滾動(dòng)復(fù)習(xí)5一、選擇題(每小題5分，共45分)1．[2024·廣東深圳高一期中]下列四個(gè)命題正確的是()A．全部的幾何體的表面都能展成平面圖形B．棱錐的側(cè)面的個(gè)數(shù)與底面的邊數(shù)相等C．棱柱的各條棱長(zhǎng)度都相等D．棱柱中兩個(gè)相互平行的面肯定是棱柱的底面2．[2024·河南洛陽(yáng)高一期中]若一個(gè)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為3的正三角形，則這個(gè)圓錐的表面積為()A．eq\f(27,4)πB．eq\f(9,2)πC．3πD．eq\f(9,4)π3．已知直三棱柱ABC-A′B′C′的體積為6，則三棱錐B-A′B′C′的體積是()A．5B．－4C．3D．24．[2024·河南開封高一期中]如圖所示，一個(gè)水平放置的平面圖形OABC的斜二測(cè)直觀圖是平行四邊形O′A′B′C′，且O′C′＝2O′A′＝2，∠A′O′C′＝45°，則平面圖形OABC的周長(zhǎng)為()A．12B．4eq\r(2)C．5D．105．[2024·河南洛陽(yáng)高一期中]2024年4月16日，神舟十三號(hào)三名航天員勝利返回著陸點(diǎn)，返回艙外形呈鐘形鈍頭體，若將其近似地看作圓臺(tái)，其高為2.5m，下底面圓的直徑為2.8m，上底面圓的直徑為1m，則估算其體積約為(π≈3.14)()A．3.6m3B．7.6m3C．22.8m3D．30.5m36．一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為10，底面邊長(zhǎng)為6eq\r(2)，該四棱錐截去一個(gè)小四棱錐后得到一個(gè)正四棱臺(tái)，正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為5，則正四棱臺(tái)的高為()A．5B．4C．3D．27．如圖是某燈具廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺(tái)燈外形，它由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組合而成，圓錐的高是0.4m，底面直徑和球的直徑都是0.6m，現(xiàn)對(duì)這個(gè)臺(tái)燈表面涂膠，假如每平方米須要涂200克，則共需涂膠(精確到個(gè)位數(shù))()A．176克B．207克C．239克D．270克8．(多選)[2024·福建福州四中高一期中]一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，則下列結(jié)論正確的是()A．圓柱的側(cè)面積為2πR2B．圓錐的側(cè)面積為2πR2C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為3∶1∶29．(多選)[2024·安徽宣城高一期末]已知正四面體的外接球、內(nèi)切球的球面上各有一動(dòng)點(diǎn)M、N，若線段MN的最小值為eq\r(6)，則()A．正四面體的棱長(zhǎng)為6B．正四面體的內(nèi)切球的表面積為6πC．正四面體的外接球的體積為8eq\r(6)πD．線段MN的最大值為2eq\r(6)二、填空題(每小題5分，共15分)10．已知圓柱的底面積為S，軸截面的面積為Q，則它的側(cè)面面積為________．11．長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，寬、長(zhǎng)、高分別為3、4、5，現(xiàn)有一個(gè)小蟲從A動(dòng)身沿長(zhǎng)方體表面爬行到C1來獲得食物，則其路程的最小值為________.12．[2024·北京通州高一期末]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，則四棱錐D1-DABC的表面積為________；若該正方體的頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為________．三、解答題(共40分)13．(10分)一個(gè)圓柱形容器的軸截面尺寸如圖所示，容器內(nèi)有一個(gè)實(shí)心的球，球的直徑恰等于圓柱的高．現(xiàn)用水將該容器注滿，然后取出該球(假設(shè)球的密度大于水且操作過程中水量損失不計(jì))，求球取出后，容器中水面的高度．14．(15分)某長(zhǎng)方體從一個(gè)頂點(diǎn)動(dòng)身的三條棱的長(zhǎng)分別為3cm，3cm，eq\r(7)cm.(1)求該長(zhǎng)方體的外接球的體積和表面積；(2)如圖，將此長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截出一個(gè)棱錐，求剩下的幾何體的體積．15．