PAGE三十直線與平面垂直(一)(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全對的得2分，有選錯的得0分)1．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中，肯定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m?αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n?βD．m⊥n，且n∥β【解析】選B.A.中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B.中，由n⊥β，知n垂直于平面β內的隨意直線，再由m∥n，知m也垂直于β內的隨意直線，所以m⊥β，B符合題意；C.和D.中，m?β或m∥β或m與β相交，不符合題意．故選B.2．(2024·徐州高一檢測)正方體ABCD-A1B1C1D1中與AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1DBC．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB1【解析】選D.正方體ABCD-A1B1C1D1中，在A.中，AD1與平面DD1C1C相交但不垂直，故A錯誤；在B.中，AD1與平面A1DB相交但不垂直，故B錯誤；在C.中，AD1與平面A1B1C1D1相交但不垂直，故C錯誤；在D.中，AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1，故D正確．3．若兩直線l1與l2異面，則過l1且與l2垂直的平面()A．有且只有一個B．可能存在，也可能不存在C．有多數多個D．肯定不存在【解析】選B.當l1⊥l2時，過l1且與l2垂直的平面有一個，當l1與l2不垂直時，過l1且與l2垂直的平面不存在．4．已知直線a⊥平面α，直線b∥平面α，則a與b的關系為()A．a∥b B．a⊥bC．a，b相交不垂直 D．a，b異面不垂直【解析】選B.由b∥α，過b作平面β，使α∩β＝c，則b∥c，且c?α.因為a⊥α，所以a⊥c.所以a⊥b.5．(2024·肇慶高一檢測)已知圓錐的母線長是底面半徑的2倍，P為頂點，正六邊形ABCDEF內接于底面圓，AD是圓的直徑，且AD＝2，則下列說法正確的是()A．BC∥平面PADB．AC⊥平面PCDC．圓錐的側面積為eq\r(3)πD．直線PC與平面PAD所成角的余弦值為eq\f(\r(13),4)【解析】選AD.圓錐的底面直徑為2，所以半徑r＝1，從而母線長l＝2.由于六邊形ABCDEF為正六邊形，如圖，所以BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD，故A對；在△PAC中，PA＝PC＝2，可知∠ACP≠90°，故B錯；圓錐的側面積為πrl＝2π，故C錯；過點C作CM⊥AD，垂足為M，連接PM，如圖，由于平面PAD⊥底面，AD為交線，則CM⊥平面PAD，所以∠CPM為直線PC與平面PAD所成的角，可求得CM＝eq\f(\r(3),2)，PM＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(13),2)，所以cos∠CPM＝eq\f(PM,PC)＝eq\f(\r(13),4)，故D對．6．(多選題)設l，m，n為三條不同的直線，α為一個平面，下列命題正確的有()A．若l⊥α，則l與α相交B．若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥αC．若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥αD．若α∥β，l⊥α則l⊥β【解析】選ACD.A明顯正確；對B，只有當m，n相交時，才有l⊥α，故B錯誤；對C，由l∥m，m∥n?l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故C正確；對D，α∥β，l⊥α則l⊥β正確．二、填空題(每小題5分，共10分)7．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，若BC邊上存在點Q，使得PQ⊥QD，則a的最小值為________．【解析】因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.若BC邊上存在一點Q，使得QD⊥PQ，PA∩PQ＝P，則有QD⊥平面PAQ，從而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，當AD＝a<2時，直線BC與以AD為直徑的圓相離，故不存在點Q，使PQ⊥DQ.所以當a≥2時，才存在點Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值為2.答案：28．(三空題)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于________；AB1與平面ADD1A1所成的角等于________；AB1與平面DCC1D1所成的角等于________．【解析】∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1與平面DCC1D1平行，即所成的角為0°.答案：45°45°0°三、解答題(每小題10分，共20分)9．如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△BCF為正三角形，G，H分別為BC，EF的中點，EF＝4且EF∥AB，EF⊥FB.