有限元法及應用本次培訓主要內容第一部分有限元法基礎1桿系有限元法2平面問題有限元法第二部分

ANSYS有限元軟件簡介3有限元軟件ANSYS簡介（UtilityMenu平臺及MainMenu命令）4典型的ANSYS分析過程（前處理、求解、后處理）5靜力學分析和動力學分析實例1緒論有限元法的發展簡史1943年，Courant從數學上明確提出有限元思想。1960年，美國的Clough教授在—篇論文中首次使用了“有限元法”這個名詞。20世紀70年代以后，隨著計算機和軟件技術的發展，有限元法也隨之迅速地發展起來。現在，有限元法已被應用于固體力學、流體力學、熱傳導、電磁學、聲學、生物力學等各個領域。FEM應用現狀有限元方法（FEM）現已成為工程設計和分析最常用的數值計算工具。廣泛應用于：機械、航空航天、土木工程、軌道車輛結構分析（靜態/動態、線性/非線性）熱/流體電磁學地質力學生物力學……..FEM應用實例電力機車車輪有限元模型CRH5動力轉向架輪對疲勞失效機理研究CHR380B軸箱體強度分析FEM應用實例CRH380A車體疲勞壽命研究FEM應用實例機架有限元分析風電葉片FEM應用實例FEM應用實例塔吊、龍門架有限元分析FEM應用實例汽車氣動布局FEM應用實例自行車結構有限元模型位移等值線圖變形圖FEM應用實例應力等值線圖FEM應用實例FEM應用實例平板車幾何模型FEM應用實例平板車應力等值線圖平板車位移等值線圖平板車有限元模型FEM應用實例FEM應用實例應力等值線圖應力等值線圖局部放大FEM應用實例滾筒洗衣機動力學分析有限元模型FEM應用實例有限元模型

真實結構有限元法（FEM，FiniteElementMethod）是把物理結構分割成有限個區域，這些區域稱為單元。每個單元中有有限個節點，單元間通過節點相連。對每一個單元建立作用力方程，組集成整個結構的系統方程，求解該方程得到結構的近似解。節點單元XZY有限元法的概念有限元法的基本思想有限元方法力學原理(彈性力學、材料力學等)數學方法(微分方程理論、變分原理)計算機程序結構離散化虛功原理、最小勢能原理單元平衡方程公共結點位移相同組集整體平衡方程引入邊界條件求解節點位移得到單元應變和應力節點和單元有限元模型由節點和單元組成。節點(Nodes):

空間中的坐標位置，具有一定自由度，存在相互物理作用，是單元之間的連接點。單元(Elements):一組節點自由度間相互作用的數值、矩陣描述。滿足一定幾何特性和物理特性的最小結構域。

載荷約束單元之間只能通過節點來傳遞內力。通過節點來傳遞的內力稱為節點力，作用在節點上的荷載稱為節點荷載。當連續體受到外力作用發生變形時，組成它的各個單元也將發生變形，因而各個節點要產生不同程度的位移，這種位移稱為節點位移。節點和單元信息是通過單元之間的公共節點傳遞的。.....AB...2nodes分離但節點重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞（需進行節點合并處理）具有公共節點的單元之間存在信息傳遞...AB...1node節點和單元自由度（DOFs）自由度(DOFs)

用于描述一個物理場的響應特性。結構DOFsROTZUYROTYUXROTXUZ分析類型自由度類型結構位移熱溫度電電位流體壓力磁磁位節點自由度隨連接該節點的

單元類型變化。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元(鉸接)UX,UY,UZ三維梁單元二維或軸對稱實體單元UX,UY三維四邊形殼單元UX,UY,UZ,三維實體熱單元TEMPJPOMNKJIL三維實體結構單元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ自由度（DOFs）真實結構有限元模型

有限元模型是真實系統理想化的數學抽象。節點單元有限元模型有限元分析的基本步驟連續體離散化單元特性分析選擇位移模式分析單元的力學性質計算等效節點力單元組集求解未知節點位移連續體離散化根據連續體的形態選擇最能描述連續體形狀的單元；進行網格劃分，將連續的結構劃分為有限個單元組成的離散體(網格越小計算精度越高)；對單元和節點按順序編號。

