第第頁專題七平面解析幾何考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點01直線與圓位置關系的判斷與應用2021年新高考I卷、2021年新高考II卷：均是多選題.1.直線與圓位置關系的判斷；2.圓的切線問題；3.直線與圓相交，弦長、半徑、弦心距關系的應用；4.兩圓位置關系的判斷；5.兩圓、公共弦、公切線問題；6.與圓錐曲線的交匯問題考點02直線與圓的相交弦問題2023年新課標Ⅱ卷：由三角形面積求參數.考點03圓的切線問題2023年新課標Ⅰ卷：兩切線的夾角問題.考點04圓的公切線問題2022年新高考I卷：求兩圓公切線方程.考點05橢圓的定義及其應用2021年新高考I卷：橢圓焦點三角形中兩邊乘積的最值.關于橢圓的問題的考查，是重中之重，往往客觀題、主觀題雙重考查.1.橢圓的定義及應用，焦點三角形；2.求橢圓的標準方程；3.研究橢圓的幾何性質，特別是離心率問題；4.直線與橢圓的位置關系問題，分兩類，一類是客觀題，二類是主觀題，其中主觀題往往是先根據幾何性質等條件，求標準方程，而后進一步聯立方程組，解決求直線方程、求三角形面積、定點定值、定直線以及最值范圍問題.考點06橢圓的標準方程與幾何性質2023年新高考Ⅰ卷：由兩橢圓離心率關系求參數；2024年新高考Ⅱ卷：與圓上點相關線段中點的軌跡方程.考點07直線與橢圓相交關系下的簡單問題2022年新高考I卷：求三角形周長；2022年新高考II卷：求直線方程；2023年新課標Ⅱ卷：根據兩三角形面積關系求參數.考點08直線與橢圓相交關系下的綜合問題2020年新高考Ⅰ卷；求橢圓方程、存在定點，使線段長為定值；2020年新高考Ⅱ卷：求橢圓方程、三角形面積的最值；2021年新高考II卷：求橢圓方程、由直線與圓相切，證明三點共線；2024年新課標Ⅰ卷：求離心率、由三角形面積求直線方程.考點09雙曲線的標準方程及其幾何性質2021年新高考II卷：由離心率求漸近線方程；2023年新課標Ⅰ卷、2024年新課標Ⅰ卷：不同條件下求離心率.對雙曲線的綜合考查，有增強趨勢.1.雙曲線的標準方程及其幾何性質，特別是漸近線、離心率問題；2.直線與雙曲線的位置關系，往往是先根據幾何性質等條件，求標準方程，而后進一步聯立方程組，解決求直線方程、求三角形面積、定點定值、定直線以及最值范圍問題等.考點10直線與雙曲線位置關系下的綜合問題2021年新高考I卷：求標準方程、求兩條直線的斜率之和；2022年新高考I卷：求直線斜率、三角形面積；2022年新高考II卷：結構不完整.求雙曲線方程、由兩條件證明另一成立；2023年新課標Ⅱ卷：求雙曲線方程、證明點在定直線上；2024年新課標Ⅱ卷：求點的坐標、證明坐標關系構成等比數列、三角形面積數列，相鄰項相等.考點11拋物線的焦點、準線、焦參數2021年新高考I、II卷近幾年對拋物線的考查，全是以客觀題形式，特別是多選題，擴大對其考查范圍的覆蓋.1.拋物線的標準方程及幾何性質；2.直線與拋物線的位置關系考點12拋物線的焦點弦問題2020年新高考Ⅰ卷：求弦長；2022年新高考II卷：多選題；2023年新課標Ⅱ卷：多選題.考點13直線與拋物線的位置關系2022年新高考I卷：多選題.直線、直線與拋物線相切、線段長度關系；2024年新高考Ⅱ卷：多選題.與圓相關.考點14曲線與方程2020年新高考Ⅰ卷：多選題.討論方程表示的曲線；2024年新課標Ⅰ卷：多選題.根據曲線求方程，研究其性質.這是解析幾何的基本問題.應與圓錐曲線綜合考查.考點01直線與圓位置關系的判斷與應用1．（多選）（2021年全國新高考II卷數學試題）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（

