線性代數試題（完整試題與詳細答案）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1．行列式第二行第一列元素的代數余子式=（）A．-2 B．-1C．1 D．22．設為2階矩陣，若=3，則（）A． B．1C． D．23．設階矩陣、、滿足，則（）A． B．C． D．4．已知2階矩陣的行列式，則（）A． B．C． D．5．向量組的秩不為零的充分必要條件是（）A．中沒有線性相關的部分組 B．中至少有一個非零向量C．全是非零向量 D．全是零向量6．設為矩陣，則元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是（）A． B．C． D．7．已知3階矩陣的特征值為-1，0，1，則下列矩陣中可逆的是（）A． B．C． D．8．下列矩陣中不是初等矩陣的為（）A． B．C． D．9．4元二次型的秩為（）A．1 B．2C．3 D．410．設矩陣，則二次型的規范形為（）A． B．C． D．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分） 請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11．已知行列式，則______.12．已知矩陣，且，則=______.13．設矩陣，則______.14．已知矩陣方程，其中，則______.15．已知向量組線性相關，則數______.16．設向量組，且，則向量組的秩為______.17．已知3元非齊次線性方程組的增廣矩陣為，若該方程組無解，則的取值為______.18．已知3階矩陣的特征值分別為1，2，3，則|E+A|=______.19．已知向量與正交，則數______.20．已知3元二次型正定，則數的最大取值范圍是______.三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)21．計算行列式的值.22．設矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，求||.23．已知線性方程組(1)討論常數滿足什么條件時，方程組有解．(2)當方程組有無窮多解時，求出其通解(要求用它的一個特解和導出組的基礎解系表示)．24．設向量組，求該向量組的秩及一個極大無關組，并將其余向量用此極大無關組線性表示．25．設矩陣，存在，使得；存在使得.試求可逆矩陣，使得.26．已知二次型，求一正交變換，將此二次型化為標準形．四、證明題(本題6分)27．設向量組線性無關，且．證明：若≠0，則向量組也線性無關線性代數試題答案一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）。1.B2.C3.A4.A5.B6.C7.D8.D9.B10.D1．[解析]2．[解析]由知，故4．[解析]由，知本題正確選項為A.6．[解析]n元齊次線性方程組Ax=O有非零解的充要條件是r(A)<n，亦即A的列向量線性相關．7．[解析]由于矩陣A的特征值為-1，0，1，易知2E-A的特征值為3，2，1，全不為零，故矩陣2E-A可逆．8．[解析]根據初等矩陣的定義可知，選項D中的矩陣不能由單位矩陣經過一次初等變換得到，故其不是初等矩陣．9．[解析]由題知二次型的矩陣是：故r(A)=2.二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11.2 12． 13． 14．15.1 16.2 17.-1 18.2419.-1 20.-3<a<111.[解析]，故12.[解析]則13.[解析]由A易得故17.[解析]若方程組無解，則r(A)≠r(Ab)，即d+1=O，a=-1，此時r(A)=-1≠r(Ab)-2．19.[解析]若a與正交，則=3+k+2k=O，得k=-1．20.[解析]由二次型正定，可知：①②③聯立①②③-3<a<1．三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.解22．解一由B=B+E,有B(A-E)=E，因此．從而而，故解二由BA=B+E，有B(A-E)=E，因此從而23.解(1)由于方程組的增廣矩陣可知，當時，r(A)==r(A)，方程組有解．(2)當時，，方程組有無窮多解，得從而通解為（k為任意常數）．24.解由得向號組的秧為3，為一個極大無關組，（答案不唯一）25.解由條件知存在可逆矩陣和對角矩陣使得由此得到令有26．解二次型的矩陣由得A的特征值為對應的特征向量分別為將與正交化