試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年河北省部分名校高一下學期期末數學試題一、單選題1．復數的實部是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由復數除法運算法則化簡復數，由實部定義可得結果.【詳解】，的實部是．故選：C.2．已知數據的方差為3，則數據，，，…的方差是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】D【分析】直接根據方差的性質求解即可．【詳解】解：由題意可得數據的方差是，故選：D．3．在平行四邊形中，點是的中點，點是的中點，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的線性運算直接轉化求解即可.【詳解】，.故選：B.4．某校舉行校園歌手大賽，6位評委對某選手的評分分別為9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，設該選手得分的平均數為x，中位數為y，眾數為z，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據平均數，中位數，眾數的概念，分別求出，即可求出結果.【詳解】由題意可得，，，，則．故選：A.5．已知，，是不重合的直線，，是不重合的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，是異面直線，，，且，則【答案】D【分析】根據線面、面面平行與垂直的性質定理及判定定理一一判斷即可；【詳解】解：若，，則或，則A錯誤；若，，則或與相交，則B錯誤；若，，則或，則C錯誤；若是異面直線，，，且，則，則D正確．故選：D6．某校對該校800名高一年級學生的體重進行調查，他們的體重都處在A，B，C，D四個區間內，根據調查結果得到如下統計圖，則下列說法正確的是（）A．該校高一年級有300名男生B．該校高一年級學生體重在C區間的人數最多C．該校高一年級學生體重在C區間的男生人數為175D．該校高一年級學生體重在D區間的人數最少【答案】C【分析】分別根據條形圖和扇形圖求得女生和男生的體重在A、B、C、D區間的人數，逐一判斷可得選項.【詳解】由題意可得該校高一年級有名女生，則有名男生，則男生體重在A，B，C，D區間內的人數分別為75，150，175，100，從而該校高一年級學生體重在A，B，C，D區間的人數分別為135，270，255，140，故A，B，D錯誤，C正確．故選：C.7．在三棱錐中，平面平面，和均為等邊三角形，分別是棱的中點，則異面直線與所成角的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取棱的中點，由可知所求角為；由線面垂直的判定可知平面，得到，由平行關系可推導得到；根據長度關系和垂直關系可求得，由此可得所求正弦值.【詳解】分別取棱的中點，連接．和均為等邊三角形，，，又平面，，平面，又平面，；分別為棱中點，，即為異面直線與所成角；分別為棱中點，，；設，則，．平面平面，平面平面，，平面，，，，則，．故選：B.8．已知集合，且，，則函數有零點的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】運用列舉法列出所有基本事件，再分和兩種分別求出事件，由古典概率公式可得選項.【詳解】由題意可得總的基本事件數為9，記這個基本事件為，其基本事件是：，，.當時．函數有零點，符合條件的基本事件有，共3個；當時，有零點，則，即，從而符合條件的基本事件有，，其4個．故所求概率．故選：A.二、多選題9．已知復數，，則下列命題正確的是（）A．若，則是純虛數 B．若是純虛數，則C．若，則是實數 D．若是實數，則【答案】BCD【分析】先由復數的運算求得，，再由復數的概念可得選項.【詳解】由題意可得，．當且時，是純虛數，則A錯誤，B正確；當時，是實數，則C，D正確．故選：BCD．10．連續拋擲一個質地均勻的骰子（每個面上對應的數字分別為1，2，3，4，5，6）兩次．事件A表示“第一次正面朝上的點數是奇數”，事件B表示“第二次正面朝上的點數是偶數”，事件C表示“兩次正面朝上的點數之和小于6”，事件D表示“兩次正面朝上的點數之和是9”，則下列說法正確的是（）A．事件A與事件B為對立事件 B．事件A與事件B相互獨立C．事件C與事件D是互斥事件 D．事件C與事件D相互獨立【答案】BC【分析】根據相互獨立事件、互斥事件、對立事件的定義判斷可得；【詳解】解：由題意可知事件A與事件B相互獨立，則A錯誤，B正確；事件C與事件D是互斥事件，但不是對立事件，則C正確；D錯誤．故選：BC11．在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，且，則（）A． B．角B的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的取值范圍是【答案】ACD【分析】利用正弦定理比較容易得出，再根據銳角和得出，的范圍，進而得出的范圍.【詳解】因為，所以，所以或．因為，所以，所以，則，故A正確．因為，所以．因為是銳角三角形，所以即解得，所以，則，故B錯誤，D正確．因為，所以，所以，則C正確，故選：ACD.12．如圖，在直三棱柱中，，是等邊三角形，點O為該三棱柱外接球的球心，則下列命題正確的是（）A．平面B．異面直線與所成角的大小是C．球O的表面積是D．點O到平面的距離是【答案】ACD【分析】根據線面平行的判定定理可判斷A選項；由可得是異面直線與所成的角，求出其正切值，從而求出角的大小，由此判斷B選項；設外接圓的圓心為，連接，可得球的半徑，由此判斷C選項；設外接圓的半徑為，由正弦定理求得，則點到平面的距離，由此判斷D選項．