）A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉化點與圓、點與直線的位置關系為的大小關系，結合點到直線的距離及直線與圓的位置關系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點在圓C內，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.2．（多選）（2021年全國新高考I卷數學試題）已知點在圓上，點、，則（

）A．點到直線的距離小于B．點到直線的距離大于C．當最小時，D．當最大時，【答案】ACD【分析】計算出圓心到直線的距離，可得出點到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項正確.故選：ACD.【點睛】結論點睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的取值范圍是.考點02直線與圓的相交弦問題3．（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．【答案】（中任意一個皆可以）【分析】根據直線與圓的位置關系，求出弦長，以及點到直線的距離，結合面積公式即可解出．【詳解】設點到直線的距離為，由弦長公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個皆可以）．考點03圓的切線問題4．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據切線的性質求切線長，結合倍角公式運算求解；方法二：根據切線的性質求切線長，結合余弦定理運算求解；方法三：根據切線結合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結合夾角公式運算求解.【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設切線方程為，即，則，整理得，且設兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

考點04圓的公切線問題5．（2022年新高考全國I卷數學真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程．【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設直線方程為，于是，故①，于是或，再結合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點為，設過該點的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當切線為l時，因為，所以，設方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當切線為m時，設直線方程為，其中，，由題意，解得，當切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.考點05橢圓的定義及其應用6．（2021年全國新高考I卷數學試題）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當且僅當時，等號成立）．故選：C．考點06橢圓的標準方程與幾何性質7．（2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點M的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】A【分析】設點，由題意，根據中點的坐標表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設點，則，因為為的中點，所以，即，又在圓上，所以，即，即點的軌跡方程為.故選：A8．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）設橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據給定的橢圓方程，結合離心率的意義列式計算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A考點07直線與橢圓相交關系下的簡單問題9．（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先聯立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據三角形面積比得到關于的方程，解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯立，消去可得，因為直線與橢圓相交于點，則，解得，設到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.10．（2022年新高考全國I卷數學真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是．【答案】13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據離心率得到直線的斜率，進而利用直線的垂直關系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據對稱性將的周長轉化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.11．（2022年新高考全國II卷數學真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為．【答案】【分析】令的中點為，設，，利用點差法得到，設直線，，，求出、的坐標，再根據求出、，即可得解；【詳解】[方法一]：弦中點問題：點差法令的中點為，設，，利用點差法得到，設直線，，，求出、的坐標，再根據求出、，即可得解；解：令的中點為，因為，所以，設，，則，，所以，即所以，即，設直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規方法解：由題意知，點既為線段的中點又是線段MN的中點，設，，設直線，，，則，，，因為，所以聯立直線AB與橢圓方程得消掉y得其中，∴AB中點E的橫坐標,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直線，即考點08直線與橢圓相交關系下的綜合問題12．（2020年新高考全國卷Ⅰ數學試題）已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．【答案】（1）；（2）詳見解析.【分析】（1）由題意得到關于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.（2）方法一：設出點，的坐標，在斜率存在時設方程為,聯立直線方程與橢圓方程，根據已知條件，已得到的關系，進而得直線恒過定點，在直線斜率不存在時要單獨驗證，然后結合直角三角形的性質即可確定滿足題意的點的位置.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)［方法一］：通性通法設點，若直線斜率存在時，設直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因為，所以，即，根據,代入整理可得：，