(1)求證：GH∥平面EAD；(2)求證：FG⊥平面ABCD.【證明】(1)如圖，取AD的中點M，連接EM，GM.因為EF∥AB，M，G分別為AD，BC的中點，所以MG∥EF，因為H為EF的中點，EF＝4，AB＝2，所以EH＝AB＝MG，所以四邊形EMGH為平行四邊形，所以GH∥EM，又因為GH?平面EAD，EM?平面EAD，所以GH∥平面EAD.(2)因為EF⊥FB，EF∥AB，所以AB⊥FB.在正方形ABCD中，AB⊥BC，所以AB⊥平面FBC.又FG?平面FBC，所以AB⊥FG.在正三角形FBC中，FG⊥BC，所以FG⊥平面ABCD.【補償訓練】如圖，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上隨意一點，求證：BC⊥PC.【證明】因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.因為AB是⊙O的直徑，所以BC⊥AC.而PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.因為PC?平面PAC，所以BC⊥PC.10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M為PD的中點．(1)證明：PB∥平面ACM；(2)證明：AD⊥平面PAC；(3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值．【解析】(1)如圖，連接BD，MO.在平行四邊形ABCD中，因為O為AC的中點，所以O為BD的中點，又M為PD的中點，所以PB∥MO.因為PB?平面ACM，MO?平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)因為∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO⊥AD，而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.(3)取DO的中點N，連接MN，AN.因為M為PD的中點，所以MN∥PO，且MN＝eq\f(1,2)PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝eq\f(1,2)，所以DO＝eq\f(\r(5),2)，從而AN＝eq\f(1,2)DO＝eq\f(\r(5),4).在Rt△ANM中，tan∠MAN＝eq\f(MN,AN)＝eq\f(1,\f(\r(5),4))＝eq\f(4\r(5),5)，即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為eq\f(4\r(5),5).(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共15分，多選題全部選對得5分，選對但不全對的得2分，有選錯的得0分)1．直線l與平面α所成的角為70°，直線l∥m，則m與α所成的角等于()A．20°B．70°C．90°D．110°【解析】選B.因為l∥m，所以直線l與平面α所成的角等于直線m與平面α所成的角，又直線l與平面α所成的角為70°，所以直線m與平面α所成的角為70°.2．圖①是建筑工地上的塔吊，圖②是依據圖①繪制的塔吊簡易直觀圖，點A，B，C在同一水平面內．塔身PO⊥平面ABC，直線AO與BC的交點E是BC的中點，起重小車掛在線段AO上的D點，AB＝AC，DO＝6m．若PO＝2m，PB＝3m，△ABC的面積為10m2，依據圖中標注的數據，忽視△ABC自重對塔吊平衡的影響，在塔吊保持平衡的條件下可得點A，P之間的距離為(0.5OD＝1.5OE)()A．2eq\r(17)m B．6eq\r(2)mC．8m D．9m【解析】選A.依據條件得，OE＝eq\f(0.5×DO,1.5)＝eq\f(0.5×6,1.5)＝2(m).因為PO⊥平面ABC，AE?平面ABC，所以PO⊥AE，又AB＝AC，E是BC中點，所以AE⊥BC，PE⊥BC.因為PO＝2m，所以PE＝2eq\r(2)m，因為PB＝3m，所以BE＝1m．由于△ABC的面積為10m2，所以eq\f(1,2)BC·AE＝10，解得AE＝10m，即AO＝8m，即AP＝2eq\r(17)m．3．(多選題)下列說法中錯誤的是()A．若直線m∥平面α，直線l⊥m，則l⊥αB．若直線l和平面α內的多數條直線垂直，則直線l與平面α必相交C．過平面α外一點有且只有一條直線和平面α垂直D．過直線a外一點有且只有一個平面和直線a垂直【解析】選AB.A錯誤．若直線m∥平面α，直線l⊥m，則l與α平行、相交或l在α內都有可能．B錯誤．若直線l和平面α內的多數條直線垂直，則直線l與平面α平行、相交或l在α內都有可能，C.D正確．二、填空題(每小題5分，共15分)4．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝eq\r(2)，BC＝AA1＝1，則BD1與平面A1B1C1D1所成的角的大小為________．【解析】如圖所示，連接B1D1.則B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，則∠BD1B1是BD1與平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝eq\f(BB1,B1D1)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，則∠BD1B1＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)5．