【詳解】解：如圖，由題意可知，因為平面，平面，所以平面，故A正確；因為，所以是異面直線與所成的角，因為，所以，所以，故B錯誤；設外接圓的圓心為，連接，由題意可得，，則球的半徑，從而球的表面積是，故C正確；設外接圓的半徑為，由題意可得，則，由正弦定理可得，則點到平面的距離，故D正確；故選：ACD．三、填空題13．已知向量，，若，則_______．【答案】【分析】根據向量共線的坐標表示計算可得；【詳解】解：因為向量，，且，所以，解得．故答案為：14．已知一圓錐的側面展開圖是半徑為的半圓，則該圓錐的體積是_______．【答案】【分析】根據側面展開圖可確定母線長和底面圓半徑，由此求得圓錐的高，根據圓錐體積公式可求得結果.【詳解】設該圓錐底面圓的半徑為，高為，母線長為，則，，解得：，，該圓錐的體積是．故答案為：.15．已知是方程的一個根，則_______．【答案】33【分析】設該方程的另一個根為，由已知對立方程組，解之可得答案.【詳解】設該方程的另一個根為，則從而解得即故．故答案為：33.16．如圖，已知兩座山的高分別為米，米，為測量這兩座山峰之間的距離，選擇水平地面上一點為測量觀測點，測得，，，則_______米．【答案】【分析】過點作，根據已知長度和角度關系可求得，利用余弦定理可求得，從而由勾股定理可求得，開平方得到結果.【詳解】過點作，垂足為，則米，．由題意可得：米，米，又，，，米．故答案為：.四、解答題17．已知向量的夾角為，且，．（1）求的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）由數量積定義可求得，進而得到，開平方得到結果；（2）由垂直關系可得，由平面向量數量積運算律化簡整理可得關于的方程，解方程可求得結果.【詳解】（1），，；（2）由得：，即，即，解得：或.18．某高校將參加該校自主招生考試的學生的筆試成績按得分分成組，得到的頻率分布表如圖所示．該校為了選拔出最優秀的學生，決定從第組和第組的學生中用分層抽樣法抽取名學生進行面試，根據面試成績（滿分：分），得到如圖所示的頻率分布直方圖．組號分組頻數頻率第組第組第組第組第組合計圖圖（1）求第組和第組的學生進入面試的人數之差；（2）若該高校計劃錄取人，求該高校的錄取分數．【答案】（1）；（2）分．【分析】（1）由表格數據可確定抽樣比，由此得到第組和第組應抽取的人數，進而求得結果；（2）首先確定該高校的錄取率，則所求錄取分數為名學生分數的分位數，由百分位數的估計方法計算可得結果.【詳解】（1）由題意可知抽取比例為：，則第組應抽取的人數為，第組應抽取的人數為．故第組和第組的學生進人面試的人數之差為：；（2）由題意知該高校的錄取率為：．，．則該高校的錄取分數在內．設該高校的錄取分數為，則，解得：．故該高校的錄取分數為分．19．如圖，在三棱柱中，，點為的中點，，．（1）證明：平面平面ABC．（2）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由題意得，，從而平面ABC，由此證得平面平面ABC；（2）設點O到平面的距離為h，點B1到平面的距離為d，易得，根據棱錐的體積公式求出，求出，再根據等體積法求出答案．【詳解】（1）證明：因為，所以，，在三棱柱中，，所以，又因為，所以平面ABC，又因為平面，所以平面平面ABC；（2）解：設點O到平面的距離為h，點B到平面的距離為d，因為點O為的中點，所以，，因為，，所以，則，因為，所以，即點到平面的距離為．20．端午節，又稱端陽節、龍舟節、天中節等，源于中國人對自然天象的崇拜，由上古時代祭龍演變而來．端午節與春節、清明節、中秋節并稱中國四大傳統節日．某社區為豐富居民業余生活，舉辦了關于端午節文化習俗的知識競賽，比賽共分為兩輪．在第一輪比賽中，每位參賽選手均需參加兩關比賽，若其在兩關比賽中均達標，則進入第二輪比賽．已知在第一輪比賽中，第一關達標的概率分別是，；第二關達標的概率分別是，．在第一輪的每關比賽中是否達標互不影響．（1）分別求出進入第二輪比賽的概率；（2）若兩人均參加第一輪比賽，求兩人中至少有人進入第二輪比賽的概率．【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）由獨立事件概率乘法公式直接計算可得結果；（2）首先求得兩人都沒有進入第二輪比賽的概率，由對立事件概率公式計算可得結果.【詳解】（1）設事件為“在第一輪第一關比賽中達標”，事件為“在第一輪第二關比賽中達標”，事件為“在第一輪第一關比賽中達標”，事件為“在第一輪第二關比賽中達標”．則進入第二輪比賽的概率，進入第二輪比賽的概率．（2）由（1）可知沒有進入第二輪比賽的概率，沒有進入第二輪比賽的概率，則兩人都沒有進入第二輪比賽的概率為．故兩人中至少有人進入第二輪比賽的概率．21．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．問題：在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若角A的角平分線，且，求面積的最小值．【答案】任選三個條件之一，都有（1）；（2）．【分析】若選①，（1）根據正弦定理進行邊角互化得，再由角的范圍可求得角A．若選②，（1）根據余弦定理求得，由角的范圍可求得角A．若選③，根據正弦定理進行邊角互化得，由角的范圍可求得角A（2）根據三角形的面積公式求得，，再運用函數的性質可求得面積的最小值．【詳解】解：若選①，（1）因為，所以．因為，所以，所以，所以．因為，所以．若選②，（1）因為，所以，所以，則．因為，所以．若選③，（1）因為，所以，所以，所以．因為，所以．（2）因為，所以，所以，則，故．設，則，從而，當且僅當，即時，．故當，時，的面積取得最小值，且最小值為．22．如圖，在正四棱錐中，點E，F分別在棱PB，PD上，且．（1）證明：平面PAC．（2）在棱PC上是否存在點M，使得平面MEF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在滿足條件的點M，．【分析】（1）連接，記，連接PO，由此可得，且，根據線面垂直的判定定理可得平面，由可得，由此可得結論；（2）存在點滿足時，平面．連接ME，MF，