所以，整理化簡得，因為不在直線上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點直線過定點.當直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點.令為的中點，即，若與不重合，則由題設知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點，使得為定值.［方法二］【最優解】：平移坐標系將原坐標系平移，原來的O點平移至點A處，則在新的坐標系下橢圓的方程為，設直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯立得，即，化簡得，即．設，因為則，即．代入直線方程中得．則在新坐標系下直線過定點，則在原坐標系下直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．的中點即為圓心Q．經檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．［方法三］：建立曲線系A點處的切線方程為，即．設直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過A，M，N三點的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數）．用直線及點A處的切線可表示為（其中為系數）．即．對比項、x項及y項系數得將①代入②③，消去并化簡得，即．故直線的方程為，直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．中點即為圓心Q．經檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．［方法四］：設．若直線的斜率不存在，則．因為，則，即．由，解得或（舍）．所以直線的方程為．若直線的斜率存在，設直線的方程為，則．令，則．又，令，則．因為，所以，即或．當時，直線的方程為．所以直線恒過，不合題意；當時，直線的方程為，所以直線恒過．綜上，直線恒過，所以．又因為，即，所以點D在以線段為直徑的圓上運動．取線段的中點為，則．所以存在定點Q，使得為定值．13．（2020年新高考全國卷Ⅱ數學試題）已知橢圓C：過點M（2，3）,點A為其左頂點，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點N為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.【答案】（1）；（2）18.【分析】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)首先利用幾何關系找到三角形面積最大時點N的位置，然后聯立直線方程與橢圓方程，結合判別式確定點N到直線AM的距離即可求得三角形面積的最大值.【詳解】(1)由題意可知直線AM的方程為：，即.當y=0時，解得，所以a=4，橢圓過點M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)設與直線AM平行的直線方程為：，如圖所示，當直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠的直線與橢圓的切點為N，此時△AMN的面積取得最大值.

聯立直線方程與橢圓方程，可得：，化簡可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，與AM距離比較遠的直線方程：，直線AM方程為：，點N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：，由兩點之間距離公式可得.所以△AMN的面積的最大值：.14．（2021年全國新高考II卷數學試題）已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設M，N是橢圓C上的兩點，直線與曲線相切．證明：M，N，F三點共線的充要條件是．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由離心率公式可得，進而可得，即可得解；（2）必要性：由三點共線及直線與圓相切可得直線方程，聯立直線與橢圓方程可證；充分性：設直線，由直線與圓相切得，聯立直線與橢圓方程結合弦長公式可得，進而可得，即可得解.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當直線的斜率不存在時，直線，不合題意；當直線的斜率存在時，設，必要性：若M，N，F三點共線，可設直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯立可得，所以，所以，化簡得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過點，M，N，F三點共線，充分性成立；所以M，N，F三點共線的充要條件是．15．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知和為橢圓上兩點.(1)求C的離心率;(2)若過P的直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．【答案】(1)(2)直線的方程為或.【分析】（1）代入兩點得到關于的方程，解出即可；（2）方法一：以為底，求出三角形的高，即點到直線的距離，再利用平行線距離公式得到平移后的直線方程，聯立橢圓方程得到點坐標，則得到直線的方程；方法二：同法一得到點到直線的距離，再設，根據點到直線距離和點在橢圓上得到方程組，解出即可；法三：同法一得到點到直線的距離，利用橢圓的參數方程即可求解；法四：首先驗證直線斜率不存在的情況，再設直線，聯立橢圓方程，得到點坐標，再利用點到直線距離公式即可；法五：首先考慮直線斜率不存在的情況，再設，利用弦長公式和點到直線的距離公式即可得到答案；法六：設線法與法五一致，利用水平寬乘鉛錘高乘表達面積即可.【詳解】（1）由題意得，解得，所以.（2）法一：，則直線的方程為，即，，由（1）知，設點到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時該平行線與橢圓的交點即為點，設該平行線的方程為：，則，解得或，當時，聯立，解得或，即或，當時，此時，直線的方程為，即，當時，此時，直線的方程為，即，當時，聯立得，，此時該直線與橢圓無交點.綜上直線的方程為或.法二：同法一得到直線的方程為，點到直線的距離，設，則，解得或，即或，以下同法一.法三：同法一得到直線的方程為，點到直線的距離，設，其中，則有，聯立，解得或，即或，以下同法一；法四：當直線的斜率不存在時，此時，，符合題意，此時，直線的方程為，即，當線的斜率存在時，設直線的方程為，聯立橢圓方程有，則，其中，即，解得或，，，令，則，則同法一得到直線的方程為，點到直線的距離，則，解得，此時，則得到此時，直線的方程為，即，綜上直線的方程為或.法五：當的斜率不存在時，到距離，此時不滿足條件.當的斜率存在時，設，令，，消可得，，且，即，，到直線距離，或，均滿足題意，或，即或.法六：當的斜率不存在時，到距離，此時不滿足條件.當直線斜率存在時，設，設與軸的交點為，令，則，聯立，則有，，其中，且，則，則，解的或，經代入判別式驗證均滿足題意.則直線為或，即或.考點09雙曲線的標準方程及其幾何性質16．（2021年全國新高考II卷數學試題）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程.【答案】【分析】根據離心率得出，結合得出關系，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.17．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為．【答案】/【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數積的幾何意義得到關于的表達式，從而利用勾股定理求得，進而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.方法二：依題意設出各點坐標，從而由向量坐標運算求得，，將點代入雙曲線得到關于的齊次方程，從而得解；【詳解】方法一：依題意，設，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因為，所以，則，又，所以，則，又點在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.18．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）設雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為．【答案】【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.【詳解】由題可知三點橫坐標相等，設在第一象限，將代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案為：考點10直線與雙曲線位置關系下的綜合問題19．（2021年全國新高考I卷數學試題）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.（1）求的方程；（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)利用雙曲線的定義可知軌跡是以點、為左、右焦點雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；(2)方法一：設出點的坐標和直線方程，聯立直線方程與曲線C的方程，結合韋達定理求得直線的斜率，最后化簡計算可得的值.【詳解】(1)因為，所以，軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為.（2）[方法一]【最優解】：直線方程與雙曲線方程聯立如圖所示，設,設直線的方程為．