123456789101112①②③④⑤⑥有限元分析的基本步驟3維實體的4面體單元劃分平面的三角形單元劃分3維實體的6面體單元劃分有限元分析的基本步驟有限元分析的基本步驟確定單元的位移模式設定一個簡單的函數作為單元位移的近似函數，該函數稱為位移函數，位移函數一般取為多項式形式。對于三角形平面單元:節點位移列向量節點力列向量單元位移函數可表示為:式中：

[N]為形函數矩陣，其元素是位置坐標的函數。有限元分析的基本步驟單元力學特性分析

(1)單元應變矩陣對于平面問題，將彈性力學中的幾何方程代入位移函數，單元應變場可用節點位移表示為：式中：[B]稱為單元應變矩陣或幾何矩陣。即：(2)單元應力矩陣根據本構方程可將單元應力場用節點位移表示為：其中，[D]是與單元材料有關的彈性矩陣。根據虛功原理（內虛功等于外虛功）：定義剛度矩陣單元平衡方程有限元分析的基本步驟（3）單元剛度矩陣單元力學特性分析

幾何方程本構方程虛功原理平衡方程剛度矩陣位移場應變場應力場有限元分析的基本步驟單元力學特性分析

連續彈性體有限元模型單元是通過節點來傳遞力的，因而作用在單元邊界上的表面力、體積力和集中力都需要等效到節點上，即用等效的節點力來代替作用在單元上的力。計算等效節點力有限元分析的基本步驟有限元分析的基本步驟整體分析將節點等效力按照整體節點順序組集成整體節點載荷向量{R}集成整體剛度方程[K]，建立整個結構的平衡方程式中：[K]——整體剛度矩陣；

{q}——全部節點位移組成的列陣；

{R}——全部節點載荷組成的列陣。引進邊界約束條件，解總體剛度方程求出節點位移分量根據節點位移與應變、應力的關系（幾何方程、物理方程）計算出單元應變、應力等派生解。有限元法的特點有限元法的主要優點（與無網格法、邊界元法相比）（1）概念淺顯，容易掌握，可以在不同水平上建立對該法的理解；（2）有很強的適用性，應用范圍廣；（3）該方法用矩陣形式表達，便于充分發揮計算機運算優勢；（4）精度高，速度快，可以建立更符合實際結構的計算模型。有限元法的分類（1）位移法：以節點位移為基本未知數；（2）力法：以節點力為基本未知數；（3）混合法：以節點位移和節點力為基本未知數。2桿系結構的有限元法工程背景（鋼架、桁架的應用）2.1基本概念桿系結構的單元類型分為桿單元和梁單元，二者均為線單元。桿單元的節點僅傳遞力而不傳遞力矩，其節點位移只有沿坐標系各個軸向的線位移；梁單元的節點不僅傳遞力，而且傳遞力矩，其節點位移有沿坐標系各個軸向的線位移和繞坐標系各軸旋轉的角位移。節點編號原則：編號不能重復且不能遺漏，相鄰節點編號差盡量小。單元編號原則：編號不能重復且不能遺漏，相鄰單元編號差盡量小。商業有限元軟件可自動完成。節點和單元編號方法2.1基本概念2.1基本概念邊界條件：模型部分節點上的約束和荷載的總稱。整體坐標系：標識模型空間位置關系的坐標系。節點坐標：表示節點在整體坐標系下的空間位置。單元節點信息：每個單元所包含的節點數量。單元局部坐標系：選取單元的一個節點i為原點，x軸方向由節點i指向節點j，按右手定則確定y軸和z軸。單元材料特性是指每個單元的材料特性參數。對于線彈性結構有限元分析，單元的材料特性參數主要包括彈性模量、泊松比和密度。桿單元的截面參數包含截面面積和截面形心位置。梁單元的截面形狀參數包含橫截面面積、截面形心位置、截面慣性矩和極慣性矩等。

2.1基本概念2.2平面桁架平面桁架有限元模型確定單元類型：平面桿單元單元編號、節點編號2.2平面桁架2.2.1局部坐標系下的單元剛度矩陣單元局部坐標系下的節點位移和節點力2.2平面桁架水平方向，桿件處于靜態平衡狀態，垂直方向，桿件載荷恒等于0，因此單元節點力與節點位移的關系為矩陣形式即：單元節點位移與節點力的關系2.2平面桁架其中，2.2平面桁架單元剛度矩陣的性質（1）單元剛度矩陣是單元上由節點位移向量求節點力向量的轉換矩陣。2.2平面桁架（2）剛度矩陣中各元素的力學意義矩陣中的元素均是單位節點位移所引起的節點力的數值，所以稱它們為剛度系數。每行或每列元素的力學意義：同一行的4個元素是4個節點位移對同一個節點力的影響系數；同一列的4個元素是同一個節點位移對4個節點力的影響系數。2.2平面桁架（3）對稱性根據力學中力的互等定理和單元剛度系數的力學意義，有可知單元剛度短陣為對稱矩陣。