(15分)[2024·山西太原高一期中]在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，分別以AB，AC，BC所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成3個(gè)幾何體，其體積分別記為V1，V2，V3.(1)求V1，V2，V3的值；(2)求以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所形成幾何體的內(nèi)切球的體積．滾動(dòng)復(fù)習(xí)51．答案：B解析：對(duì)于A，球的表面不能展成平面圖形，錯(cuò)誤；對(duì)于B，棱錐的側(cè)面的個(gè)數(shù)與底面的邊數(shù)相等，正確；對(duì)于C，棱柱的各條側(cè)棱長(zhǎng)度都相等，但是側(cè)棱長(zhǎng)度與底面中的棱長(zhǎng)不肯定相等，錯(cuò)誤；對(duì)于D，正六棱柱中，相對(duì)的兩個(gè)側(cè)面相互平行，但它們不是正六棱柱的底面，錯(cuò)誤．故選B.2．答案：A解析：由題可知，該圓錐的底面半徑為eq\f(3,2)，因此，該圓錐表面積為π×(eq\f(3,2))2＋π×eq\f(3,2)×3＝eq\f(27,4)π.故選A.3．答案：D解析：設(shè)三棱錐B-A′B′C′的高為h，則VB-A′B′C′＝eq\f(1,3)S△A′B′C′·h＝eq\f(1,3)VABC-A′B′C′＝2.故選D.4．答案：D解析：依據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知該平面圖形是矩形，如圖所示，且長(zhǎng)AB＝4，寬OA＝1.故該平面圖形的周長(zhǎng)為2(OA＋AB)＝10.故選D.5．答案：B解析：由題意知圓臺(tái)高為2.5m，下底面圓的半徑為1.4m，上底面圓的半徑為0.5m，則估算其體積約為V＝eq\f(1,3)πh[r2＋rr′＋(r′)2]≈eq\f(1,3)×3.14×2.5×[0.52＋0.5×1.4＋1.42]≈7.6(m3).故選B.6．答案：B解析：依據(jù)題意，正四棱臺(tái)是由原正四棱錐過側(cè)棱的中點(diǎn)且與底面平行的平面截得的，如圖所示：對(duì)原正四棱錐，BD＝eq\r(2)BC＝12，故其高PO＝eq\r(PB2－（\f(1,2)BD）2)＝eq\r(100－36)＝8，又△PO1B1∽△POB，其相像比為eq\f(1,2)，故正四棱臺(tái)的高h(yuǎn)＝eq\f(1,2)PO＝4.故選B.7．答案：B解析：由已知得圓錐的母線長(zhǎng)l＝eq\r(0.32＋0.42)＝0.5，所以臺(tái)燈表面積為S＝πrl＋2πr2＝π×0.3×0.5＋2π×0.32＝0.33π，須要涂膠的重量為0.33π×200＝66π≈66×3.14＝207.24≈207(克).故選B.8．答案：CD解析：A選項(xiàng)，圓柱的側(cè)面積為2πR×2R＝4πR2，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，圓錐的母線長(zhǎng)為eq\r(R2＋（2R）2)＝eq\r(5)R，圓錐的側(cè)面積為πR×eq\r(5)R＝eq\r(5)πR2，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，球的表面積為4πR2，所以圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，圓柱的體積為πR2×2R＝2πR3，圓錐的體積為eq\f(1,3)×πR2×2R＝eq\f(2π,3)R3，球的體積為eq\f(4π,3)R3，所以圓柱、圓錐、球的體積之比為2πR3∶eq\f(2π,3)R3∶eq\f(4π,3)R3＝3∶1∶2，D選項(xiàng)正確．故選CD.9．答案：ABD解析：設(shè)這個(gè)四面體的棱長(zhǎng)為a，則此四面體可看作棱長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2)a的正方體截得的，所以四面體的外接球即為正方體的外接球，外接球直徑為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r，則2R＝eq\r(3×（\f(\r(2),2)a）2)＝eq\f(\r(6),2)a，所以R＝eq\f(\r(6),4)a，四面體的高為h＝eq\r(a2－（\f(\r(3),3)a）2)＝eq\f(\r(6),3)a，由等體積法可得eq\f(1,3)Sh＝4×eq\f(1,3)Sr，所以r＝eq\f(1,4)h＝eq\f(\r(6),12)a，由題意得R－r＝eq\r(6)，所以eq\f(\r(6),4)a－eq\f(\r(6),12)a＝eq\r(6)，解得a＝6，所以A正確；所以R＝eq\f(\r(6),4)×6＝eq\f(3\r(6),2)，所以外接球的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·(eq\f(3\r(6),2))3＝27eq\r(6)π，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)閮?nèi)切球半徑為r＝eq\f(\r(6),12)×6＝eq\f(\r(6),2)，所以內(nèi)切球的表面積為4πr2＝4π·(eq\f(\r(6),2))2＝6π，所以B正確；線段MN的最大值為R＋r＝eq\f(3\r(6),2)＋eq\f(\r(6),2)＝2eq\r(6)，所以D正確．