聯立,化簡得，，則．故．則．設的方程為，同理．因為，所以，化簡得，所以，即．因為，所以．[方法二]：參數方程法設．設直線的傾斜角為，則其參數方程為，聯立直線方程與曲線C的方程，可得，整理得．設，由根與系數的關系得．設直線的傾斜角為，，同理可得由，得．因為，所以．由題意分析知．所以，故直線的斜率與直線的斜率之和為0．[方法三]：利用圓冪定理因為，由圓冪定理知A，B，P，Q四點共圓．設,直線的方程為，直線的方程為,則二次曲線．又由，得過A，B，P，Q四點的二次曲線系方程為：，整理可得：，其中．由于A，B，P，Q四點共圓，則xy項的系數為0，即.20．（2022年新高考全國I卷數學真題）已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由點在雙曲線上可求出，易知直線l的斜率存在，設，，再根據，即可解出l的斜率；（2）根據直線的斜率之和為0可知直線的傾斜角互補，根據即可求出直線的斜率，再分別聯立直線與雙曲線方程求出點的坐標，即可得到直線的方程以及的長，由點到直線的距離公式求出點A到直線的距離，即可得出的面積．【詳解】（1）因為點在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線．易知直線l的斜率存在，設，，聯立可得，，所以，，且．所以由可得，，即，即，所以，化簡得，，即，所以或，當時，直線過點，與題意不符，舍去，故．（2）［方法一］：【最優解】常規轉化不妨設直線的傾斜角為，因為，所以，由（1）知，，當均在雙曲線左支時，，所以，即，解得（負值舍去）此時PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點，舍去；當均在雙曲線右支時，因為，所以，即，即，解得（負值舍去），于是，直線，直線，聯立可得，，因為方程有一個根為，所以，，同理可得，，．所以，，點到直線的距離，故的面積為．［方法二］：設直線AP的傾斜角為，，由，得，由，得，即，聯立，及得，，同理，，，故，而，，由，得，故21．（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；（2）設出直線方程，與雙曲線方程聯立，然后由點的坐標分別寫出直線與的方程，聯立直線方程，消去，結合韋達定理計算可得，即交點的橫坐標為定值，據此可證得點在定直線上.【詳解】（1）設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設，顯然直線的斜率不為0，所以設直線的方程為，且，與聯立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據此可得點在定直線上運動.22．（2022年新高考全國II卷數學真題）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①M在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用焦點坐標求得的值，利用漸近線方程求得的關系，進而利用的平方關系求得的值，得到雙曲線的方程；（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設直線AB的斜率為k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結合雙曲線的方程，兩點間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價轉化為，由①在直線上等價于，然后選擇兩個作為已知條件一個作為結論，進行證明即可.【詳解】（1）右焦點為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性可知在軸上，即為焦點,此時由對稱性可知、關于軸對稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價于；兩漸近線的方程合并為,聯立消去y并化簡整理得：設,線段中點為,則,設,則條件③等價于,移項并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標：,同理：，∴∴,∴條件②等價于，綜上所述：條件①在上，等價于；條件②等價于；條件③等價于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.23．（2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知雙曲線，點在上，為常數，．按照如下方式依次構造點：過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為.(1)若，求；(2)證明：數列是公比為的等比數列；(3)設為的面積，證明：對任意正整數，.