第一組力在使di

=1，其他節點位移均為0第二組力在使dj

=1，其他節點位移均為02.2平面桁架（4）奇異性單元剛度矩陣是奇異矩陣，即單元剛度矩陣的行列式為零。反映了矩陣中還沒有考慮到單元兩端與整個結構的聯系，所以可以產生任意的剛體位移。2.2平面桁架

（5）分塊性單元剛度矩陣的分塊形式單元節點位移向量的分塊形式單元節點力向量的分塊形式單元平衡方程2.2平面桁架2.2.2坐標變換整體坐標系下的節點位移和節點力局部坐標系與整體坐標系

2.2平面桁架

其中T為正交矩陣同理兩邊同時左乘TT，得到T為正交矩陣，2.2.3整體坐標系下的單元剛度矩陣2.2平面桁架單元平衡方程整體坐標系下的單元剛度矩陣整體坐標系下平衡方程的分塊形式2.2.4整體分析（1）等效節點荷載計算

2.2平面桁架集中力均布載荷非節點載荷，必須通過等效處理，轉化為節點載荷，應按照靜力等效原則進行，由此轉化而引起的單元內力和應力差異，只是局部的，不會影響整個結構的應力分布。2.2.4整體分析（2）整體節點位移和整體節點力2.2平面桁架對于單元①對于單元②對于單元③對于單元④2.2平面桁架2.2.4整體分析（3）求整體剛度矩陣對于單元⑤對于單元⑥對于單元⑦對于單元①：

對于單元③：

對于單元④：2.2平面桁架以節點2為例，根據節點力與節點載荷平衡：2.2平面桁架整體剛度矩陣“剛度集成法”2.2平面桁架整體平衡方程

整體剛度矩陣的性質節點位移向量與節點載荷向量之間的轉換矩陣。矩陣中的元素均為剛度系數，其力學意義是：同一行所有元素是所有節點位移對同一個節點力的影響系數；同一列的所有元素是同一個節點位移對所有節點力的影響系數。對稱性分塊性：處于主對角線上的子塊稱為主子塊，其余子塊稱為副子塊。主子塊反映同一節點處的力與位移的關系，為正非零子塊。副子塊反映結構上不同節點間的力與位移的相互關系。對于副子塊，如果節點與節點在一個單元上，則是非零子塊；如果節點與節點不在一個單元上，則是零子塊。2.2平面桁架2.2平面桁架稀疏性：非零元素集中在主對角線的周圍，在其余位置上存在大量的零元素。非零子塊數量很少，如果節點個數越多，稀疏性越突出。利用剛度矩陣的稀疏性，可設法只存儲非零元素，從而大大節省內存。奇異性：剛度矩陣的行列式為零。2.2.5約束條件的引入由于整體剛度矩陣的奇異性，必須引入約束條件后才能將其轉變為非奇異矩陣，進而求解整體平衡方程；必須限制結構剛體運動的線位移和角位移，即消除結構剛體運動的自由度。對于平面結構至少應合理布置3個方向的約束；對于空間結構至少應有6個方向的約束。在實際結構中，應按結構約束的實際情況，合理地限制選擇某些節點的某些自由度為零或為某個定值。2.2平面桁架2.2平面桁架劃行劃列法引入約束條件，原理簡單，可降低系數矩陣的規模：但是劃行劃列之后需將節點編號重新編排，編程不大方便；不能用于非零位移的約束條件。當δ5=0時，可劃去剛度矩陣第5行和第5列，以及右端荷載項的第5行。2.2.5約束條件的引入（1）劃行劃列法——把整體剛度矩陣中位移為零的自由度所對應的行、列和相應的荷載項劃去。其原因是：若節點位移已知可不必再解，該方程可以劃去。同時該位移對其他方程的影響也為零。（2）主對角線元素置“1”法2.2平面桁架如果第i個自由度δi=0，那么將剛度矩陣K中對應的i行和i列全部元素都置“0”，而將對角線元素kii置“1”，同時將右端荷載項中相應的元素置為“0”。可精確地引入約束條件，可保持原方程的階數與對稱性，是處理固定約束條件的常用方法，但是不能用于非零位移約束。（3）主元賦大值法2.2平面桁架如果第i個位移自由度δi=δi*

