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文檔簡介

2016.2017學年上海市松江區高一第二學期期末數學試卷

一、填空題:本大題共12小題,共54分)

1.方程3-4?3"+3=0的解為.

2.已知一扇形的半徑為5,弧長為2m則該扇形的圓心角大小為.

3.若角a的終邊經過點尸(-2,1),則sin(a+^)=.

4.若tana、tan0分別是方程爐+x-2=0的兩個根,則tan(a+p)=.

5.三角形的三邊之比為3:5:7,則此三角形的最大內角是.

6.函數y=log0(x+2)+2的圖象過定點.

7.函數f(x)=siarcosx-V5cos2式的單調遞減區間為.

8.若數列{〃〃}的前〃項和為S"=/-3〃+l(〃WN*),則該數列的通項公式為〃,尸

9.函數/(x)=sinx-/gx的零點的個數是.

10.不等式cos2x-4sinx-4Vo有解,則實數。的取值范圍是.

11.設尸(x)為八x)=,inx,X曰一方寸的反函數,則y=/(x)tr(x)的值域為.

12.給出下列四個命題:

①在△ABC中,若O%則sinAVcosB;

②已知點A(0,3),則函數y=V5cosx-situ?的圖象上存在一點P,使得|PA|=1;

③函數y=cos2x+28cosx+c是周期函數,且周期與6有關,與c無關;

④設方程x+sinx=g的解是Xi,方程x+arcsiiw=5的解是X2,則Xi+X2=it.

其中真命題的序號是.(把你認為是真命題的序號都填上)

二、選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.

77

13.將函數y=cos2x的圖象向左平移工個單位,所得的函數為()

6

7T71

A.y=cos(2x4-)B.y=cos(2%+小)

TC7T

C.y=cos(2x—可)D.y=cos(2r—q)

14.若等差數列{。〃}和{仇}的公差均為d(d=0),則下列數列中不為等差數列的是()

A.{M〃}(人為常數)B.{an+b?}

C.(小2_兒2}D.{{如也}}

7T7T

15.如圖,函數y=|tanx|cosx(x€[0,—)U(-,IT])的圖象是()

16.以圓形摩天輪的軸心。為原點,水平方向為x軸,在摩天輪所在的平面建立直角坐標

系,設摩天輪的半徑為20米,把摩天輪上的一個吊籃看作一個點Po,起始時點Po在-看

TT

的終邊上,OPo繞。按逆時針方向作勻速旋轉運動,其角速度為g(弧度/分),經過t

分鐘后,OPo到達OP,記P點的橫坐標為加,則巾關于時間f的函數圖象為()

三、解答題:本大題共5題,共76分.解答寫出文字說明、證明過程或演算過程.

17.已知函數/(x)=log——.

%2+2

(1)求函數/(X)的定義域;

(2)當x為何值時,等式/(x)+log2(x-4)=1成立?

18.已知函數/(外=2sin(工一1).

(1)用五點法作出函數y=/(x)在區間聲,石]上的大致圖象(列表、描點、連線);

33

■JT

(2)若sina=打,a£(一,冗)求f(a+可)+sec2a-tana的

32

2-

1

IIi??.

0nn35-

-1--yn2nyn

-2-

19.如圖,某廣場中間有一塊綠地OAB,扇形OAB所在圓的圓心為0,半徑為r,ZAOB=今,

廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路;在AB上選一點C,過C修建與。8平行的小路

CD,與0A平行的小路CE,設所修建的小路CD與CE的總長為s,ZCOD=G.

(1)試將s表示成。的函數s=/(。);

(2)當0取何值時,s取最大值?求出s的最大值.

E二

20.(16分)數列{如}中,a吊…笛1(吒N),數列⑻滿足*表.

(1)求數列{d}中前四項;

(2)求證:數列{瓦}是等差數列;

in

(3)若5=(嬴+2)堂"’試判斷數列?}是否有最小值,若有最小項,求出最小項?

21.(18分)若函數/(x)滿足f(x)=/(x+孚)且/(工+x)=f(三一x)(xeR),則

,44

稱函數/(x)為“M函數”.