【答案】(1)，(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）直接根據題目中的構造方式計算出的坐標即可；（2）根據等比數列的定義即可驗證結論；（3）思路一：使用平面向量數量積和等比數列工具，證明的取值為與無關的定值即可.思路二：使用等差數列工具，證明的取值為與無關的定值即可.【詳解】（1）由已知有，故的方程為.當時，過且斜率為的直線為，與聯立得到.解得或，所以該直線與的不同于的交點為，該點顯然在的左支上.故，從而，.（2）由于過且斜率為的直線為，與聯立，得到方程.展開即得，由于已經是直線和的公共點，故方程必有一根.從而根據韋達定理，另一根，相應的.所以該直線與的不同于的交點為，而注意到的橫坐標亦可通過韋達定理表示為，故一定在的左支上.所以.這就得到，.所以.再由，就知道，所以數列是公比為的等比數列.（3）方法一：先證明一個結論：對平面上三個點，若，，則.（若在同一條直線上，約定）證明：.證畢，回到原題.由于上一小問已經得到，，故.再由，就知道，所以數列是公比為的等比數列.所以對任意的正整數，都有.而又有，，故利用前面已經證明的結論即得.這就表明的取值是與無關的定值，所以.方法二：由于上一小問已經得到，，故.再由，就知道，所以數列是公比為的等比數列.所以對任意的正整數，都有.這就得到，以及.兩式相減，即得.移項得到.故.而，.所以和平行，這就得到，即.考點11拋物線的焦點、準線、焦參數24．（2021年全國新高考II卷數學試題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先確定拋物線的焦點坐標，然后結合點到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點坐標為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.25．（2021年全國新高考I卷數學試題）已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為.【答案】【分析】先用坐標表示，再根據向量垂直坐標表示列方程，解得，即得結果.【詳解】拋物線：()的焦點,∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為,不妨設,因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側，又，因為，所以,，所以的準線方程為故答案為：.考點12拋物線的焦點弦問題26．（2020年新高考全國卷Ⅰ數學試題）斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則=．【答案】【分析】先根據拋物線的方程求得拋物線焦點坐標，利用點斜式得直線方程，與拋物線方程聯立消去y并整理得到關于x的二次方程，接下來可以利用弦長公式或者利用拋物線定義將焦點弦長轉化求得結果.【詳解】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點F坐標為，又∵直線AB過焦點F且斜率為，∴直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡得，解法一：解得

所以解法二：設，則,過分別作準線的垂線，設垂足分別為如圖所示.故答案為：27．（多選）（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦點坐標，從而求得，根據弦長公式求得，根據圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.B選項：設，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤.C選項：設的中點為，到直線的距離分別為，因為，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.D選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.

28．（多選）（2022年新高考全國II卷數學真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯立拋物線方程得，設，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.考點13直線與拋物線的位置關系29．（多選）（2022年新高考全國I卷數學真題）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（

）A．C的準線為 B．直線AB與C相切C． D．【答案】BCD【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯立AB與拋物線的方程求交點可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準線方程為，A錯誤