，那么將剛度矩陣K中對應的主元賦一個大值A（如A=1020），右端荷載項中的對應行用此大值與已知位移的乘積Aδi*代替。引入的位移約束條件是近似的。方便程序處理，保持了原方程的階數與對稱性。既能用于零位移約束，也可以用于非零位移約束約束條件兩端同時除以A，略去小項2.2.6求單元內力2.2平面桁架整體平衡方程引入約束條件，求解坐標變換局部坐標系下的單元節點位移局部坐標系下的單元節點力向量單元內力和應力整體坐標系下的全部節點位移2.2平面桁架有限元法求解桁架結構的步驟為：合理簡化結構，將結構離散化（劃分單元），選取局部和整體坐標系，對單元和節點編號；給出原始參數（各桿件的幾何參數、材料特性參數、節點坐標等）；計算節點荷載列陣（節點荷載和等效節點荷載）；計算局部坐標系下的單元剛度矩陣，確定每個單元的坐標轉換矩陣T，求得整體坐標系下的單元剛度矩陣K；用剛度集成法形成整體剛度矩陣；引入約束條件；用線性方程組的求解方法（高斯消元法等）解整體平衡方程，求得節點位移；計算各桿件內力與應力，并可進行強度校核。例題2-1計算下圖所示平面桁架的節點位移和桿件的內力。設各桿件的截面尺寸和制造材料均相同，其面積為，彈性模量。2.2平面桁架例題2-11.結構離散化

（a）平面桁架（b）單元、節點編號與整體、局部坐標系2.2平面桁架對于單元①和②對于單元③2.2平面桁架2.計算單元在局部坐標系下的剛度矩陣2.2平面桁架①單元與x正方向夾角90°②單元與x正方向夾角0°③單元與x正方向夾角135°3.計算單元在整體坐標系下的剛度矩陣單元①2.2平面桁架2.2平面桁架單元②

單元③

注意單元③的ij節點2.2平面桁架4.有限元方程的建立2.2平面桁架節點載荷向量節點位移向量5.引入邊件條件6.求線性解方程組2.2平面桁架7.計算節點位移引起的節點載荷2.2平面桁架

對于單元①2.2平面桁架

對于單元②2.2平面桁架

對于單元③Step1.結構的離散化與編號節點xy10024000340030040300單元編號及對應節點單元節點1節點2①12②32③13④43各單元的長度及軸線方向余弦單元lcossin①40010②3000-1③5000.80.6④40010節點及坐標（對該結構進行自然離散）2.2平面桁架2.2平面桁架Step2.單元描述各個單元剛度矩陣/節點載荷按節點編號進行組裝。

2.2平面桁架Step2.組裝整體剛度方程節點位移：節點載荷：20000N2.2平面桁架整體剛度方程為：

邊界條件BC(u):代入整體方程并化簡得：2.2平面桁架Step2.處理邊界條件求解

所有節點位移：

按平剖面假設，梁受荷載發生彎曲變形時，各截面的位移應包括：軸向拉壓變形u，截面中性軸處的撓度v，以及截面轉角θ。節點力列向量：2.3平面鋼架節點位移列向量：鋼架結構單元與節點

是軸向力，

是橫向力，

是彎矩單元節點位移：單元節點力：2.3平面鋼架節點位移：2.3.1單元位移與載荷簡記為其中為e單元的剛度矩陣，單元剛度矩陣任一元素kij

應等于：當

第j個位移分量為1，且其他位移分量皆為0時，對應的第i個節點力分量

2.3平面鋼架在彈性范圍內，小變形情況下，與的關系為：2.3.2局部坐標系下單元剛度矩陣e單元長為l，彈性模量為E，截面慣性矩為Iz。當且其余位移為0時，軸向位移2.3平面鋼架軸向力由平衡條件：2.3平面鋼架垂向撓度：轉角：用同樣的方法，可解出此單元剛度矩陣的其余元素。梁單元的剛度矩陣為：2.3平面鋼架分塊形式可寫為：單元平衡方程，即單元節點力與節點位移的關