4

(1)試判斷f(幻=siqx是否為“M函數”,并說明理由;

71

(2)函數/(%)為函數”,且當工[一,TT]時,f(x)=siiu,求(x)的解析式,

4

并寫出在[0,上的單調遞增區間;

2

(3)在(2)條件下,當X€[—冬—+TT](依N)時,關于x的方程八外=〃Q為常數)

有解,記該方程所有解的和為S(女),求S(*).

2016-2017學年上海市松江區高一第二學期期末數學試

參考答案

一、填空題:本大題共12小題,共54分)

1.方程9'-4?3'+3=0的解為x=l,x=0.

【分析】設¥=,,則原方程為戶-4/+3=0,解得f,然后還原,求出x值.

解:設3,=f,則原方程為祥-4f+3=0,解得f=3或f=l,

所以3*=3或3*=1;

解得x=l或x=0;

故答案為:x—1,x=0.

27r

2.已知一扇形的半徑為5,弧長為211,則該扇形的圓心角大小為—?

-5—

【分析】設扇形的圓心角為a,運用扇形的弧長公式/=ar,計算即可得到所求值.

解:扇形的半徑為5,弧長為2n,

設扇形的圓心角為a,

可得2n=5a,

解得a=手

故答案為:—-

5

3.若角a的終邊經過點P(-2,1),則sin(a+3)=一攣.

2—5-

【分析】由題意利用任意角的三角函數的定義,求得sin(a+J)的值.

解:?.?角a的終邊經過點尸(-2,1),-2,y=l,r=|OP|=遍,

則sin(a+*)=cosa=

故答案為:一竽.

4.若tana、tanR分別是方程N+x-2=0的兩個根,則tan(a+0)=_.

【分析】利用查韋達定理求得tana+tan0和lana?tan0的值,再利用I兩角和的正切公式求得

tan(a+p)的值.

解:,ana、tan0分別是方程/+九-2=0的兩個根,

/.tana+tanp=-1,tana,tan0=-2,

tana+tanS__1

則tan(a+P)

l-tana-tanp-3'

故答案為:J

5.三角形的三邊之比為3:5:7,則此三角形的最大內角是120°.

【分析】根據三角形三邊設出三邊分別為3x,5x,7x,且設出最大邊7x對的角為a,利用

余弦定理表示出cosa,將三邊長代入求出cosa的值,即可確定出a的度數.

解:根據題意設三角形三邊分別為3x,5x,lx,且7x所對的角為a,

...c°sa=(3%)2+(5x)2—(7x)2="

2-3x-5x2

為三角形內角,

...三角形最大內角a=120。.

故答案為:120。

6.函數y=log“(x+2)+2的圖象過定點(-1,的.

【分析】根據對數函數的性質,求出定點的坐標即可.

解:令x+2=l,解得:X--1,

此時y—2,

故函數過(-1,2),

故答案為:(-1,2).

7.函數/(x)=sinxcosx-V^cos2x的單調遞減區間為1五+八1)~*~后"("口)

【分析】首先,借助于輔助角公式化簡所給函數的解析式,然后,結合三角函數的基本性質,

確定單調遞減區間.

2

解:>?=siavcosx-V3cosx=^sin2x-竽(1+cos2x)

=sin(2x-5)——

32

,71TC371,

由一+2kn<2%——<—+2/CTT,依Z,

232

得且[_|_kn<x<+kn,kcZ.

1212

.??該函數的減區間為:I—+kn,—+kn],(kez),

1212

故答案為:[二47r+加,上1l/匕r+加],(依Z),

1212

8.若數列{z}的前n項和為S,=〃2-3〃+1(aeN*),則該數列的通項公式為a?=

f-1/n=1

(2n—4,n>2一

【分析】首先根據S尸"2-3〃+I求出g的值,然后利用%=%-斗一1求出當")2時,斯的

表達式,然后驗證0的值,最后寫出所的通項公式.

2

解:':Sn=n-3n+l,

當”=1時,“1=51=1-3+1=-1,

2

.'.an=Sn-Sn-\=n-3〃+1-[(〃-1)2-3(〃-1)+l]=2/z-4(〃22),

?..當〃=1時,a\=-1^2,

.(-1,n=1

..a=s,

n(2n—4,n>2

,.“(—1fH—1

故答案2fcs為:]

(2n—4,n>2

9.函數f(x)=sinx-Igx的零點的個數是3.