如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，當底面四邊形ABCD滿意條件________時，有AC1⊥B1D1.(注：填上你認為正確的一種即可，不必考慮全部可能的情形)【解析】要找底面四邊形ABCD所滿意的條件，使AC1⊥B1D1，可從結論AC1⊥B1D1入手．因為AC1⊥B1D1，BD∥B1D1，所以AC1⊥BD.又因為CC1⊥BD，而CC1∩AC1＝C1，CC1?平面ACC1，AC1?平面ACC1，所以BD⊥平面ACC1，所以BD⊥AC.此題答案不唯一．答案：BD⊥AC(答案不唯一)6．(2024·鄭州高一檢測)已知四棱錐P-ABCD的頂點都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，AB＝AD＝1，BC＝CD＝2，若球O的表面積為9π，則四棱錐P-ABCD的體積為________．【解析】因為AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，所以△ABC與△ADC全等，所以∠ABC＝∠ADC，易知A，B，C，D四點共圓，則∠ABC＋∠ADC＝180°，所以∠ABC＝∠ADC＝90°，所以，四邊形ABCD的外接圓直徑為AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(5)，設四棱錐P-ABCD的外接球半徑為R，則4πR2＝9π，解得R＝eq\f(3,2)，由PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，且AP∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又PB?面PAB，所以BC⊥PB，同理可證：CD⊥PD，設點O為PC的中點，則由直角三角形的性質可得OA＝OB＝OD＝OC，所以O為四棱錐P-ABCD外接球的球心，即PC為其直徑，即PC＝2R＝3，所以PA＝eq\r(（2R）2－AC2)＝eq\r(32－5)＝2，S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×BC＝eq\f(1,2)×1×2＝1，所以VP-ABCD＝eq\f(1,3)×2S△ABC×AP＝eq\f(1,3)×2×1×2＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)三、解答題(每小題10分，共20分)7．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖2.(1)求證：DE∥平面A1CB；(2)求證：A1F⊥BE；(3)線段A1B上是否存在點Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由．【解析】(1)因為D，E分別為AC，AB的中點，所以DE∥BC.又因為DE?平面A1CB，BC?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.因為DE⊥A1D，DE⊥CD，且A1D∩CD＝D，所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因為A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)線段A1B上存在點Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如圖，分別取A1C，A1B的中點P，Q，則PQ∥BC.又因為DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即為平面DEQP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因為P是等腰△DA1C底邊A1C的中點，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.即A1C⊥平面DEQ.故線段A1B上存在點Q，使得A1C⊥平面DEQ.8．如圖，在棱長均為1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點．(1)求證：AD⊥平面BCC1B1；(2)求直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值．【解析】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥AD，因為AB＝AC，D是BC的中點，所以AD⊥BC.又BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面BCC1B1.(2)連接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1，則∠AC1D即為直線AC1與平面BCC1B1所成的角．在Rt△AC1D中，AD＝eq\f(\r(3),2)，AC1＝eq\r(2)，sin∠AC1D＝eq\f(AD,AC1)＝eq\f(\r(6),4)，即直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值為eq\f(\r(6),4).【補償訓練】(2024·蘇州高一檢測)如圖，四棱錐P-ABCD，AB∥CD，CD⊥BC，PB＝BC＝CD＝2AB＝2，PA＝eq\r(3)，PC＝eq\r(5).(1)證明：PC＝PD；(2)求直線PC與平面PA