故選ABD.10．答案：πQ解析：設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，因?yàn)閳A柱的軸截面面積為Q，即S軸截面＝2rh＝Q，所以圓柱的側(cè)面積為S側(cè)＝2πrh＝πQ.11．答案：eq\r(74)解析：把長(zhǎng)方體含AC1的面作綻開圖，有三種情形如圖所示：利用勾股定理可得AC1的長(zhǎng)分別為eq\r(90)、eq\r(74)、eq\r(80).由此可見圖(2)是最短路途，其路程的最小值為eq\r(74).12．答案：8＋4eq\r(2)4eq\r(3)π解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，BC⊥平面DCC1D1，DD1⊥平面ABCD，因此，在四棱錐D1-DABC中，∠BAD1＝∠BCD1＝∠ADD1＝∠CDD1＝90°，而AD1＝CD1＝2eq\r(2)，所以四棱錐D1-DABC的表面積S＝2S△ADD1＋2S△BAD1＋SABCD＝2×eq\f(1,2)×2×2＋2×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2＋22＝8＋4eq\r(2)；正方體ABCD-A1B1C1D1外接球O的直徑是正方體ABCD-A1B1C1D1的體對(duì)角線長(zhǎng)2eq\r(3)，則球O的半徑R＝eq\r(3)，所以球O的體積為V＝eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4π,3)(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.13．解析：設(shè)圓柱體水面下降的高度為h，而球體半徑為R＝5，則有V球＝V柱降，即eq\f(4,3)πR3＝π(2R)2h，解得h＝eq\f(5,3)，則容器中水面的高度為h1＝2R－h(huán)＝eq\f(25,3)(cm).14．解析：(1)由題意，長(zhǎng)方體從一個(gè)頂點(diǎn)動(dòng)身的三條棱的長(zhǎng)分別為3cm，3cm，eq\r(7)cm，可得長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(32＋32＋（\r(7)）2)＝5(cm)，設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑為R，可得2R＝5，即R＝eq\f(5,2)，所以外接球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(125π,6)cm3，表面積為S＝4πR2＝25πcm2.(2)如圖所示，由長(zhǎng)方體從一個(gè)頂點(diǎn)動(dòng)身的三條棱的長(zhǎng)分別為3cm，3cm，eq\r(7)cm，則長(zhǎng)方體的體積為V1＝3×3×eq\r(7)＝9eq\r(7)cm3，三棱錐B1-A1BC1的體積為VB1-A1BC1＝VA1-BB1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×eq\r(7)＝eq\f(3\r(7),2)cm3，所以剩余部分的體積為V＝V1－VB1-A1BC1＝eq\f(15\r(7),2)cm3.15．解析：(1)以AB所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的圖形是圓錐，它的底面半徑為4，它的高為3，所以V1＝eq\f(1,3)·π·42·3＝16π；以AC所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的圖形是圓錐，它的底面半徑為3，它的高為4，所以V2＝eq\f(1,3)·π·32·4＝12π；以BC所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的圖形是有公共的底面的兩個(gè)圓錐，因?yàn)椤螧AC＝90°，AB＝3，AC＝4，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝5，邊BC上的高為h，所以有eq\f(5h,2)＝eq\f(3×4,2)?h＝eq\f(12,5)，所以