【分析】在同一坐標系內畫出函數)=5]似與丫=四》的圖象,利用圖象得結論.

解:因為函數的零點個數就是找對應兩個函數的圖象的交點個數.

在同一坐標系內畫出函數),=sior與y=lgx的圖象,

由圖得交點3個

故函數f(x)=sior-/gx的零點的個數是3.

故答案為3.

VA

y=?x

10.不等式cos2A,-4siar-a<0有解,則實數a的取值范圍是(-5,+8).

【分析】問題等價于〃大于cos2x-4sin%的最小值,由三角函數和二次函數區間的最值可得.

解:不等式cos2x-4sinx-a<0有解,等價于存在實數x,使得關于x的不等式“>cos2x-

4siar成立,

故只需a大于cos2x-4sinx的最小值即可,

令y=cos2x-4siru=-2sin2x-4siru+l=-2(sinx+1)2+3,

由二次函數可知當siax=l時,y取最小值-5,

二〃的取值范圍為:(-5,+8),

故答案為:(-5,+8).

11.設廣(x)為/(x)=》inx,xe[-5,三]的反函數,則y=/(x)4/1(x)的值域為_

S—,

【分析】求出原函數的值域可得其反函數的定義域,取交集可得函數y=f(x)"I(x)的

定義域,再由單調性求得y=/(x)V(x)的值域.

解:?.丁(x)=[sinx在[一.,芻上為增函數,

:.f(%)的值域為[一看,白,則其反函數的定義域為[-1,芻,

:.y=f(x)+f1(x)的定義域為[-?1],

又y=/r(x)的單調性相同,

可得y=/(x)+f1(x)在[―看,自上為增函數.

.?.當x=Y時函數有最小值為(二)一巴=一衛;

66k27212

當x=覆寸函數有最大值為一X-+—=—.

662212

???>=/⑴V1U)的值域為[_需,笥.

故答案為:[—居,碧].

12.給出下列四個命題:

①在△ABC中,若O%則sinACcosB;

②已知點A(0,3),則函數y=V5cosx-sinx的圖象上存在一點P,使得|尸4|=1;

③函數、=(:。$2戶2氏0$苫+。是周期函數,且周期與6有關,與c無關;

④設方程x+sinx=夕的解是xi,方程x+arcsinx=%的解是尤2,則x\+x2—n.

其中真命題的序號是①③.(把你認為是真命題的序號都填上)

【分析】①利用三角形的內角和定理以及正弦函數的單調性判斷;

②根據余弦函數的有界性解答;

③利用周期函數的定義,結合余弦函數的周期性判斷;

④根據互為反函數圖象的對稱性解答.

解:①在△A8C中,若。>夕貝IJA+8V夕即AV58V*,所以sinAVsin(1—8,)sin4

<cosB;故①正確;

②已知點A(0,3),則函數y=V5cosx-sior=2cos(%+卷)曰-2,2],所以它的圖象上

不存在一點P,使得|%|=1;故②錯誤;

③函數>=852工+2旅001+。是周期函數,且周期與6有關,與C無關;正確

④設方程x+sinx=冬的解是xi,方程x+arcsinx=?的解是必設arcsinA2=r,則sinf=i2,則

jy兀

x+arcsinv=2變形為sint+t=于

觀察得到xi+siiLvi=r+sinr=*則"xi是方程x+sinx=今的兩根,

又因為,Sim=X2,故XI,X2是方程的兩根,故Xl+X2=*.故④錯誤;

故答案為:①③

二、選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.

7T

13.將函數y=cos2x的圖象向左平移三個單位,所得的函數為()

6

7T71

A.y=cos(2x+@)B.y=cos(2x+^)

7T71

C.y=cos(2x-D.y=cos(2x—)

【分析】根據三角函數的圖象的平移變換得到所求.

解:由已知將函數y=cos2x的圖象向左平移,個單位,所得的函數為尸cos2(x+看)=cos

(ix+百);

故選:A.

14.若等差數列{〃”)和{5}的公差均為4(dWO),則下列數列中不為等差數列的是()

A.{人”“}(人為常數)B.[an+bn]

C.{“J-62}D.{{a?>hn}]

【分析】運用等差數列的定義和通項公式,對選項一一判斷差是否為常數,即與〃無關,即

可判斷.

