐標，〃=20cos（VJ）,由此通過特殊點的坐標，判斷所給

的圖象是否滿足條件，從而得出結論.

解:根據題意可得，振幅A=20,角速度3=I，初相<p=.%點、P的橫坐標帆=20cos令一看），

故當f=0時，機=10k，當f/時，機=20,為機的最大值，

結合所給的選項，

故選：B.

三、解答題：本大題共5題，共76分.解答寫出文字說明、證明過程或演算過程.

x—3

17.已知函數/'（X）=log2一工.

（1）求函數/（X）的定義域；

（2）當x為何值時，等式/（x）+log2（x-4）=1成立？

【分析】（1）根據對數函數的性質，得到關于X的不等式，解出即可；

（2）根據對數的運算得到關于x的方程組，解出即可.

解：（1）由題意得：—>0,

%+2

即(x-3)(x+2)>0,

解得：x>3或x<-2,

故函數的定義域是(-8,-2)U(3,+8)；

(2)f(x)+log2(x-4)=1,

x—3

B|jlog2-j-^+log2(x-4)=1,

e^x—>30

x+2

即<x-4>0,

Q—3)(1)一

Ix+2一乙

解得：x=8.

18.已知函數/(x)=2sin(x-1).

(1)用五點法作出函數y=/(x)在區間盧，衛J上的大致圖象(列表、描點、連線)；

33

(2)若sina=1,aG(-,IT),求/(a+?)+sec2a-tana的

J2J

值.

【分析】(1)將彳一亨的取值，X的取值及/(X)的取值情況列表，利用五點法畫圖;

(2)由已知求出cosa,根據三角函數公式求值.

解：⑴將x一與的取值，

x的取值及f(x)的取值情況列表如下：

71

0IT37r2n

22

71

x~3

7157r471117T77r

X———

36363

y020-20

作圖如下:

在I、I/，/i\i24.c，1129y/2.43+6>/^

所以/(a+5)+sec2a-tana=2sina+——H——^=3+G+>=~—?

scos乙a2V23o424

19.如圖，某廣場中間有一塊綠地OAB,扇形OAB所在圓的圓心為0,半徑為r,NAOB=不

廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路；在A8上選一點C,過C修建與。8平行的小路

CD,與0A平行的小路CE,設所修建的小路CD與CE的總長為s,ZCOD=Q.

（1）試將s表示成6的函數s=f（0）；

（2）當0取何值時，s取最大值？求出s的最大值.

【分析】⑴由扇形的半徑為八在△OOC中，ZAOB=貝！|/。0=等利用正弦定

rCD

理--------=---------,可求得CQ與CE,從而可得函數s=f（8）；

sin乙CD0sinZ.COD

（2）利用三角恒等變換，可求得s=^rsine+孥與in彳一。）=^-rsind+rcosd=

竽rsinG+。），9G（0,,利用正弦函數的單調性與最值即可求得s的最大值.

解：（1）由扇形的半徑為r,在△OOC中，ZAOB=則/CQO=號

rCD

由正弦定理得一--=,

sin乙CD0sin乙COD

???CD=孥rsin。，同理CE=竽rs譏弓-。)，

：.s=f(0)=越小山0+紐”訪(--6),06(0,-)；

3333

為

/1察

7T出

nXI---X

33S02SI

x/3.Q2門.x7T.zjxAufn—)

=-^-rsinaO+rcosG=-^-rsinf^4-up&匕<u，;，

n

V6G(0,-),

3

n112Ti、

4-06(一,—),

333

???當g+e=*,即e=看時，s〃g=/仁)=當?廠.

20.(16分)數列｛〃〃｝中，a\=L加=型二i(nGN*),數列｛瓦｝滿足歷尸Jp

3即即一1

(1)求數列｛兒｝中前四項；

(2)求證：數列仍“｝是等差數列；

10

(3)若Cn=3+2)(―)〃，試判斷數列｛Cn｝是否有最小值，若有最小項，求出最小項.

9

【分析】(1)由代入法，分別求出。2,。3,04,即可得到從，bl,fe,Z?4；

1

(2)當〃22,〃WN*,將〃換為〃-1,可得,由等差數列的定義，

即可得證;

⑶求得瓦=〃［即有昨矩I,?=鼎?(B)”?計算葭T，討論〃的取值，

即可得到所求最小值.

解：(1)。用=竺二1(”eN*),

Qn

b?=Qp

Qn-1

113

m=5，可得⑦=匚7=一方

J3

42=2-3=-1,

11

bi=礪彳二一下

。3=2-(-1)=3,

,11

丘時=2,

04-2—i

1二3

Z?4=^4—12,

(2)證明：出+|=也二1(“€N*),

Qn

當〃22,

=1-11

b

~即一1-2-^--1味1一1

an-l

]

=1+=l+bn-

味1一1

則數列｛九｝是首項為一去公差為1的等差數列;

⑶由⑵可得"尸表=一5+〃7="標

即有如=1+萬白=2九一3

2nz5,

10

Cn=(a+2)(—)〃=

n9(襄>苧“=弁?苧”

^±l-l_6n-7.(10)?+l.2n-5.(_9_),一

Cn2n-396n-1310

12n2—44n—1

9(2九一3)(6注-13)'

當〃=1時，—<1,而Cl>0,則C2〈C1,

Cl

當〃=2時，--1>0,由C2>0,則C3>C2,

C2

當〃=3時，--K0,由。3>0,則C4<C3,

C3

當〃=4時，--1>0,由C4>0,則C4<C5,

C4

Cy74t.i

當〃25時，——-1>0,即有CnVa+i.

cn

則Cl>C2<C3>C4<C5<C6<***<Cn<Cn+l.

由C2-C4=苧T?與y。,

即有C2<C4.

則數列｛/｝有最小值，且為02=鈣.

o±

21.(18分)若函數/(x)滿足f(x)=f(x+孚)且/(二+x)=f(--X)(xER)，則

乙44

稱函數/(x)為“M函數”.

4

(1)試判斷/(x)=sinr是否為函數”，并說明理由；

3

jr

(2)函數/(x)為函數”，且當3日一，n］時，f(x)=sirLv,求y=/(x)的解析式,

4

37r

并寫出在［0,上的單調遞增區間；

2

(3)在(2)條件下，當在［一3，科+n］(依N)時，關于x的方程/CO=。(”為常數)

42

有解，記該方程所有解的和為S(k),求S(k).

717r4

【分析】(1)由不滿足了(一+/)壬/'(一-X)(XER),得/(x)=sin-x不是“M函數”，

443

(2)可得函數/(x)的周期7=擎，/(%)=/(--x)(xeR),

Z2

①當花［|/(:兀+今，|左加+兀］時，f(x)=f(X-|/CTT)=sin(x-|fc/r)

,37T3TC,71q7

②當彳國一而一一，一攵兀+-］時，f(x)=j［--(X-女7T)］=COS

2