解:等差數列{如}和{5}的公差均為d(dWO),

對于A,由于,+i-初“=入(a”+i-a.)="為常數,則該數列為等差數列;

=

對于B,由afi+\+bn+\~an-bn=(a〃+i-斯)+(bn+\~bn)2d為常數,則該數列為等差數列;

對于C,由-為+/-(4廣-bn~)=(Cln+1-Un)(如+1+。〃)-(仇+1-bn)(瓦+1+為)

=d(2m+(2H-1)d)-d(2/71+(2/7-1)d)=2d(a】-6)為常數,則該數列為等差數

列;

1

對于。,由知+也+i-4伍=(a〃+d)(b〃+d)-anbn=d+d(即+/?“)不為常數,則該數列不

為等差數列.

故選:D.

Jl71

15.如圖,函數y=|tanx|cosx(xe[O,")U(-,n])的圖象是()

【分析】根據x的取值情況分類討論,去掉Itairtl中的絕對值符號,轉化為分段函數,利用正

弦函數的圖象即可得解.

解:當x€[0,])時,y=tanxcosx=siax,

n

當(-,n]時',y=-tanxcosx=-sinx,

故選:B.

16.以圓形摩天輪的軸心。為原點,水平方向為x軸,在摩天輪所在的平面建立直角坐標

系,設摩天輪的半徑為20米,把摩天輪上的一個吊籃看作一個點Po,起始時點Po在-看

71

的終邊上,。局繞。按逆時針方向作勻速旋轉運動,其角速度為g(弧度/分),經過t

分鐘后,OPo到達。尸,記P點的橫坐標為加,則相關于時間f的函數圖象為()

【分析】根據題意,點P的橫坐標,〃=20cos(VJ),由此通過特殊點的坐標,判斷所給

的圖象是否滿足條件,從而得出結論.

解:根據題意可得,振幅A=20,角速度3=I,初相<p=.%點、P的橫坐標帆=20cos令一看),

故當f=0時,機=10k,當f/時,機=20,為機的最大值,

結合所給的選項,

故選:B.

三、解答題:本大題共5題,共76分.解答寫出文字說明、證明過程或演算過程.

x—3

17.已知函數/'(X)=log2一工.

(1)求函數/(X)的定義域;

(2)當x為何值時,等式/(x)+log2(x-4)=1成立?

【分析】(1)根據對數函數的性質,得到關于X的不等式,解出即可;

(2)根據對數的運算得到關于x的方程組,解出即可.

解:(1)由題意得:—>0,

%+2

即(x-3)(x+2)>0,

解得:x>3或x<-2,

故函數的定義域是(-8,-2)U(3,+8);

(2)f(x)+log2(x-4)=1,

x—3

B|jlog2-j-^+log2(x-4)=1,

e^x—>30

x+2

即<x-4>0,

Q—3)(1)一

Ix+2一乙

解得:x=8.

18.已知函數/(x)=2sin(x-1).

(1)用五點法作出函數y=/(x)在區間盧,衛J上的大致圖象(列表、描點、連線);

33

(2)若sina=1,aG(-,IT),求/(a+?)+sec2a-tana的

J2J

值.

【分析】(1)將彳一亨的取值,X的取值及/(X)的取值情況列表,利用五點法畫圖;

(2)由已知求出cosa,根據三角函數公式求值.

解:⑴將x一與的取值,

x的取值及f(x)的取值情況列表如下:

71

0IT37r2n

22

71

x~3

7157r471117T77r

X———

36363

y020-20

作圖如下:

在I、I/,/i\i24.c,1129y/2.43+6>/^

所以/(a+5)+sec2a-tana=2sina+——H——^=3+G+>=~—?

scos乙a2V23o424

19.如圖,某廣場中間有一塊綠地OAB,扇形OAB所在圓的圓心為0,半徑為r,NAOB=不

廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路;在A8上選一點C,過C修建與。8平行的小路

CD,與0A平行的小路CE,設所修建的小路CD與CE的總長為s,ZCOD=Q.

(1)試將s表示成6的函數s=f(0);

(2)當0取何值時,s取最大值?求出s的最大值.

【分析】⑴由扇形的半徑為八在△OOC中,ZAOB=貝!|/。0=等利用正弦定

rCD

理--------=---------,可求得CQ與CE,從而可得函數s=f(8);

sin乙CD0sinZ.COD

(2)利用三角恒等變換,可求得s=^rsine+孥與in彳一。)=^-rsind+rcosd=

竽rsinG+。),9G(0,,利用正弦函數的單調性與最值即可求得s的最大值.

解:(1)由扇形的半徑為r,在△OOC中,ZAOB=則/CQO=號

rCD

由正弦定理得一--=,

sin乙CD0sin乙COD

???CD=孥rsin。,同理CE=竽rs譏弓-。),

:.s=f(0)=越小山0+紐”訪(--6),06(0,-);

3333

/1察

7T出

nXI---X

33S02SI

x/3.Q2門.x7T.zjxAufn—)

=-^-rsinaO+rcosG=-^-rsinf^4-up&匕<u,;,

n

V6G(0,-),

3

n112Ti、

4-06(一,—),

333

???當g+e=*,即e=看時,s〃g=/仁)=當?廠.

20.(16分)數列{〃〃}中,a\=L加=型二i(nGN*),數列{瓦}滿足歷尸Jp

3即即一1

(1)求數列{兒}中前四項;

(2)求證:數列仍“}是等差數列;

10

(3)若Cn=3+2)(―)〃,試判斷數列{Cn}是否有最小值,若有最小項,求出最小項.

9

【分析】(1)由代入法,分別求出。2,。3,04,即可得到從,bl,fe,Z?4;

1

(2)當〃22,〃WN*,將〃換為〃-1,可得,由等差數列的定義,

即可得證;

⑶求得瓦=〃[即有昨矩I,?=鼎?(B)”?計算葭T,討論〃的取值,

即可得到所求最小值.

解:(1)。用=竺二1(”eN*),

Qn

b?=Qp

Qn-1

113

m=5,可得⑦=匚7=一方

J3

42=2-3=-1,

11

bi=礪彳二一下

。3=2-(-1)=3,

,11

丘時=2,

04-2—i

1二3

Z?4=^4—12,

(2)證明:出+|=也二1(“€N*),

Qn

當〃22,

=1-11

b

~即一1-2-^--1味1一1

an-l

]

=1+=l+bn-

味1一1

則數列{九}是首項為一去公差為1的等差數列;

⑶由⑵可得"尸表=一5+〃7="標

即有如=1+萬白=2九一3

2nz5,

10

Cn=(a+2)(—)〃=

n9(襄>苧“=弁?苧”

^±l-l_6n-7.(10)?+l.2n-5.(_9_),一

Cn2n-396n-1310

12n2—44n—1

9(2九一3)(6注-13)'

當〃=1時,—<1,而Cl>0,則C2〈C1,

Cl

當〃=2時,--1>0,由C2>0,則C3>C2,

C2

當〃=3時,--K0,由。3>0,則C4<C3,

C3

當〃=4時,--1>0,由C4>0,則C4<C5,

C4

Cy74t.i

當〃25時,——-1>0,即有CnVa+i.

cn

則Cl>C2<C3>C4<C5<C6<***<Cn<Cn+l.

由C2-C4=苧T?與y。,

即有C2<C4.

則數列{/}有最小值,且為02=鈣.

21.(18分)若函數/(x)滿足f(x)=f(x+孚)且/(二+x)=f(--X)(xER),則

乙44

稱函數/(x)為“M函數”.

4

(1)試判斷/(x)=sinr是否為函數”,并說明理由;

3

jr

(2)函數/(x)為函數”,且當3日一,n]時,f(x)=sirLv,求y=/(x)的解析式,

4

37r

并寫出在[0,上的單調遞增區間;

2

(3)在(2)條件下,當在[一3,科+n](依N)時,關于x的方程/CO=。(”為常數)

42

有解,記該方程所有解的和為S(k),求S(k).

717r4

【分析】(1)由不滿足了(一+/)壬/'(一-X)(XER),得/(x)=sin-x不是“M函數”,

443

(2)可得函數/(x)的周期7=擎,/(%)=/(--x)(xeR),

Z2

①當花[|/(:兀+今,|左加+兀]時,f(x)=f(X-|/CTT)=sin(x-|fc/r)

,37T3TC,71q7

②當彳國一而一一,一攵兀+-]時,f(x)=j[--(X-女7T)]=COS

2

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